（机械制造及其自动化专业论文）周期加筋板声学性质的波数空间分析方法.pdf

周期加筋板声学性质的波数空间分析方法 t h em e t h o do fw a v e n u m b e r s p a c ea n a l y s i sf o r a c o u s t i cn a t u r e s o fp e r i o d i c a l l ys t i f f e n e dp l a t e a b s t r a c t p l a t ea n dt h es o p h i s t i c a t e ds t r u c t u r e sc o n s i s t e do fi th a v ew i d ea p p l i c a t i o ni nt h ea r e ao f m e c h a n i c s ，s h i p ，a i r l i n e se t c ，s u c ha sm a n u f a c t u r i n gh u l l ，f u s e l a g ea n dm a n yk i n d so f m e c h a n i c a l c o m p o n e n t s w i t h t h e d e v e l o p m e n to fs c i e n c e a n d t e c h n o l o g y ，p e o p l e s r e q u i r e m e n tf o r t h ea l l s i d ep e r f o r m a n c eo fp l a t eb e c o m e sh i g h e ra n dh i g h e r i th a sb e c o m ea c o n c e r n i n gf o c u si nt h i sf i e l dr e c e n t l yt h a th o w t oe f f e c t i v e l yc o n t r o lo rr e d u c et h ev i b r a t i o n a n ds o u n dr a d i a t i o no fp l a t ec a u s e db yo u t s i d ee x c i t e m e n t a n dr e s e a r c ho nt h ev i b r a t i o na n d a c o u s t i cr a d i a t i o no fp e r i o d i c a l l ys t i f f e n e dp l a t eh a sb e c o m eo n eo ft h es p o t l i g h t si nr e c e n t d e c a d e s t h r o u g hp e r i o d i c a l l ys t i f f e n i n go np l a t e ，c o u p l i n ge f f e c ti sg e n e r a t e db e t w e e ns t i f f e n e r s a n dp l a t e t h e s t i f f e n i n g c a ni m p r o v ep l a t e ? sv i b r a t i n gn a t u r e sa n df o r c i n gs t a b i l i t y ， m e a n w h i l ei n c r e a s ep l a t e ：sr a d i a t i n gi m p e d a n c eu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，e f f e c t i v e l yd e c r e a s e p l a t e ss o u n dr a d i a t i o n ：t h u si m p r o v ep l a t e ：sc o m p r e h e n s i v ep e r f o r m a n c e ，w h i c hi sp r o v e db y e x a m p l e si nt h i sp a p e r t h i sp a p e rm a i n l yr e s e a r c h e st h ev i b r a t i o na n dr a d i a t i o nn a t u r e so f p e r i o d i c a l l ys t i f f e n e dp l a t ee x c i t e db yo u t s i d ef l u i da n dt h ea n a l y s i so nt h ec h a n g i n gl a wo f p l a t e s v i b r a t i o nr e s p o n s ea n da c o u s t i cr a d i a t i o nb ys o m em a i np h y s i c a lf a c t o r s ，s u c ha s o u t s i d ef o r c e sf r e q u e n c y ，t h ei n c i d e n c e ，p e r i o d i c a li n t e r v a la n ds oo n a n di t sp r o v e db y c o r r e s p o n d i n gv a l u ee x a m p l e s a tp r e s e n t ，t h e r ea r et w om a i nm e t h o d si nt h i sa r e a ：o n eu s e s t h ei d e ao ff e ma n db e m ，d i s p e r s i n gt h es t i f f e n e dp l a t ei n t om a n ye l e m e n t s ，c o m b i n i n gt h e p e r i o d i c i t yo fp l a t e se l e m e n t s ，a p p l y i n ga n s y ss o f t w a r et oa n a l y z ea n dp r o c e s s t h eo t h e r u s e sa n a l y z i n gm e t h o dt od ot h e o r e t i c a la n a l y s i sa n ds o l v ep r o b l e m s b u ti t sd i f f i c u l tt ou s e p u r ea n a l y z i n gm e t h o dt os o l v et h ec o m p l i c a t e ds t r u c t u r ep r o b l e m s ：t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n i sa l w a y sn e e d e di nt h ep r o c e s so fs o l v i n g i nt h i sw a y ，t h eh a l f - a n a l y z i n gm e t h o di s g e n e r a t e d t h i sm e t h o di s u s e di nt h i sp a p e r ，t h r o u g hf o u r i e rt r a n s f o r m sa n di n v e r s e t r a n s f o r m s ：c o m b i n i n gs o m e b a s i cm a t h e m a t i c a lp r i n c i p l e sa n dm a n yk i n d so fm a t h e m a t i c a l m e t h o d st od e r i v a t et h e o r e t i c a l l y ，a p p l y i n gm a t l a bs o f t w a r et op r o g r a ma n dc a l c u l a t e t h r o u g hf o u r i e rt r a n s f o r m s ，t h ee x p r e s s i o n si np h y s i c a ls p a c ea r et r a n s f o r m e di n t o w a v e n u m b e rs p a c e ，w h i c hf a c i l i t a t e st h ea p p l i c a t i o no fm a n ym a t h e m a t i c a ln a t u r e sa n d p r i n c i p l e s a tl a s t ，t h en e e d e dr e s u l t sa r eg o tb ya p p r o x i m a t ef o r m u l ao ri n v e r s ef o u r i e r t r a n s f o r m sf r o mf r e q u e n c yd o m a i ni n t ot i m ed o m a i n a p p l ym a t l a bs o f t w a r et op r o g r a ma n d i i c a l c u l a t ee x a m p l e s ，g e tt h ef i g u r e so fp l a t e sv i b r a t i o na n da c o u s t i cp r e s s u r e o fr a d l a t l o n t h r e em a t h e m a t i c a lm e t h o d sa r eu s e di nt h i sp a p e r ，m e t h o do fc o n s t r u c t i n gf u n c t l o n ，m e t n o d o fp e r i o d i cf u n c t i o na n dg r e e nf u n c t i o n ，r e s p e c t i v e l yf o rt h r e ed i f f e r e n tm o d e l so fs t i f f e n e d p l a t e ，o n e d i m e n s i o n a lp e r i o d i c a l l ys t i f f e n e dp l a t e ，o n e - d i m e n s i o n a lp e r i o d i c a l l y s t i f f e n e d p l a t e w i t hc o n s i d e r a t i o no ft o r q u e ，t w o d i m e n s i o n a l p e r i o d i c a l l y s t i f f e n e d p l a t e c o r r e s p o n d i n ge x a m p l e sa r ec a l c u l a t e db yp r o g r a m m i n g ，a n dt h em o d e l sm a l np a r 8 m e t e r s 。 e f f e c tt ot h ev i b r a t i o na n da c o u s t i cr a d i a t i o ni sa n a l y z e d k e yw o r d s ：s t i f f e n e dp i a t e ；w a v e n u m b e r ；f o u r i e r t r a n s f o r m s ；v i b r a t i o n ；a c o u s t i c r a d i a t io n 1 1 1 一 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究 5 - 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：! 塑塑盘筮投型兰鏖塑逮趁凼童堑垒! 三 0 气7 作者签名： 塑晕堑日期：冱2 年壁月窆e 1 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 膨一明月一 、乃一卫丝碰差 针j年一 习一盟乒鐾牛 拓卫 霉一 一 一 芝一时 欠一 一汐一依一一啤 迎匿 大连理工人学硕士学位论文 1绪论 1 1 周期加筋板简介 ，11 、 所谓薄板i l j ，是指板的厚度h 远小于平板中面最小的尺寸6 ，即h l 二二1 6 。本 85 文提及的板皆指薄板。板结构以及由它组成的复杂结构，在机械、船舶与航空等领域得 到了广泛的应用，它不仅在受n ； i - 界激励时会向外辐射噪声，而且也可用于控制噪声的 传播。板结构长期以来己得到了大量的研究，各种约束形式下的板，如简支板、悬臂板、 周期支撑板、弹性地基板等等，可以说板结构的物理基础理论方面已经比较完善了。但 随着科技的发展，人们对薄板的各方面性能要求越来越高，板类结构在受n ；, i - 部激励时 的振动、噪声及其两者间的相互关系正越来越受到重视。薄板结构振动的危害非常大， 主要表现在：( 1 ) 通常板很薄且振动频率高，因而振动较容易引起结构在应力过大的部位 产生疲劳破坏：( 2 ) 过大的局部振动及由振动引起的噪声会大大降低结构物的使用效能， 例如：在高速船舶上，振动和噪声会降低其舒适性，影响工作人员的休息和工作效率：( 3 ) 长时间的局部振动会影响其周围的设备和仪器仪表的正常工作，降低使用精度，缩短其 使用寿命。长久以来，人们都在努力采用各种方法减小薄板的振动以及振动的不利影响， 比如在板上进行单、双周期加筋，打微孔等等。 周期加筋板是指在薄板上周期性地附上各种所需的筋条，它能在很大程度上改善板 的力学及声学性能，用筋的支撑作用把薄板分割成一系列小区格，这样薄板的失稳便被 筋削弱，甚至被完全限制在筋所闻成的区格内。同时，加筋可以在一定条件下提高结构 整体的辐射阻抗，降低表面振动速度，减弱结构辐射声功率，故受到广泛的研究。一般 分为单周期加筋板和双周期加筋板，单周期加筋板是指在一个特定方向上以特定的间距 为周期而加筋。双周期加筋板是指在一个方向上以两种不同的间距作周期加筋，或者在 两个不同方向上周期加筋( 一般指后一种情况) 。同时可根据需要，选择不同横截面形 状的筋条，常用的有：矩形、圆形、工字型等。每个周期筋单元又可做成圆形、三角形、 六边形等各种形状，使用者根据具体进行最优选择。板上所加的筋一般为钢材料，筋本 身的多个参数，如横截面尺寸、截面形状等对筋的性能影响明显，从而影响到筋与板之 i b j 的耦合作用。而加筋的周期形式以及筋的间距对整个板梁结构也有较大影响。从筋的 数量上看，分为密集筋和稀疏筋。规定加筋的原则是使得板或曲格的稳定性承载能力达 到材料的0 9 倍屈服极限【2 j ，在这种情况下可以确定一块板的应该加筋数量。根据加筋方 向又分为纵向和横向加筋，当纵向加筋的方向是和作用在平面内荷载的方向平行时，它 周期加筋板声学性质的波数空间分析方法 能承受一部分作用力。至于横向加筋，它仅仅是用来将板再分为更小的单元。当同时采 用纵向和横向加筋时，就变成了网格一加筋板。对周期加筋板结构，如果加强筋之间的 距离远小于板弯曲波波长，那么组合结构可以当作j 下交异性板来处理，表明平面弯曲波 以不同的速度和方向无衰减地传递。对于薄壁钢板构件，加筋肋根据相对刚度的大小， 分为刚性加筋肋和柔性加筋肋f 3 】。前者在板件发生屈曲的时候，只是其分割的板件内发 生屈曲变形，筋本身基本不发生屈曲变形。刚性加筋肋钢板构件的弹性屈曲荷载由其所 分割板件的最小弹性屈曲荷载决定。柔性加筋肋由于刚度较小，加筋肋本身连同板件一 起发生屈曲变形。 本文重点研究的是周期加筋板应用于船舶行业的情况，这也是其最主要的应用领 域。水中船身通常会受到外来激励等干扰的冲击，如何减轻这些冲击对船身的不利影响 成为当前一个重要的课题。众多海军基地及船舶专业研究机构进行了相关的大量理论研 究和实验，尝试了多种不同途径以求把外来干扰对船身的冲击降到最低。诸如敷设粘弹 性阻尼的加筋板的研究，加筋板附加水质量算法研究，船舶总体振动特性研究等等。除 了研究板本身的结构以外，人们也从外来声波的传播特性角度考虑降低干扰冲击的方 法。做了相关的如水下加筋板的传声研究，周期加筋板中的弯曲波传播，简单周期结构 波传播主动控制研究等等。为进一步提高板的综合性能，可在周期加筋板模型基础上， 变单板为双板，两板之间辐射互有影响，考虑多一层板之后振动及声辐射的变化，寻求 提升改良的办法。若需要更好地吸收噪音，可通过在板上增加一层阻尼或打微孔，以达 到吸声降噪的目的。本文主要研究水中无限大加筋板受流体谐振激励力作用下的振动及 声辐射特性。 1 2 加筋薄板的发展历史与现状以及未来趋势 对结构声学的数值分析方法可以分为两大类：离散方法和能量方法。能量方法主要 是指统计能量分析和能量有限元法。能量方法适用于中高频激励作用下模态密集结构振 动与声的计算分析。离散方法主要是指有限元法和边界元法，离散方法适用于中低频激 励作用下的复杂结构振动与声的计算分析。目前，采用离散方法进行结构声计算时，对 结构一般都采用有限元法进行离散，对流体的处理可采用有限元法，边界元法和无限元 法等。在上世纪后半叶，关于薄板的各方面研究得到了快速发展。早在1 9 世纪初，拉 格朗同通过改进日尔门的关于板扭曲的应变能公式1 4 j ，得到了早期正确的板自由振动微 分方程。后来，k i r c h h o f f 对板弯曲理论作了两个重要假设，即直法线假设和垂直于中面 假设，对薄板理论的发展起到了推动作用。在有关薄板的理论研究中，具有开创意义的 是1 9 世纪未2 0 世纪初的俄国力学科学家t i m o s h e n k o1 5 o 他研究矩形板在其中面上受力 大连理t 大学硕十学位论文 的弹性稳定问题时，对各种边界做了精确计算，编制了应力临界值表，用以解决海军舰 船中发生的一些结构问题。除了研究受压薄板的稳定性之外，他还讨论了薄板的大挠度 问题。自1 9 0 8 年李兹提出用变分的直接方法来解决薄板的弯曲问题以后1 6 j ，人们就可用 求某一函数的极小值问题来代替变分法，于是很多矩形板和圆板的弯曲、稳定和振动问 题，只要将板的应变能用式子表达出来，就都能用李兹法求得精度较高的近似解。迦辽 金在李兹法的基础上应用虚功原理提出：如果只知道问题的微分方程，也可以不使用总 势能泛函而求得问题的近似解，只不过在选择某个形函数时对其要求稍高些罢了，此时 形函数不仅要满足几何边界条件，还要满足全部力的边界条件。康托洛维奇对李兹法和 迦辽金法进行了改进，他将被求的含有两个变量的函数所满足的偏微分方程化为只含有 一个变量的常微分方程。称为混合法，对于解决有自由边的板弯曲问题比较方便，其特 点是在一个方向用李兹法或迦辽金法求近似解，而在另一个方向仍用微分方程求精确 解。 在早期加筋薄板的研究中，通常是将加筋的刚度平摊到板的刚度上，然后将加筋板 看作正交异性板来处理，这种方法求解简单，计算量小，但只对均匀正交密加筋形式有 效，对于诸如稀加筋、非等距加筋、非均匀加筋的结构却不适用。从2 0 世纪6 0 年代起， 英国南安普顿大学丌始研究周期结构1 7 j 。研究了周期加筋板壳的自然频率、模态以及随 机响应等性质。同时还研究了阻尼的影响，发现如果阻尼足够大的话，不论结构是有限 的还是无限的，常规响应都是一样的。在早期的工作中，二维加筋板须简化为等效一维 矩形加筋板。1 9 6 4 年，h e c k l 研究了一个二维周期结构，它由具有相互连接的统一梁的 格架组成，梁具有弯曲和扭转刚度。在高频分析中，他考虑了一个梁单元中的弯曲波1 8 j ， 对相邻梁冲击的反射和传递过程，他确定了一个以反射和传播系数的形式关于传播常数 的方程，虽然它不能跟现在流行的处理这种结构的精确方法相比，但由方程解出的传播 系数相对还是比较准确的。u n g a r l 9 l 检验了一维周期梁稳定静念响应和传播常数，该梁赋 予特定间距以任意但相同的非分散的阻抗。采用h e c k l 的假设和多重反射方法，他发现 了在阻抗间谐振激励时的传播系数以及梁的响应。同时他对梁在一个或所有阻抗位置受 谐振载荷作了准确的分析。1 9 世纪6 0 年代后期，南安普顿开始研究周期结构表面声辐 射以及流体加载对谐振响应的影响。如果表面运动能分解为各个空间谐振部分，则分析 起来较为方便，为此创建了“空问谐振方法”。到了上世纪8 0 年代，英国南安普顿大 学振动与声学研究所的两名教授：b r m a c e 和d j m e a d 在周期加筋板振动位移、辐射 声压、弯曲波传播等方面都取得了巨大的成果。二人所采用的方法有所不同，m a c e 主要 采用傅立叶变换等数学方法进行推导，m e a d 则多数运用有限元理论进行分析。m a c e 继 续做了空间谐振分析，发现加载流体会增加振动板的有效质量和阻尼，所以自由波的传 周期加筋板声学性质的波数空间分析方法 播频率以及传播区域的边界也改变了u o 。并且在传播区域内任何自由波均会在传播过程 中衰减，因为能量通过声辐射而传递到流体介质中。m e a d 后来又对周期结构提出了“相 位阵列阻抗函数”的概念，对于满足一组特定方程的传播常数的求解，他创立了一种迭 代法。1 9 7 3 年，m e a d 发表了关于一维或二维多重耦合周期结构中谐振波传播的总理论 【1 1 1 。论文中指出能以任意频率在维系统中传播的声波数目是耦合坐标数的两倍，同时 他还论及不同类型波的能量传递。此论文最大的贡献在于得到了多重耦合周期系统中周 期单元的运动方程。 最近几十年，该领域许多学者在此二人的研究基础上，利用现代计算机技术，对加 筋板理论进行了完善和精度上的提高。在基于数值计算的基础上，很多学者建立了各种 “离散加筋模型 ，用有限元法或有限差分法求解加筋板的力学问题b e d a ir 提出了“s q p ” 法，m u k h e r j e e m u k h op a d h y a y 和0 1 s e n 用有限元法，a s k u 用有限差分法，分别研究 了加筋板的静动力问题【坦】。在国内方面，哈尔滨船舶工程学院何祚铺教授在薄板振 动声辐射理论方面研究深入，并著有声学基础、结构振动与声辐射等书。 张敬东及何祚镛将结构有限元或结构振动传递矩阵与声学边界元结合，预报了水 下旋转薄壳的振动与声辐射。大连理工大学船舶学院的赵德有教授及其弟子在水 下板振动领域也有重大贡献。黎胜和赵德有基于耦合有限元，边界元方法采用四边 形线性等参元进行了结构声辐射的模态分析。在损伤对声辐射的影响研究中，洪 明和陈浩然采用复合材料结构有限元和可压缩流体边界元耦合分析方法【l 引，研究 了重流体介质中，含层问分层损伤复合材料层合板结构的声特征值问题。尹岗，陈 花玲和陈天宁由声辐射效率的模态分析方法，对一矩形简支薄板，利用有限元分析得到 模态参数和振型，获得了其在低频范围内各阶模态的辐射效率，并在单点简谐激励的条 件下，通过对结构辐射效率表达示的计算分析，提出了一种低频结构辐射效率的近似计 算方法。同时还比较了激励位置对结构辐射效率的影响。张升明、潘旭初以板架为研究 对象，应用流体边界元法和结构有限元法进行了振动噪声计算，分析板架结构参数：板 厚、边长比、加肋方式、边界条件、阻尼方式等与其振动噪声之间的关系。吴文伟、冷 文浩和沈顺根应用傅立叶变换技术i l4 | ，在波数域上求解具有等i h j l 1 4 ) j 1 强筋平板在集中力 作用下的声辐射问题，获得了辐射声压的解析表达式。这个式子清楚地揭示了各结构声 辐射规律，为控制结构声辐射提供了简捷、准确的分析工具。 目前，国内外对加筋簿板的研究有如下几个主要趋势： ( 1 ) 板的研究越来越精确。由于计算机的应用，过去一些求解闲难的问题得到了 解决，通过有限元计算，精度得到极大提高。过去为简化计算常做的假设现 在也可以考虑其精确情况，如薄板的非线性，剪切力的影响凼素等。 人连理t 大学硕士学位论文 ( 2 ) 理论与实际的联系更紧密，突出实用性。 ( 3 ) 虽然规范仍指导加刚性筋，但柔性筋已成为人们开始研究的热点。 ( 4 ) 从目前的大量使用单周期加筋，部分开始发展更复杂的双周期加筋。 ( 5 ) 尝试将更多更新的设备和手段应用于加筋板，以尽可能地吸收声波，如加阻 尼层，进行微穿孑l 等等。 1 3 主要相关的研究方法简介 1 3 1 李兹法 李兹从最小能量原理出发，认为当薄板处于稳定平衡状态时，其总势能为最4 , 1 1 5 】， 即万兀= 0 ( 1 1 ) 总势能兀是挠度函数w 的泛函，用一个级数表示薄板的挠曲面： 1 4 , - - - - - q ( x ，j ，) ，( m = 1 ，2 ，3 ，) ( 1 2 ) 其中，c 卅是研个待定系数，( x ，y ) 的每一项都必须满足薄板的几何边界条件，( x ，y ) 为形函数。 将式( 1 2 ) 进行变分，由于形函数已被选定，因此挠度函数的变分8 w 应由通过系数 c m 的变分6 c m 来实现，即： 万w = w m ( x ，y ) j 巴，( m = 1 ，2 ，j ，3 - ) ( 1 3 ) 再由式( 1 1 ) 得： 万兀= 詈蚂+ 罢艿c 2 + 。+ 罢占q = 。 ( 1 4 ) 由于变分万c 。是任意的，且不为零，故对每一个m 有： 筹一o，嚣=0,-,oc,罢o c = 。 5 ， 。a c 、7 这样，便得到m 个关于系数q 的线性代数方程式，联立求解可得m 个关于系数巴，于 是由式就得到薄板挠曲面的近似表达式，从而得到近似解。当式取较多项时，将得到较 精确的结果。 1 3 2 迦辽金法 迦辽金法的摹本原理足虚位移原理【1 6 1 ，即一个平衡系统的力对于在虚位移上所做的 功应等于零。对于薄板平衡系统，有： 周期加筋板声学性质的波数空间分析方法 ( d v 4 w - q ) 6 w d x d y = 0 ( 1 6 ) 其中，d 为抗弯刚度，( d v 4 w - q ) 为单位面积上的力，v 为拉普拉斯算子，即 v 4 w = + 2 丽0 4 w + 窘，万w 为虚位移。 迦辽金认为：要求的挠度w ( x ，y 1 不一定严格满足薄板的平衡微分方程，但要求选择一 个既能满足板的几何边界条件，又能满足内力边界条件的挠曲函数： w = 巴( x ，y ) ，( 聊= 1 ，2 ，3 ，) ( 1 7 ) 使得由于平衡微分方程引起的误差在某种平均意义上消除掉，对w 的变分g w 仍由系数 q 的变分来实现： o w = ( x ，y ) 6 巴 ( 1 8 ) 将上式代入式( 1 6 ) 得： ( d v 4 w g k a c , 出d y = o ( 1 9 ) 由于变分万巴是任意的，且不为零，故对每一个研应有： 爪d v 4 w 一9 h 出砂= o ，m = l ，2 ，j ，3 一) ( 1 1 0 ) 这样的方程有无跟多个，而且是关于系数g 的线性代数方程组。取前m 项就可得到近 似解。 1 3 3有限元法 先将薄板离散为多个单元，由虚功原理导出薄板单元的刚度矩阵。设单元结点有一 任意虚位移为 6 ) 。，则结点力在虚位移上做的虚功等于内力 m ) 在虚形变 z ) 上做的 虚功1 7 】 6 。7 f ) 。= 肌z ) 7 m ) 出砂 ( 1 1 1 ) 而 z ) = 【b 】 万) 。， m ) = 【d 】 z ) ，其中【b 】称为薄板单元的形变矩阵，【d 】为弹性矩阵。 将此二式代入式( 1 11 ) 求得： f 九= 【钆 万) 。 ( 1 1 2 ) 其中，【k 】。= j n 曰 7 【d 】【b 】出咖，【k 】。就是薄板单元的刚度矩阵a 大连理工大学硕士学位论文 应用虚功原理把作用在板面上的分布载荷q ( x ，y ) 等效为相应单元上的结点载荷。等 效结点载荷 r ) 。在虚位移 万 。上所做的虚功应等于实际分布载荷在相应的虚位移上 所做的虚功，即： 。7 尺) 。= ( w ) 7g ( z ，y ) d r d y ( 1 1 3 ) 而w = 【】 万) 。，其中【】为坐标x ，y 的函数，称为形函数。将此式代入上式，得到等效 结点载荷为： = j j i n ( x ，y ) d x d y ( 1 1 4 ) 而将单元刚度矩阵整合可得薄板的整体矩阵f k l ，由方程： 【k 】= r ) ( 1 1 5 ) 可计算出位移列阵 万 中的未知量。 1 3 4 级数解 矩形板振动的解析解都是无穷级数，在计算挠度和各内力素时需要求级数和。随着 计算机的广泛应用，计算任务能很容易地完成。对于不同的简支板可运用不同的级数解 法。此处以简支矩形板的双三角级数解加以说明。 1 8 2 0 年，n a v i e r 向法国科学院提交了一篇用双三角级数解法求解简支矩形板的论文 【1 8 1 。板的边长分别为口，b ，受到横向分布载荷q ( x ，y ) 的作用( 如图1 1 ) 图1 1 四边简支矩形板 f i g 1 1r e c t a n g u l a rp l a t es i m p l ys u p p o s e di nq u a d r il a t e r a l 周期加筋板声学性质的波数空间分析方法 边界杀仟： 在x = o ，x = 口处，w = o ，_ 0 2 了w d x = o ；在y = o ，y = 6 处，w = o ，等v y = o 。 - 取下列双三角级数作为弯曲方程的解： w = 善c o 弘c o 徊n 等咖孚 ( 1 1 6 ) 卅= 1 月= l ， 系数a m 。由微分方程决定，将此式代入弯曲振动方程( 参考第二章式( 2 4 6 ) ) ，得： 。万4 薹喜彳。( 芋+ 矿h 2 s ；n 等s i n 孚= g ( x ，y ) 聊 将式子右端的q ( x ，y ) 也展成双三角级数： g ( w ) = 萎o o 荟c o s i n 等s i n 警 ( 1 1 8 ) 利用三角函数的正交性，求得系数： = 历4rr g ( w ) s i n 等s i n 孚出砂 ( 1 1 9 ) 将式1 8 1 代入式m 1 7 ) ，比较级数对应项的系数，得： 厶2 确q m r l 加4i 等+ 各i ( 1 2 0 ) 将上式代入式( 1 1 6 ) ，即得挠度 w ( w ) = 芝m = l 主n = l 赢s i n 等s i n 孚 ( 1 2 ，) 耐【等a + 等】 “口 i d j 1 4 本文的研究工作 现目前，研究周期加筋薄板的振动辐射主要有两大方法：一种是利用有限元及边界 元的思想，结合a n s y s 软件进行分析；另一种也就是本文所采用的方法，利用傅旱叶变 换进行数学推导，将时域的表达转换到频域中进行处理。再结合m a r l a b 进行编程，计 算结果。本文主要工作如下： ( 1 ) 介绍了加筋薄板理论的发展历程，研究现状以及未来趋势。简述了相关的基础理论 知识。 大连理工大学硕士学位论文 ( 2 ) 论述了如何运用构造函数法求解普通单周期加筋板的振动声辐射问题，并用m a t l a b 编程计算了相应算例，做出了振动图及辐射声压图，分析了主要参数的影响。 ( 3 ) 论述了如何运用周期函数法求解考虑扭矩的单周期加筋板的振动声辐射问题，并介 绍了傅立叶反变换法的求解过程。 ( 4 ) 论述了如何运用格林函数法求解双周期加筋板的振动声辐射问题，并用m a t l a b 编程 计算了相应算例，做出了振动图及辐射声压图，分析了主要参数的影响。 周期加筋板声学性质的波数空间分析方法 2 相关理论及方程推导 2 1水中声传播基础 2 1 。1声波相关概念简介 声音是一种机械振动状态的传播现象，它表现为一种机械波即为声波。声音可以在 一切弹性介质中传播，它的传播与介质本身的弹性和惯性有关。当振动在气体或液体中 传播时，形成压缩和伸张交替运动现象，所以声音在流体介质中表现为压缩波的传播， 即纵波。在固体中由于存在切应力，所以除了纵波还有横波。声波在介质中的传播速度 称为声速，水中声速约为1 5 0 0m s 。 设介质中没有扰动时静压强为p o ( x ，y ，z ，) ，声波传来时同一点的压强变为 p ( x ，y ，z ，) ，因此介质压强的变化量为p ，称为声压1 1 9 1 。 p ( x ，y ，z ，f ) = p ( x ，y ，z ，f ) 一p o ( x ，y ，z ，)( 2 1 ) 本文讨论的主要是平面波，它是指同相位面为平面的波，即在同一时刻振动相位相 同的质点在同一无限延展的平面上。声波的波数等于波传播单位距离落后的相位角，声 场中沿波传播方向相距一个波长旯的两点的振动相位差为2 z 弧度。 k ：竺：丝 ( 2 2 )= 一= 1 2 c旯 、 其中，缈为声波传播的圆频率，c 为声速。 2 1 2 理想流体介质中小振幅波的传播 所谓小振幅波2 0 1 ，指波场中介质质点的振动位移比波长小得多，声压幅值也远小于 介质的静压力。介绍传播规律之前先作几个基本假设： ( 1 ) 介质是理想的流体介质，即认为介质运动过程中没有能量损耗； ( 2 ) 介质是连续的，在讨论声场中流体介质运动时，只考虑介质分子运动的平均特性， 而不考虑分子的单独运动； ( 3 ) 介质是静态的，而且是均匀的。即认为流体本身的流动速度与声波传播速度相比很 小，而均匀性是指介质在几个波长范围内，有关声学的力学参数基本不变。 1 静止介质小振幅声场中的连续性方程 人连理丁大学硕士学位论文 图2 1 体单元 f i g 2 1t h ec u b i cu n i t 如图2 1 ，考虑声场中一点m ( x ，y ，z ) ，以m 为中心作体单兀a b c d e f g h ，边长分 别为d x ，d y ，d z 。设某一瞬时，介质质点流过m 点的速度为u ( x ，y ，z ) ，分量为u ，u y ，u z ， m 点的密度为p ( x ，y ，z ，t ) 。则单位时间内沿o x 方向流入a d h e 面的流量为 一掣 撒叫蒯 流出b c g f 面的流量为 l 烈+ 掣害卜+ 悄斛量) 则净流量为一旦蛭塑出砂比，同理可得沿哕，d z 方向净流量分别为一塑呈型出砂龙， 一盟必级砒。 而单位时间内单元中密度变化引起质量增加挈出砂比，故可得方程： 周期加筋板卢学性质的波数空问分析方法 纶o t 降o x + 型o y + 型o zm p 刁 仁3 ， l 、 而密度和振速均包括两部分： f p ( x ，y ，z ，) = p o ( x ，y ，z ) + 局( x ，y ，z ，) 【u ( x ，y ，z ，) = u o ( x ，y ，z ) + u ( x ，y ，z ，) 其中，届为声波经过时，介质密度的改变量，v 为拉普拉斯算子，p o 为介质静止密度， u + 。为静态流速，：为振速。 通常认为介质的起始密度与时问无关，n no 。p 。：警。声波振幅很小时，届 0 区域加载流体，被面力p e e 7 一一岛y 所激励。如 图3 1 所示，平行筋问距为，。结合第2 章给出的板振动基本方程( 2 3 3 ) ，由于时间变量 e j 纠能消去，则板位移w ( x ，y 1 满足方程2 5 】： d v 4 w m o ) 2 w = p e e l “岛川一儿( x ，y ，o ) 一p ，( x ，y ) ( 3 1 ) 其中见( x ，y ，0 ) 为流体声压，p _ ，( x ，y ) 为单位面积上筋与板的相互作用力，口。，p o 分 别为入射波在毛y 方向上的波数。 将该方程进行傅立叶变换例，其定义为： 一p - o o ，、 f ( c t ，) = ii f ( x ，y ) p 1 口h 缈d , c d y( 3 2 ) 周期加筋扳声学性质的波数空间分析方法 逆变换为： m 川= 击e e 砘胁啦h 缈协d ( 3 3 ) 其中，口、分别为x 、y 方向上的波数分量。 运用傅立叶的微分定理，即： r 叭x ) = i o g f ( a 0 ( 3 4 ) 变换得到： 【d ( 口2 + 2 ) 2 - - m ( 2 】w = 4 万2 p , , d ( o t 一口。) 6 ( 一属) 一儿( 口，o ) 一乃( 口，) ( 3 5 ) 其中，万为d i r a cd e l t a 函数【2 7 1 ，是数字信号处理中常见的一个函数，并且运用广泛。 定义为 万( x ) = io o ，o , x x 。= ；。； ( 3 6 ) 上述变换中用到了它的一个性质，即： 荆) = 瓦1 e p 船出 ( 3 7 ) 声压满足h e l m h o l t z 方程【2 引，即： ( a 2 o x 2 + a 2 o y 2 + a 2 o z 2 ) p 。+ ( 缈2i c ：o ) p 。= 0( 3 8 ) 其中为水中声速。 再加上边界条件：板表面的流体速度等于板的振速，即： 誓i ：6 0 2 , 0 0 w ( 3 9 ) 由于p o = f ( x ) e 叫，y ( 3 1 0 ) 将式( 3 1o ) 代入式( 3 8 ) ，得： 挚+ 挚一m 外：。 此方程对x 进行一维傅立叶变换，得： 尘雩生一y z ；( 口，z ) ：o ( 3 1 2 ) 取此微分方程的解为p ( a ，z ) = a e 叩( z 0 ) ，a 为待定系数。 为满足无穷远处辐射趋零的条件，y 取非负实部和非负虚部。联合边界条件方程( 3 9 ) ， 人连理上人学硕士学位论文 可得： 于是： 其中y 2 = 6 t 2 + 2 一国2 蠢 彳：一型0 ( 口) ， p ( a ，o ) ：一p z _ l w ( 口，) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 3 1 2 加筋力 将筋条简化为欧拉梁，即不考虑受力过程中的剪切变形，第玎根筋力和位移关系1 2 9 】： e f lr 每1 a f ( 0 2 n n = r 孔 其中e ，为杨氏模量，为惯性矩，甜。为筋的位移。则所有筋的作用力之和为： 所( t y ) = 砉( # ，焉争一乃4 ，0 2 2 ) 万( x 一刀，) ( 3 1 6 ) 对上式进行傅立叶变换，并应用万函数的性质： 。厂( x ) 艿( x x o ) d x = f ( x o ) ( 3 1 7 ) 得： p ( a ，) = ( 互，i j f l 4 一乃彳，缈2 ) g t ( f 1 ) e ”州 ( 3 18 ) 又囚筋与板在接触处的振动位移相等，即： 甜。( y ) = w ( n l ，j ，)“。( ) = w ( n l ，) 利用泊松求和公式： 万( x + ，z c ) = = 1 e j n - - i - x 得： 量t p ”= 去量! 。c 口+ 脚p 。卵口1 州d 口+ = ，w ( 口+ ，p ) 8 ( ( a - a ) t - 2 胛7 r ) d a 2 o o = 三n 产= - - o o 品( 口一孚脚 将上式代入式( 3 1 8 ) ，得： ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 i ) 周期加堑堡生堂竺堕竺鍪墼至塑坌塑銮鲨一 一 p i ( a ，) = ( 巧) w ( a 一2 m r i l ，) 其中k s = e f l j p 4 一p f a f c 0 2 ，为筋的动态刚度。 ( 3 2 2 ) 3 1 3 振动位移 由式( 3 1 4 ) 与( 3 2 2 ) ，联合方程( 3 5 ) ，求得： 。c 础) = 垫等掣一南耋。( 口一孚) 2 3 ) 其中s ( 口，) ：d ( a ：+ 2 ) 2 一m o ) 2 一p o c 0 2 y ，为流体加载板的动态刚度。 为了表达方便，作一下替换： f ( 口) = 4 万2 见万( 口一口o ) 万( 厘型 s ( a ，) p - 2 州l 日2 亍 k ， 将固定，只考虑口为变量。7 i l 呈( 3 2 3 ) 可表达成： 。( 咖脚) 一志量w ( c r - e n ) 做替换口：口一e m ，聊为整数。把上式对聊进行求和得： 艺w ( a - e m ) ：尸( 口) 一h y