（基础数学专业论文）色散方程的高精度经济格式及其并行算法的研究.pdf

摘要 本文针对色赦方嘏砧，一扭“。的毒 】边值问题，激用组合差酾法，设计了系列 熬蒜耩绥魔经济睾墼辫式鞫黉行雾法。 蓄先，在空瓣节点宽度鸯4 ，时阍层突度势3 煞三鼷局辩节点集上擒造了 组带参数的显示差分格式，其耪确淡为。秘+ 矗3 ) 。当参数取黎释特殊情况辩， 该缀掺裁霹菇这鬟缝砖稳定，嚣盈纛方蠢戆要求。瓷参数取鬓终掰秘壤覆戆瓣禳， 格式的精确度可以达剃0 0 2 + z 4 ) 锻楚饱和精确度0 p 2 + j 1 6 ) 。 其次，构造了三缎食参数绝对稳定豹黪或蓉势格式；嚣艨镄心黪掇式，髓层 绫点豫嵇式，琵篷实憋戏。冀精确璇都不低子二除。它稻掰强豹空勰肇意宽度为 4 ，对阕艨宽度强2 。耱且绘出7 撼缀格式在掇艨髑部节点嶷上达到饱和精确度 匏嫠咎。藩将蒸些繁患瀑数馕夔熬系数令为筑豫跌缛颡4 羧鞭屡二验条传稳定 兹半显梅袋。 窝基褥麴弼类型餐嚣显、瞻掇戏耀比较，零文缝果在燎礁发，稳定性。雌窆 复杂麦强暴懑燕方嚣舔疑袁爨显铙努。 蜀磐锋辩本文梅遗瓣憨式差分捺式设话了瀵食在菸孬撬上运行戆并霉亍冀法 4 分段稳式遮我法。泼宰型格式严格对角占谯瓣，对威熬势行迭 弋格式邦牧敛。 鼗篷铡予浚鹱该迭魏演霄较离嚣救敌性窝圣 冀耱确囊。 关键嗣：甑敬方程，缀含差裔法，显捺式，半鼹姆式，黪格式，分段爨式遮代法， 精确庭，稳澎健 孛交强书分类蛩：0 2 4 l 。踞 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，id e s i g nas e r i e so fh i g ha o c u r a c ye c o n o m i cs e r i a ls c h e m e sa n d 辫监1 1 8 la l g o r 主 抽sf o fs o l v 豫妞b i 姒弱强d a f yv 毹轻ep f o 挝锄o f 搬e 蕊p 粥i v 。 e q u a t i o nh t 黼口“mb yc o m b i c dd i f 新e n c es o i u t i o m f i r s 吐y ，a 擎a u po fe x p 王i d ts c h e m ei sd e s i g n e d w h i c hc o n t a i n sp a r a m e t e r s i t s 量o c a l 丑。如s 懿c ew i 国轰i s 稻珏f 鞠dl m ew 麓氇l st | l r e o 。王| s 娥糯c a t 呈。珏。珏o i s 0 0 + 3 ) i e 止t h ep a r a m e t e r ss a 吐s f ys o m es p e c i a lr e l a 嘶n ，t l l 。s c h e m ew i l lb e 痨s 幽翻y 蝴b i e 盟d 最c 黼酶磷e d w 矗穗| l 牲8 o o f 辞o ，ba d 凼妊。矗，p e i s i o no f t h es c h e m ec a na t t a c hd 和。+ 4 ) o rf u l la c c u r a c yd p 2 + 6 ) j no t h e rt w oc a s e s s e c o n d l y t h r e cg r o u p so fi m p l i c i ts c h e m e sa r 。g i v e n 蹦lo ft h e mc o n t a i n p a r a 瑶瓣璐拄矬d 两醴珏l e l ys 油l 。强e y 懿p a 正a l 喝o d ei m 窭记i d i 簸瑚e 。s 馥e 搬e s ， v o i d - n o d ei m p l i c i td i f f e r o n c es c h e m e sa n df u i l n o d ei m p l i c i td i f f e r e n c es c h c m e s t h e i r 衄a t i o ne o r s 驸ea tl e a s t2 ，l h e i il o c a ln o d es e ti sf o u rn e tp o i n t sa n dt i m e l e v e lw d 氆i s w o 。a l a s ，氇e 湖d i l i o 蕊w 羲e 珏e 蠡c 囊s 穗e 瑚ea l 勰| 圭c s s 蠡l la c c 驻糯c y a p 西v e n e s p e c i a i ly l e ts o m ec o e f f j c i e n t so fn o d e sb eo ，w ec a nd e d u c ef o u rc l a s s e s o f s e m i e x p l i c i td i r e l l c es c h e m e s ( b m p 鑫r c ( 1w 涟。睡。rp u b l 主s 垂l e de x 露i c 主to fl 礤p l 渡s 醢e m 。s ，s 馥艇l e si n h i s p a p e rh a v e0 b v i o u ss u p e r i o r i t yi na c c u r a c y s t a b 王l i t y p r a i m 嘶i l i t ya n dc o m p l e x i t yo f t i m 髑p a c e 。 殛隆嚣e 赫d ，l 证m d u c ep a 臻l l e la l g o 娃氇翔一s e g m e 燃至堇n 辞i e 诖i l e 糟l 弹e 采g o f i 攮m f o h ci i n p l i c ns c h c m e si np a r tt 王l r e e w h e nt h es e r i a ld i f f e r e n c es c h e m e sa r es t r i c t 趱毫g 弛a l l yd o m 如a n t ，l h ec o r r e s p o n d i n gi e f 蛊t i v es c h e m e sa r ea b s o l u t e l ys 组b 王e ，w b c a ns e ol l sp r e d o m i n a n te f 耗c ti ns t a b 王鞋t ya n da c c b f a ( 浮b ，rm a 氇e m a t i ce x a m p l e s k e yw o r d s ：d i s p e r s j v ee q u a t i o n ；c o m b i n e dd i 矗b r e n c es o l u l i o n ；e x p l i c i ts c h e m e ； s e m i e x p i i c i l( 1 i 珏宅r e n c es c h e m e s ；i m p l i c i ts c h e m e ；s c g m e mi m p i c 谴 i l e f a t i v ea l g o “t h m ；a c c u f a c y ；s l a b i l i t y 2 前言 色数方撼瓣，一拉牡。( 肆o 或群to ) 翔边礅问题魁从非线性波特别是黻立波 这样静物理瑰蒙审接蒙出泉酶一粪数学模型。魏拜雩，它是粒子运动关予辩翘移黧 灏导数静线挂部分，是影嗡其稳定性秘准确疫鳆主襄帮势。擒爨鳃鬃半麓，程 磷究孩物理璇露秘粒予运确拜雩对该方纛讨论褥缀多。 本文应粥省限羞分法谶抒了研究，猩莱获墅差懿空离巾构逸了薄类整分榛 建： 一耱为盈鼹式，遂释格式骞天然蕊势费谴，工终爨夺，掰罄一踅戳慕楚又稍 研究的热点。1 9 9 1 年林鸸程在文f 1 谚中介缁静显格式为三层，宅闯搬度为6 ，精鞴 庹怒o + 1 1 2 ) ，稳寇性条件为o r 1 2 s 。2 0 0 1 年豫海光在文 1 哿审夼绍的三鼹 臻疆式空闯宽发瓷5 ，精确瘦是。转+ 矗2 ) ，缝对稳定。类酝的格式述穰多。为撬 蒜穗臻发楚羚，一般采熏麓宽空阕繁煮舞菠静办 圭，铡麴文心嘲。嚣这又璞翔 了给鸯幽边棼点侄( 数璧逸器) 熬毽鼹，缺乏实骣疲熙意义。本文构造了组嚣 为对称，含多参数，空闰宽畿为4 静三滋显示差分格式，蓑精确瀵梵0 扫_ 矗3 ) ， 键以上各文都肖所撼高，计算时仅需附力u 一个内边界值。戴中当参数p 。mo 时， 该缝耩式对程懑茨r 芒o ，+ * ) 稳窀，惩虽诤算时无方内往捻束，优于文f 翻。努 井，奁特殊遥择参数静前掇下，该蕴格式精确凄阶可激进步掇商瓣。转2 + 矗4 ) 麓至o 2 + 盎6 ) 。最籍谂谣了该缀穆式酌德_ 萃鞋稽确凄凳d p 2 + 矗6 ) 。这缀格式菸 子进行罄 孑帮茫嚣量 算，蠢缀强豹实耀栏，弱辩也说臻了参数奁格式貔糟确度黟 稳定性中豹繁爱俸尉。 另秘为隐格式，这种格式容易达到绝对稳定，毽每浆进一步嚣嬲一个上 i c i ，且p 一赢i 一2 一i c l 2 ，则p 一1 ，d 一1 不能同时成立。 证明： 由韦达定理，知z ，x z ：一詈，对该等式两边同时取模得，k 。x z ：i 目， 口 。 i 口i 即例= 卧又因为小| c i ，恻；弘。 若p 一1 ，d 一1 同时成立，则 彬l - 1 与( 1 6 ) 式矛盾。 所以p = l ，d 一1 不能同时成立。 关于矩阵范数估计有如下结果： ( 1 6 ) 口 窟理1 1 2 ( 胡家赣引理) 设m 一如口) 为，l x n 阵，一0 “) 为，l 阵，盯 严格对角占优，则 舻u s 叫驯制一驯， 口 l o 第二章色散方程的显示差分格式 第一节局部带点集及基本差商 _ l 、局部节点集的选取 对乘积烈窆闽【o 明x 进行等距嘲捂捌分，为减少附加边器值的弓l 入，按 露4 局部节点煞空闯宽度为4 。给出局部节点集鼹醒承翔下： j 一2 一1 ；+ 专 匿( 1 ) ，l + 1 屡 珏屡 n 一1 屡 2 、局部节点集上基本簇商的构造 利用强y 珈展开式移关系式詈a 堪窘得到下列羞商及其澎遥震开式： 缱鎏羹； 弘一强写+ 劬璐一墨璐 一卦矧缸3 i2 ”掀4 l v ，皿】：= a ，饕瑟 纠；一融矿 墨一嘲； v ，m ：一，= + 去 4 等卜志 5 窘l ：+ 。2 ， 带科嘶6 ，融i ， 2 缸。i ， 。 一静科雌6 ， 魂 ；2敬9 1 、。 ：一。一m ： * 瓤埘窘f + 三曲2 窘卜嗉+ 3 剥： 十嗉+ 尹爿小；渺爿嘶2 ， 垒舻 矿 1 一抱 一 塑舻 护 ” l 一4 + v 娜。华一瓤m 剖i + 扣2 剖：+ 嗉一3 剖： 十嗉+ 秒卦卦咿硝， v m k ；华= 氯一知 l + 拼窘l _ 哆+ 砂3 刮： + 砌4 甜c 古咖 5 卦。州， 定理2 1 1 差商组 缱阻e ，v 。陋e 。v ，阻】：，a 。m e ，v ，阻】；+ v ，【距 ；一：) 是局部节点 集上的基本差商组。 证明： 丛m e v ，皿】：。 v 。融e v ，陋 v ，皿】：一： ，阻 阻】知 融e 印】：一t 阻e ： 阻 h 】： 阻】： m f l 易证，矩阵c 满秩。所以差商组 阻e ，v 。阻玫- ，v 。m e ，a r 阻e ，v t 【h 】：一v t m 曩z 线性无关。 设局部节点集上的某一差商表达式如下： 阻e3 砉吖呵1 + 6 ：噼- + 6 ：呲+ 6 ：噼+ 6 ：啡z + 蜉咄扣咄。1 “；1 咄：一咄匀= 窘l + o 。“) 4 砉吖( 噼1 一吣) + 雌+ 6 瓢峨+ p ：+ 6 ：1 + 6 撒“r + ( 凸：t 6 i 1 ) 阻r 一+ ( 6 ：+ 6 了1 ) 阻e 一：+ b ：一( m ；：一阻 ：+ ，) - f ，1 ( 【“ ：一n ：) + b 1 ( 阻】：一lr ，j ：。、- b ：1 ( 【“】：一l f f e 一：) 】 o o o 0 o 1 一f o o o o 1 一f o o o o 1 一f o o o o 1 一f o o o o l r o o o 0 o 一旷o o o 1 一r o 3 一矿o o 1 一r o o 。一旷o。一i o o ，一f 1一矿1一f o o o o 一嘉梦：1 媳，秘嚣：+ 务：一) 鎏l 麓+ 三+ 玉? + 6 ：“) l ； + p ：+ 扫；) m 】；一，+ p ：十扫，) 【“】：。一b ：- 1 刃，m 】：。一扫：1 啊，阻】： 一6 三删，靴j ；，l 一扫：州f 眇j j 一2 j ( 年) 由呐展开式禅关系式罢；撑窘，该节点集上每一点的函数值在o ，) 。 丞缸 、“。 的展开式如下： 孵1 喇：+ 警甜嘶6 ) ； m r 制；等斟嘶2 + 6 ) ； 雕“喇；+ 剖：+ 譬斟+ 蓦翁+ 肾裁+ 譬斟一蓦卦审，； 加羚譬斟斟扣啡4 ，； 蜘睁矗新刮谶t 咖。幽柏： 嘲暑捌p 黔动2 替矗3 科卜扣脚4 ) m 州柚新劢2 井争爿嘶 令 s 塑：“函蓦“+ 矗：酗蓦。+ 办二和】；+ 6 ：沁】知+ 矗：琢誓一： + 6 三一1 阻r ：+ 6 三1 【“ ；。+ 6 ：1 【h r ：+ 6 ：陋耳： 嚣l h 嚣“+ 1 + 扫”玉4 + 彝：+ 蚤：+ 刍8 。1 + 刍”一1 + 刍船+ 蠡”一) + h 斟盱譬曲：蜮1 _ 6 ，一叼) 坩斟啦+ 扣即弦+ 扣域 坩斟枣枣+ c 一，一弘+ 嗉卅 一喀+ r ) 拍；1 一姜6 ，) + d p 2 + 厅4 ) 空间差商吒陋】；能逼近空间微商窘的充要条件是 6 ”+ 1 + 6 “+ 6 ”+ 6 一+ 矗“+ 6 ”- 1 + 6 4 _ 1 + 6 4 - 1 + 6 4 一昌0 6 ”一b 4 2 6 “+ 6 ”- l 一6 “一2 扫“- 1 jo 1 6 一+ 三6 n + 2 6 一+ 三6 一1 + 1 6 一一l + 曲n ；o 2 。2 4“ 2 ”2 嚣 ” 三6 ：“+ 刍6 ：一刍6 ：+ ( 吖一：+ 嗉一r 弘 1 一云6 ：1 一咭+ r ) 曲1 一量厶= _ 1 ) 一。 令 6 ( 1 ) 珥6 一+ 6 ”一1 6 ( 2 ) 置6 ”+ 6 4 1 + 6 “+ 1 厶斗j 6 一+ 6 “一1 6 ( 4 ) = 6 “+ 扫“一1 从上述方程组可以知道6 ( 1 ) ，6 ( 2 ) ，6 ( ”，6 4 满足如下关系式： 6 t 1 ，6 ( 4 ) ，6 ( 2 ) 一3 b f 4 ) ，6 ( 3 ) ；3 6 ( 4 ) ， 所以，口。 “】：= 砉【6 ：+ 1 诅，阻】：一6 ( ( p 】；+ 。一3 阻 ；+ 3 阻】；一一阻r 一：) 一6 1 押，阻】：+ - 一6 ：钾。哪一6 ：钾。陋璐一6 i 钾。阻e z 】 1 4 v ，呲r 三6 ，v 川： e n 阻 叭钾 刃 k “n 一 6 4 一r c 啊皿 岔 “。 矿 国 r 一 皿啡帆 咄扩。 柑。 一 陟 一矿 = m z 厶 。p r一力 e v 阻 。 n o 。 6 一 口 r 阻 肛 r 呱 。 肿 6 b r 一“ ，一口 一 = 嚣瑾，莠辩霆差褰独嚣遥远嚣翅徽褰爿i ，翻炎钕爵涯它霹以经上述差藏 维线性表出。因而，所证的结论成立。 口 第二节多参数三层网点显格式 差、缝合差裔法梅造带多参数的差分耩式 令s 。一掣口h 。瞳】：。v ，阻】；，a 。m e ，v ，阻】；。v ，m 】：。：) ，s ，一即d 总 ：舡】：) ， s - 受x 置，我粕在乘积型嫠巍空瓣s 审寒构造差分糖式。 设叩l ，叩2 ，叶3 ，町4 ，叩5 ，p 1 r ，令 五 缸嚣。蹿l v ；妞筹n + 蹿z v ，瓤冀i 翠，；融嚣+ 智。v ，弘】；。+ 雄s v ，【“】；一：+ 冀p ，篷誓一。 程上式中代入差商的渐近展开式并化筒得： 箫眺坞嘞塌蛔，剖i 十逍峥扣 引十斟畸a + 扣扣z 蝴 + 斜蛾一壶”嗉一争。一主”三仉一唔勘。一喀+ 跏， + 剽：矗4 嚎致+ 噎一，+ 去+ 。+ 嘻鞫 + 斟 5 ( 一志”睦一和“寺扣小 h ) 在式( 2 ，2 2 ) 中，令 ( 2 2 1 ) ( 2 2 ，2 ) 解得 露1 + 雄2 + 蹿3 + 蹿4 + 雄5 十p l 盘o 一委p l + 叩l 一叩。一2 叮5 燃。 一五p l + 叩l 一叩4 一铆5 “u 丢”委”委”劫s ；。 ；p l + i 壤+ j 尊 + 魏s 。u 嘞弛一却s 一拿喝地一争3 ，7 s 稠豫方程缱( 2 2 3 ) 纯簿格式( 2 2 1 ) 得差分格式： 一螂；“= ( r p ，魄扭盖，+ ( 卸t 一譬+ 孤一幼，埘+ ( 却t 一等一鲫s 弦知 ( 2 2 3 ) + ( 一谬t + 叮s m 如+ 叩s h 篇一- 譬+ 鲫s 一仇) f i ? 一1 + e + 鲫5 皿蒿一叩s “譬( 石) 黢然，强式( 茗 精确度为拶转+ | | 3 ) 。 2 、稳定性分析 令4 一# ”，矧 ( 硝，l c o s 8 一v 【o ，2 】，代入差分格式( x ) 得特诬 方程彳r + 嚣 + c o 。其中 爿一吼； 丑一2 鲰一攀。) v 2 + 丢p 。v p ：一2 呼，+ i 酷n 畦p ，+ 2 幻，一r p 。) v 】： c 一v 2 一丢p ，v 蝴唱“嘲挣卜丢p ，一铆办 记 g 一目l 。一| e 2 一聊，2 矿+ 却撙，p 2 + ( & 2 + 卸溅) 哇p 一鼙； j 强一百c 一聊，2 v 3 一勋5 r p ，一兰p 1 2 v 一仇p ，v + p ，2 + 铆，p ，+ 1 s i n 扫卜2 糟，v ( p 。+ 2 叩，) 】 p 动1 2 一渊2 一阿) 2 辅4 ，p 1 3 v 3 1 6 叩5 2 v 2 ( ，扎+ ( ，p 1 2 叶s ) v ) + ( v 一2 ) 【2 叩5 一r ( p l + 2 叩3 ) 】p l ( p 1 + 2 叶3 ) ) 令敞0 一咎； l 劬，2 v 2 ，( 妒；一2 巧，) r ) 萄【2 弼一r ( 魏2 弼) 瓿；纫，) ； 由f o u r i e r 分柝及肼i ，e ，定理知，格式( 肖) 稳定的充要条件是对任意的 v 苣f o ，2 】，g ( p ) o ，j i l ( v ) o l 司时成立。 t 6 定理2 。2 。l ( 1 ) 当热一o 辩，掇式( 鬟) 稳定的兖黉条 譬是参数满足不等式缎 等t o 或o t 等 ( 2 2 4 ) 魏辩对 王意鹣r 一c 。，+ o 。) 稳定。 ( 2 ) 当p 。津0 ，p 。+ 2 叩，；o 时，格式( 并) 稳定的充鼹条件是参数满足不等式组 妒蒜专或 警一譬墨仇当o 28 p ，o 零c ，s 三 嘞s s 警一譬 ( 3 当莰* 姨魏匆，一o 辩，格式( 墨 稳定弱兖要祭俘是参数潞跫苓等式缀 缓 。如 0 静嘞5 2 + 警3 魄0 静雄捧s 4 昝5 2 0 。 又因为g ( 0 ) = ：o ，所以时任意的v 【0 ，2 】，一2 叮s 2 v + 叼3 吼毒o ，当且仅当y o 瓣等号残立。 因为， 扣) 一。即印一琵l 一陋1 2 一| c | 2 。由定瑗1 1 1 及其捺论知，此时不 埘能有投为l 的重根。所以格式稳定。引理1 的充分性证毕。 综l 二所述，话式( x ) 稳定的充要条件为g ( 萄，o 。 解o ( 2 卜o ，得不等式( 2 2 4 ) 。因而( 1 ) 结论成立。 ( 2 ) 磺理2 ：当尹；，o ，热+ 勿：= o 懿；格式盖) 稳定翡充要条爨蹩 f g ( o ) 0 ；g ( 2 ) 2 0 ； l ( 0 d s o ； ( 2 ) o ； 涯弱；努要毪：显然。 充分愀：此时， g p ) 一p 1 2 一| c 1 2 ；4 v 2 ( 一铆；2 v + 铆，仇) ， 盎( 岭= 1 6 蹿s 。璇驴2 幻3 + 功l 2 璐) v ) ， 令季( 岭。一铆+ 4 吼魄；i 铆一峭，协，+ ( 巾。一铆；) v 】。且季( 心，菇) 是函数v 的一次函数。 荆蝴m 。一荆娟一篇冀麓主要 ， 此引理2 的充分性诞毕。 解方程缀( * ) 霉( 2 2 。5 ) 。霞瑟( 2 ) 结论成立t 注：若特取叮，- o ，p 。一1 ，则是文【1 0 l 的结论。 ( 3 ) 当岛辩姨p l 2 翠3 茸o 孵： 。当憎，o 时； i ) w l 劬，2 y 2 国3 + 妇i 一纫5 劲+ 一萄【匆，一，劫3 ) 】p ( p i 匆3 ) 弓l 理3 = 当憎。) - o 时，对任意豹v i 兰【o ，2 】，g p ) 怠o ，a s o 恒成立的充要条件烧 乒( 2 ) 墨o ，i ( o ) 一。 l 苫蛩鼓害 z o 证明：引理的必要性显然得证。 充分性：因为苫( o ) 一热2 2 蹿3 p l 0 婶p 1 2 + 2 刁3 as o ， 又因为 g ( 2 ) 。1 6 叩，慨一4 ) 2 0 一魄甑一锄 ) 溉0 9 叩，弧4 魄22 使 所以对任意的v 【o 2 】，( p ，2 + 却，鼽) 哇v 一1 ) z o ；叼，婶，z4 珂s 2 2 婶，2 v g 一吲2 一盯一4 秽2 魄一2 秽) + ( p 。2 + 2 御1 ) ( 三v 1 ) o e 所以，任意的v 眇! j ，g ( v ) zo 的充要条件为g ( 2 ) 邕o ，且g ( o ) o - 得 解方程组 f g ( 0 ) o 1 占( 2 ) 苫o p 。t o 舶，要 z ( 2 2 9 ) 等，o 若石( 2 ) 一2 ( 印，一纫，) + ，7 ，s o 一伊- s 幼s 一警，又因为伊t ) o ，所以有 2 叩，一警z o 。因而此时只有( 2 2 8 ) 成立。此时叩。c 一譬t o ，所以，对任意的 v 【o 2 】，有叩3 + ( 甲1 2 ，b p s 0 ； ( 2 2 1 0 ) 又因为i ( 0 ) 一印。o ，+ 2 叩，) 【2 叩，一，+ 2 叩，) 】s 0 所以对任意的v o ，2 】，( v 一2 ) 【2 ，7 5 一r o l + 2 叩3 ) 】p 。( p 。+ 铆，) s o 。 ( 2 2 1 1 ) 在，p 。，o 前提下，综合( 2 2 1 0 ) 和( 2 2 1 1 ) 式知：此时对任意的p 【o ，2 】， ( 5 0 恒成立。 综述：当甲，o 时，若j ( 2 ) 5o ， ( o ) o 成立，则对任意的v 【o ，2 】， 1 g ( 2 ) 2o ，g ( o ) 苫o 。 g ( 力zo ， p ) s0 恒成立。引理充分性证毕。 解不等式组j ( 2 ) so ； ( o ) o ，得不等式组( 2 2 6 ) 。 k ( 2 ) 苫0 ；g ( o ) o 2 0 当p 。 v f n 仉一4 一去尹，+ 畦一与溉一三+ 三堍一畦手丢两；一+ 与溉。丛掣一氇。o 一五尹t + 一j 翔t j + i 堍一咭手j 如t 一+ i 秘s 篁_ f 一氇i ” 把t 7 s3 乏( p 1 + 卸，) 代入2 2 1 0 和2 _ 2 1 1 ，解褥 j 。c ，蔓三 或 。 r s 丢 。2 2 。2 ， ，凡：一毒。 或 叩，苫一毒，。 ( 2 2 1 2 ) 定理2 2 2 当翠s 一三t + 纫，) 霹，格式( 石) 的精确度为d p 2 + _ 1 4 ) 。参数r 协，p t 满足不等式组( 2 2 1 2 ) 时，稳定性条件为o cr 芏丢。 ( 2 ) 若褥取参数魄一主( 鼽+ 匈，) ，髓一1 2 静镌。p t 阿， 式( 2 2 2 ) 中崇矿前的系数为o 。 4 前的系数为：杀”c 去一，+ 睦+ 主抑。+ c 詈 彘+ 警氓 窘 5 蓑静系数舞： 。去 c 三一志弦：+ 睦一三。小啬一三脚，小素朝”一盎一等一。 定理2 2 3 当叩s 主( p 1 + 2 叩，) ，且一1 2 0 r 叩，2 鼽时，格式( x ) 的精确发达到 饱和精确度。( f 2 + 矗6 ) ，稳定性条件为o c r s 去。 证明：令一1 2 0 r 叩，一崩，叩；= 三。+ 铆，) ；此时窘_ 1 1 3 ，a 4 ，軎 5 前的系 数均舞o ，掰鞋辏式( 并) 麓精确度达到d 囊2 + 是6 ) 。把参数表达式代入( 盖2 1 0 ) 或( 2 2 1 1 ) 解得o cr 蠛去a 稳定性条件为o c ，撼去。 此节点粲上的基本麓商的个数为6 ，即w = 6 ，弓l 用第一章的记号，若取七；6 褥矩蓐， 。的裘达式： 名6 l l 2 1 4 l 1 2 1 4 0 l 王6 0 l oo 0 ， 2 o o o ， 2 0 o 王 一l l 王 1 1 。 厶 2 l，4r 6232 1r2 4 123 lr4 一4 曩4 圭5 易证r 口。) 一5 ；6 1 ，同理可以写出如第一章所定义的矩阵4 ，炎似可证r ( 4 ) 一 6 = 差亵数。由定理l 。9 霹躲，耪确发除d 囊2 + 矗6 ) 为该是部节点集上差分辏式靛 饱和精确魔。口 第三节对称格式及分析 l 、对称鼹郝节点集 现给掇和局部节点袋图( 1 ) 籀对称的局帮节点集如下： ；一l；l | t ；+ 2 图( 2 ) 玎+ l 层 雄璎 ，l 一1 层 2 、节点集上基本差商及差分格式的构造 该弱帮节志集上戆麓裔及滋运装开式： 啪= 噬警鳖盟 3 剖：+ 言n 剖：+ 到：+ 壶n 3 剖：+ 未n 4 卜志a 5 軎卜。p 6 ， 、， r 一2 r 一2 r 一4 一 一 26斗il一燕2 啦托* v 操一堕竽一氡+ 喇搿美+ 焉一3 弑 辱羚。旷烈嘶2 硝， v ，咎焉。v 。静嚣，鑫，和嚣，v 。秘鸶。翡表达獬蘩。 定理2 3 1 麓商组 醚阻】：，v ；印取，v ，阻冀，a 。扣】；，v 。阻囊，v ，幽w t 是该局部节 五 陋】：- 叩。v 。m 】：一。+ 叩：v ，阻】；+ 叩，a ，阻 + 叩。v ，阻】；十i + 叩，v ，m l j + 2 十q “茗：m 】：m o 一吼“；”一。+ 魄m 备。+ ( 一3 ，p t 一警一孤鼻t 一卜t + 鲫s “警一) “； + 和张一魄沁函一辑鼯篇+ e 丰甄瓷慧辟一堍+ 瑰；“+ 站掺竺 定理2 3 囊 ( i ) 萋热m 粼睡，雍式 x ) 浆鬻辚澄灸雄驴) 瘫参数瀵怒不 等式o c 档s 鲁或警蜘o 时，对镁攀孵r ( 一，十) 稳定。 ( 2 ) 当鼽* o ，p l + 2 吼m o 时，格式( x ) 酶精确度为o 江牛a 3 ) ，格式稳定鹩 充要条襻魁参数蠢莲下述不等式 一去蒜r 。 糖瓣黪燃趼鄹馘譬i 戏甓霉。i 跳钒g 詈+ 弩i 畦啦勰管+ 等 ( 3 当p ，$ 0 ，魏2 辞，* 0 黠，掇炎( x ) 静精确凄惫o + 矗3 ：蛰式稳定游 一三s rc 铙藏t 躐t 妒警 m 卧轨，飙) 铂n 0 詈( 砌s - 2 ，砌) 绶 一挽舻墩静警 m 卧2 脚；m a x o 扣魄一2 ，枷 定理2 3 。巍璐一一! i 麓：乎监辩，糖i 鬣盖) 瓣精磷壤爻雄2 + 舞4 ) ，稳定链必 颓满是不等式缓 一羔r e 4 炉一争。 定理2 3 - 4 当弩：一掣且张一1 2 静强辩，耩式( 盖) 静赣确度可戳这戳 饱和精确发o 2 + 矗6 ) 。此时稳定性祭体沟一去s ，o 。 第四带数德例子 设魏数方程翡积边髓阏题为： 熊准确值为甜似f ) 一c o s 0 一肆f ) 。下梦1 j 袭巾给出一些数德结采，袭巾值为精确值与 谶酸篷之茇辩；一s 积j 或) ，冀孛纛一蠡t 数壤表璃饕蔼静理谂分据是爰确她。 袭l 嵇式( 并) r m l 。，痒一“p ；m o ，霜，一l ，魄一嘉，满足条件( 2 2 4 ) 、节点 2 5 。 l l 撰数、 5 8j 0 0i 5 02 l3 f 瓣 l 。卵9 7 6 e ，( 5 9 2 嬲7 e m s 1 6 5 3 1 e 。8 s4 3 5 4 3 7 e + 0 66 5 4 1 7 8 e 0 6l |6 3 8 i 4 9 0 e + 0 53 4 3 9 5 4 e 0 5 i 1 7 8 4 9 e - 0 5 _ 7 2 0 1 0 7 e 62 9 4 3 1 2 c 6l i9 0 06 ，9 7 3 8 2 c 。o ss 5 4 4 7 5 e + ( 1 s1 1 8 3 4 9 e m 52 4 7 6 1 7 e 一0 5。2 2 7 4 7 5 e 。0 5l 或 h 鱼2 ，叫4 一 叶 表2 格式( x ) r = l o ，8 * 1 ，p 。一o ，一l ，野，一素，满足条 串( 2 2 - 4 ) 、节点 层数、 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 02 5 e 3 0 01 1 2 6 7 9 锄s 4 3 7 5 4 0 e 由6一1 1 5 6 8 4 e m 5- 1 0 3 1 7 0 e 5 - l 。鹋0 9 8 e m 5 6 0 03 8 6 3 4 3 e 曲57 1 8 0 0 8 e 6 一1 1 6 3 9 7 e m 51 6 5 6 飘彤一3 8 1 6 1 3 e 田5 9 0 0 7 6 3 2 0 1 e - 0 52 4 7 烈) 7 e 0 51 1 6 8 9 8 e m s - 2 ，8 6 ，7 _ 6 5 e - 0 5嗡9 7 5 0 如m 5 表3格式( z )r 端昙，d _ l ，p l 篁3 r ，鞲一p ，魄一丛掣， 4 ” 2 满足条件( 2 。2 1 2 ) 节点 层数 5 01 加1 5 02 c l o2 5 0 3 0 0一3 4 2 1 0 3 争0 7 - 8 ，0 4 i 3 l e 0 7- 2 ，4 1 8 8 l e 田7o 9 7 6 3 4 e m 7 3 ，8 9 7 0 2 e _ 0 7 6 a 1 0 6 + 6 0 2 1 0 e - 0 7 & 2 2 6 6 7 e 棚74 + 8 9 5 仃珀田7 - 2 7 8 2 8 6 e 加72 9 0 7 3 9 e 7 9 一1 1 9 l l o e 彤6一1 】3 5 5 2 e 沩- 9 ，6 2 2 2 3 e 国8 7 5 7 7 1 9 e 国81 3 1 7 8 靶国6 表赣式( x ) r m 去，辟一t ，p ，= ，静，魄一盏，群，一掣 潢慰定理2 2 3 秽篇 缮数 5 0 1 0 01 5 02 0 0 2 5 0 3 0 0 - 2 。7 0 9 7 0 e 。0 62 ，7 1 3 9 0 e 0 81 + 5 6 6 9 曲棚7- 2 4 8 1 2 4 e _ 0 7 6 0 0 5 8 6 e _ 0 7 0_ 5 。5 2 l e 6 2 。鹳7 3 8 e 7l ，6 1 7 7 靶埔曙一l ，8 4 1 9 ( k 国74 9 1 3 4 8 e 7 。9 0 0 培3 9 1 8 8 卜0 64 5 3 1 4 5 e 棚7一1 5 8 5 3 7 e 棚7a 0 8 6 6 3 e m 8，5 6 0 9 5 3 e 戈1 7 辏式( 羔) 诗算迄窍类 娃熬结聚。 注：以后繇章节均采用此算例来验证数值解和真实解的误差。袋中值的含义与此 诗冀稻同。 第三章色散方程懿隐式差分格式 第一节巍层偏心豫格式 l 、滴部节煮繁的选取 为了使稳瀵瓣差分撂式掰瓣应懿方糕戆系数是易于诗葵斡三对囊澎式，考囊 空阀宽发为4 ，时间宽度为2 的如下右偏心矩形节点区域a 莱积跫空阅f o ，f 】 卵 的网播剖分如翦麟述。 ；ll 卜 咪咪 l l|l 誊+ 鼍粒籽” _ l 屡 ，| 一l 屡 一j z ；一l；x 蹦( 3 ) 2 、梧盛鳇豢积壁差商垒阏及辇零蓑荫的梅造 在该局部节点集上选瀚空间菱商：砸】歹，时闯麓商：v 。m 臻；，v ，& 冀， v ；球冀中 剃用聊幻r 展开式和关系式詈一撑窘得到醚皿垮1 欺濒避展开戏如下： 蛳一坠型掣m 裁一矧斟 一斟+ 嗦n 棵苫黯卜静矧2 ， 獒余灌裔酌渐近震开式翔前所述。 定理3 - 1 1 差商组 越m f l ，v ，沁珐；，v ，m 】；，v 。m e ，是该局部节点集上的基本 差森。 诚i ! j ：和定理2 1 1 娄似，鼹体过程省峨。瞪 令s ，一删n v ：【 | 】：。v ，玲嚣，v ；燃：。， ，s ；= 舻 玲鹭。 ，s ；s ；x s 。，嬲 s 为相应节点的乘积型蓑黼空间。 3 、差分格式的构造 褥： 对上述乘积型差商空间的基本差商进行组合，设q 。，叼：，仇，p 其 毛秘嚣一雄，v ，】；。十蹿2 审。缸蓦+ 蟹3 v 。弘】；。+ f 擎鑫：秘】；一o 3 。1 1 ) 在上式中代入差商的渐近展开式并利用关系式詈一n 窘和n r 一施3 化简 功驴。；嘞唰：+ 印剥：+ 剖i 吾刀嘞m 饼 令 一壶p 十即，一叩，。 3 - 1 2 运嚣方程缀( 3 。1 2 ) 纯麓( 3 。1 1 ) 褥挺建熬右镛心差分箍式： 叼。“h + ( 一丢p 一2 t 7 。；斗铆，一扣土， 一( 一肇+ 编嚣+ ( 3 绎一主一壤沁尹+ 。3 翠+ 嚷一丢咖譬+ 秽嚣 ( 嬲) 篡中t h ；一“g ，) 。显然，格式( 噬) 的精确艘为d p + 2 ) 。 l 、稳定性分辑 弓i 理3 1 2 一次多项式p ( z ) 一船+ 矗，( 露o ，口，6 毯c ) 韵根为z ，i z l s l 的充螫条 件是| l 芑mn 其中| 1 表承模。 证明：令p ( z ) = n z + 6 一。，解得z * 鲁，所以h 兰1 一目兰1 一乏嘲。 口 令“一舻e ”，蛾t 石，l 一s 秽一y 【侥刁，代入差分格式( 噼) 褥楣斑 的特征方程爿 + 曰一o ，爿，露的表达式如下： 爿= 蹿2 + ( 叶l + 蹿3 ) ( 1 v ) + i4 s i n 口( 幌一蹿3 ) ； 嚣兰一2 吖w2 一蹿2 一国1 十，b ) ( 1 一v ) f 。s i n 拶( 2 ，p p 十 7 1 一刁3 ) p 2 一i = 一8 伊( 伊一，7 1 ) v 3 显然，h 一旧z o 一2 一l b l 2z o r p ( p 一，7 - ) s o 。所以有如下定理： 定理3 1 3 格式( 埘) 绝对稳定伊( 伊一仇) o 。 ( 3 - 1 3 ) 推论1 当p 一却，时，格式( 蟛) 为半显格式，稳定性条件为一言s rco 。 格式( 砑竽) 的形式如下： 知知巾一扣嚣+ 孤；4 + ( - 卦富+ 川曷 推论2 当。昙p 时，格式( 唧) 为半显格式，稳定性条件为o c rs 圭。 格式( 群) 的形式如下： 知，；= ( 争加p 一秘一知n 舟州嚣 5 、误差分析及引申 对格式( 晖) 而言，它的截断误差的主要部分是鲁玎础2 咕p + 圭+ 丢堍) ， 结合不等式组( 3 1 2 ) ，表达式丢p + 丢卵。+ 三t 7 3 一叩t ( 3 1 4 ) 所以要减小误差，则要使得饥取得小一些。 定理3 1 4 格式( 狞) 的饱和精确度为o ( r + 1 1 2 ) 。 证明：假设表达式( 3 1 4 ) 的仇；0 ，根据稳定性条件( 3 1 3 ) 式则必然要p 2 0 。 而事实上仇。0 和p ：o 不能同时成立，否则格式的系数全为o ，没有意义。所以 ，7 。0 ，即1 1 2 前的系数不可能为0 ，所以定理得证。 口 6 、对称格式的构造 现选取和局部节点集图( 3 ) 相对称的左偏心局部节点集如下： 九层 月一1 层 j 一1jj + 1j + 2 图( 4 ) 在图( 4 ) 所示的1 y 点集 ：选用以下差商：v ，扣】：+ ，v ，扣】：，v ，：。醚阻】? 2 7 瑟中， 孙f 1 = 呸立堕害噬一剖：+ 三一剖：+ 剖： 畦冉甜剖：+ 嗉n 痒暑黠卜意冉拉苫等到：嘶勺 同理可诚，差商组 v ，阻】，v 。陋】；，v ，阻】知，磁阻f 。1 是图( 4 ) 上的基本羞 巍缝。 令s - # 烨 v ，【“】；。v 。m 】：，v ，【h ：一，) 印册 醚阻】r ) ，则s 为相应节点的乘 积型差商空间。 瓣s 孛戆蘩本差1 亵逡行缀合，设孙蹿：，尹晨 ：一叩，v ，扣】：，+ 刀：v ，：+ 叩，v ，【“】；+ ，+ 印酲m ；一。 壤据裁嚣瓣楼类经斡方法，可褥如下络逾。 与( 醪竽) 稠对应的左偏心格式： 皙一，+ ( 一主p 一沁；+ 眩一圭p 囊盖， 。一肇h ；三( 3 伊一丢p 十哿。) “搿+ ( 一刍一昙p 一2 材，) “；一l + ( ，+ ) n ；j ( x 学) 定零3 1 5 格式( 1 砑) 的饱和精确度为。扣+ 2 ) 。 定理3 。1 6 格式( 砼芋) 缝对稳定一熠妇+ 露，) s o 。 ( 3 。1 5 ) 7 、数值例子 采爰第一露数僮算铡，黻下仅残爨揍式( 】霉豹诗葵续采： 液1 r 皇5 0 ，p = 卵l 一0 ，球# 1 ， 。罢二，满足条件( 3 1 3 ) 3 0 0 、节点 艨鼗 5 0i o o1 5 02 0 02 s o 3 0 0 1 6 2 8 5 7 e 培4o 8 2 7 8 6 c 引荡9 1 7 8 6 e 搿1 s 5 6 7 3 e 。43 1 3 7 5 9 7 e - 0 4 6 0 0 戒7 5 8 4 4 c 一0 4 。7 1 9 8 5 1 e _ 0 43 0 6 3 4 3 e 一0 43 4 6 6 2 0 e - 0 45 6 8 5 7 6 e 0 4 9 0 0 * 3 ，6 2 5 8 5 c 一0 4+ 1 0 0 4 5 8 c 0 3，5 ，8 1 6 7 5 c 一0 44 4 6 1 9 0 e 0 48 5 1 0 0 2 e 0 4 裘2 ，= 5 ，p 一0 ，8 = l ， 矗，三，嚣是条雩l 二( 3 3 ) 3 f 粥 i h 点 5 0】o o1 5 02 0 02 5 0 l 联敬、 3 。( ，2 6 5 2 5 8 c 0 46 n 3 0 4 7 e 0 5，2 7 4 8 m e f 0 41 6 9 4 4 l e f ) 47 6 0 2 3 2 c 0 4 格式( 蹰) 谢类似的结果n 值得注意的是，当p ；o 时，格式( 埘) 和( 孵) 的 空瓣节点宽艘仅为3 ，格式瓣角占优，嵬全可躅追越法计算，大大终低了对空熊 杂鳇，是瑟鸯狳格式孛藩空复蒸发最铽蕊。蘧黠无嚣瓣穗内逮赛蕊，解凌了煎熬 方程数值解长期存在的一个姻惑。 第二节两层缺点酶格式 董、基奉差鬻凝差癸器式豹耩选 考虑空问宽度为4 ，时间宽度为2 的缺点局部节点区域。图永如下： 嚣瑟 玎一1 艨 l 一2 l l31 年j l 蕊( s ) 。选用该局部节点集上的空间差商：缱阻】f ，时间差商：v r m 】，v t 阻】：， 取转珐：，宅粥稳渗连曩蠹式麴藏辑遴。 定理3 2 l 该髑部节点集上的綦本差商缀跫 芷【“e 一，v 。阻】：。v ，胁3 ；+ ，v ，【】：n 诞骥：窝定理z l 。l 类觳，其蒋过程省鼹。毯 在上述基率羞商组所构成乘积型蒹商空间中，设，柙：，堍，p r 乏鎏嚣。魄v ；辩嚣+ 零：v ，塾l 强+ 零，v ，磐】；4 + 印r 醚秘嚣。一o ( 3 2 1 ) 在上式中代入差商的渐近展开式并利用关系式婴。n 娑和d f ；施s 化简， ma x 3 褥嘲嘞阳：喝氍挈斟+ 割i 吾p 嘞冲扛搿瑚 秘l 雄2 + 霉3 尹擀0 令 一丢p + 玎：一铆，一。 3 2 2 慧：筹熹嚣再吩扣嚣。( 唧一吾p 一詈露，弦嚣+ ( 却+ 纭；一却“嚣+ 妇一去尹一言氇扣嚣 显然，格式( y q ；) 的精确度为0 0 + 2 ) 。 2 、稳定性努辑 由f 0 n r i e r 分析法可知藏分格式( 删) 的特，征方程为a a + 田一o ，_ ，丑的表 达式如下： 蠢茸2 蟹3 v 2 + 国2 丰朝3 ) g 一谚+ 露l 一3 蹿3 丰i s i 丑拶馥2 2 雄3 r l p 努； 船幂一2 ( ，p + 叼3 ) v 2 一材2 + 3 叩3 一( 叩2 + 4 叩3 ) ( 1