（应用数学专业论文）一类具体生物模型的非线性分析及控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 生物数学模型是一种重要的生态学研究方法，针对生物捕食系 统，目前大多数研究集中在系统的稳定性、周期解及h o p f 分支等定 性分析方面。 本文首先总结分析了藻类及浮游动物之间关系的生态动力学模 型的渐进稳定性、h o p f 分叉及混沌现象，证明了在l y a p u n o v 指数意 义下的混沌现象，通过增加投放、捕获等作为系统的外部扰动，研究 其脉冲控制。给出了满足鲁棒镇定的充分条件，该生物系统被渐进镇 定到平衡点。其研究结果为防止海洋赤潮发生提供了科学的理论依 据。 其次研究了一类云杉蚜虫与其天敌相互作用模型，通过对捕食者 和被捕食者同时施加控制，将生物特性引入模糊自适应控制。建立参 数自适应律，调整控制系统参数，使天敌一害虫的种群密度渐进的跟 踪理想轨迹，保证了该系统的稳定性。计算机仿真说明了控制效果， 为生态系统的持续平衡发展提供了理论依据。 对天敌一害虫相互作用模型施加收获、投放等控制手段，进行害 虫综合管理，对预防和治疗虫害现象、保护环境、实现系统的可持续 发展有重要作用。 关键词：生物系统；生物特性；脉冲控制；模糊控制；混沌控制 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t b i o m a t h e m a t i c a lm o d e li so n ek i n do fi m p o r t a n tm e t h o d so fs t u d y i n g e c o l o g y t h ep r e d a t o r p r e ye c o s y s t e m sa r em o r ea n dm o r ec o m p l e x a t p r e s e n t ，t h em o s tp a p e r sa r ef o c u s e do ns t a b i l i t y ，p e r i o d i cs o l u t i o na n d h o p fb i f u r c a t i o n f i r s t ，t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ep e r i o d i c i t y , t h eg r a d u a l l ys t a b i l i t y , h o p fb i f u r c a t i o na n dc h a o sp h e n o m e n ao ft h eb i o m a t h e m a t i c a lm o d e lo f m u l t i - p o p u l a t i o nr e dt i d e s ，w h i c ha r eb a s e d o nt h ee c o l o g i c a lf a c t o ro fr e d t i d e i ti sp r o v e dt h a tt h e r ee x i s tc h a o sb e h a v i o r sb yc a l c u l a t i n gt h e l y a p u n o ve x p o n e n t t h i sp a p e ra d d st h eh a r v e s t i n gt e r m s t ob i o m a t h e m a t i c a l m o d e la sd i s t u r b a n c e ，a n ds t u d i e st h e i m p u l s i v ec o n t r o l o ft h i sn e w s y s t e m t h i se c o l o g i c a ls y s t e mw i t hu n c e r t a i nd i s t u r b a n c ei sc o n t r o l l e dt o a ne q u i l i b r i u mp o i n t t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fr o b u s ts t a b i l i z a t i o no f t h es y s t e ma r eo b t a i n e d t h ec o n c l u s i o ni ss i g n i f i c a n ti np r a c t i c et o f o r e c a s ta n dc o n t r o lt h er e dt i d e n e x t ，f o rak i n do fs p r u c ea p h i d e sa n dt h e i rp r e d a t o ri n t e r n a t i o n a l m o d e l ，a na d a p t i v ef u z z yc o n t r o l l e rw i t hb i o l o g i c a lc h a r a c t e r i s t i ci s i n t r o d u c e di nt h i sp a p e r t h ep a r a m e t e ra d a p t i v el a wi sf o r m e d ，w ea d j u s t t h ep a r a m e t e r st om a k es u r et h ed e n s i t yo fs p r u c ea p h i d e sa n dt h e i r p r e d a t o rt r a c kt h ei d e a lt r a j e c t o r y , t h es t a b i l i t yo ft h es y s t e mi sg u a r a n t e e d a tl a s t ，t h ec o m p u t e rs i m u l a t i o nd e m o n s t r a t e st h ee f f e c t i v e n e s so ft h i s k i n do fc o n t r o l l e r t h i sp r o v i d e sa c a d e m i cb a s i sf o rt h ep e r s i s t e n c ea n d i i 江苏大学硕士学位论文 b a l a n c eo ft h ee c o l o g i c a ls y s t e m i n o r d e rt oc a r r i e so u tv e r m i ng e n e r a lm a n a g e m e n to nn a t u r a l e n e m y v e r m i nm o d e l ，t h en a t u r a le n e m y - v e r m i nm o d e li s e x e r t e d c o n t r o l l i n gs u c ha sh a r v e s t i n g ，p u t t i n gi n t oc i r c u l a t i o n i ti si m p o r t a n tt o t a k i n gp r e c a u t i o n sa g a i n s ta n dc u r i n gp a s t i e s ，p r o t e c t i n ge n v i r o n m e n ta n d r e a l i z i n gt h es u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n to fe c o s y s t e m k e yw o r d s ：b i o l o g i c a ls y s t e m ，b i o l o g i c a lt r a i t ，i m p u l s i v ec o n t r o l ， a d a p t i v ef u z z yc o n t r o l ，c h a o t i cc o n t r o l i i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密甲。 学位论文作者签名：氩彳之花 2 0 0 9 年j z , qf 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：斌佐花 日期：2 d d 富年2 月j 宫日 江苏大学硕士学位论文 第一章引言 本章对生态数学模型的生物背景及发展状况和生物混沌系统作总体介绍，同 时阐述了本课题的研究内容、目的和意义。 1 1 研究背景及现状 1 1 1 复杂生态系统 生态系统中的不同生物，不同种群之间是密切联系的，它们与环境之间构成 了一个具有高度非线性的整体。生态学和种群动力学本质上是非线性的和整体 的。生物进化是在复杂的环境下进行的，在生物进化过程中存在混沌、同步和分 叉等非线性现象，但由于其自身所具备的自适应性、鲁棒性、稳定性和冗余自补 充结构使生物始终朝着有利于自身发展的方向进化，并始终与环境交流，去适应 环境以缩小其间的差距，从而保持一种稳定的可持久的生存状态。对生物进化过 程中的非线性行为的研究有助于进一步认识生物系统进化的内在机制。l o t k a v o l t e r r a 系统是生物学研究领域最为典型和最重要的系统之一，最初由美国种群 学家l o t k a 在1 9 2 1 年研究化学反应和意大利数学家v o l t c r r a 在1 9 2 3 年考虑鱼类竞争 时分别独立提出来的，进入7 0 年代以后，文献 卜5 分别研究了各种形式的l o t k a - - v o l t e r r a 模型并对其进行了修正，l o t k a - - v o l t e r r a 模型在广度与深度上有了更 大的发展，此后种群数学生态学得到特别迅速的发展。人们开始利用数学模型研 究种群的稳定性。足m m a y ( 1 9 7 4 ) ，csh o l l i n g ( 1 9 7 3 ) 等都做了大量工作，我国 学者陈兰荪、马知恩等学者研究了确定性动力学模型的稳定性及其他性质。随后， 人们开始对具有功能反应函数i 、i i i 类、年龄结构、时滞等模型进行深入的 分析1 6 以7 1 。文献 1 8 2 0 通过增加收获或投放等方法来研究生物模型，以上文献 大都是对l o t k a - - v o l t e r r a 模型的定性分析。在生态学中，多样性和稳定性的讨论 经历了半个世纪，具有重要的理论意义，在资源管理、害虫防治、生物多样性保 护等有了很强的应用价值。l o t k a - - v o l t e r r a 模型也可应用于农业防治害虫的研究， 当今农业杀虫药物的广泛使用，在杀死害虫的同时也杀死害虫的天敌，这里害虫 相当于被捕食者种群，害虫的天敌相当于捕食种群，当害虫的天敌杀死害虫的能 江苏大学硕士学位论文 力较强，而自身增殖的能力又较弱时，农药的使用会导致害虫更猖獗表现尤为突 出，对如此害虫与天敌的生态学关系，农药的使用需要特别的谨慎。可见对l o t k a v o l t e 玎a 模型的研究，不仅有助于我们认识复杂生态学关系，而且指导人们合 理安排农业生产活动。生态数学模型作为一种重要的生态学研究方法，在解释生 态现象，描述生态系统物质、能量、信息、价值流向等生态变化过程，揭示生态 系统内在规律，预测生态变化趋势，定向调控可管理生态系统，优化生态经济系 统等许多问题中，都发挥了或者正在发挥着巨大的作用。近年来人们丌始尝试运 用各种控制方法对生物模型进行控制，为人类指导生产实际活动服务。 1 1 2 生物系统中的混沌现象 混沌是非线性动力系统所特有的一种运动形式，2 0 世纪7 0 年代以来，通过大 量的生物模型模拟说明混沌也存在于生物系统中。研究表明食物链的结构、种群 的迁入和迁出、环境噪音都会对种群的复杂性动态特征产生影响，1 9 7 6 年r m a y 在“自然”杂志发表的“具有复杂动力学过程的简单数学模型”等论文【2 1 。2 3 1 ，通 过对著名的逻辑斯谛( l o g i s t i c ) 方程的研究，演示出种群系统随着参数l 的增 大，由稳定到周期分叉，到混沌一系列复杂行为的演化过程。该研究揭示了生命 系统中混沌存在的可能性。从此以后，混沌思想迅速扩展到生命系统及生态系统 各领域的研究中。从单种群、寄主与寄生物系统、猎物与捕食者系统，到食物链 及复杂生态系统；从微生物、昆虫到哺乳动物的种群演化，生态学家正积极寻找 并验证混沌存在的证据。虽然对混沌在自然界中的存在还有一些争议，但的确发 现了在害虫种群中存在混沌的证据2 4 讲】。自然种群中混沌的检验主要有功率谱法 种群动态的时间序列分析、模型参数估计庞加莱截面法、李雅普若夫特征指数法 等。在自然界中，混沌的例证很多。对麻疹影响的数据分析表明，麻疹的爆发是 混沌性的。田鼠和旅鼠多度的波动，也显示出混沌动态的特性。混沌对生命系统 演化、系统动态的作用和意义、对生态系统功能的影响等科学问题都在不断地深 入研究之中。混沌动态比随机系统对外界干扰的抵抗能力更强 2 8 - 2 9 】，在孤立的种 群中，混沌会增加种群的灭绝概率，而在集合种群中，混沌动态降低了各局域种 群的同步性和同时灭绝的倾向，所以混沌虽然能增加局域种群灭绝的概率，但却 能减少整个集合种群灭绝的概率。c o n r a d 认为混沌动态可能对产生多样性和适应 2 江苏大学硕士学位论文 性有利【3 0 1 。主要表现在于：( 1 ) 在进化方面混沌可能在多样性的产生和测验过程 中起重要作用；( 2 ) 在多样性保护方面有利于系统的防御，如躲避捕食者；( 3 ) 防止功能流失，混沌有利于保持神经系统各部分的独立功能，能增加系统的适应 性并减少捕食者的预测性；( 4 ) 消减干扰，混沌过程可被看成建立了一个动态中 心，它可以吸收外界扰动，以保持功能的完整性。自然界的变化和系统的维持是 持续性和混沌相互矛盾统一的结果。系统结构及其时空动态与混沌及种群灭绝之 间的关系，是保护生物学及生物多样性研究的一个重要方面。近年来人们开始对 种群混沌系统进行控制研究。 1 2 本课题的主要内容 本文对生态系统的根本问题，即量化和模型化问题进行了研究，主要选取生 态系统中具有具体生物意义的两种生物模型进行研究，并针对模型自身的特点， 进行不同的控制，保持生态系统平衡，为害虫管理提供了理论依据。 1 生物混沌系统的研究与控制 ( 1 ) 基于赤潮形成的生物因素，本文在藻类及浮游动物之间关系、生态动力学 模型基础上，证明了该系统在l y a p u n o v 指数意义下的混沌。 ( 2 ) 通过同时增加捕获、投放项作为外部扰动，研究该系统的脉冲控制。 ( 3 ) 给出了该系统满足鲁棒镇定的充分条件，该生物系统被渐进镇定到平衡点。 2 生物自适应性、鲁棒性、稳定性与模糊控制相结合 ( 1 ) 对一类云杉蚜虫与其天敌相互作用模型进行分析。 ( 2 ) 将生物特性引入模糊自适应控制。建立参数的自适应律，调整控制系统参 数，使天敌一害虫的种群密度渐进的跟踪理想轨迹，保证了该系统的稳定性。 ( 3 ) 计算机仿真说明了控制效果，为云杉蚜虫与其天敌保持持续平衡发展提供了 理论依据。 1 3 本课题的构思起点、研究目的及意义 生物学中很多问题可以由数学来描述，比如：种群的持续生存与灭绝问题， 可解释为方程的解在时间无限增大时，极限大于零还是小于零；种群规模平衡态 情况，可解释为方程的奇点( 静平衡一微分方程的奇点；动平衡一周期解或极限环 3 江苏大学硕士学位论丈 的存在性) 的存在性；平衡态的稳定性，即由于环境或外界的影响，使种群的初 始规模发生了变化，随着时间的推移，能否再恢复到原有的平衡态? 在数学上， 这就是关于解的渐进稳定性问题；环境的变化( 例如：污染) 或外来物的侵入， 将对种群发生怎样的影响? 即方程某些参数的改变将引起上述方程解的性质产 生什么变化；人们如何合理地开发、科学地管理天然的或人工培养的生物资源， 保持生态平衡? 即对方程中某些参数控制，维持方程的平衡特性。以上可以看出 用数学方法来研究生物问题是非常适合的。对生物模型进行控制是目前生态学研 究的热点之一。 生物数学模型具有较强的生物背景，本文选取一类具有具体生物意义的模 型，在动力系统分析的基础上，研究了该类系统的控制问题。旨在通过对生物系 统控制问题的研究，对影响种群生存的因素有更清楚的认识，在控制器的设计及 控制器作用下系统的运动形态可对种群生长，达到生态平衡，提供一些理论基础。 人类在追求社会发展的同时深刻反省自身的行为，意识到由于对环境资源的 一些不合理的开发和利用，已经造成不可挽回的破坏和影响。开展生物种群模型 的控制研究意义是深远的，它不仅可以为控制理论提供实验依据，丰富控制理论 内容，还可借助数学非线性理论的指导，进一步认识各种复杂生态过程的本质和 内在联系，更好地洞察生态系统的动态规律，都将有助于更好地进行生念系统管 理、生物多样性保护、病虫害的预测和管理。 4 江苏大学硕士学位论文 第二章基本理论介绍 本章对非线性控制理论的研究内容作了介绍，重点阐述了脉冲控制和模糊控 制理论 2 1 混沌控制理论 2 1 1 混沌的基本特征 混沌运动是一种不稳定有限定常运动，即为全局压缩和局部不稳定的运动， 或除了平衡、周期和准周期以外的有限定常运动。所谓有限定常运动，指的是运 动状态在某种意义上( 以相空间的有限域为整体) 不随时间而变化。这个定义指出 了混沌运动的两个主要特征：不稳定性( 该性质可用平均李雅普诺夫指数精确刻 画) 和有限性。 混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散系 统、不可积h a m il t o n 保守系统和非线性离散映射系统中。至今科学上仍没有给 混沌下一个完全统一的定义，它的定常状态不是通常概念下确定性运动的三者状 态：静止( 平衡) 、周期运动和准周期运动；而是局限于有限区域且轨道永不重复、 性态复杂的运动。它有时被描述为具有无穷大周期的周期运动或貌似随机的运动 等。与其他复杂现象相区别，混沌运动有着自己独有的特征，主要有：有界性、 遍历性、内随机性、分维性、标度性、普适性等。对混沌系统而言，正的李雅普 诺夫指数表明轨线在每个局部都是不稳定的，相邻轨道按指数分离。但是由吸引 子的有界性，轨道不能分离到无限远处，所以混沌轨道只能在一个局限区域内反 复折叠，但又永远互不相交。 2 1 2 混沌脉冲控制 混沌控制的控制目标是稳定系统中存在的无穷多的不稳定周期轨道和其它 运动形态，如不稳定平衡点等，以达到实现对各种周期态的转换和应用的目的； 对混沌控制理论的研究，相继提出了一系列的混沌控制方法，如：自适应控制、 参数周期扰动法、周期激励法、o p f 控制法、周期脉冲控制法等，这些方法已在 5 江苏大学硕士学位论文 实验或实际问题中得到应用，并取得了许多成果。从控制原理来看，混沌控制方 法大体可分为反馈控制和无反馈控制两大类。反馈控制包括o g y 法及各种改进 法、线性反馈、非线性反馈等。无反馈控制包括自适应控制、神经网络、模糊控 制、人工智能等。下面将本文所用的控制方法做一简单介绍。 1 脉冲微分系统的定义 首先给出带脉冲的微分系统的一般定义。 定义2 1 ( 脉冲微分系统) ( i ) 考虑微分系统 鲁- ，( ， ( 2 1 ) 这里，：尺+ xd 专r ”，q 尺”是开集，彤是，z 维欧几里德空间，r + = 【0 ，+ o o ) ； ( ii ) 集合m ( f ) ，n ( t ) q ，v t r + ； ( i i i ) 算子a ( f ) ：m ( f ) j ( f ) ，v t r + 。 设x ( t ) = z ( f ，t o ，x o ) 是系统( 2 1 ) 在满足z 瓴) = 而的解，它具有下列特点： 点只= ( f ，f ) ) 开始于瓴，而) ，沿弧线 ( f ，功：f t o ，x = x ( f ) ) 运动一直到点 t o ， 在处只碰到集合m ( f ) 。在f = 处，a ( f ) 将置= “，茗“) ) 变成曩= ( ，对) en ( t t ) ， 这里矸= a “) x ( f 1 ) 。而沿着系统( 2 1 ) 的解x ( f ) = x ( f ，t l ，矸) 所代表的弧继续运 动直到在乞 遇到m ( f ) 。从而气= ( f 2 ，z ”被变成曩= 也，豸) en ( t 2 ) ，这里 蔓= a ( t 2 ) x ( t 2 ) 。像前面一样，沿着系统( 2 1 ) 的解x ( f ) = x ( f ，乞，e ) 所代表的弧 继续运动。如果系统( 2 1 ) 的解存在则一直运动下去。具有上述运动过程的 ( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 综合起来就称为脉冲微分系统，由曰所描述的弧称为积分弧， 而积分弧所代表的函数称为脉冲微分系统的解。 一个脉冲微分系统的解有三种情况：( a ) 是连续函数，这时积分弧不遇到 m ( t ) 或在a ( t ) 的不动点遇到m o ) ；( b ) 具有有限个不连续点的逐段连续函数， 这时在a ( t ) 的有限个非不动点上遇到m ( f ) ；( c ) 具有可数个不连续点的逐段连续 函数，这时在a ( t ) 的可数个非不动点_ l 遇至l j m ( t ) 。 江苏大学硕士学位论丈 只碰到m ( f ) 时所在的时刻气称为脉冲时刻。假设脉冲微分系统的解在所有 脉冲时刻气都是左连续的，七= 1 , 2 ，即z 瓴) 2 牌x 纯一 ) = 地) 。 2 脉冲微分方程稳定性理论 稳定性理论研究时间趋于无穷时脉冲微分方程解的性态，它在自然科学、工 程技术、种群生态系统等方面有着广泛的应用。本节将给出稳定性的定义，并讨 论判断稳定或不稳定的一些方法。 ( 1 ) 稳定性的定义 一般脉冲微分系统的解而o ) = x ( f ，t o ，y o ) 的稳定性的各种概念。 i i c = f ( t ，力，t 靠， 缸= l ( 力， f = 靠( 功， ( 2 2 ) 【x ( 菇) = x o 定义2 2 设而o ) = x ( f ，t o ，) ，t 岛是( 2 2 ) 的解，假设而( f ) 在气时刻碰到列面 s k ：f = 气( 力，使得当kjo 。时，气 0 , r 0 ，v f 0 r ，存在正常数8 = 8 ( t o ，s ，r ) 0 ，满足 当i x o - y o l r l 其中x ( t ) = z ( f ，t o ，x o ) ，t t o 是系统( 2 2 ) 的任一解； ( i i ) 一致稳定：如果( i ) 中万与气无关； ( i i i ) 吸引：如果对v s 0 ，r 0 ，v t o r ，存在正常数磊= 磊) 0 ， t = t ( t o ，占，7 7 ) o ，满足当i j c o 一i 磊时，有 i x ( t ) - x o ( t ) i r ； ( i v ) 一致吸引：如果( i i i ) 中磊，r 与岛无关； ( v ) 渐近稳定：如果( i ) ，( i i i ) 同时成立； ( 访) 一致渐近稳定：如果( i i ) ，( i v ) 同时成立； ( v i i ) 不稳定：如果( i ) 不成立。 7 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) 稳定性中的比较方法 在判断一个系统零解的稳定性时，比较方法是一种十分有效的途径。比较方 法的基本思路是从原系统出发，构造一个满足某种大小关系的比较系统，在一定 的条件下，比较系统解的稳定性可以决定原系统解的稳定性。 考虑具有固定时刻的脉冲微分系统 f 戈= ，o ，砷，t t k ， a x = i k ( 力，t = t k ， ( 2 3 ) 【x ( 菇) = x o ，t o o ，k = 1 ，2 ， 进行以下假设： ( a o ) ( i ) 0 毛 乞 t k - t o ( 2 6 ) 其中x ( t ) = z ( f ，t o ，x o ) 是( 2 3 ) 在【，叫上的任一解。 接着考虑一般脉冲微分系统 f 戈= f ( t ，力，t 吒( 砷，k = 1 ，2 ， 缸= 厶( 功，f = 气， ( 2 7 ) 【x 似) = x o ， 假设下列条件： ( b 。) ( i ) c 1 r n ( 0 ，) 】，( 功 t o ，( 2 7 ) 的解x o ) 存在且唯一； ( i i i ) 厶ec r , r ”】，( 2 7 ) 的任一解与每个曲面& ：f = 气( 砷都只碰一次。 设而( f ) 是( 2 7 ) 在【岛，叫上的任一解，满足而簖) = ，设它在时刻碰到曲 面& ，k = l 2 ，。 ( b 。) 在r s ( x o ，力上l 厂( x ，r ) i c ，其中s ( x o ，力= h r ”：i x x o ( t ) i o ； ( b 2 ) 对于o ，力r s ( x o ，力和所有的七，有生擎厂o ，力o 和 9 江苏大学硕士学位论文 r k ( x ) - r k ( y ) i mi x - y ，以o ； ( b 。) ve c r + x 一一n ，r 】，v ( t ，x ) y 毛f x 满足局部l i p s c h i t z i a n 条件，对 o ，功er + x s ( x o ，力，有 d + v ( t ，x - x o ( t ) ) g ( t ，v q ，x - x o ( t ) ) ) ，t ，t 靠( 砷， v ( t ，z y + ( 力一l ( y ) ) 以o r ( t ，z y ”，t = 靠( 力，t = r k ( y ) ， 其中以k ，g c 【rx r + ，r 】； ( b 4 ) v ( t ，力关于f 是非增的，6 ( h ) v ( t ，x ) j t v ( t ，x ) 一v ( t ，少) i l x y i ， o ，砷r + s ( x o ，力。 设败 ) 暑r d u + l c n k b 一( u ) + l c n k b _ ) ，那么可得出下面的结论。 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 定理2 2 假设( b 。) 到( b a ) 成立。x ( t ) 是( 2 7 ) 在 t o ，o o ) 上的任一解，目- x ( t o ) = x o ， 它在f = t k 时刻碰到曲面是，k = 1 ，2 ，。则只要y 饼，而一) ，都有 v ( t ，茗( f ) 一而( f ) ) r ( t ，t o ，u o ) ，te j ， ( 2 1 0 ) 其中j = 【，o 。) u ( 五，瓦】，互= m i n ( t ：，) ，夏= m a x ( t ：，气) ，j lr ( t ) = r o ，t o ，“o ) 是脉 k = l 冲微分方程 f z i = g ( t ，甜) ， ，仨i t ，瓦】， 甜( 瓦+ ) = 纯( ( 互) ) ， ( 2 i i ) im ( 菇) - - - - u 。0 在 t o ，0 0 ) 上的最大解。 ( 4 ) 稳定性的判断 接着考虑满足条件) 的脉冲微分系统( 2 3 ) ，假设对所有的k ，f ( t ，0 ) 兰0 ， 厶( 0 ) - 0 ，那么可以得到( 2 3 ) 的平凡解。下面证明的这个结论用统一的方法给 出了各种稳定性准则的充分条件。 设s ( p ) = x r ”- i x i o 使得x e s ( p o ) 满足z + ( 砂s ( 力，v k ，且 v ( t ，工+ 厶( z ”败o ，z ) ) ，t = t k ，z s ( p o ) ， 其中饩：r r 是非减的； o f f ) 在r s ( 力上，6 ( 帅y o ，x ) 口( h ) ，其中口，b k 。 则系统( 2 5 ) 平凡解的稳定性对应于系统( 2 3 ) 平凡解的稳定性。 2 1 2 模糊控制理论 2 2 1 自适应模糊控制 1 9 6 5 年，美国学者z a d e h 发表了开创性的论文【3 l 】，首先提出了一种不同于 传统数学与控制理论的模糊集合理论。为了适应现代控制的要求，模糊控制在实 际应用中正朝着自适应，自组织，自学习的方向发展，使模糊控制真正地达到我 们所希望的控制目标。 自适应模糊逻辑系统是指具有学习算法的模糊逻辑系统，是基于一系列 if - t h e n 模糊逻辑规则构造的，学习算法则依靠数据信息来对模糊逻辑系统的参 数进行调整。自适应模糊逻辑系统被认为是通过学习能自动产生其规则的系统， 综合利用数据和语言两类信息。其模糊规则的前件和后件都是模糊的，并具有模 糊产生器和模糊消除器。自适应模糊逻辑系统具有一致逼近特性，可充当万能逼 近器，能够在任意精度上逼近一个定义在致密集上的非线性函数，通过一系列模 糊规则对非线性系统建模。自适应模糊控制器是在自适应模糊逻辑系统的基础上 构建的，为自适应模糊控制奠定了基础。自适应模糊控制分为问接自适应模糊控 制和直接白适应模糊控制。w a n g 首次提出了直接和间接自适应模糊控制方案来 控制非线性系统【3 2 】。c h e r t 将模糊自适应控制和h o o 控制结合起来，提出了s i s o 非线性系统的跟踪控制措施【3 3 1 。t o n g 针对系统状态不可量测的情形，给出了基 江苏大学硕士学位论文 于观测器的s i s o 非线性系统的跟踪控制方案【3 训。文献 3 5 ，3 6 设计了增益观测 器来观测非线性系统，给出了间接和直接自适应模糊跟踪控制方案。文献 3 7 ，3 8 研究了m i m 0 非线性系统的跟踪控制问题，分别讨论了系统状态可量测和状态不 可量测的情形。文献 3 9 提出了自适应模糊逻辑系统的p i d 参数调节规律，设计 了模糊控制器来控制非线性系统。文献 4 0 在自适应模糊控中引入辨识，提出了 改进的控制方法。c h a n g 的控制方法有机结合了h 跟踪控制理论、变结构控制 和模糊控$ 1 j 4 1 , 4 2 。文献 4 3 的控制方案考虑了系统的参数不确定性和边界不确定 性。文献 4 4 提出了变结构自适应模糊控制方法，借助于线性矩阵不等式技术解 决了一类非线性时延系统的稳定性问题。目前主要发展趋势就是将模糊控制与非 线性控制相结合，一方面用传统控制理论中的方法解决模糊控制问题，另一方面 用模糊控制的理念解决各种控制问题。 2 2 2 模糊生态位理论 复杂生态系统中很多重要的生态学理论问题都是以生态位概念为基础的，生 态位是指个体实际占有的生存环境和利用环境的总和。生态位包含两方面的内 容，一是个体对生存环境的容忍性；二是个体对其所生存的空间开发利用的能力 和占有新生环境的能力。由于生态系统自身的复杂性和内在状态的随机性和模糊 性，使对它的进一步研究十分困难。生态位的模糊模型是“空间生态位、 “功能 生态位多维生态位 的统一形式【5 l 】，为生态系统的研究提供了理论基础。 定义2 5 f 5 1 1 设八是n 维实空间尺”上的向量，表示某物种x 生存空间的某一状态， 八= ( 五，五， ) 分别表示生物生存和生殖的全部生态因子( 生物因子和非生物 因子) 的坐标，则n 元函数f ( a ) = 厂( ，五，以) 表示物种x jz 生- 态位。 ( 1 ) h u t c h i n s o n 超几何生态位的模糊数学模型 定义2 6 设八= ( ，如，九) 是物种x 的所有生态因子( 生物因子和非生物因 子) 的坐标，则n 元函数f ( a ) 定义为n 维空间上的集合套h ( 入) ，即f ( a ) = h ( 八) 就是物种x 的h u t c h i n g o n 生态位。 ( 2 ) 最适生态位的模糊模型 从几何上讲，生态位是一个n 维超几何体，其内包含个体生存和生殖的所有 1 ， 江苏大学硕士学位论丈 生态因子。对每种生物而言，每一生态因子都有一个“最佳耐受范围”，这一概 念具有模糊性。在“最佳”与“最劣 之间即有差异又共维且处于两极，具有中 介过渡性，用模糊数丑( f = 1 2 ，靠) 表示。且也是有界闭模糊数，它的隶属函数 为： 丑= 1 口【册 ，咒 】， l ( 口) ，口 n ， ( 2 1 2 ) 其中( 口) 是增函数左连续且l i m ( 叻= 0 ，0 三( 叻 0 。 通过非线性理论来解释赤潮发生的机理，模拟出在控制参数参变量的变化 下，系统将发生一系列变化，从稳定态到极限环然后过渡到混沌。经研究发现， 浮游动物对硅藻的捕食关系对赤潮的发生有重要的影响，其中在口，= 5 4 8 ，该 点系统将发生h o p f 分叉，系统极不稳定，口，= 1 0 系统演化为混沌。 3 4 生物混沌系统的脉冲鲁棒控制 基于赤潮形成的生物因素，参照文献 4 8 选取两种比较常见的藻类硅藻和甲 藻建立的相应的模型，分析藻类之间相互竞争以及藻类被浮游生物捕食的生态模 型，考虑到藻类与浮游动物的经济价值，本文增加捕获和投放项作为该系统的外 部扰动。研究其脉冲控制，控制目的是将系统镇定到平衡点。这样既能控制赤潮 发生的生物因素，保持生态平衡，又能获得一定的经济收益。实际上，仅含3 个 变量来描述浮游生态系统是远远不够的，尤其对于浮游动物的研究，浮游动物也 可以由一个增加到几个。 根据生物动力学理论，确定了系统( 3 1 ) 的系数( 江1 , 2 ，3 ) 的取值和 口i ( f = 1 ，2 ) 之间的关系4 8 】：厂l = r 2 = r 3 = 1 ，甜i = 口5 = 1 ，口7 = 力口3 ，口8 = 五口6 ， 其中允为浮游动物的捕食转化率，于是( 3 1 ) 式转化为 鲁硝( 1 - x 1 - a 2 恐喝而) 鲁0 - 0 r 4 x i - x 2 - c z 6 x 3 ) ( 3 2 ) 鲁毡( 1 + 2 , t r 3 x ，+ 3 , ) 文 4 8 1 通过把口3 作为控制变量，得出当口2 = 1 ，口4 = 1 5 ，口3 = 1 0 ，口6 = 1 ，五= 0 6 ， 甜( ，) = k ，o ) ，”：o ) ，甜，o ) 】= 【0 ，0 ，o 】时， 1 8 江苏大学硕士学位论文 初始状态为： ( 0 ) = n 乏如( 0 ) = o 6 , x ，( 0 ) = o 0 3 ， 该系统呈现混沌态现象，其轨迹如图3 1 所示。本文计算了系统( 3 2 ) 的l y 叩t m o v 指数，其虽大的珂a p u n o v 指数为1 3 1 4 并给出了l y a p 岫o v 指数图( 图3 2 ) ，证明 了该系统在l y a p 吼钾定义下的混沌现象。 嘤3 1 系统( 3 2 ) 呈螺旋混沌 田32 系统( 3 2 ) 的h a p u a o v 4 s 敷图 1l叫_l， 江苏大学硕士学位论文 产生混沌的原因很多，本系统混沌行为的产生途径还有待去研究，这对于了 解赤潮产生以至于最后控制赤潮都很有意义。至于赤潮的产生是因为分翁导致混 沌的行为，或是赤潮产生后导致分岔或混沌行为至今尚无定论，有待于进一步研 究。但有一点可以肯定，赤潮的爆发性增值肯定与系统的分俞和混沌行为有关。 藻类、浮游动物都属于具有某种经济价值的动植物群体，人类不时的对其进 行收获，我们可以考虑通过增加捕获和投放项作为扰动，对其进行脉冲控制，使 系统( 3 2 ) 达到平衡。 鲁= x i ( 1 飞喝矿叩。m 。o ) 鲁= x ：( 1 咱矿x ：飞z 。) 蝇o ) ( 3 3 ) 鲁飞( _ l + 五+ 五) 帆o ) 按照膏= 觚+ ( x ) + 啡，x ) 其中，a x 为线性项，矽( x ) 为非线性项， w ( t ，x ) 为扰动项，本文表示对藻类和浮游动物的捕获和投放。则系统( 3 3 ) 改写 r 1 0 0 i x = i x l ，x 3 】丁，a = 1 010l l00 1i 矽( x ) = 【- 砀2 一x l x 2 一l o x l z 3 ，一1 5 x l x 2 一x 2 2 一x 2 x 3 ，6 而x 3 + 0 6 x 2 x 3 r 力= 心+ 矽c y ) + w o ，x x t t ) y2 矽赡“) 、 ( 3 4 ) 赵= “。= t 。) ”一。 x ( t 。) = 工。( 后= 1 ，2 ) 其中x o 。) = x ( t k + ) 一x ( f 。) 当k 专0 0 时，0 t l t 2 t t 1 a 设计脉冲控制律如下：a x ( t 。) = u k ( x 瓴) ) ) = 一豇。x o 。) 江苏大学硕士学位论文 定理3 1 如果满足：口4 l 一豇t l 1 ，b p a t 。+ l n ( y c k ) 0 ，那么受扰动的混沌系统 ( 3 3 ) 是可由脉冲控制律纯甜。( y 也) ) ) 镇定的。 d + y o ，x ) = x r a x + x r a r x + x r 矽伍) + 矽7 1 伍沙+ x r w o ) + w 7 1 0 皿 o , x s m 时， l 阻+ 从0 = 0 x 一驰。x i l = 1 1 - 善a t 。x l i 1 选取= 5 ，y = 2 初始条件粕= 【o 2 ，0 6 ，0 0 3 y ，则 彳+ a r = 0 2 。2 j 0 00 2 ii 彳+ a r = li l 得e = 2 ，p = e + 7 + l 2 = 3 4 ，如果取善= 1 5a t l = a t 2 = a t t = = 0 5 则设计脉冲控制律为“。似“) ) ) = - 4 ) 7 5 x ( t 。) 2 1 江苏大学硕士学位论文 于是 1 1 _ 1 豇一= 1 1 - 1 5 宰0 5 = 1 0 2 5 i 0 ， 一定存在基于生态位的模糊函数厂，使得： 江苏大学硕士学位论文 s u p i f ( x ) - g ( x ) i 0 ，一定存在基于生态位的模糊 函数厂，使得： 【 i 厂( x ) 一g ( x ) 1 2 出】i 1 g 。 其中，u 0 分别表示这个种群的增长率和环境 容纳度，式中第二项表示对该种群a ，b 捕获率，其中a ，b 都是大于零的常数， 在文献 5 3 中指出模型( 4 1 2 ) 可能存在三个平衡点，其中包括一个”避难”平衡 点和一个”爆发”平衡点。所谓”避难”平衡点就是指昆虫的存量不会对树木造 成威胁，而”爆发”平衡点是指昆虫的存量已经达到了足以危害树木的程度。 j d m u r r y 将( 4 1 2 ) 改造成如下模型【5 4 1 ： 警= h 譬) 一筹i dp=psdt，( 1 塑n ) l i 文献 5 4 研究了模型( 4 1 3 ) 的动态特征，得到了云杉蚜虫与其天敌之间达到稳 定平衡状态和平衡点附近出现h o p f 分支的条件，并给出了在何种条件下这两个种 群的存量会发生周期变动。极限环的存在性解释了在自然界中为什么会出现蚜虫 江苏大学硕士学位论文 周期性爆发的现象，文 5 5 研究了模型( 4 1 3 ) 具有投放率的控制策略。结果由 定理我们可以得到实际的控制策略，在蚜虫的密度受制约的条件下，适量的确定 出天敌的反馈增益值的范围，使蚜虫数量相对小，减少到不危害云杉树木的程度， 同时使两种群数量最终达到稳定平衡，如果考虑到投放天敌所投入的资本和其产 生的效果带来的效益，则可由最优控制来进一步计算的值，使其既保持生态平衡， 又使得经济效益最优。文献 5 6 研究了云杉蚜虫一天敌一杀虫剂相互作用的控制模 型的动态特性， 百d n = 卅一舟筹 o 堡d t = a 等) 其中0 代表单位时间内害虫的消除率，研究了杀虫剂的使用量对云杉蚜虫与其 天敌相互作用模型的动态特性的影响。表明适当的使用杀虫剂可以在天敌数量不 足的情况下控制害虫爆发的事件。但是使用杀虫剂势必会造成环境的污染，特别 是倡导保护环境，绿色生态的今天，研究这类害虫一天敌模型对防治害虫，保护 环境有着极为重要的实际意义。以上文献都是对此类模型的定性分析，随着生物 动力学的迅速发展，目前在生物方程中加上控制项以研究其收获、投放等控制问 题很有价值，最终目的就是为了能够更深入地分析生物系统，了解更多的相关性 质，从而能够控制该系统，达到生态系统的可持续发展。 4 。4 云杉蚜虫与其天敌相互作用系统的自适应模糊控制 农药的长期使用，使害虫产生了抗药性，再加上害虫的高出生率及气候等原 因，虫害很容易爆发。例如，2 0 0 0 年美国密执安州大豆蚜虫的泛滥，2 0 0 2 年中国 一些地区的蝗灾等，造成严重的经济损