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球轴承静动态特性计算及实验研究 中文摘要 球轴承的刚度一直是国内外专业研究人员的关注的问题。其分析方法的精确 性、简洁性直接关系着轴承的设计、运行和检测的性能，尤其是近年来兴起的轴承 转子系统的动特性研究更是以轴承的特性分析为基础。 本文在系统的分析了球轴承的静态、动态计算方法的基础上，分别对静态和动 态计算方法进行了新的探索。由于传统的静态计算方法都是基于非线性方程组的迭 代计算，尤其是在径向受力时，往往需要查表进行参数选取( 如径向载荷积分常数) ， 无法实现参数选取的连续性，且计算方程数目较多，计算速度缓慢，给在线检测实 时对解算理论值和实测值的对比带来困难，所以本文着重研究了轴向受载变形和径 向受载变形的简化计算方法。其中，为了实现径向变形计算的连贯性，采取了数据 拟合方法，寻找了根据载荷系数确定载荷积分常数的函数式。由于原始的载荷系数 与载荷积分常数的关系在对数坐标下形成，所以数据对在直角坐标下是不均匀的， 基本的多项式拟合的精度难以达到拟合效果，所以本文探讨了利用有理函数进行数 据拟合的方法，并通过实例验证了拟合方法的精确性和快速性。 由于高速角接触球轴承的高刚度、高精度、高速度等特性，被广泛应用在工业 领域。所以本文的重点之一是对由于高速角接触球轴承的拟静力学动态特性进行了 系统的研究。首先指出了高速轴承接触角的变化是其他各参数变化的基础，从而为 实现高速特性的理论计算值与在线检测值的对比，提出了根据受载和转速接触角变 化的曲面拟合方法，从而达到了快速求解接触角值和其他相关变量的方法。 论文指出了高速角接触球轴承的动态方程组的复杂性以及应用n e w t o n r a p h s o n 方法求解方程组的收敛性问题，进而在对辅助方程寻求根本变量的分析基础上，总 结出了离心力、陀螺力矩等辅助方程最终归结为以接触角为自变量的函数的规律， 从而提出了基于接触角迭代的高速角接触球轴承动态特性求解方法，进行了利用接 触角迭代求解动态方程组的计算过程分析，并进一步分析了接触角的搜索域，使得 初始迭代数值的选取有据可依。算例表明该方法有足够高的精度，理论上可以避免 迭代的收敛性问题。 陀螺仪是高速角接触球轴承的典型应用工况，因此本文的最后内容对某航空陀螺电机的外 转子的动态特性做了测试和分析。以期通过本文所提出的分析方法对陀螺外转子的动态特性的轴 承、轴承一转子系统进行分析。由于分析的复杂性，本文的实验内容及分析结果只能作为后期分 析的基础性工作。 关键字：球轴承；静动态刚度；计算方法：实验分析 a n a l y s i sa n dt e s t i n go f s t a t i ca n dd y n a m i c c h a r a c t e ro fb a l lb e a r i n g s a b s t r a c t s t i f f n e s so fb a l lb e a r i n gi sa t t e n t i o n e db ys p e c i a lr e s e a r c h e ra l la l o n g t h ea c c u r a c y a n db r e v i t yi sr e l a t e dt ot h ed e s i g n ，o p e r a t i o na n d t e s t i n go fb a l lb e a r i n g ，e s p e c i a l l yt ot h e a n a l y s i so f t h es y s t e mo fb e a r i n ga n dr o t o r t h i sp a p e ra ne x p l o r a t o r ys e a r c ha b o u ts t a t i ca n dd y n a m i cc a l c u l a t i o nn e wm e t h o d h a sb e e nm a d eb a s e do nt h es y s t e m i ca n a l y s i so fc o n v e n t i o n a lc a l c u l a t i o nm e t h o d b a s e d o nt h eg e n e r a lc o n t a c t - d e f o r m a t i o nf u n c t i o no fb a l lb e a r i n gu n d e ra x i a lf o r c ea n dr a d i a l f o r c e ，am e t h o di sg i v e nw h i c hc a ns i m p l yt h ec a l c u l a t i o no fg e n e r a ld e f o r m a t i o nb y s i m p l y i n gt h ec a l c u l a t i o no fa x i a ld e f o r m a t i o na n dr a d i a ld e f o r m a t i o n af u n c t i o n i n c l u d i n ga x i a lf o r c e 、 c o n t a c ta n g l ea n da x i a ld e f o r m a t i o ni se s t a b l i s h e d ，a n dt h e c a l c u l a t i o no fa x i a jd e f o r m a t i o ni ss i m p l i f i e db yi t e r a t i n gt h ef u n c t i o no fc o n t a c ta n g l ea n d t h ef u n c t i o no fa x i a ld e f o r m a t i o n t h r o u g hf i t t i n gt h ec o n s t a n to fr a d i a lf o r c ei n t e g r a l ，t h e c a l c u l a t i o no fr a d i a ld e f o r m a t i o ni s s i m p l i f i e db yi t e r a t i n gt h ef u n c t i o n o fr a d i a l d e f o r m a t i o na n dt h ef u n c t i o no fl o a dd i s t r i b u t a t i o nc o e f f i c i e n t f u r t h e r l y , t h ec o n t a c ta n g l e a ta r b i t r a r yl o c a t i o ni nr a c ew a ya n dg e n e r a ld e f o r m a t i o nc a nb ec a l c u l a t e df i n a l l y a n e x a m p l ei sg i v e nt oi n d i c a t et h a tt h er e s u l to fn e wm e t h o di sv e r ya n a s t o m o t i ct ot h a t o b t a i n e df r o mt r a d i t i o n a lm e t h o d b e c a u s et h ec o n v e n t i o n a lc a l c u l a t i o no fs t a t i cp a r a m e t e ri sb a s e do nt h e i t e r a t i n go fn o n l i n e a re q u a t i o n sg r o u p ，e s p e c i a l l yu n d e rt h er a d i a ll o a d ，t h ep a r a m e t e r sa r e s l e e t e df r o me x i s t i n gt a b l e ，s ot h ec o n t i n u i t yo ft h ep a r a m e t e rs e l e c t i o ni si m p o s s i b l e ，a n d t h es p e e do fc a l c u l a t i o ni ss l o wb e c a u s eo fc o m p l e x i t yo ft h ee q u a t i o n sg r o u p ，t h e c o m p a r i s i o no fc a l c u l a t i o na n dt e s t i n gr e s u l t si sd i f f i c u l t s o ，t h i sp a p e rp u tt h ef o c a lp o i n t o nt h es i m p l i f i c a t i o no fa x i a la n dr a d i a ld e f o r m a t i o n t h ef i t t i n gm e t h o di st a k e nf o rt h e c o n t i n u i t yo fp a r a m e t e rs e l e c t i o n ，a n daf u n c t i o na b o u tl o a dc o e f f i c i e n ta n dc o n s a n to f r a d i a lf o r c ei n t e g r a li sg i v e n b e c a u s et h ef u n c t i o no fl o a dc o e f f i c i e n ta n dc o n s a n to fr a d i a l f o r c e i n t e g r a l i sd e s c r i b e d i n l o g a r i t h m c o o r d i n a t e s ，s o t h ed a t a si s n o n h o m o g e n e o u s b e c a u s et h ef i t t i n gm e t h o do fg e n e r a lp o l y n o m i a li si n a c c u r a c y , s oa r a t i o n a lf u n c t i o nf i t t i n gi sp u tf o r w a r d ，f i n a l l y , t h ea c c u r a c ya n dt h er a p i d i t yo fr a t i o n a l f u n c t i o nf i t t i n gi sv e r i f i e dt h r o u g hae x a m p l e u s i n gt h eo b t a i n e df u n c t i o nt oc a l c u l a t et h e r a d i a ld e f o r m a t i o n ，t h ec a l c u l a t i o no fl o a ds c o p ea n g l ea n dr a d i a lf o r c ei n t e g r a lc o n s t a n ti s o m i t t e d ，a n dt h e nt h es i m u l t a n e o u se q u a t i o n si n c l u d i n gf o u re q u a t i o n sc o u p l i n ge a c ho t h e r b e c o m eae q u a t i o n sg r o u pi n c l u d i n gt w os i m p l ee q u a t i o n s n l ec a l c u l a t i o nv e l o c i t yi s e n h a n c e d o b v i o u s l y b a c a u s eo ft h eh i g hs p e e d ，a c c u r a t ea n dh i 曲s t i f f n e s s ，t h eh i 曲s p e e da n g u l a rc o n t a c t b a l lb e a r i n gi sa p p l i c a t e dw i d e l yi ni n d u s t r y s o ，o n eo ft h ef o c a lp o i n t si nt h i sp a p e ri st o i i a n a l y s i st h ed y n a m i cp r o p e r t yo fh i g hs p e e da n g u l a rc o n t a c tb a l lb e a r i n gs y s t e m a t i c a l l y f i r s t l y , ar e g u l a rt h a tt h ec o n t a c ta n g l ei st h eb a s eo fo t h e rv a r i a b l e si sp u tf o r w a r d a n d t h e n ，ac u r v e df a c ef i t t i n gi sg i v e nb yr a t i o n a lf u n c t i o nw h i c hc a r li n d i c a t et h ec h a n g eo f c o n t a c ta n g l ew i t ht h ec h a n g eo fr a t a t i o n a ls p e e da n da x i a lf o r c e a n das i m p l ef u n c t i o ni s o b t a i n e d ，t h ec o m p l e xc a l c u l a t i o no fs o l v i n gas e r i e so fn o n l i n ee q u a t i o n sg r o u pa n dt h e c o n v e r g e n c ep r o p e r t yo ft r a d i t i o n a lm e t h o da r ea l la v o i d t h r o u g ht h ef i t t i n gc a l c u l a t i o n ， t h er e s o l v i n gt i m ei sc u ts e r i o u s l y , a n di tb e c o m e sp o s s i b i l i t yt h a tt h eb e a r i n g sa r e m o n i t o r e dr e a l t i m e b a s e do nt h e s y s t e ma n a l y s i s o fd y n a m i c e q u a t i o n sg r o u p o fh i 曲- s p e e d a n g u l a r - c o n t a c tb a l lb e a r i n g ，a na n a l y s i st of i n dt h eu l t i m a t ev a r i a b l e so ft h ea d j u n c t e q u a t i o n si sg i v e n , a n dac h a r ta b o u tc o u p l e dv a r i a b l e si so b t a i n e dw h i c hs h o w st h a tt h e c o n t a c ta n g l ea r et h eu l t i m a t ev a r i a b l e s b a s e do na n a l y s i sa b o v e ，a na l g o r i t h o ma c c o r d i n g t ot h ef e a t u r eo ft h eb e a r i n gu n d e ra x i a ll o a di sp u tf o r w a r d ，w h i c ht a k e st h ec o n t a c ta n g l e a st h ei t e r a t ev a r i a b l e s a na n l y s i sa c c o r d i n gt ot h ep r e s e n tc a l c u l a t i o nr e s u l t si sg i v e n ， w h i c hs h o w st h a tt h ei n c r e m e n to fi n t e r n a lc o n t a c ta n g l ei sl a r g e rt h a nt h a to fe x t e r n a l c o n t a c ta n g l e ，t h i sa n a l y s i sw o u l db eh e l p f u lt od e f i n et h ec o n t a c ta n g l ef i e l da n dv o i d st h e p r o b l e mo fp o o rc o n v e r g e n c eo ft r a d i t i o n a lm e t h o d a ne x a m p l eu s i n gt h em e t h o do f c o n t a c ta n g l ei t e r a t ei sg i v e n ，w h i c hv e r i f i e st h ea n a l y i so fi n c r e m e n to fc o n t a c ta n g l ei s c o r r e c t s o ，t h es e a r c hf i e l do fc o n t a c ta n g l ei sc u t t oo n eh a l f , t h ec a l c u l a t i o ni ss i m p l i f i e d o b v i o u s l y g y r o s c o p e si st h ec l a s s i c a la p p l i c a t i o no fh i 曲- s p e e da n g u l a r - c o n t a c tb a l lb e a r i n g ，s o at e s t i n ga n da n a l y s i so fo u t e rt o t o ro ng y r o s c o p eo b o u tt h ed y n a m i cp r o p e r t yi sg i v e n t l l i st e s t i n gw o u l db eh e l p f u lf o rt h ea n a l y s i so ft h ed y n a m i cp r o p e r t yo fb e a r i n g a n db e a r i n g r o t o rs y s t e mu s i n gt h em e t h o df r o mt h i sp a p e r k e y w o r d s ：b a l lb e a r i n g ；s t a t i ca n dd y n a m i cs t i f f n e s s ；c a l c u l a t i o nm e t h o d ；e x p e r i m e n t a n da n a l y s i s i l l 符号表 内外圈滚道曲率中心之间的距离 接触椭圆长半轴 无量纲接触椭圆长半轴 接触椭圆长半轴 无量纲接触椭圆短半轴额定动载荷 ，+ 乒一1 额定动载荷 轴承节圆直径 球径 等效弹性模量 沟道曲率半径系数，f = d 轴向载荷 球的离心力 径向载荷 椭圆率，k = 口6 质量惯性矩 载荷变形系数 等效载荷一变形系数 疲劳寿命 基本额定寿命 m m m m 聊7 行 n m m m m n m m 2 n n n k g m m 2 n m m 3 2 n 拂搠3 ，2 1 0 6 转 1 0 6 转 么 口 。口 6 矿 b c 屯 d e 厂 c e c 七 了 k 邑 三 球的质量 力矩载荷 陀螺力矩 转速 接触载荷 滚道额定接触动载荷 内圈沟道曲率中心半径 球中心和外圈沟道曲率中心之间距离的轴向投影 球中心和外圈沟道曲率中心之间距离的径向投影 球数 第二类完全椭圆积分 第一类完全椭圆积分 曲率和 曲率差 接触角 初始接触角 d c o s a a d f d m 主曲率 泊松比 接触变形 内外圈轴向位移 姆 n m m n m m ，m i i l n n 珑嚣l ，珂，” 聊 l t a d t a d m m l ，竹小 m 鸭 刀 q q 墨 t z r 印 砌 仅 矿 y 广 p y 艿 疋 下标 i 1 p 内外圈法向位移 内外圈径向位移 内外圈角位移 接触应力 球中心与沟道曲率中心之间的距离 球的方位角 角速度 球的公转角速度 球的自转角速度 沟道控制系数 钢球姿态角 表示内圈 表示角位置 表示外圈 几 锄 锄 懈 删 撇 耐 耐 删 耐 挑 挑 挑 ， ， ， l、 瓯 一 p 仃 y 缈 缈 a p 承诺书7 炎话吊 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下 独立完成的，学位论文的知识产权属于太原科技大学。如 果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关的内 容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的文献资料外， 本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的成果。 学位论文作者( 签章) ： 2 0 0 年月日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题的背景、意义和来源 球轴承及其组成的轴承一转子系统被广范应用于工业领域，其力学和运动学特 性以及检测一直是研究的热点n 儿羽。尤其是角接触球轴承由于其高速、高精度、大 刚度等特点被广泛应用于高速机床、航空发动机，更是机械陀螺的关键部件。 球轴承的刚度计算是轴承设计、检测是核心内容，分为静态和动态刚度。静 态刚度的计算方法己经趋于成熟，文献黯瑚嘲给出了具体的计算方法，但是由于算 法形成在7 0 年代以前，所以计算过程无法实现计算机编程，尤其是径向变形的计 算需要得到载荷区角度范围后，再计算载荷分布系数，通过数值积分方法计算径向 载荷积分常数，再根据径向受载与变形方程式求解径向变形，计算过程比较复杂， 且无法根据载荷分布系数取得径向载荷积分常数的连续值口引。如此，根据轴承受 力计算变形值所需时间较长，不利于在线检测时进行检测值与理论值的比较。因此 研究快速、精确的刚度计算是静态刚度的前沿研究内容。 对于动态刚度的计算需要根据高速球轴承的动态特性进行分析。而角接触球轴 承高速运转是球轴承动态特性最典型的情况，所以球轴承的动态刚度计算与分析大 都集中在高速角接触球轴承的计算研究阳儿m 1 。 高速角接触球轴承滚动体离心力要增大滚动体与外滚道的接触力，改变接触 角，同时产生陀螺力矩，从而表现出动态特性。轴承动态特性分析一直是轴承设计 理论的重点m 2 m 副，是轴承刚度计算和试验的基础m 引删。求解角接触球轴承的动 态特性需要首先根据轴承的基本结构参数，求解由轴承的几何方程、变形方程、钢 球平衡方程、套圈平衡方程构成的方程组，包括6 z + 2 ( z 是滚动体数) 个方程，求 出6 z + 2 个基本变量，再求解由钢球与内外圈接触负荷方程、第q 个钢球与内外滚 道接触角方程组成的方程组，包括6 z 个非线性方程，计算过程复杂，且难以保证 初始值选取的合理性和方程迭代的收敛性口7 博1 。所以研究简单而又精确的高速角接 触球轴承动特性的新解法具有很高的现实意义。 洛阳轴承研究所一直是我国滚动轴承研发的龙头，目前正在承担着国家“十一 五”军品轴承项目的开发。为了进一步提高球轴承的设计理论和设计水平，委托太 球轴承静动态特性计算与实验研究 原科技大学针对球轴承的静、动态特性的计算进行研究，这就形成了本论文的课题 来源。 1 2 国内外研究现状 球轴承的刚度和静、动特性研究，一直是国内外学者关注的热点问题，由于球 轴承尤其是高速角接触球轴承钢球与轴承部件运动的复杂性，球轴承的分析计算难 度较大，涉及内容包括几何学、动力学、静力学、材料学、摩擦学、转子动力学等 多学科。对于球轴承的刚度研究主要集中在基于h e r t z 接触的钢球与沟道的变形计 算和高速运转时钢球的动特性。 1 2 1 国外研究现状 滚动轴承的基础理论经过了h e r t z 理论、套圈控制理论和弹性流体动力润滑 理论三个阶段，相应的力学模型也经过了静力学分析、拟动力学分析和动力学分析 三个阶段，但现阶段的理论和模型仍不完善。从上世纪7 0 年代起，计算仿真技术 进入了轴承分析领域，并且成为世界轴承行业的新动向，美国和日本在这方面走在 了前面。在有些知名的轴承公司内，已经开发出实用的分析轴承动态性能和疲劳寿 命的软件。 国外从上世纪5 0 年代末，已经基本奠定了球轴承静、动态刚度的计算方法， 七十年代兴起的修正拟静力学模型，如：d d o w s o n 和g r h i g g i n s o n 的短圆柱滚子 轴承的弹流润滑模型、h a r r i s 运用了弹流研究的结果发展了拟静力学分析方法， 并用计算机分析了滚子打滑、滚子歪斜等问题，此外还有 r j b o n e s s j v p o p l a w s k i l 等人的拟静力学模型等等。尽管考虑了许多因素，但 是模型中没有考虑滚动体的速度变化n 9 1 。此后，轴承分析模型越来越完善，如考虑 挡边作用、保持架引导作用等等，但是其研究水平还是属于拟静力学的范畴。 七十年代末八十年代初g u p t a p k 与c t w a l t e r 先后建立了轴承拟动 力学分析模型，引入了运动微分方程，描述了轴承在任一时刻的运动状态，并运用 数值差分的方法进行了计算。g u p t a 开发的a d o r e ( a d v a n c e dd y n a m i c so fr o l l i n g e l e m e n t ) 软件可以通过计算机分析获得轴承各部件的动态结果。他们采用的模型 较为复杂，使得此软件很难在工程实际中使用。t f c o n r y l i a l 在弹流等温和滚 子平面运动基础上采用位置控制模型建立了高速轻载圆柱滚子轴承瞬时动力学分 析模型。而在高速轻载情况下，滚子的歪斜和倾斜直接影响着滚子上的作用力并 第一章绪论 且轴承的滚子与滚道接触之间的热效应对轴承弹流润滑影响较大，在进行高速圆柱 滚子轴承瞬态动力学分析时，必须考虑这些因素。并且应该考虑轴承动刚度在轴 承高速旋转过程中的变化乜。 二十世纪七十年代末期美国n a s a 中一t l , 和s k f 公司联合投入了大量人力和物力， 进行了大量的理论分析和实验研究，开发出了“s h a r b e r t h 及“c y b e a n 大型滚 动轴承性能分析软件，该软件所建立的滚动轴承动态性能分析模型不断经过实验修 正已趋于相当完善和合理。近年来，s k f 公司和p e l a b 联合开发了b e a s t 动力学分析与 仿真软件，并通过大量的实验验证该软件仿真结果的可行性，该软件摒弃了以前滚 动轴承动力学分析的许多简化假设，采用全三维轴承动学模型，利用计算机并行算 法，从而使该软件能在轴承实际工程中得到充分应用，s k f 公司利用这套目前最先 进的滚动轴承仿真软件，对很多有特殊要求的滚动轴承进行了优化设计口别。 目前国外已开发了诸如 “a d o r e ”、“s h a b e r t h ”、“c y b e a n ”以及 “b e a s t 等滚动轴承动力学性能分析软件，同时利用这些先进的滚动轴承仿真 软件，对很多有特殊要求的滚动轴承进行了最优化设计。但这些软件开发的关键技 术目前对我国还处于保密阶段。 1 2 2 国内研究现状 我国对滚动轴承的研究起步比较晚，目前主要集中在沈阳航空发动机研究所、 洛阳轴承研究所及部分高校。 国内对滚动轴承动态性能分析目前主要还停留在静力学、拟动力学分析阶段， 轴承优化设计还是建立在轴承主参数优化设计基础上。虽然“八五”、“九五”期 间对圆柱滚子轴承进行了拟动力学分析并开发了相应的分析软件，但所用的模型大 多还是拟静力学模型，从最初的只考虑惯性力和离心力作用到后来的考虑润滑、牵 引力和轴承载荷分布的弹性解，但总体上还是比较简单，最近几年国内开始对高速 轴承的保持架和润滑性能对轴承寿命的影响开始做出研究1 。洛阳轴承研究所的郭 金芳的“多孔含油保持架对轴承性能的影响”就详细阐述了保持架和轴承润滑对其 性能和寿命的影响豫引。 国内对轴承的理论分析比较重视。自六十年代末接受滚道控制理论后，一直在 跟踪国外的发展，但国内对滚动轴承的动力学性能分析软件的开发起步较晚，在“七 五”、“八五”和“九五”期间开发了一些轴承性能分析软件，但基本属于c a d 的范 球轴承静动态特性计算与实验研究 畴， 而且所用模型大多还是拟静力学的分析模型，比较简单，无法对轴承保持架动 态性能进行瞬态分析和仿真研究，应用范围也很有限。从二十世纪九十年代起国内 对滚动轴承的动力学分析进行了理论研究，并取得了一定的研究成果瞳司汹儿矧，但所 建立的滚动轴承动力学分析模型是建立于作了许多简化假设的拟动力学分析模型基 础上，这样的滚动轴承分析结果不能真实地模拟滚动轴承瞬态运动和受力情况，与 国外优秀的滚动轴承仿真软件相比还存在很大差距， 还需要加以深入研究。 中国是世界上最早发明滚动轴承的国家之一。从考古文物与资料看，中国最古 老的具有现代滚动轴承结构雏形的轴承，出现于公元前2 2 1 2 0 7 年( 秦朝) 的今山 西省永济县薛家崖村。公元1 2 8 0 年( 元朝) 在中国古代的天文仪器上也使用了圆柱 滚动支承。尽管历史上中国在滚动轴承技术领域曾走在世界文明的前列，但在旧中 国轴承工业却十分落后。新中国成立后，特别是上世纪七十年代以来，在改革开放 的强大推动下，轴承工业进入了一个崭新的高质快速发展时期。建国五十年来，中 国轴承工业已取得举世瞩目的辉煌成就1 1 3 本文的研究内容 根据以上分析，球轴承的静力学、拟静力学是各种计算方法的基础，且在计算 方法上存在着不足。仍需要根据h a r r i s 的拟静力学理论，对单个轴承进行研究。 故本文在以下几个方面开展了研究工作： ( 1 ) 给出了静态刚度计算的简化方法 ( 2 ) 基于接触角求解域分析的角接触球轴承动态特性的解法 ( 3 ) 基于变量传递关系的动态方程根本变量分析方法 ( 4 ) 接触角搜索域的精确确定方法 ( 5 ) 在以上分析研究的基础上，编制高速轴承一主轴系统静、动态性能分析 的程序 ( 6 ) 最后针对高速角接触球轴承的典型应用陀螺电机的动态特性进行 了测试分析，以期为以后进一步应用本论文的研究方法分析陀螺电机轴 承单元的动特性对电机转子的动特性的影响做了试验分析的基础。 4 第一章绪论 1 4 小结 本章阐述了球轴承静动态性能分析研究的内容与意义，综述了国内外球轴承刚 度计算分析的发展过程，围绕轴承的动力学分析方法叙述了国内外研究现状和进 展，在此基础上确定了本文的研究内容和方法。 5 第二章球轴承分析茫础 第二章球轴承分析基础 球轴承的结构好像很简单，但轴承内部的几何关系却十分复杂。内部几何结构 因素严重影响轴承的承载能力、摩擦磨损，精度、刚度等性能。内部设计的微小差 异会使轴承性能显著不同。本章介绍影响轴承性能的轴承内部主要的几何特征和计 算方法7 3 8 3 1 引。 2 1球轴承静态分析基础 2 1 1 点接触 在无负荷状态下滚动体与一个滚道只接触于一点，受载后接触点扩展为一个椭 圆接触面。各类球轴承均为接触点，图2 - i 所示为向心球轴承钢球与内圈接触情况。 单列或双列球面滚子轴承在无负荷状态下滚子与一个滚道只接触于一点，在轻 负荷下接触点扩展为一个封闭的椭圆接触面。所以，轻负荷下球面滚子轴承也属于 点接触。但是，在中等或重负荷作用下滚子与滚道的原始接触点扩展为一个非封闭 的椭圆，则属于修正线接触的范围。 j 乞 ，0 ， 、r j ，h 蛏 图2 - 1 钢球与滚道的点接触图2 - 2 a 角接触球轴承几何关系( 接触前) 、 ? 70 “、 j 一，杉玲 j 。 图2 2 b 角接触球轴承几何关系( 接触后) 7 霾、b，髟 ，o， ，h 力形荔 球轴承静动态特性计算与实验研究 2 1 2 密合度和沟曲率半径系数 1 密合度驴 在轴承轴向截面( 或轴向平面) 内，滚动体与滚道的密接程度用密合度来描述， 密合度是滚动体母线曲率半径与沟道曲率半径之比。密合度越大，在同样负荷下接 触面越大，应力越小，因而轴承承载能力越高，但同时摩擦也越大，相反，密合度 越小，则轴承承载能力越小，同时摩擦也越小。 图2 - 2 表示角接触球轴承的几何关系。球轴承的密合度表示为 西：d w ( 2 一i ) d = 一 l 么一， 2 ， 式中d w 一钢球直径， ，一套圈沟曲率半径 对于圆柱滚子轴承，圆锥滚子轴承和滚针轴承，因为滚子和滚道母线是直线或 者是曲率很小的修正线，显然密合度妒等于1 或近似等于1 。 2 球轴承沟曲率半径系数 对于球轴承，更经常地是用沟曲率半径系数厂来描述钢球与滚道的密接程度： = 去( 2 - 2 ) 厂是球轴承设计的一个重要参数。厂越大，承载能力越小，摩擦越小；越小， 承载能力越大，摩擦越大。厂还影响球轴承接触角和钢球运动状态。一般球轴承，值 在0 5 1 5 一o 5 3 0 之间。高速轻载轴承取较大的值。灵敏仪表球轴承的数值更大些， 一般在0 5 4 0 0 5 8 02 f 日q 。内圈和外圈的沟曲率半径系数取得不相同时，分别用歹和 乒表示。通常多比歹稍大一些。 很容易看出，和妒之间有如下关系： = 专 ( 2 - s ) 2 1 3 接触点的主曲率 1 接触点的主曲率计算 在接触点，滚动体与滚道表面的主曲率描述了滚动体和滚道表面在接触点的几 第二章球轴承分析基础 何特征，它影响到接触应力与变形及轴承动态性能。为计算方便，下面先说明一下 符号规定。 轴向平面一过轴承旋转轴线的平面。 径向平面一与轴承旋转轴线垂直的平面。 主平面i 一规定轴承轴向平面为主平面i 。因为滚动体和滚道表面都是旋转曲 面，可以证明过表面任一点的轴向平面是该点的一个主平面。 主平面i i 一规定与轴向平面正交的另一个主平面为主平面i i 。 主曲率p ，j d ，一滚动体或滚道表面接触点在主平面i 、主平面i i 中的两个主曲 率也可叫第1 主曲率和第1 i 主曲率。凸面的主曲率取正号，曲率中心在物体内部， 凹面的主曲率取负号，曲率中心在物体外部。 接触物体卜指滚动体。 接触物体2 一指套圈滚道。 例如，p 2 i ，表示滚道表面接触点的第1 主曲率，即滚道表面接触点在轴向平 面内的主曲率。 在球轴承的接触点，滚动体和滚道表面的主曲率计算方法由表1 - 1 给出。 表中： n 一滚道母线的曲率半径； r e 一滚道母线的曲率半径； 歹、z 一为内外圈的沟曲率半径系数： y 一无量纲几何参数，定义为 ，：望墨丝 ( j ：i ，e ) ( 2 4 ) v = 一 l1 =pjlz qj a m 式中a t 一滚动体与内滚道接触角； a 。一滚动体与外滚道的接触角； d w 一滚动体直径； d n l 一轴承节圆直径，即滚动体中心圆直径。由图1 - 2 a 看出 11 d m = 二( 葫+ d d 二( d + d ) ( 2 5 ) 、 、 该式对各类轴承都适用。 9 球轴承静动态特性计算与实验研究 表卜l 球轴承接触点主曲率计算公式 主曲率 向，0 和向心推力球轴承向心球面球轴承推力球轴承 p 1 1222 钢 d wd wd w 球p i 口222 和 d w d wd w 内p 2 i 1l1 圈 ( 或 f d wf d wf d w 轴 p 2 n 0 圈) 2 y2 y d w 0 - r )d w ( 1 一，) p l ，222 钢 d wd wd w 球p l 口 22 2 和 d wd wd w 外 j d 2 1 1 1 圈 r e ( 或 j ；d w；d w 座 p 2 l i10 圈) 2 y d w 0 + ) ，) 2 主曲率和与主曲率差函数 主曲率和与主曲率差函数是由二物体在接触点的主曲率组成的两个函数，它同 样也描述t - - 物体在接触点的几何特征，主曲率和函数定义为： 印1 ，+ p u l p + p 2 p 2 u ( 2 - b ) 乙印1 ，+ + p 2 ，+ l) 在滚动轴承中，滚动体和滚道在接触点的主平面互相重合，主曲率差函数定义 为： 砌) = 鲤鼍竽型 协7 ， 计算表明，对直母线接触的各类滚子轴承f ( p ) = 1 ；对曲母线接触的各类轴承 0 s ，( p ) 1 ，除球面轴承外滚道接触点f ( p ) 为零外，其余f ( p ) 均在0 9 左右。 1 0 第二章球轴承分析摹础 2 1 4 接触角与游隙 1 游隙 轴承游隙定义一个套圈固定，另一个套圈径向或轴向从一个极限一位置到另一 个极限位置的移动量。按其移动的方向相应地称为径向游隙或轴向游隙。游隙是轴 承的重要参数，它影响轴承的负荷分布、振动、噪音，摩擦、寿命、精度和刚性。 应根据使用条件，合理选取游隙。 根据轴承所处状态不同，游隙分为原始游隙、安装游隙和工作游隙。一般三者 是不相同的，选用游隙时必须考虑到游隙的变化情况；必要时要进行计算。 ( 1 ) 向心轴承原始径向游隙z ，? 轴承装配之后而安装到轴上和座里之前的游隙称为原始游隙。 由图2 1 可 知，向心球轴承的原始径向游隙为： “? = d e 一矗一2 d w ( 2 8 ) 为了满足不同的使用需要，原始径向游隙的大小分为0 ，l ，2 ，3 ，4 ，5 六个 组别。角接触球轴承的游隙大小可以在安装的过程中进行调整，不需要给出原始游 隙。 ( 2 ) 向心轴承安装径向游隙甜： 轴承安装到轴上和座里之后由于过盈配合，内圈膨胀，外圈收缩，因此使径向 游隙减小。轴承在安装状态下的径向游隙表示为： 豁掰? 一必一西 ( 2 9 ) 式中a 矗- 内圈过盈配合引起的内滚道直径的增大量； 必一外圈过盈配合引起的外滚道直径的减小量。 西、盔一分别为内外圈的滚道直径 ( 3 ) 工作径向游隙撕 轴承在工作状态下一般是内圈温度高于外圈温度，内圈的膨胀要减小游隙。当 内圈转速特别高时，内圈因离心力作用膨胀也会减小游隙。轴承的径向负荷产生的 轴承径向变形会使游隙增大。工作状态下的径向游隙表示为 甜，= z ，：- a u ，- a u ，+ 6 ， ( 2 1 0 ) 球轴承静动态特性计算与实验研究 式中缸。一内圈温度高于外圈温度引起的游隙减小量， “。一内圈高速旋转引起的游隙减小量， 占，一轴承径向变形引起的游隙增大量。 a u ，= a t a ( d + d ) 2 式中出一内外圈温度差； a 一线膨胀系数，对于轴承钢a = o 0 0 00 1 25 。 对钢制轴承： a u ，= 1 0 0 4 x l o - 1 4 c 0 2 ( r i 2 + 4 ) r 2 + 1 7 0 3 x 1 0 - 1 4 2 彳吒- 6 0 5 4 x 1 0 5 2 芎 式中 一内圈角速度，c o = 2 ，r n 6 0 ，n 为每分钟的转数； 一轴承内径之半，= o 5 d ； 一近似取为内滚道直径之半，吃= o 5 d 。 ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) 2 接触角 ( 1 ) 接触角定义 滚动体与滚道接触点或接触线中点的公法线与轴承径向平面的夹角称为轴承接 触角。图2 - 2 b 表示了球轴承的原始接触角。钢球与内外滚道的接触角可以是不相 等的，如图2 - 3 所示。 ，卢一卞 图2 - 3 高速球轴承的接触角 当内外接触角不等时，轴承的名义接触角a 系指外接触角a ，。 ( 2 ) 接触角的力学意义 滚动体与滚道之间力的作用线沿接触点公法线方向，即沿接触方向，如图2 4 1 2 第二章球轴承分析基础 所示，由力的平衡关系可以容易看出，接触角a 的大小影响不同方向的承载能力： a = 0 。，只承受径向力r ，不能承受轴向力f o ；0 。 l x l 0 6 ( m m 印聊) 时称为高速轴承。但从运动学计 算的观点来看，凡是由于转速的影响，滚动体的动力学特性与中低速情况下有显著 不同时，就应按照高速轴承考虑，高速轴承的运动学有下面一些特征应该考虑。 1 由于离心力作用接触角变化 由于离心力作用钢球“外抛”，轴承节圆直径扩大，接触角发生变化。对向心推 力球轴承，如前面图2 - 3 所示，内接触角增