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第 8 次习题课讲义 一 关于定积分的计算 一 关于定积分的计算 1 分段函数的定积分分段函数的定积分 例 1 计算 3 2 2 32dxxx 分析 计算带绝对值的被积函数的积分 先脱掉绝对值 脱掉的方法有两种 一是令含绝对值 部分的函数为零 求出其实根 以其实根为分段点 将被积函数化成分段函数 二是利用函数的 奇偶性 周期性等性质 使绝对值符号脱落 解法 1 先令0 x得分段点 于是 0 x 原式 3 0 2 0 2 2 3232dxxxdxxx 再分别令 易得分段点032 032 22 xxxx1 1 xx 于是得到 原式 0 1 2 1 2 2 32 32 dxxxdxxx 3 1 2 1 0 2 32 32 dxxxdxxx 3 49 解法 2 注意到32 2 xx为偶函数 因此有 原式 3 2 2 2 2 2 32 32dxxxdxxx 3 2 2 2 0 2 32 322dxxxdxxx 2 1 3 2 22 1 0 2 32 32 2 32 2dxxxdxxxdxxx 3 49 练习 求 3 2 2 min xxdx 提示 3113 22 2211 37 min 6 xxdxx dxx dxx dx 2 换元积分法及分部积分法 换元积分法及分部积分法 例例 2 计算 1 0 arctandx xa xa 分析 本题应用换元积分法 换元时应注意要换限 解法 1 令 xa xa t arctan 则 ta t t ax2cos tan1 tan1 2 2 故 原式 0 4 2cos tatd tat2cos 0 4 dtta 4 0 2cos 2 a 解法 2 令 txcos 原式 2 cos 2 cos 2 cos 2 0 2 0 2 0 2 a dtt a t t atd t 解法 3 记 xa xa x 分部积分得 原式 a a dx xa a xxx 0 22 0 2 2 1 1 1 arctan a dx xa x 022 2 2 a 例3 计算 1 0 2 1 dx x xex 分析 定积分的计算常常需要一定的特殊方法和技巧 这些方法和技巧只有通过平时多做 习题并注意体会和积累来掌握 解法 1 原式 1 0 1 0 1 0 111 1 dx x xee x xe x dxe xxx x 1 22 1 0 e dxe e x 解法 2 原式 1 0 2 1 11 dx x ex x 1 0 2 1 0 1 1 dx x e dx x e xx 1 0 1 0 2 1 1 1 dx x e de x x x 1 0 1x ex 1 0 2 1 dx x ex 1 0 2 1 dx x ex 1 2 e 练习 22 a a xax d x 提示 22 a a xax dx 22 2 a a ax dxa2 例 4 求下列定积分 1 2 0 cossin sin dx xx x i 22 0 a dx xax 2 2 0 1999 cot1 x dx i 21999 0 11 dx xx 3 2 0 24 4 dx xx x i 4 2 0 lnsin xdx 5 4 0 ln 1tan x dx 1 2 0 ln 1 1 x dx x 分析 作变量替换 使分母不变 而使分子为分母中另一项的积分 对前后两积分求和即可求 积分值 解 1 0 2 2 cos 2 sin 2 sin du uu u i 令 xu 2 2 0 sincos cos du uu u 2 0 sincos cos dx xx x 故 i2 2 0 2 0 2cossin cossin dxdx xx xx i 所以 4 i 解 2 i 2 cot 1 1 0 2 1999 du u 令 xu 2 2 0 1999 tan1 u dx 2 0 1999 cot 1 1 u du du u u 2 0 1999 1999 1 cot cot 2 0 1999 1999 cot1 cot dx x x 故 i2 2 0 2 0 1999 1999 2 cot1 cot1 dxdx x x 所以 4 i 解 0 2 42 2 du uu u i 令 24 ux 即 xu 2 2 0 24 2 dx xx x 故 i2 2 0 24 24 dx xx xx 2 2 0 dx 所以 1 i 4 解 因为 3 2 13 0000 22 lnsincot2 limlnsinlimlimlim0 tan1 2 xxxx xxx xx x xx 又 2 0 dx x 收敛 故广义积分 2 0 lnsin xdx 也收敛 令 2 xt 则 2 0 lnsin xdx 22 00 lncoslncostdtxdx 于是 2 0 lnsin xdx 2222 0000 111111 ln sincoslnsin2lnlnsin2 222222 xx dxx dxdxxdx 对后一个积分再令2xu 2 00 11 ln2lnsinln2lnsin 4442 uduxdx 于是可得 2 0 lnsin xdx 2ln2ln 42 2 5 利用 1 2 bbb aaa f x dxf abx dxf xf abxdx 4 0 ln 1tan x dx 444 000 1tan2 ln 1tan ln 1 ln 41tan1t x an x dxdxdx xx 44 00 121 ln 1tan lnln2ln2 21tan2 xdxdx x 8 对于 1 2 0 ln 1 1 x dx x 令tanxt 即得 或者考虑令 1 1 t x t 例 5 设连续 证明 xf x dx x a xf x dx x a xf aa 1 2 1 2 2 2 证 令 则 2 xt x dx t a tf x dx x a xf aa 2 1 2 1 2 1 2 2 2 t dt t a tf t dt t a tf a a a 22 1 2 2 1 2 1 对第二个积分 令 t a u 2 du u a a u u u a f t dt t a tf a a a 1 2 2 2 22 2 u du u a uf a 1 2 x dx x a xf a 1 2 2 2 t dt t a tf a 1 2 2 1 u du u a uf a 1 2 2 1 x dx x a xf a 1 2 练习 1 证明 1 00 1 0 ln 1 lnlnduufdu uf uf dttxf x 证 设1 utx 则 x x duufdutxf 1 1 0 1lnln 0 10 1ln1ln x x duufduuf 令 则 vu 1 110 1 lnln1ln xxx duufdvvfduuf 1 00 lnlnduufduuf x 故 1 00 1 0 ln 1 lnlnduufdu uf uf dttxf x 练习 2 求积分 2 2 0 xx x idx ee 解 方法 1 2 2 0 xx x idx ee 12 1 22 01 xxxx xx dxdxii eeee 2 而 222 2 22 111 2222 xxxxxx xx 2 idxdxdx eeeeee 对积分 2 2 1 2 xx x dx ee 作变换 得 2ux 2 2 1 2 xx x dx ee 01 1 22 10 uuuu uu dudui eeee 故原式 2 22 222 11 1 112 22arctan x x xxx e idxde eeeeee 2 arctan 4 e e 方法 2 注意到公式 1 2 bbb aaa f x dxf abx dxf xf abx dx 于是 2 2222 22222 0000 0 1211 arctan 2 xx xxxxxxx xxde idxdxdx eeeeeeeeee e 111 arctanarctanarctanarctan 2 eee eee 2 arctan 4 e e 例例 6 证明 0sin 2 0 2 dxx 证明 令 ux 2 2 0 2 0 2 sin 2 1 sindu u u dxx sinsin 2 1 2 0 du u u du u u 第二个积分中令 tu sinsin 2 1 00 dt t t du u u 0 sin 11 2 1 udu uu 当 u0 时 0sin 11 u uu 故 0sin 2 0 2 dxx 练习 设是以 xf 为周期的连续函数 证明 0 2 0 2sindxxfxdxxfxx 证 dxxfxx 2 0 sin 2 0 sinsindxxfxxdxxfxx 令ux 则 0 2 sinsinduufuudxxfxx 0 sinduufuu xf以 为周期 故 0 2 0 2sindxxfxdxxfxx 例 7 已知 dxe x2 计算 1 2 2 dxxe xx 解 1 2 2 dxxe xx 11 1 2 1 1 1 2 1 22 xdeexdee xx 00 2 22 2 1 dteedtee tt 令1 xt 1 222 1 e ee 例 8 设 1 2 0 1ln 1 11 x f xf x dx xx 求f x 解 设 将已知等式两边积分得 1 0 af x d x 1 11 12 2 20 0 00 1ln 1 1 arctanln 1 ln2 11242 xa af x dxadxxax xx 于是 2 42 ln2 a 故 22 1l 11 42 ln2 n 1 x f x xx 练习 1 设 2 0 1 0 2 2 xfdxxfdxxfxxxf求 解 原等式两端分别从 0 到 1 和从 0 到 2 积分得 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 2 2 dxxfdxxfxdxdxxdxxf 2 0 1 0 2 0 2 0 2 0 2 4 dxxfdxxfxdxdxxdxxf 即 1 0 2 0 1 0 2 2 1 3 1 dxxfdxxfdxxf 1 0 2 0 2 0 4 2 3 8 dxxfdxxfdxxf 从以上两式可解得 3 1 1 0 dxxf 4 3 2 0 dxxf 故 3 2 3 4 2 xxxf 练习 2 设 f x在 上连续 且 2 sin 1 cos x f xf xxdx x 求f x 解 因为 f x在 上连续 所以定积分 sinf xxd x存在 并记 sinf xxdx c 于是 2 1 cos x f xc x 两边乘以sinx 从 到 积分得 2 22 00 sinsin sinsin22 1 cos1 cos1 cos xxx cf xxdxcxdxdxdx 2 x xxx 2 2 0 2 arctan cos 2 x 于是 2 2 1 cos2 x f x x 练习 3 设函数 f x在 0上可导 且它的反函数为 若 试 求 g x 3 1 1 f x g t dtx f x 解 对等式两边求导得 3 1 1 f x g t dtx 2 3g f xfxx 因为为 g x f x的反函数 所以 g f xx 于是 3fxx 即 2 3 2 f xx c 又注意到 代入得 1 1f 1 2 c 故所求函数 2 1 31 2 f xx 二 关于定积分的证明 二 关于定积分的证明 例 9 设 f x在 2上可导 且 4 4 2 3 2 1 fxf x dx 求证 在 2内至少存在一 点 4 使得 1 2 ff 证明 设 因为 2 1 f xxf x f x在 2上可导 故在 2上也可导 且 4 f x 4 2 2 ff 又由于 4 2 3 2 1 fxf x d x 应用积分中值定理 得 2 2 1 fff 3 4 所以 2 ff 应用罗尔定理 2 2 4 0f 即 2 2 1 1 0ff 亦即 1 2 2 4 ff 练习 练习 设 f x在 0上可微 且 1 2 1 2 1 0 1 2 x fef x d x 证明 在内至少存在一点 0 1 使得 2 ff 证明 设辅助函数 2 x f xef x 在 0上可微 又 f x 1 222 11 22 111 00 1 1 1 2 2 0 2 xx fefeef x dxef x dxeff 于是 在 1 上用罗尔定理 1 0 1 使得 0f 即 亦即 2 2 0eff 2 ff 例 10 设 f x与在 0上具有非负连续的导函数 且 g x b 0 0f 求证 对0 有 ab 00 ab f af x g x dx g ag x f x dx 证明 由于 且 0 0fxg x 0 0f 可知 0 0 f xx b 又由于 fx g x 在 0上连续 它们在 0上可积 于是 b b 0 0000 abab a g x fx dxf x g x dxf x g xg x f x dxf x g x dx b a f a g af x g x dxf a g aab 即得 00 ab f a g ag x fx dxf x g x dx 例 11 设 f x在区间 0上具有连续导数 且 1 1 0 1ff 试证 1 2 0 1fxdx 证明 因为 22 1 2 10fxfxfx 0 1ff 11 2 00 2 fxdxfx 即 两边积分并注 意到 得 2 2 1fxfx 1 0 2 1 0dxff 1 11dx 练 习 练 习 设在 0 上 连 续 且 xfa0 0 f 0 max x a mfx 证 明 2 2 ma 0 dxxf a 分析 应该先建立与 之间的关系 然后再 放大 估值 拉格朗日微分中值 定理和牛顿 莱布尼茨公式都可以建立两者之间的关系 xff x 证明 1 由和微分中值定理有 0 0 f 0 f xf f xf x 0 x 故 2 0000 2 a m xdxmxdxfxdxfdxxf aaaa 证明 2 由和牛顿 莱布尼茨公式有 0 0 f 0 0 xffxfdttf a 于是 mxmdtdttfdttfxf xxx 000 故 2 000 2 a m mxdxdxxfdxxf aaa 例12 设在 xf ba 上连续且严格单调增加 则 b a b a dxxxfdxxfba2 证 令 x a x a dtttfdttfxaxf2 则 xxfxfxadttfxf x a 2 xfaxdttf x a x a dtxftf xta 在 严格单增 xf ba 0 xftf 则 0 xf 从而 0 afbf 即 故 02 b a b a dtttfdttfba b a b a dxxxfdxxfba2 三 关于定积分的应用 三 关于定积分的应用 例例 13 求曲线xy 的一条切线l 使该曲线与切线l及直线0 x 所围成的图形 面积最小 2 x 解 设切点为 tt 则切线l的方程为 2 1 tx t ty 即 22 1t x t y 面积为 dxx t x t ts 2 0 22 1 3 241 t t 令 0 2 1 2 1 2 1 2 3 ttts 得驻点 1 t 又0 1 s 故1 t时 s 取最大值 此时l的 方程为 2 1 2 x y 练习1 若曲线xycos 2 0 x 与x轴 y轴所围图形面积被曲线 a 三等分 试确定a b的值 xaysin xbysin 0 b 解 与xbysin xycos 交点的横坐标为 1 arctanc b 因1cos 2 0 xdx 所以应有 2 2 0 11cossin 3 1 bbxdxxdxb c c 解之得 12 5 b 又与xaysin xycos 交点的横坐标为 a arctgd 1 所以又应有 aadxxax d 1sincos 3 1 2 0 解之得 3 1 1 a 练习2 求通过 0 0 1 2 的抛物线 要求它具有以下性质 1 它的对称轴平行 于y轴 且图形上凸 2 它与x轴所围的面积最小 解 设方程 由曲线过cbxaxy 2 0 0点得0 c 与bxaxy 2 x轴交点 为 0 0 0 a b 与x轴围成面积为 2 3 6a b dxbx 0 2 axs a b 由抛物线过点 得 2 1ba 2 代入得 s 2 3 26b b s 从而 3 32 26 6 b bb s 令得0 s6 1 b 0 2 b 由此可分别得到 4 1 a2 2 a 因为抛物线上凸 则第二组不合要求 舍去 故所求抛物线为 xxy64 练习 3 求由曲线和它的渐近线及轴所围区域的面积 dtexy x t 0 2 y 解 曲线的水平渐近线为 2 y 0 x 2 y 0 x 由对称性 所 求面积之半为 2 dt t 00 22 1 dxes x 0 0 0 22 2 dxxeex x x t 0 0 2 2 2 1 1 2 lim x x t x e x dte 2 1 故所求面积为1 s 练习 4 过点作一直线 截抛物线得一弓形 问怎样的直线能使截得 的弓形面积最小 2 1p 2 xy 解 如图 设所作直线方程为 12 xky 则由 2 12 xy xky 解得 2 84 2 1 kkk x 2 84 2 2 kkk x 于是84 2 12 kkxx kxx 21 42 22 2 2 121 kkxxyy 从而弓形面积为 2 1 2 1221 2 1 x x dxxxxyys 3 1 3 2 22 3 1 8442 2 1 xxkkkk 2 3 2 84 6 1 kk 令0 dk ds 得 2 k 由实际意义知 当时弓形面积最小 故所求直线方程为 即 2 k 122 xy 02 yx 例 14 设函数在上连续且单调增加 证明在内存在点 xf ba ba 使曲线 xfy 与两直线 fy ax 所围平面图形面积是曲线 1 s xfy 与两直线 fy 所围图形面积的三倍 bx tf xf bf 2 t dx 3 ba dxx s x t 证 设是上任一点 与分别表示图中两块曲边三角形面积 由于 是 的连 t s ba 1 t 3 2 ts ftf t a f fbf b a 1 ts 2 ts 续 函 数 只 要 证 明 该 函 数 在内 有 零 点 即 可 构 造 函 数 b a dx tfxf b t 连续 在上连续 又 0 03 dxfaf b a afx 由连续函数介值定理知 ba0 使 f 故 即 dxxf dxfx f b 3f a 1 s 2 3s 练习 23 设在 上正值 连续 则在 ba ba 内至少存在一点 xf 使 dxx b a b fdxxf 2 1 dxx x dt a f x a fxf 证 令 由于 b dttft bax 时 xf b a dttf 0 故 af 0 dtt b a f 0 bf 故由零点定理知 存在一点 ba 使得 0 f b xfdx dxx2 即 a tf b a xf 0 dtt b f a dx dt dxxf a 又 a b fdxxfdxxf 故 b fdx x2 b a xfdxx 2 1 a xf dx 例 15 设平面图形 a 由与xy2 2 xy 所确定 求图形 a 绕直线旋转一周 所得的旋转体体积 2 x 解 因与直线xy 的交点为和 选为积分变量 0 0 1 1 y 1 0 dy yy 相应平面图形绕2 x旋转一周所得的旋转体的体积 微元为 dyxxdv 2 2 2 1 22 其中 2 11 11 yyxx yyxx 22 故得 dyyydv 2 2 2 211 dyyy 22 1 12 积分得 1 0 22 1 12dyyyv 1 0 1 0 22 1 212dyydyy 第一个积分中 令 得tysin 3 2 2 1 2cos2 2 2 0 1 0 22 dyytdtv 练习 求曲线 x xey 0 x0 y和ax 所围成的图形绕轴旋转所得旋转 体的体积v 并求 ox v a lim 解 a x a a dxexdxy