（电路与系统专业论文）小波变换研究及其FPGA实现[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 摘要 傅里叶变换是信号处理领域中较完美、应用较广泛的一种分析手段。 但傅里叶变换只是一种时域或频域的分析方法，它要求信号具有统计平 稳，即时不变的特性。但是实际应用中存在很多非平稳信号，它们并不 能很好的用傅立叶变换来处理。小波变换的出现解决了这个问题，它在 处理非平稳信号方面具有傅立叶变换无法比拟的优越性。 小波变换在通信技术、信号处理、地球物理、水利电力、医疗等领 域中获得了日益广泛的应用。小波变换的研究成为了当今学术界的一个 热点。随着现代数字信号处理朝着高速实时的方向发展，纯软件的程序 式信号处理方法越来越不能满足实际应用的需求，因此人们希望用硬件 电路来实现高速信号处理问题。 基于以上原因，本文在研究了小波变换的基本理论和特点的基础上， 重点研究了小波变换的v l s i 电路构架，并用f p g a 实现了它的功能。 毫无疑问，本文所做的具体工作在理论和实践上都有参考价值。 论文中，在简要介绍了小波变换的基本理论、特点和应用；对信号 小波变换分解，重构的m a t l a b 算法进行了分析，为硬件实现奠定了理 论基础。 论文在研究了小波核心算法m a l l a t 算法的基础上，以直观的图形 方式描述了算法的流程图；并由此提出了基于v l s i 的电路模块架构。 根据上述模块结构，对相关模块进行了硬件描述语言 ( v e r i l o g h d l ) 的建模，并且在仿真平台上( a c t i v e h d l ) 进行了仿 真。 在仿真正确的前提下，本文选用了e p 2 0 k 1 0 0 b c 3 5 6 1 v 芯片作为目标 器件进行了综合和后仿真，并且将仿真结果通过m a t l a b 与理论参数进 行了比较，结果表明设计是正确的。 对设计中存在的误差和部分模块的进一步优化，本文也作了分析和说 明，为下一步实现通用i p 核设计奠定了基础。 关键词：小波变换m a l l a t f p g a 兰童堡三查兰堡主堂竺堡苎 一 a b s l r a c t t h ef o u r i e ft r a n s f o r misa p e r f e c ta n dw id e l yu s e da n a lys is m e t h o di nt h es i g n a l p r o c e s s i n gf ie l d b u ti tisap u r e f r e q u e n t e a n a l y s i s w a yw h ic hd e m a n dt h es i g n a l ss t a t is t icc h a r a c t e rt 0 b es t a b l e i nm a n y a p p l i c a t i o n ，t h es i g n 9 1a f eu n s t a b l e s 0t h e u s eo ff o u r ie rt r a n s f o r mc o m ea c r o s st h e1 i m i t a t i o n t h ew a v e l e t t t a n s f o r ms 0 1v et h ep r o b l e ma n di th a sm u c ha d v a n t a g ec o m p a r e dw i t h t h ef 0 u r i e ft f a n s f o r mw h e np r o c e s s i n gt h eu n s t a b l es ig n a ls m o d e r n d i g i t a ls i g n a lp r o c e ss i n ga f eb e c o m i n gm o t ea n dm o r e f a s t e r ，a n dh a st h er e a lti m ed e m a n d p u r es o f t w a r em e t h o dc a n t m e e tw i t ht h er e q u ir e m e n ts t h er e s e a r c h0 ft h ev l s ic 0 n s t r u c t i o n a n dt h et e s to df p g ah a sg r e a t t h e o r ya n da p p l i c a t i o nv a lu e t h is p a p e rd i s c u sst h eb a s i cp r i n c i p l eo fw a v e l e tt r a n s f o r m a n dd om a t l a bs i m u l a t i o no f s i g n a l sd e c o m p o s i t i o na n d r e c 0 n s t r u c t i o n t h ef e s e a r c hf 0 c us e so nt h ec o r em a l e a ta 1 9 0 r i t h m0 fw a v e l e t t r a n s f o r m p r e s e n tt h ev l s ic o n s t r u c t i o nb a s e d0 nt h ep r 0 c ess i n g 0 fi ts d e c o m p 0 s i t i o n a n df e c o n s t r u c t i o n s e tu dt h eh a r d w a r e d e s c r i b e l a n g u a g em o d e l ，d o s i m u l a t i o no nt h e p l a t f o r mo f a r t i v e d h l t h er es u l tisc o m p a r e dw i t ht h 0 s ep r o d u c e db ym a t l a b w h ic hp r o v e st h ec o f r e c to ft h es y s t e 皿a t1 a s taf p g ac h i pisc h o s e n t 0d 0t h es v n t h e s is a sf o rt h ee r r o f sa n d0 t h e rp r o b l e me x is ti n t h ed es i g n t h ep a p e rg i v es a r i a l y s i sa n des t a b l i s haf o u n d a t i o n f o r t h ef u r t h e rr e s e a r c h k e yw o r d ：w a v e l e tt r a n s f o r m ：m a l l a t ：f p g a 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立 进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成 果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人 承担。 作者签名： 龚每易 日期：诊叶年6 月p 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的 规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华南理工大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：磐彰易日期：2 0 0 4 年5 月3 0 】 导师签名：关尚文 日期2 0 。4 年5 月3 。日 第章绪论 第一章绪论 1 1 小波变换的发展及其应用 傅立叶变换是人们熟悉的数学变换之一。它在数字信号处理领域内 获得了非常成功的应用。但是傅立叶变换对信号的时域和频域观察有个 缺陷，即它不能把二者有机的结合起来。傅立叶频谱是信号的统计特征， 是整个时间域的积分，没有局部化分析信号的能力，不具备时域信息。 另外傅立叶变换要求信号在时间域内是统计平稳的，但是有很多信号， 比如医学上的心跳信号常常没有统计平稳的特征，这就给工程上带来了 困难。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的：i ：程师j m o r le t 在 1 9 7 4 年首先提出的，当时未能得到数学家的认可。1 9 8 6 年法国著名数学 家y m e y e r 构造出一个真正的小波基，并建立了构造小波基的多尺度分 析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。比利时女数学家i 。d a u b e c h i e s 撰写的小波十讲( t e ni e c t u r e s o hw a v e l e ts ) 对小波的普及起了重 要的推动作用。它与f o u r i e r 变换、窗口f o u r ie r 变换( g a b o r 变换) 相 比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息， 通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 ( m u l t is c a le a n a l y s is ) ，解决了f o u r ie r 变换不能解决的许多困难问 题，从而小波变换被誉为“数学显微镜”，它是小波分析发展史上的里 程碑。 随着小波理论研究的深入，小波变换在数据压缩，去噪，通信，水 利，地震、雷达、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面的信号处理领 域得到了越来越广泛的应用。 数据压缩是小波变换应用较有成效的一个领域，特别是对二维图像 数据。采用小波变换作数据压缩的优点不仅在于压缩比可以提高，而且 可以避免其他疆缩编码方法由于数据分块造成的“方块效应”，质量较好 2 1 。 小波变换另外一一个应用非常成功的领域就是去噪。传统的建立在傅 立叶变换基础上的滤波方法在提高信噪比和提高空间分辨率两项指标上 常常存在矛盾。低通滤波器固然可以抑止高频噪声，但是同时也会使图 像边缘变得模糊。高通滤波器可以使边缘变得陡峭，但是背景噪声同时 也被加强。相比之f ，基于小波变换的多分辨滤波技术有明显的优点。 华南理丁大学硕+ 学位论文 除上述领域，小波变换还广泛用在现代科技的各个方面。例如，在 地震信号分析中，地震子波在传输过程中由于介质的吸收效应造成不断 扩张，高频成分逐渐衰减，不同界面的反射波所含的频率成分也不同， 因此地震反射信号是具有时变谱特征的非平稳信号。文献f 3 1 利用多尺度 分析方法对地震记录进行了分析，极大的改善了深层地质的反射信号。 对分析处理地震记录预防地震灾害起到了作用。 在国防工业领域，小波分析也被用来进行雷达目标成像处理。文献【4 】 选取了m o r l e t 小波基对步进频率雷达信号进行处理，确定了目标中各个 散射点的位置，降低了回波信号的副瓣电平，有效的解决了有关散射中 心位置的散射问题。 1 2 小波变换f p g a 实现的意义 f 是由于小波变换在图像处理和其它领域内得到了越来越广泛的应 用，对小波变换的研究也成为业界和学术界的一个热点。前面已经提到 由于小波变换的计算较为复杂，在一些对实时处理的场合，软件计算方 法经常不能满足要求。假设一个小波滤波器阶数为l o ，那么它每产生一 个输出就要进行1 0 次乘法，1 0 次加法。如果用d s p 实现，加法需要一 个操作周期，乘法需要若干个操作周期。完成这些运算需要大量的时间 延迟，处理速度不能满足实时应用需要。 为了解决以上的矛盾，人们总是试图用硬件来实现工程中的小波变 换相关算法。但是掩膜专用芯片的设计周期长，风险大，并且其中的算 法无法优化。因此本文尝试采用f p g a 实现小波变换算法是有意义的。 1 3 国内外研究现状 小波变换理论在国际上是上个世纪8 0 年代才发展起来的数学分支， 国内从9 0 年代开始才掀起了小波研究的热潮。 国外在该领域内的理论研究工作是比较系统的，目前理论上的研究 集中在完善小波变换理论，小波基的构造等方面。国内的研究主要是对 现有理论的学习和改造。 国外对于应用的研究也相对较多。美国a d 公司于2 0 0 1 年推出了首 款基于小波压缩的专用芯片( 无法获得其相关资料) ；近两年，在数码相 2 第一章绪论 机的高端市场有基于j p e g 2 0 0 0 的产品推出，而j p e g 2 0 0 0 的核心算法就 是基于小波变换的。 从公开发表的论文看，s a r i n g e o r g em a t h e n f u n i v e r s i t vo fk a n s a s ) 2 0 0 0 年的硕士论文w a v e l e tt r a n s f o r mb a s e da d a p t i v ei m a g ec o m p r e s s i o n o nf p g a 已经实现了每秒钟1 0 帧的处理速度( 5 1 2 5 1 2 ) ，编码支持3 种不同的图像压缩率的功能1 7 1 。a l im a 1 h a 于2 0 0 3 年发表在 i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo f a p p l i e d s c i e n c ea n d e n g i n e er i n g 上的f a s t d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nu s i n gf p g a sa n dd i s t r i b u t e da r i t h m e t i c 对信号做3 层小波分解的系统时钟达到了9 2 7 m h z ( 正变换) 和 8 9 i m h z ( 反变换) 。远远高于奔3 处理器的0 0 0 7 8 1 m h z ( i f 变换1 和 0 + 0 0 6 7 3 ( 反变换) 以及d s p 芯片t m s 3 2 0 c 6 7 1 1 的6 5 3 m h z ( 正变换1 和 3 6 2 m h z ( 反变换) 【引。 国内这方面的研究要相对滞后，但是近年来也有不少研究成果。如 2 0 0 3 年8 月，复旦大学专用集成电路与系统国家重点实验室的华林在微 电子学杂志上发表了一种适合j p e g 2 0 0 0 的离散小波变换v l s i 统 结构其最高工作频率达到了6 5 5 2 4 m h z t 9 1 。 总之，国内外都这小波领域进行了深入的研究，国内相对滞后，但 是也取得了一定成果。 1 4 本文所作的工作 本文主要是针对小波变换的应用，试图研究一种可以实现的硬件结 构，通过硬件描述语言建模，仿真，最终在f p g a 上的综合实现。 本文所做的工作主要有以下几点： 1 ) 在熟悉小波变换理论的基础上，根据小波变换的特点，提出了它 的v l s i 电路结构。 2 ) 采用模块化设计方法，用v e r i l o g h d l 语言建模，在 a c t i v e h d l 平台上做了仿真，并且和m a t l a b 6 5 仿真结果对照，验证 了各功能模块的正确性。 3 1 在仿真的基础上，选取了a l t e r a 公司的a p e x 2 0 k 系列的f p g a e p 2 0 k 1 0 0 b c 3 5 6 1v 作为目标器件做了综合。 4 ) 为了实现一个完整小波变换系统，在小波正变换完成后，研究了小 波反变换的原理和v l s i 电路构架，用v e r i l o g h d l 建模并在 a c t i v e h d l 平台上作了仿真。 3 华南理工大学硕士学位论文 1 5 本章小结 本章主要介绍了课题的背景、小波变换的发展、基本理论及其应用。 分析了小波变换f p g a 实现的意义。给出了该领域内国内外的研究现状、 课题的设计目标以及所作的工作。 4 第二章小波变换基础知识 第二章小波变换基础知识 小波变换是8 0 年代后期发展起来的应用数学分支。日前它的理论研 究依然是学术界的一个热点。本章将介绍小波变换的基础知识，着重介 绍本文的设计重点m a l l a t 算法。为下一章v l s i 电路构架的实现奠定 理论基础。 2 1 连续小波变换与特点 但傅里叶变换只是一种时域或频域的分析方法，它在频域的定位性 是完全准确地( 即频域分辨率最高) ，而在时域无任何定位性( 或分辨能 力) ，也即傅里叶变换所反映的是整个信号全部时问下的整体频域特征， 而不能提供任何局部时间段上的频率信息。为了研究信号在局部时间范 围内的频域特征，1 9 4 6 年g a b o r 提出了著名的g a b o r 变换，之后又进一步 发展为短时傅里叶变换( s h o r t t i m ef o u r ie r t r 8 n s f o r m ，简记为s t f t ， 又成为加窗傅里叶变换) 。但由于s t f t 的定义决定了其窗函数的大小和形 状均与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不 利的。高频信号一般持续时间很短， 们期望对于高频信号采用小时间窗， 而低频信号持续时间较长，因此我 对于低频信号则采用大时间窗进行 分析。在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同s t f t 的固定时窗( 窗不 随频率而变化) 的特性相矛盾的。小波变换不仅继承和发展了s t f t 的局部 化的思想，而且克服了窗口大小不能随频率变化，缺乏离散正交基的缺 点，是一种比较理想的进行信号处理的数学工具。 在小波变换的系统理论发展起来之前，其基本思想己经在许多领域 的应用中有所体现，只是还没有在数学上形成体系。例如b u r r 在1 9 8 3 年 提出的金字塔式图像压缩编码概念，通信及语言处理中的予带编码，数 字信号处理中的多采样滤波器组( m u l t i r a t es a m p l i n g f l i t e rb a n k ) ， 计算机视觉中的多分辨率分析等，这些在工程中获得广泛应用的朴实方 法，都可以用小波变换作为理论基础。因此，在小波理论日趋成熟的今 天，这些工程领域的应用又大大丰富了小波变换的实用意义。以卜 介绍 小波变换的基本理论。 华南理工大学硕上学位论文 2 1 1 连续小波变换概念 设x ( t ) 是平方可积的函数【记做x ( t ) 0 是尺度因子，t 反映位移，其值可正 可负。 应该指出的是，虬，( f ) ； y ( 尘三) 并不是文献中小波函数族的唯 + 一定义。有些人主张采用： y 。o ) ：! 妒( ! 二与 ( 2 2 ) 其优点在于在不同尺度下可以保持各个妒。，o ) 的频谱中幅频特性大小一 致。即： 矿( t ) 的傅立叶变换是p ( ) ，! y ( t ) 的傅立叶变换是 m 矿0 ) ：0 叻。由此可知，只有频率比例尺变化，没有幅度的变化。 2 1 。2 连续小波变换特征 由c w t 的定义可知，小波变换同傅里叶变换一样，都是一种积分变换。 由于小波基不同于傅里叶基，因此小波变幻与傅取叶变换有许多不同之 处。其中最重要的是，小波基具有尺度a 、平移b 两个参数，因此将函数 在小波基下展开，就意味羞将一个时间函数投影到二维的时间一尺度相 平面上。并且由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域 后，有利于提取函数的某些本质特征。同时，由于小波变换是种变分 辨率的时频联合分析方法。当分析低频( 对应大尺度) 信号时，其时问窗 很大，当分析高频( 对应小尺度) 信号时，其时间窗减小。这恰恰符合实 际问题中高频信号的持续时间短、低频信号持续时间较长的自然规律。 因此，同固定时窗的s t f t 相比，小波变换在时频分析领域具有不可比拟 的优点，因而可以广泛应用于时频联合分析领域及目标辨识领域。 6 第二章小波变换基础知识 小波变换是一种线性变换，它具有如下特性 1 叠加性： 如果x ( t ) 的c w t 是w t ，( a ，t ) ，y ( t ) 的c w t 是w t ，( a ，t ) ，则 z ( t ) = k x ( t ) 十k 。y ( t ) 的c w t 是： k w t ( a 。1 ) + k2 w t ( a ，t ) 2 时移特性： 如果x ( t ) 的c w t 是w t ，( a ，t ) ，则： x ( t t o ) 的c w t 是w t ，( a ，1 一t 。) 3 尺度转换 如果x ( t ) 的c w t 是w t 。( a ，t ) ，则： x ( 委) 的c w t 是万w t ，( 导， ) l 4 内积定理 以摹本小波( t ) 分别对x l x 1 ( t ) 的c w t 是： w t ，- ( a ， x 2 ( t ) 的c w t 是： w t 。z ( a ， ( t ) ，x 2 ( t ) 作小波变换。设： t ) = t ) = ( 2 3 ) 其中：哪) = 忑1y ( 争，则有 = c y ( 2 4 ) 其中的c y = f 唆如。 以下用一个m a t l a b 得小波变换分解示例来进一步说明小波变换的 原理。 殴t 取值范围( 0 ，6 ) 抽样间隔0 0 5 ； x ( t ) = s i n ( t ) + s i n ( 1 0 + t ) + s i n ( 1 0 0 4 x ) ；将这个信号作为原始输入，对它进 7 华南理工大学硕士学位论文 行d b 3 1 ( 一个母小波) 小波5 层分解，m a t l a b 的处理结果如下 图2 1 小波分解结果 f i g u r e2 - 1t h er e s u l to fw a v e l e td e c o m p o s i t i o n 尺度因子a 取了不同的值( a l a 5 ) ，得到的高低频信号如2 1 所示。 每一个小图中，横坐标表示时间，纵坐标表示信号幅度。如果将原始信 号的频率成分看做是l ，那么备层小波分解所占具体频带是： a 1 ：0 0 5 a 2 ：0 0 2 5 d 1 ：0 5 1 d 2 ：0 2 5 o 5 a 3 ：0 0 1 2 5 d 3 ：0 1 2 5 0 2 5 8 第二章小波变换基础知识 a 4 ：0 0 0 6 2 5d 4 ：0 0 6 2 5 - 0 1 2 5 a 5 ：0 0 0 3 1 2 5d 5 ：o 0 3 1 2 5 0 0 6 2 5 由上图可知，原始信号做小波分解后，可以在不同的分辨尺度下( 对 应于a l a 5 ) ，在时间和频率两个空间对信号进行观察分析。 2 2 离散序列小波变换 信号作小波变换后其信息是有冗余的，在数学上可以证明这一点。 从节约计算的角度上看，我们希望只在一些离散的尺度和位移值下计算 小波变换，而又不丢失信息。 在离散序列小波变换中经常搞混淆的两个概念是离散a 、t 栅格。卜i 的 小波变换和离散序列的小波变换。下面分别给予说明： 离散a 、t 栅格下的小波变换是尺度和位移的离散化。由于a 、t 的 取值范围是连续的变量，实际的计算中不可能全部计算，特别是在计算 机处理的情况下，因此目前通行的办法是将尺度a 按照幂级数作离散化： 令a 取n ：，n ：，。：a ：。位移的离散化：当a = n ：= 1 ，也就是j = o 时，t 可以某一个基本间隔t 。作均匀采样。to 应适当选择使得信息可以覆盖 全t 轴而不丢失。在其余各个尺度下采样间隔扩大a j 倍。小波函数：( f ) 司 以离散为： 一上 ， y 。j 加。j ( ) 2 露o2 缈【a 0 叫( f k f oaj ) 】= 4 知( 口i ，f 一) 其中k z ，j z 现实生活中产生和分析的信息都是离散的，这就是实 际所用的是离散小波变换而不是连续小波变换的原因。离散序列的小波 变换( d s w t ，d i s c r e t es e q u e n c ew a v e l e tt r a n s f o r m ) 中x ( t ) 取成离散的x ( n ) ， 相关定义和性质与连续小波变换类似。我们从滤波器组结构引出以下主 要概念： 1 第0 级输入就是x ? 就是信号的原始采样序列x ( k ) ； 2 各级低通输出x p 就是x ( k ) 在第j 级分辨率f 的平滑逼近。 3 各级高通输出d 是】【( k ) 在第j 级分辨率下的细节信号，它也就 是离散序列x ( k ) 在第j 级下的小波变换。 4 h o ( k ) ，h i ( k ) 是处理时所用滤波器组的冲击响应。h o ( k ) 是低通的， 相当于c w t 的尺度函数，h 1 ( k ) 是高通的，相当于c w t 中的 小波函数。 9 华南理工大学硕士学位论文 以上就是离散序列小波变换的基本框架。 2 3 多分辨分析和m a l l a t 算法 2 3 1 多分辨分析 如果把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度有大到小变化时，就 相当于将照相机镜头由远及近的接近目标。在大尺度空间罩，对应远镜 头下观察到的目标，只能看到目标大致的概貌。在小尺度空间里，对应 近镜头下观察目标，可观测到目标的细微部分。因此，随着尺度有大到 小的变化，在各尺度上可以由粗及精的观察目标。这就是多尺度( 即多分 辨率) 的思想，这个存上一节的m a t i a b 仿真例子中可以得到体现。 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n ) 又叫做多尺度分析，意思是可以由粗 及精的观察信号。这是小波变换的一个重要特点。可以由两个角度引入 多分辨分析：函数空间的剖分和理想滤波器组。前者是m a l l a t 提出来 的，数学上比较严谨。但是对于研究信号处理的工程技术人员，更好的 切入点是理想滤波器组。从后者入手，引入多分辨分析的概念。 当信号的采样率满足n y q u i s t 要求时，归一频带必定限制在一+ n 之问。此时可以分别用理想高通和理想低通滤波器h 。和h 将它分解为 频带在0 兰的低频和善n 的高频部分，分别反映信号的概貌和细节。 22 处理后的两路信号一定是正交的，因为频带不交叠，而且两种输出的带 宽均减半，此时可以使采样率下降一般而不至于丢失信息。 高频部分细节信号 低频部分平滑概貌 图2 1 多分辨分析 f i g u r e2 1 m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s 图2 1 中。：抽取的环节就是将输入序列每隔一个输出一次，组成 长度缩短一半的新序列。同样的过程对每次分解后的低频部分可以再重 第二章小波变换基础知识 复f 去，把每一级分解把上一级低频在分解为低频逼近和高频细节，每 一次的采样率都可以减半。这样就构成了原始x ( n ) 的多分辨分解。 这里要说明的是以下几点： 一、频率空间的剖分如果把原始x ( n 、占据的总频带( o “) 定义为 空间v u 被划分成两个子空问：低频的v t ( 频带o 三) 和高频的w ，( 频带詈 “) 。经过二级分解后v - 又被分为低频的v z ( 频带o 三) 和高频的w z ( 频 带要n ) 4 二、各个通带的恒q 性，依照上述分解，w 。空f n q 的中心频率为丝， 4 带宽为三，w z 空问的中心频率为i 3 ；r 带宽为三，其品质因数q = 中心频率 带宽保持不变。 三、各级滤波器的一致性，各级低通滤波器h 。和高通滤波器h 是一 样的。这是因为前一级输出被二抽取，而滤波器设计是根据归一频率进 行的( 归一频率= 真实频率 采样间隔) 。第一级滤波器h 。的真实频带是 o 斋( ts 是输入的采样间隔) ，其归一频率则是o i 7 。第二级h 。的真 实频带虽然是o 寿，但是其归+ 频率却也是o 兰。 2 3 2m a l l a t 算法 上节中对信号x ( t ) 进行了平滑和细节分解，这些关系可以用多采 样滤波器形式表现出来，从而便于采用数字信号处理技术进行分析。本 节就对小波分析中重要的m a l l a t 算法作一些介绍。 m a l l a t 从函数的多分辩率空间分解概念出发，在小波变换与多分辩 率分析之间建立起联系。d a u b e c h ie s 把由空间分解引出的多分辩率分析 概念和离散序列算法两种殊途同归的方法的异同作了很好的总结，并且 初步与滤波器组联系起来。 首先考察信号的分解过程： 分解过程分为三步： 华南理工人学硕士学位论文 导出x 妒与x ? ，d ? 之间的天系： 离散平滑逼近： x = h 吣。) x ? 离散细节逼近( 也就是小波变换) ： d 2 = h l ( n - 2 k ) x 其中h o k 和h tk 按照下式求得 h o k = 2 西1 j 矿9 t ( f t ) 础 ( 2 5 ) 2 2 击p ( 州出( 2 - - 6 ) 2 导出由x 引出x ，d 尹的网络结构 其图如下： 硝至 _ p 础 ( a ) 叩巫 _ p ( b ) ( c ) 图2 - 2 序列分解过程 f i g u r e 2 2 t h ed e c o m p o s i t i o np r o c e s s 图c 由a ，b 合并而来，表示序列的分解过程 3 ，逐级引申 第2 步之后，可以对x 妒做进一步分解，可以证明所需电路结构不变， 而且滤波器的系数不变。 第二章小波变换基础知识 x p 图2 - 3m a l l a t 算法 f i g u r e2 - 3m a l l a ta l g o r i t h m 由图2 3 可见，类似的结构还可以重复进行f 去，各个x g 代表分 辨率a = 2 j 下的离散概貌信号，也就是该分辨率下对x ( t ) 的平滑逼近。各 个d ，) 代表分辨率a = 2 j 下的离散细节信号，也就是该分辨率下小波变换 所得系数。 信号的熏构： 类似的，可以得到重建过程如图所示： 列 x 科 砰 x ? ( a ) 图2 4 信号重构 f i g u r e2 - 4 s i g n a lr e c o n s t r u c t i o n 1 3 华南理工大学硕士学位论文 图2 4 ( a ) 是相邻两级反演关系，其基本关系式是： 工 = g 。( n - 2 k ) x l j ) + g ，( 胛一2 k ) d f n ( 2 7 ) kk 其中x ：”，d ：) 是第j 级的离散平滑及其细节信号，z 是由它们重建的第 j 1 级离散平滑信号。 g o ( k ) ，g l ( k ) 和前面的h o ( k ) ，h i ( k ) 一样， g o ( k ) = 9 1 ( k ) = 总之，重建是分解的逆过程，其与分解的主要不同之处是： ( 1 ) “二抽取”换成“二插值”，然后滤波 ( 2 ) 综合滤波器g o ，g l 与分析滤波器h o ，h 1 未必一样 2 4 二维小波变换 小波变换用于图像处理是小波变换应用重要领域之一。由于图像是 二维信号，因此小波变换应由一维推广到二维。 令f ( x l ，x 2 ) 表示一个二维信号，x l x 2 ，分别是其横坐标与纵坐标；v ( x l , x 2 ) 代表二维基本小波。则二维连续小波变换可以定义如下： 令u 。；b 1 - b 2 ( x 1 ，x 2 ) 表示v ( x 1 ，x 2 ) 的尺度伸缩和二维位移， 。i b l b 2 ( x l ，x 2 ) = ! v ( 苎生，苎 鱼) ( 2 8 ) 则： w t f ( a ；b l ，b 2 ) = = 扣瓶均vc 半，孕- d x z cz 一9 ， 式中的1 a 是为了保证小波伸缩前后其能量不变而引入的归一因子。二维 信号的小波分解过程如下所示： 1 4 第二章小波变换基础知识 方向作处珲 以中( x 1 ) 投 f ( n 方向作处理 lx 1 方 细节函 x 1x 1 力 平滑逼 图2 5 二维多分辨解析 f i g u r e2 - 5 t w od i m e n s i o nm u l t i r e s o l u t i o n 联合多采样滤波器组，可以得到图2 6 对应的滤波器组结构。 图2 6 滤波器组结构 f i g u r e2 - 6 t h ef i l t e r sc o n s t r u c t i o n 小 波 系 数 亚 数 和一维的情况相似，类似的分解可以对平滑逼近a ，f ( x ，x ：) 重复进行 下去。 一维的重建过程也可以类似的推广到二维。具体的框图这罩不再给 出，可以参考一维的。也是先作插值( 补0 ) ，滤波，最后叠加得到重构 信号。 鬻 兰翌墨三查兰堡圭主竺趁苎 2 5 小波包变换 小波包( w a v e l e tp a c k e t ) 概念是由m v w i c k e r h a u s e r r r c o i f r n a n 等人在小波变换的基础上进一步提出来的，并且从数学上做了严密的推 导。从工程技术的角度来看，小波包可以看成是函数空问逐级f 交剖分 的扩展。 从m a l l a t 多分辨分析中可以看到，这种二剖分不止可以对v i 进行， 也可以类似的对各个w i 空间进行，这样便得到图2 7 所示的空间剖分 次序( a ) 和相应的二叉树滤波器组( b ) 。 j 6 ( a ) 第二章小波变换基础知识 ( b ) 图2 7 小波包分解 f i g u r e2 7 w a v e l e tp a c k a g ed e c o m p o s i t i o n 在图叶1 的二义树上耿一组子空间集合，如果其直和恰能将v o 空间覆 盖，相互间又不重叠，则这组空间集合的正交归一基便组成一个小波包。 显然这样的子空间集合，其方法不是唯一的。例如在图中的二叉树上取 一组子空间v 3 1 一v3 4 ，w 3 1 一w 3 4 来覆盖v o ，也可以取v 3 1 ，w 3 l ，w 2 1 和w l 来覆盖，此时的情况就是m a l l a t 多分辨率分析做空间剖分。信号用小 波包分解后的重建过稗和m a l l a t 算法类似，也是逐级插值滤波，叠加， 得到原来的信号。 2 6 常用小波函数 华南理工大学硕士学位论文 n * 5 b i 黝由5 撬l 嘲瞄拍村矬 嚣鬻粼蝴5 瓣冀i 辅， 擞 口，l 鞠螂嘲计嘲5 ”l 嚣鬣燃罐朔翔日鞠- 锑， 氟赫嬲澍鬟睁睁黼毽程m 蚋封睁鞠黼 # 暂髑喇- 榔m i羲撕鞫搏擀l $ s 辩 捕翘捌艏落乳壤霜绷静锋 h 3 m 瑚睁雌翰螂帮i 掰糊躺噬描哪睡9 2 糟 遗a 椿i l 辩l 弱嚣赫懈# 柏嗣嘲嘲。矗辑匏撼曲赫蟛强 l q 喇日私榭撕曲自释描鹳喇嘲酵 氇舅睁蜩铺鲫辩挪埔再l 弛￥聃韩拣酶 叫嘣抽嘲嘲凸抖女自l l 釉l 自f ， 毒狰艄i l l 懈瓤l 赫材釉村鹅辩 辩 l 捌盘髓譬蝴群碡口i 朝l 辩l ，l 鳓 i i i q i i m i 黼i u #m 持- l h 牡描蝴i 喇雕i 辅缸鞠尊h 箱扪i i 5 柚曲鼢柙呐单s nm 1 懿_ 魁，l 獭4 撼誊 图2 1 0d a u b e c h i e s 小波对应的滤波器 f i g u r e2 1 0t h ef i l t e ro fd a u b e c h i e sw a v e l e t 性质： 1 1 没有显式表达式： 2 ) 具有紧支性、规范正交性等特点：除d 1 ( 即h a a r 基) 外其它基函数均不 对称，也即没有线性相位，光滑性较差：d a u b e c h i es 小波实际应用较好， 但理论分析不方便。 3 ) 低通滤波器h ( n ) 和高通滤波器g ( n ) 之间有如下关系： g ( n ) = ( 1 ) “h ( 1 一n ) ， n = 一2 n + 2 ，一2 n 十3 ，0 ，1 ： d a u b e c h i e s 小波的尺度函数与小波函数如图2 一儿所示。 2 墨西哥帽状小波( 亦称b u b b l e 小波) ： b u b b l e 小波主要适合于图像边缘提取、视觉分析和基音检测等。性 质：连续、对称、具有指数衰减和一阶、零阶消失矩。 墨西哥帽状小波如图2 1 2 所示。 1 8 se1hcebad数酊函n波_ 。小毗 口 n雨u度f尺乩波“小州 s w e1 d h n c a eb e u l a a d c 1 s 一 2 t图卜【2er g 第二章小波变换基础知识 ： 四援 3 c o i f m a n d , 波： 网2 一 f i g u r e 2 性质：具有紧支集、高阶消失矩、不对称、无线性相位等特点，在力学和 工程中，有较广泛的应用。c o i f m a n d 、波的尺度函数与小波函数如图2 1 4 所示。 图2 14c o i f m a n 小波的尺度和小波函数 f i g u r e 2 1 4 t h es e a lea n dw g v e l e tf u n c t i o n 5 双正交小波 n0t数函n 波。小h和度髓尺d波叭小oh 札 b c b so 2 t 一 他 2 一 图2eru g | 吾c 蓦1ocf0t数帅系n器n波盯滤波r小沁扑nc 詈f 1 e o h c t 3 3 l l e 哥 ， l # 华南理t 大学硕十学位论文 图2 15 双正交小波滤波器系数 f i g u r e2 15t h ef i l t e rc o e f f i c ie n to fd o u b l eo r t h o g o n a lw a v e l e t 性质： 1 ) 牺牲正交的条件下，获取了精确的紧支和对称，有利于图像处理： 2 ) 分解和重构采用不同长度的滤波器，使得分解小波系数少，有较 高的消失矩，对数据有较高的压缩能量：而重构对偶小波系数多，有较好 的f 则性，对数据重构的精确度较高。 神童鞠囔棚赫拽捷瓣t 晦熏鹌霪黼灌黛簟 图2 1 6 双正交小波尺度和小波函数 f ig u r e2 1 6 t h es c a l ea n dw e t v e l e tf u n c t i o r l o fd o u b le0 r t h 0 9 0 n a lw a y e l e t 还有+ 些常用的小波函数，这罩就不一一列举了，读者可以参考有 关文献。 2 7 小结 本章介绍了小波变换的发展历史以及基本理论。讨论了重要的 m a l l a t 算法，介绍了几种常用的小波函数。为进行下一章的v l s i 构架 设计实现打下了理论基础。 第三章小波变换的v i s i 结构及仿真 第三章小波变换的v l si 结构与仿真 本章进行小波变换的硬件设计与实现。首先给出了设计的总体目标， 接着根据m a l l a t 分解算法提及流程设计了内部模块。文中对每一个模 块进行了说明，对重要模块给出了框图、内部逻辑说明，并且做了 a c t i v e h d l 仿真。顶层模块的仿真结果和m a t l a b 仿真结果对照验证 了其正确性。 3 1 设计目标 针对小波硬件研究的现状，对系统的设计提出以下要求： 首先不考虑速度，资源等因素的前提下，研究其核心算法的v l s i 电路架构和f p g a 实现。用v e r i l o g h d l 建模后，在 a c t i v e h d l 仿真平台上调试，最后将结果和m a t l a b 6 5 仿真结 果对照，从而测试系统的准确性。 在完成第一步的基础上，选取a l t e r a 公司的a p e x 2 0 k 序列f p g a ： e p 2 0 k 1 0 0 b c 3 5 6 1 v 芯片进行综合。然后结合f p g a 设计的约束问题， 对设计的速度，占用面积，资源等方面做一些优化的工作。 最终的设计目标定位在一个实用的i p 核上，期望得到一个通用的， 参数可调的小波变换l p 核，并且性能要达到最优，输入输出接口 最少。 3 2 小波变换硬件结构与其仿真 3 2 1m a l l a t 算法与硬件结构 m a l l a t 算法的分解过程如下图所示 ) ) ) 1 2 3 华南理工大学学位论文 x 图3 一i m a l l a t 分解过程 f i g u r e3 1m a l l a td e c o m p o s i t i o np r o c e s s i o n 这种分解过程，可用流程图3 2 表示： 开始 上 输入变换序列 数据边界延拓 上 送分解滤波器组 i数据存储 i 上 二抽取输出 图3 2 分解流程图 f i g u r e3 - 2d e c o m p o s i t i o nd i a g r a m 第三章小波变换的v l s i 结构及仿真 序列输入后首先要进行边界处理工作，边界处理的相关内容3 2 2 节 有详细介绍。然后信号要进入滤波器组进行滤波得到的结果经过2 抽取 就是最后的输出。由小波变换的功能定义了以下系统框图： c l k1 0 e i e s e t1 1 0 e e n1 d a t a o u t d a t a i nh d a t a o u t 图3 3 系统外部框图 f i g u r e3 - 3t h es y s t e m se x t e r n a lb l o c kd i a g r a m 整个系统采