（检测技术与自动化装置专业论文）时滞切换系统的稳定性分析与控制.pdf

摘要 混杂动态系统是包含离散事件动态系统和连续或离散时间变量动态系统， 两者存在相互作用的系统。切换系统是混杂动态系统的一种重要的特殊模型。 它由若干个子系统组成，并且在这些子系统之间有一个切换规则，协调控制着 这些子系统。切换系统具有广泛的实际背景，如通讯网络、电力系统、机器人 行走控制系统以及多频采样数字系统的控制等。因此，对于切换系统的研究是 非常必要的。此外，时滞也是普遍存在于实际控制系统中的一类不能被忽略的 现象，是降低系统性能甚至导致系统不稳定的重要原因。本文研究了时滞线性 切换系统的稳定性分析与控制问题，全文主要内容如下： 首先研究了由凸多面体不确定子系统构成的线性时滞切换系统的状态反馈 稳定性。利用l y a p u n o v r a z u i l l i l d l i n 稳定性定理，结合l e i b l l i 弘n e w t o n 公式和已 有的不等式技巧，分别导出时滞无关和时滞相关的稳定判据，同时根据得到的 公共矩阵设计出使系统稳定的切换信号( 律) 。 接下来研究了一类线性时滞切换系统的巩控制问题。对于由若干线性时滞 子系统构成的时滞切换系统，考虑了切换策略的设计，以实现风性能的优化。 分别导出了优慨性能的时滞无关和时滞相关判据。此外，提出了满足凡性 能条件的状态反馈切换信号( 律) 。 关键词：混杂动态系统；时滞切换系统；稳定性；鼠控制；时滞无关；时 滞相关 a bs t r a c t h y b r i dd y n a l i cs y s t e m sa r ea c l a s so fs y s t e m sw h i c hc 删nb o m d i s c re _ t ee v e m d v n 锄i cs y s t e m sa n dc o n t i n u o u so rd i s c r e t et i i i l ed y n 锄i cs y s t e m s ，a n da m o n gt h e m 也e r ee x i s t si n t e r a c t i o n s w i t c h e ds y s t e m sa r ea ni m p o r c a n tc l a s so fs p e c i a lh y b r i dd y 。 n 吼i cs y s t e m s ，w h i c ha r ec o m p o s e do faf a m i l yo fs u b s y s t e m sa n dar u l eo r c h e s t r a t i n g t l l es w i t c h i n gb e t w e e nt l l es u b s y s t e m s s w i t c h e ds y s t e m sa r ew i d e l yu s e di nm a n y p r a c t i c a lp r o b l e m s ，s u c ha sc o m m u n i c a t i o nn e t w o r k s ，e l e c t r i cs y s t e m s ，r o b o t i cw a l b n g c o n t r o ls v s t e m sa n ds a m p l e d d a t ac o n t r o ls y s t e r i l s ，e ta 1 t h e r e f o r e ，t h ei n v e s t i g a t i o n o f s w i t c h e ds y s t e m si sv e 巧n e c e s s a r y m o r e o v e r ，t i m e d e l a yi sa nu n i v e r s a lp h e n o m e n o n e x i s t i n gi nc o n t r o ls y s t e m sw h i c hw ec a n n o ti g n o r e i ti sm em a j o rr e a s o nt or e d u c e s y s t e mp e 怕n 1 1 a n c ea n de v e nm a k es y s t e mu n s t a b l e t h ea n a l y s i sa n d c o n t r o ls y n t l l e 。 s i so fl i n e a rs w i t c h e ds y s t e m sw i mt i m e d e l a ya r ed i s c u s s e di nt l l i sp a p e r t h em a i n c o n t e n t s0 fm i sp a p e ra r e1 i s t e db e l o w ： f i r s t l y ，s t a b i l i t ya n a l y s i sv i af e e d b a c ko f1 i n e a rs y s t e m sw i m s t a t ed e l a ym a ta r e c o m p o s e do fp o l y t o p i cu n c e n a i ns u b s y s t e m s i ss t u d i e d b yc o m b i n i n gw i ml e i b n i z 。 n e w t o nf 0 珊u l aa j l da p p r o 砸a t em a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，s o m es 讪i l i t yc o n d i t i o n s o f b o t hd e l a y i n d e p e n d e n ta n dd e l a y - d e p e n d e n ta i _ ed e r i v e du s i n gl y a p u n o v - r a z u m i k h i n s t a b i l i t ym e o r y f u n h e m o r e ，w ep r o p o s et h es w i t c h i n gm l e sb yu s i n gm eo b t a i n e d c o i n m o nm a t r i c e s t h e n ，t h ep r o b l e mo f 致。c o n t r o lf 研ac l a s so fl i n e a rs w i t c h e ds y s 伧m s w i t ht i m e d e l a yi si n v e s t i g a t e d f o rs w i t c h e ds y s t e mc o m p o s e d o faf a m i l yo fl i n e a rs u b s y s t e m s w i m t i i n e d e l a y ，t h es y n m e s i so fs w i t c h i n gs t r a t e g yi sc o n c e m e dw i 也t l l eo p t i i l l i z a t i o n o f 凰p e r ：f c ，咖a n c e b o md e l a y i n d e p e n d e n ta n dd e l a y d e p e n d e n tc o n d i t i o n sf 研m e p r o b l e mo fo p t i l i z a t i o no f 风p e 晌彻a n c ea r ed e r i v e d f u r t h e m o r e ，t h es w i t c h i n g s t a t ef e e d b a c ks t r a t e g i e sa r ep r o p o s e dt os o l v et h e 丑二c o n t r o lp r o b l e mf o rl i n e a rd e l a y s w i t c h e ds v s t e m s k e yw o r d s ：h y b dd y n a m i cs y s t e m s ；s w i t c h e ds y s t e m sw i mt i m e d e l a y ； s t d b i l i t y ；风c o n t r o l ；d e l a y i n d e p e n d e n t ；d e l a y d e p e n d e n t u 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：1 e 碾喂 签字日期：邳。毽年6 月l o 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞凄盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤盗盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：耍 匕最。晨 导师签名： 互一蛊包 签字日期：懈年6 月 o 日签字日期：2 卅年f 月汐日 第一章引言 混杂系统的概念首先由w i t s e n h a u s 于1 9 6 6 年提出 1 】，这标志着混杂动态系 统( h y b r i dd y n a i l l i cs y s t e m ) 、理论研究的开始。a n t s a h i s 在髓e a c 的混杂动 态系统专刊 2 中给出了混杂动态系统的三种类型，其中之一即是切换系统。因 此，从这个意义上说，混杂系统的发展史即是切换系统的发展史。 1 1混杂系统的研究背景 近年来，对于混杂动态系统的研究逐渐增多。混杂动态系统，简称混杂系 统。所谓混杂系统是指既包括连续变量又包括离散变量，而且这两种变量相互 作用，形成耦合的一类非线性系统。它既包括连续动态子过程，又包括离散动 态子过程。连续动态子过程采用微分方程或差分方程的模型来建模并服从于连 续变量的运动规律；离散动态子过程采用逻辑类型的模型来建模并服从于离散 系统的演化机制，两者的相互作用按具体问题有着多种类型和复杂的机理。一 类典型的混杂系统是数字自动机与连续时间对象连接而成的系统。在这类系统 中，连续时间对象状态的演化触发自动机事件的发生，导致自动机( 离散) 状 态的迁移，进而反过来改变连续时间对象状态的演化规律。其实混杂系统对于 从事控制理论与应用研究的人们来说，并不是十分陌生的。比如继电器、接触 器等时滞环节就可以看作一个简单的混杂系统：如果我们将继电器、接触器的 开关状态作为系统的离散状态变量，而将那些连续变化的变量，如电压、电流 或时间等，作为系统的连续变量，不难发现由于电磁设备中的磁滞现象，系统 的离散状态的取值及变迁是受这些连续变量的变化过程的影响的。 混杂系统具有以下明显的特点【3 ： ( 1 ) 系统内存在着性质不同的连续和离散两类变量； ( 2 ) 时间和事件共同驱动系统的状态演化； ( 3 ) 连续变量穿越阈值使状态使能或失能； ( 4 ) 离散状态的变化改变连续变量遵循的变化速率； ( 5 ) 离散事件发生在离散时刻，具有顺序、选择、并发等特色； ( 6 ) 状态呈阶段性、间歇性跳跃变化，动态特征显著； ( 7 ) 对系统的控制表现为对连续状态和离散状态的集成控制； 第一章引言 ( 8 ) 对系统的优化表现为在定性定量双重指标下的集成优化。 这些特点开辟了崭新的混杂动态系统理论研究课题。 混杂系统有着非常广泛的应用背景，特别是近十年来计算机技术的迅速发 展使混杂系统和混杂控制的应用成为可能，不少研究成果已在机器人行走控 制【4 】，飞行器控制 5 】，交通管理【6 】，化学过程【7 】，工业制造 8 】，网络控制 系统 9 】，嵌入式系统【1 0 】等场所得到广泛的应用，在电力系统上混杂系统也展 现出其良好的发展前景【11 】- 【1 4 。正是由于混杂系统具有广泛的工程背景，如 今混杂系统已经成为计算机科学、自动控制、数字控制等领域共同关注和研究 的热点，并被公认为对生产过程自动化、自动化调度、机器人控制、计算机通 讯等一系列工程技术问题具有重要的指导意义。 混杂系统的研究既具有实际价值，同时也具有理论研究上的意义。首先， 当所研究的系统外部表现出跳变、轨线不连续等复杂的动力学特性时，如果用 混杂系统( 切换系统、状态跳变系统) 来代替复杂的非线性动力方程将会大大 简化模型，便于分析，而且对于切换系统和状态跳变系统已经有了许多关于稳 定性等方面的结论。而对于非线性系统如今还缺乏有效的、系统的方法，从而 采用混杂系统建模和分析以至于设计综合都具有很大的优势。 1 2 切换系统的研究背景 切换系统是一类特殊的混杂动态系统，也是与控制理论( 经典控制理论、 现代控制理论和智能控制理论) 联系最为密切的一类混杂系统，主要研究内容 包括切换系统的建模、分析和控制等。切换系统由若干子系统构成，这些子系 统是由微分或差分方程进行描述；同时还有切换律作用于这些子系统当中，切 换律是用来指定子系统之间的切换规则的，是切换系统的离散动态，它指挥和 协调着系统的连续状态。 切换系统有着广泛的实际背景。首先，可以对具有己知或未知的参数突变 的系统建模，例如同步切换线性系统，具周期切换的网络控制系统【1 5 】，以及 由于元件损坏而造成的系统结构突变。其次，这种系统是由对多率采样数据系 统的研究而自然提出的【1 6 。第三，切换系统还可以用于描述由多个控制器切 换控制的系统，这种混杂控制方法对于实现复杂系统以及具有极大不确定性系 统的控制提供了有效的手段。非完整约束系统的混杂控制就是一个很好的例 子，对于简单的线性时不变系统( m ) ，其性能( 如瞬态响应) 可通过控制 器补偿器切换来得以提高。 下面具体给出一个切换系统的例子： 2 第一章引言 例1 2 1 ：多控制器系统 图1 1 多控制器结构图 在有些系统中，由于各种约束条件的限制，系统只允许使用有限个事先指 定的控制器，而每个单一的控制器往往不能满足性能要求，因此就需要设计一 个切换规律，使得系统在这有限个控制器间进行切换来达到性能要求。 多控制器系统是一类特殊而重要的切换系统。a s m o r s e 利用监控技术研究 了这类系统的稳定性及鲁棒稳定化问题【1 7 】， 1 8 】。e f s 昀t i o ss k a f i d a s 等人利用 完备性条件研究了这类系统的稳定性问题【1 9 卜【2 l 】。 控制界的学者近年来一直都在对切换系统进行研究，已经取得了大量的研 究成果，包括其稳定性、能控性、能观测性、切换镇定及其它综合问题。切换 系统的研究进展可参见文献 2 2 】。切换系统可看作是一类变结构系统，但分析 的复杂性加大。由于线性分析的很多方法都可以直接用于或推广到切换系统， 所以线性切换系统的研究就相对比较简单。目前对线性切换系统的研究比较成 熟，而对非线性切换系统的研究还处于开始阶段。线性切换系统可以看作是线 性系统与复杂系统和或者不确定系统之间的桥梁。 切换系统是由一组连续微分方程子系统以及作用在其中的切换规则构成 的。切换系统在切换的过程中，每一时刻系统的状态只符合其中一个系统的规 律，即切换规则确定每一时刻系统切换到哪一个子系统，系统的状态就在相应 时刻切换到相应的子系统。切换系统用多个控制器按切换方式控制个连续对 象。切换通常分为基于时间切换、基于空间切换和基于逻辑切换三种方式。基 于时间的切换系统处理比较简单，基于空间的切换系统涉及状态空问划分、稳 定性以及滑模控制等诸多问题。 由于切换系统中切换信号的存在，使得切换系统与一般系统相比有其特殊 性。比如切换系统的稳定性具有这样的性质 2 3 】：子系统的稳定性不等于整个 系统的稳定性，即可能存在这样的情形，切换系统的每一个子系统都不稳定， 但是通过构造一个适当的切换序列仍然可能使整个切换系统稳定，从而实现一 3 第一章 引言 般系统不能实现的性能；相反的，即使每一个子系统是稳定的，如果切换序列 选择的不恰当，也可能造成整个系统是不稳定的。 1 3 论文的结果和结构安排 本文主要研究了线性时滞切换系统的分析与综合问题。 第一章绪论部分，简要介绍了混杂系统和切换系统的工程背景、特点、研 究内容、研究现状，以及本文的内容。 第二章介绍了切换系统的模型以及切换系统在稳定性分析方面的一些主要 方法和结论。 第三章研究了由凸多面体不确定子系统构成的线性时滞切换系统的状态反 馈镇定问题。应用l y a p u n o v r a z u 血烛i n 稳定性定理，分别给出了时滞切换系统 反馈可镇定的时滞无关和时滞相关的稳定性判据，同时设计了使系统稳定的切 换信号( 律) 。 第四章研究了由若干线性时滞子系统构成的切换系统的巩控制问题。考 虑了状态反馈切换律的设计，使得时滞切换系统不仅稳定同时满足给定的比性 能。得到了时滞切换系统状态反馈可镇定且具有给定的鼠性能的时滞无关和时 滞相关判据，并将判据等价地转化为矩阵不等式。 结束语部分总结了本文的主要内容，并对今后的工作做了一些展望。 4 第二章切换系统研究现状及相关理论 切换系统是混杂系统中一类形式较为简单，在实际中又颇具代表性的系 统，也是与控制理论联系最为密切的一类混杂系统。近年来，计算机技术的飞 速发展和普及应用为混杂系统实施控制提供了坚实的物质基础和广阔的发展前 景，使混杂系统的研究引起了国内外控制科学界的极大关注，成为当今控制与 计算机科学界的前沿热点。目前混杂系统的设计与分析主要集中在系统的稳定 性 2 4 】、优化设计 2 5 】、鲁棒性 2 6 】三类问题的研究上，其中又以稳定性问题 最多。 2 1 切换系统的建模 由于研究背景以及所关心的问题不同，研究学者们往往采用不同的模型和 方法来研究混杂系统。迄今为止可以将现有的混杂系统模型大致分为三类：基 于自动机等逻辑模型的混杂系统模型 2 7 】， 2 8 】，基于动态系统理论的混杂动 态系统模型 2 9 】，【1 】以及基于离散事件动态系统监控理论的层次模型 3 0 】。在 文章 3 1 中，d e c 矾。等人总结了以前所提出模型的特点，给出了如下的混杂系 统的模型： 戈( f ) = ，( 工( f ) ，p ( f ) ，“( f ) ) ) ，( f ) = g ( 工( f ) ，p ( f ) ，“ ) ) p ( f + ) = 9 ( z ( f ) ，p ( f ) ，“( f ) ，仃0 ) ) 其中，x ( f ) 彤是连续状态，“( f ) 尺是连续控制输入，或者是连续部分的外 部参考或扰动信号，p ( f ) 1 ，m ) 代表矢量域厂( ，) 的离散状态，仃( f ) 是离 散事件输入，9 ( ，) 是基于逻辑和或离散事件系统动态集合的非连续转换函 数。在【2 9 】中，给出了切换系统的形式化定义如下： 荆= m ( ) ，仃( f ) ，“( ) ) ( 2 1 1 o ( f + ) = l f ， ( r ) ，巧( f ) ，“( f ) ) 其中仃( f ) = 1 ，) ，厂( ，) ：舻一是全局l i p s c h i t z 连续的， l f ，( ，) ：胖_ 彤代表有限动态，决定了切换系统的切换规则。 5 第二章切换系统研究现状及相关理论 对于一般的线性定常切换系统，我们有如下定义【3 2 】- 【3 4 】 6 戈( f ) = a a 石0 ) + b 仃“( f ) ( 2 2 ) ) ，( f ) = g x ( f ) 其中，工( f ) 彤是系统的状态，“( f ) 科是控制输入，) ，( f ) 艄是输出，仃是分 片定常的切换信号，它是从集合贾：= l ，中取值。在连续情形下6 x ( r ) = 出) x ( f ) ，在离散情形下缸( ) = 工0 + 1 ) 。给定每个子系统的结构之后，整个 系统的行为就由切换信号( 律) 决定了。 对于一般的连续线性时滞定常切换系统，我们有如下定义 荆= a 以( ) + a 如x ( 卜f ) + b 仃“( ) ( 2 3 ) y ( f ) = c 缸( f ) 其中，f 是系统的时滞常数。 目前仅对下述的线性时不变切换系统研究比较成熟。 戈0 ) = a 仃工( f ) ( 2 4 ) 其中a f 舻煳，f q ，指标集q 是有限的，q = 1 ，2 ，m ) 对于一个切换系统，切换律可分为以下几类： ( 1 ) 仃( f ) 为任意切换，即它是任意右连续函数( 但一般要求在有限时间区间内只 能切换有限次) ； ( 2 ) 仃( f ) 能控，即它是可设计的右连续函数； ( 3 ) 仃( f ) 是一个随机的( 一般为m 狄o v ) 过程，即它按随机( m 破o v ) 过程演 化； ( 4 ) 仃( 工，f ) 依赖于状态，即它为一状态反馈切换律。 2 2 切换系统的稳定性 稳定性是系统正常运行的前提，因此稳定性一直是切换系统研究的一个热 点。由于“切换”的引入，使得切换系统的运行行为更为复杂。为了对切换系 统稳定性有一个直观的认识，我们先来看两个形象的例子。 一 例2 2 1 ：两个不稳定的子系统，如果切换得恰当也可以保证切换系统的稳 定性( 见图2 一1 ) 6 第二章切换系统研究现状及相关理论 j、 歹 )| | 卜 ，l ：2一- 、 ， -。， j 可 、 ， ? 7 。 ， 图2 1 子系统不稳定，整个系统稳定 例2 2 2 ：两个都渐近稳定的子系统，如果切换得不恰当也可能导致切换系 统的不稳定( 见图2 2 ) j 歹) | | 卜 、 ：- 。一 。 - ， - -。，-， _ 卜 7 ， 。一i 图2 - 2 子系统稳定，整个系统不稳定 由上面两个例子可以看出切换策略的选取对切换系统的研究是十分重要 的。p e l e t i e s 和d e c a l l o 3 5 】最早讨论了切换系统的稳定性，“b e r z o n 【3 6 】系统综 述了切换系统稳定性方面的研究成果，且将切换系统稳定性的研究归结为以下 三类问题： ( a ) 在任意切换信号下，切换系统的稳定条件； ( b ) 在一组确定切换信号下，切换系统的稳定条件； ( c ) 设计切换信号使得切换系统稳定。 其中，问题( a ) 对于切换机制不知道或者太复杂的情况下的系统稳定性分析 十分有用。对于问题( b ) 和( c ) ，要分清两种情况。如果一些或者全部子系统都是 稳定的，则关于这类系统一个有趣的问题就是尽可能完全地找出使系统渐近 稳定的切换信号( 使系统稳定的切换信号很明显存在。例如，使6 三仃，其 中仃是某个稳定的子系统的标号) 。另一方面，如果所有的子系统都不稳定， 则需要构造至少一个切换信号使系统稳定，这个问题也许相当困难或者根本不 可能。问题( c ) 则是将切换信号作为控制的一种手段来对待的，它要求构造切 换信号来实现系统的稳定性或其它性能。目前，切换信号的构造方式不多， 有状态依赖切换信号的构造，例如 3 7 】- 【4 3 】；有时问依赖切换信号的构造， 见 4 4 】，【4 5 】；还有将这两者( 时间和状态依赖) 结合起来的切换信号的构造方 7 第二章切换系统研究现状及相关理论 式，见文献【4 6 。 2 2 1 公共l y a p u n o v 函数 很明显，为了研究切换系统在任意切换下的稳定性，我们必须假设所有系 统都是稳定的，这点对于切换系统的稳定只是必要条件。我们要研究的是为了 使切换系统在任意切换下稳定还需要什么条件。 存在公共l y a p u n o v 函数是系统在任意切换下渐近稳定的充要条件，因而寻 求公共l y a p u i l o v 函数存在的条件是解决稳定性问题的一个途径。公共l y a p u n o v 函数法与传统的l y a p u n o v 直接法基本是一致的。其主要思想是：对于切换系 统，如果各子系统存在公共l y a p u n o v 函数，那么系统对于任意的切换序列都是 稳定的。 l y a p u n o v 稳定性定理为研究切换系统的稳定性提供了一个基本工具，具体 如下： 对切换系统( 2 1 ) ，如果存在一个l y a p u n o v 函数y ) o ，使得对所有的切 换模态 矿 ) = 掣 ( 工) o ( 0 使得 p a i + a ；尸 o ，v i q 则称它为a i l t q ) 的一个公共二次玲印u v 函数。 注2 2 1 本文主要考虑有服个切换模型的情况，即q o 通常情况下贾= o 。 ( 2 ) 导数负定：当切换到子系缴= 五 ( f ) ) 时，其相应的l y a p u n o v 函数单调递 减，即魄q ，矿 ) = 等笋五 ) o 假设切换系统( 2 1 ) 每个向量场五 ) 在区间q i 对应一个类l y a p u n o v 函数( 工) ， 且平衡点均为工= o ，并假设设u f q f = 群，b 珊i c k y 证明了对于给定的分区切换 序列仃( f ) ，当且仅当x q f 时仃( f ) = f ，如果满足 缸( f f ，惫) ) ( ，惫一1 ) ) 则系统( 2 1 ) 是李雅普诺夫意义下稳定的。式中f f 。七代表系统切换至五( z ) 的第k 次， 即万( f 爰) o ( f 矗) = l 。 v 图2 3b r a i l i c k y 稳定性结论的能量下降不慈图 公共l y a p u n o v 函数法研究切换系统对于任意切换序列是否稳定，而 多l y a p u n o v 函数法研究系统对于一类切换序列是否稳定。当切换系统只有 一个子系统时，多l y a p u n o v 函数法即退化为常见的l y a p u n o v 直接法，当各子系 统l y a p u n o v 函数相同时，可视作公共l y a p u n o v 函数。文献【5 3 】进一步拓展了 多l y a p u n o v 函数法，使之适用于各子系统平衡点不同的情形。文献 5 6 】研究了 当子系统切换时状态发生跳变( 即有脉冲效应) 系统的稳定性，文献【5 7 放 宽了多l y a p u n o v 函数法的前提假设，不要求五 ) 是全局l i p s c h i z 连续的，文 献【5 3 】，【5 8 】在l y a p u n o v 稳定性的基础上更进一步论证了切换系统的渐近稳定性 及指数稳定性。 2 2 3 基于逗留时间的稳定性 对于切换系统，即使各个子系统均渐近稳定，如果切换不当，也可能使这 个系统不稳定。直观地说，这是由于切换引起的“系统能量 增长趋势超过了 第二章切换系统研究现状及相关理论 各稳定子系统对“系统能量”的衰减作用。一个自然的想法是，如果在各稳 定子系统内停留的时间足够长，以对消并超过切换引起的“系统能量”增长 趋势，那么切换系统就可以稳定了。这一方法被称为“长逗留时问( l o n gd w e l l t i l n e ) 稳定性”。 衡量逗留时间长短的最简单直接的方法就是引入一个正常数f o ，假 设相邻切换时刻相差不小于f 的切换信号( 即每次在子系统的逗留时间不小 于f ) ，我们考虑在这样一类切换信号下系统的稳定性。对于线性切换系统，文 献 2 3 】给出了这样的结果：如果各个子系统均渐近稳定，那么只要切换信号满 足在各个子系统内的逗留时间足够长，即只要彳足够大，就可以保证线性切换系 统全局指数稳定，并且还可以定量计算出逗留时间的下限。在一定条件下，还 可以将上述结论推广到非线性切换系统 4 5 】。 在这里，我们仅以一对全局指数稳定的非线性系统为例来说明基于逗 留时间( d w e ut i m e ) 的稳定性条件。两个子系统均存在各自的l y a p u n o v 函 数( f = 1 ，2 ) ，以及常数研，6 f ，c f ( i = 1 ，2 ) ；满足 研h 2 ) 6 f h 2v ) 五 ) 一c f h 2 容易推得： v ) 五 ) 一九o ) ，f = 1 ，2 其中九= c f 现，从而得知，只要a ( f ) = f ，陆，幻+ 叫，i = 1 ，2 ，则 ( 工( 幻+ f ) ) p 一九f ( 幻) ) 假设初始状态为 ( 幻) ，a ) ) = ( 如，1 ) ，在f 1 ，f 2 发生切换，有仃( f 产) = 2 ，仃( 哆) = l 以及f l 一幻f ，包一f 1 f 。 由以上分析我们可推得 屹( “) 筹 1 ) 筹f 一知f y ( 幻) 以1口1 由此得 毗) 嘶) 枷眦1 ) 篡p 一籼挑n 眦。)口，a 2口l 口2 只要r 足够大，就可以保证( 龟) o 假设2 2 2 p 蛔p 器：工删m q q z 昭肛a ，那么切 换系统( 2 1 ) 全局渐近稳定。 2 2 4 时滞稳定的相关理论 稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对大多数情形，稳定是 控制系统能够正常运行的前提。在现有的时滞稳定性条件中，根据是否依赖系 统中时滞的大小，可以将稳定性条件分为时滞相关和时滞无关两类。 1 时滞无关的稳定性条件：即在该条件下，对所有时滞，系统是渐近稳定 的。由于这样的条件无需知道系统滞后时间的信息，因此适合于处理具有不确 定滞后时间和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析问题。 2 时滞相关的稳定性条件：即在该条件下，对滞后时间的某些值，系统是 稳定的；而对滞后时间的另外一些值，系统则是不稳定的。因此，系统的稳定 性依赖于滞后时间。 一般来说，时滞无关的稳定性条件比较保守。因为，若系统满足时滞无关 的稳定性条件，则对任意大的滞后时间，系统都是稳定的。显然，这样的要求 很强。特别对小时滞系统，这样的条件是很保守的。但是，时滞无关的稳定性 条件也有其优点。首先，这样的条件往往更为简单。其次，它可以允许系统的 时滞是不确定或未知的，从而无需知道系统时滞的精确信息。 l h z u m i k h i n 稳定性定理：考虑系统( 2 3 ) ，：尺c ( _ f ，o ) 一彤表示从实 数域尺及连续函数的有界集c 映射到彤的有界集，并且“( s ) ，v ( s ) ，w ( s ) ：尺+ 一r + 均 为连续非减函数，v ( s ) 为严格增函数，当j o 时，m ( s ) 、v ( s ) 及v ( s ) 均为正数， 且满足蹦( 0 ) = v ( o ) = 0 。当5 o 时，p ( s ) s 。如果存在一个连续可微的函 数y ：尺彤一尺使得： h ( i i 石l | ) y ) v ( i i zj 1 ) 1 3 第二章切换系统研究现状及相关理论 并且在假设条件y ( 工( f + 9 ) ) p y ( f ) ) ，v 8 【一f ，o 】下，沿系统( 2 3 ) 的轨迹有： 矿( x ( f ) ) 一w ( il z ( f ) i | ) 那么称系统( 2 3 ) 的平凡解工( f ) = o 是渐近稳定的。 2 3 本文常用的几个引理 3 工c 忡蛳矩阵 ：拢 ，硎条件等价 例 耋芝 叫 。j 2 2j r 圳中1 】 o 且中2 2 一西亿中_ l l 中1 2 o i f 洫) 中2 2 0 和一个依赖于状态x 的切换信号仃 ，f ) 使得 丢y ( 石) o ，w 0 使得 尸w 一1( 3 7 ) 九竺? + ( 1 一他江2 ，p + p 九p l t ? i 一九j ) a 2 ( 3 8 ) + 尸 九j a d l i w a 五f + ( 1 一九j ) a d 2 f w r a 夏j p + p 0 使得 端蔗z 猕! 嚣竺籀：裂笺 9 ， + p 【九，a 而i w r a 五，+ ( 1 一九j ) a d 2 f w r a 夏f p + p 一， 对于任意状态z 0 有 ，a l l + ( 1 一a 2 1 丁陬+ x 丁m 1 1 a l l + ( 1 一九1 1m 2 1 工 o ) + 彳7 p 九l l a 函1 w a 五l + ( 1 一九1 1 ) a 如1 w a 乞l 】陬+ ， 一，x 、 ，【九1 2 a 1 l + ( 1 一a 2 2 】r 取+ 工7 雌1 2 a 1 l + ( 1 一蚓工 1 ) + z 7 尸 九2 a 面1 w h 五1 + ( 1 一九1 2 ) a 如2 w a 乏2 】取+ z 7 一x r x 。 ， 赴1 a 1 2 + ( 1 一如1 ) a 2 1 】7 陬+ ，p 赴l a l 2 + ( 1 一勉1 弘2 1 】z ( 3 1 2 ) + x 7 p 恕l a 幽2 w a 五2 + ( 1 一赴1 ) a 出1w a 乏1 + 工丁段 一默丁石 、 。 ， 赴2 a 1 2 + ( 1 一恐2 m 2 2 7 取+ ，p 【赴弘1 2 + ( 1 一赴2 m 2 2 k + ，p 【恐2 a 幽2 w a 五2 ，+ ( 1 一恐2 ) a d 2 2 w ，a 夏2 】 + ，段 一x 丁x 整理上式得 九l l 工丁互1 1 j c + ( 1 一九1 1 ) ，三2 l x 一酽工 九1 2 x 丁三1 1 工+ ( 1 一九1 2 ) 工r 互2 2 z 一_ 丁工。 a ，2 l z 7 三1 2 工+ ( 1 一恐1 ) 工r 三2 l x 一x 了工 丸硝7 三1 2 工+ ( 1 一如2 ) ，三2 2 z 一积丁工 其中三l j ：= a 五尸+ p a i + 尸a d 玎w a 五j p + p 从匕面的不等式，很明显可以证明 工7e 1 1 工 一x l z x 。三1 2 工 一石1 工 一 一 叩个 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 或 ，三2 l 工 一驭k工7 e 2 2 工 一，戈，则我们可以从不等式 ( 3 1 4 ) 中得到，互2 1 工 一积k ，从不等式( 3 1 5 ) 中得到，三2 2 工 一默k 。其它情 况也同样成立。 现在，我们设计切换信号如下 仃( z ，f ) 川，三泸 一积k ，= 1 ，2 ) ( 3 2 0 ) 基于以上的讨论，我们可以得出 ，三o l 工 一戤k，三拱 1 和6 0 在假设条件 y ( 工( f + 9 ) ) 0 使得 a ；p + p a 口+ 以如w a 乏p + ( 1 十2