（概率论与数理统计专业论文）b值随机级数的自然边界.pdf

， t c il + 。k t h en a t u r a lb o u n d a r yo fb - v a l u e dr a n d o ms e r i e s at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：l ih u a s u p e r v i s o r ：p r o f t i a nf a n j i h u b e iu n i v e r s i t y ，u h a n c h i n a 脚im 钔 伽9m 6乃 舢1舢y 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：季绰 签名日期：加扣年6 月罗日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，l i l j ： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录榆索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 日期：刃f 口年么月乡日 日期：卿年么影日 中文摘要 摘要 本文以b a n a c h 空间中的解析函数的相关理论作基础，主要研究了b 值随机 级数的自然边界全文丰要分为四章第一章介绍了随机级数理论的发展历程和 本文的研究结果第二章列举了本文所需要的预备知识第三章根据b a n a c h 空间 中的解析函数的泰勒展开得到了j e 7 值对称随机泰勒级数的自然边界，然后利用 对称化方法得到一般b 值随机泰勒级数的类似结论第四章利用对称随机级数 的s 可求和性与a s 收敛关系得到了b 值对称随机狄罩克雷级数的自然边界，然后 利用对称化方法得到一般j e 7 值随机狄里克雷级数的自然边界并给出了些相关 的推论 关键词：b 值随机级数，a s 必然收敛，自然边界 湖北人学硕：卜学位论文 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r t h en a t u r a lb o u n d a r yo fb - v a l u e dr a n d o ms e r i e si ss t u d i e do nt h e b a s i co ft h et h e o r yo fa n a l y t i cf u n c t i o ni nb a n a c hs p a c e t h ep a p e rc o n s i s t so ff o u r c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r yo ft h et h e o r yo nr a n d o ms e r i e sa n dt h ec o n c l u s i o n s o ft h ep a p e ra r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，p r e v i o u sk n o w l e d g ei sg i v e n i nc h a p t e r3 ， t h en a t u r a lb o u n d a r yo fb v a l u e ds y m m e t r i cr a n d o m t a y l o rs e r i e si so b t a i n e db yt a y l o r e x p a n s i o no fa n a l y t i cf u n c t i o ni nb a n a c hs p a c e b e i n ga s y m m e t r i c ，g e n e r a lb v a l u e d r a n d o mt a y l o rs e r i e sa l s oh a v es i m i l a rc o n c l u s i o n i nc h a p t e r4 ，o nt h eb a s i co fa n i m p o r t a n tp r o p o s i t i o no nt h es - s u m m a b i l i t yo fa n a l y t i cs e r i e sa n da s c o n v e r g e n c eo f s y m m e t r i cr a n d o ms e r i e st h en a t u r a lb o u n d a r yo fb v a l u e ds y m m e t r i cd i r i c h l e tr a n d o m s e r i e si so b t a i n e d b e i n ga s y m m e t r i c ，g e n e r a lb v a l u e dr a n d o md i r i c h l e ts e r i e sa l s o h a v es i m i l a rc o n c l u s i o n a tl a s t ，s o m er e l a t e dc o n c l u s i o n sa r e g i v e n k e y w o r d s ： b v a l u e dr a n d o ms e r i e s ，a l m o s ts u r e l yc o n v e r g e s ，n a t u r a lb o u n d a r y i i 目录 目录 摘要 a b s t r a c t ( 英文摘要) 1 序言 2 预备知识 2 1 分布和相似 2 2 乘秋概率空间 2 3 对称随机向量 2 4s t e i n h a u s 序列和r a d e m a c h e r 序歹0 2 5 求和矩阵 2 6 抽象函数，强导数和有关引理 3b 值随机泰勒级数 3 1 对称情形 3 2 一般情形 4b 值随机狄里克雷级数 4 1 对称情形 4 2 一般情形 4 3b 值随机勒襄特级数 参考文献 致谢 i i i n 3 3 4 4 4 5 5 7 7 m b b 侈 加 l 序言 1 序言 e m i l eb o r e l 于1 8 9 6 年提出了随机级数这概念，到2 0 世纪3 0 年代开始作为理 论进行研究。p a l e y 署t l z y g m u n d 在所发表的题为论若干函数项级数的几篇论 文t 对这一理论加以阐述到2 0 世纪6 0 至7 0 年代以后随机级数理论有了较大的 发展，在调和分析、复分析、分行儿何等数学分支中已有重要的应用随机级数 理论主要研究三角级数及泰勒级数：a n s n e 饥。及k 沙，其中 是常数 序列， x 几 为r a d e m a c h e r 序列，s t e i n h a u s 序列或正态随机序列这些级数性质的研 究已由下列数学家得到重要成果：j e 1 i t t e r w o o d ，p a l e y , h s t e i n h a u s ，z y g m u n d ，p b i l l a r d ，j pk a h a n e ，m a r c u s ，p i s i e r 等他们的研究应用了对称原理、比较原理、 简化原理等这些方法在j pk a h a n e 著的函数项随机级数中得到总结 在随机级数的理论中，随机泰勒( t a y l o r ) 级数与随机狄里克雷( d i r i c h l e t ) 级数 是主要研究对象j p k a h a n e 在文献【l 】中研究了随机泰勒级数 。 f 扩 n = 0 ( 1 1 ) 的收敛性，收敛边界，收敛半径等问题，其中系数k 是独立的复随机变量，z 是复 数，他还研究了随机d i r i c h l e t 级数 ( 1 2 ) 的收敛性，收敛边界等问题，其中是独立的复随机变量，8 = 盯+ i t 是复数， h ) 是正的增加数列，即o = a o 入l kt 。o 卢方芳在文献【3 】中研究了 随机洛朗( l a u r e n t ) 级数 + o o z n 一 ( 1 3 ) 的收敛性，收敛边界等问题，其中墨是独立的复随机变量，并给出相关的随机级 数的相应的结论 一 ex 脚 湖北人学硕l j 学位论文 数 现在的想法是把系数推广至b a n a c h 空间中的向量本文主要研究的是级 0 0 扩， n = o o o e 。 ， n = 0 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 上述两个级数中k 是独立的b 值随机向量序列) 的收敛性，收敛边界等问题，顺 便给出b 值随机洛朗级数 + o o 名n ( 1 6 ) 和b 值随机解析殆级数 + e 以神 一o o ( 1 7 ) ( 其中 a n ) 是增加数列，即一卜a n a 一1 0 = a o a 1 k _ 、- 、 丁，艰x 牲0 硒嘞羽掣蕈0 酩a n s s 3 q 3 1 脚t ，与x 仃百冀丁，刨因母百犁x 仃凿坼 翠嗽明帮勤 ( 【z 一) 弓x ) a = ( z ) x r # 骠圃取取甲晋妙彤朝x 喜薤衅黝运骈暗髯。砂影明x 椠罩牲叫一珂0 i 6 l 卫明i 吾菩留县丁( 目日) 翠少一上x 犁( ( 日) i x ) a 一日转询z 弓( 日) i x f i r 堑 少母明中日辫一d 明搿雨脊= i f 明亡b 日单壬怔。( 菩眄i 衅劂哥a 椠璐蟛) 菩眄i 衅驹中涮 函q a u u e e l 谣诩菩叫到明七b 刨罩q 丰璺聋羽，骑、兽甄衅鲥明审u 日、喜耀衅到西、喜 稚16 到近旦研0 暂斟菩驻1 6 刻凹d 】日罾x 转谕澉n 1 6 z ( p ) i x 晕噼日) 9 暂 拄少每牲日# 剧忑q 丰辫吾日凿蹲研碍一直菩距衅劂摹普x 鞲确明讨0 王u w 堪0 茁。弓( ，) i x 粤蜉，刨因晕王 明1 。噼幂壬肛凿蹲轴壬嚣日杲 s b ( x ) 牡：k 瞿。( x ) 氆哥孵鞴丽士v x ，k 龉晒脚鞴硒士v 晋 勒重取酱啤+ 。( x ) 氆舀靴x ，椠勒垂銎牲晒( x ) 氆当* 牮百犁。f i r 士智x ，勒 奄诽凳( 日) i x 箪 日弓x 鬃鲤。日士智x ，勒摩椠 日弓( m ) x ：叫号脊蜕 日脊乒朝日士挺芍牲1 障到疆拳堑1 障到鲫丁日紧x 燃0 硒s r 弓( m ) x 盟蜉u n 一 每牲：哥裂凿蹲x 鞲确明g 唾u w 日号脊少一时( d z u ) 州函幸辫一g 锈 。幸斟明y 勒雏罾( 矿) d 勒垂r e , 澉姿些朝审- 到函摩雠椠澉( d - u ) 如哥皲骥勒澎葡暮杲。z 弓y 阜期0 = ( 8 ) d - 日s 弓日日) v 某帽明母举 瞽d 旗娶珂嗽索斟少一朝丁( z u ) 瞽d 明嘲辟署苗娶明冀骠血咄脊号迪壬轻 # 圣脊聂上导母翠搿瞵暂- 上i 朝u 甲晋z 骢瞢骅礤獬一d 专一朝1 u 晋z 号脊少t 一普u ( d z u ) 刨舀幸擗k 犁华 礤蟛号逛 乙 的 瞅口尘半髟i 乙 砸嘭甾班 z = 州孓阻拳_ a c 阴罩刨姑幸j ；辞裂斟紧辨u 轴邓习0 酿3 n s s a q 3 1 吾u d 獬一d 明 搿阱鲋暂0 淤也3 n s s 3 q 3 1 普o 【i o o j 困哥u u u 一每拯七b 并u u = u 刨 玉礅啦普到函幸科脚弼华咨、霉咨勘距抱t l ，砚蕊阴骠酶咐到觋 i 互窜j 3 q 3 b u i a p b h 口尘f i 巨冒s n e q u ! o l s 杪乙 酸华吼姆靶d 订研驾璐一创哥骐s b 七b u 翠z x 勘辫( ，n ) x = z 菩叫 犁回- - u c u 弓，n 擘翠批f 1 1 耕询也狮单驺科朝犁扬少一百骅。s b 七b u u 翠【朗娶 询乜叫椠瑚阜。喜掣衅到牲牲少一瞽骈酉罩晒( ，m ) x 一( m ) x = ( ，m m ) 久喜 掣1 l ； 到碉丁u u 刨函礅凿x 举x 菩叫僻到朝丁u 翠百犁少一罩粝 鲁叫咐列辫牲吾x 牲0 面研群x 与x 一黹晦x 喜掣衅到磕七b 刨孬珊骑翠 菩叫衅驯龆艇一 掣一 。u 1 u 椠甚粜觐刨 函索斟邈些朝( 。d 。矿。u ) 与( t d 。矿1 u ) 紧( 1 d 。矿1 矿。u 1 u ) 嫩晰 ( 。矿弓o v 1 矿弓1 v ) ( 。y ) ( y ) t d = ( 乙v y ) ( 乙d d ) 哥驰日幸斟号鼍明1 。矿1 矿。u 1 u ) 罾。d 1 d ( e ) ( o 矿弓o v 百 1 1 7 弓1 v ) 。v 。v 龇些阜蝈号回罩獬一d 山一聊丁。u 。u 瞽。1 7 1 1 7 ( 乙) 澉誊号脊阴粜觋明。u 咄1 u 瞽。u 1 u ( i ) ：驾羽，i 翔阜罩f f d 1 d 。矿1 矿u 1 u ) 刨函幸 斟明、f 咨少一翠型朗皿询且( 。矿。u ) 瞠( t d 1 矿q u ) t 璺j 函瘩斟妙鲤覃锈 刨覃壶斟礅娄乙乙 朝业髟刨瞽叫罩| i f i 鲁驻啤副朝两晔吾叹吐。x 凿蹲z 驾诽群 肚翠0 面再驻衅驹明业髟剧审日翠瞽叼唑1 x 刨忑、 丰珥瞽日凿蹲喜砸衅到瞽x 酱 扭咐到轴f t lx 日孥号曰g 章辑i 甜o a 乐百乐刨函、j 丰璺聋著日酱嘶协群叹哇x 牲 嘶刨函壶辩明刨群瞽( 。x r 物日) 吐( 啊一x 日日) 凿晦啊咄1 x 存怄衅到朝 丁刨玉索掰少鲤翠x 举冀哥丁日翠少聊犁扬刨忑幸斟少一瞽( x 订沟日) 0 面 。( ( 8 0 ，一x ) d = ( 8 ) x r ， x 举叫日弓f i r 专 茸现珥丢：j j 皿丢y 习r 嗽 2 预备知识 l ，忱，u 。，) 若对所有的孔，0 1 则定义在q 上的随机变量 序列u 1 ，u 2 ，称为标准的s t e i n h a u s 序列序列e l ，2 ，如果 满足 ( u ) = 1 ，t o n 【0 ，妄) ， 厶 1 ( u ) = - 1 ，u n 点1 】， 则称为标准的r a d e m a c h e r 序列 与标准的r a d e m a c h e r 或s t e i n h a u s 序列相似的随机向量序列称为r a d e m a c h e r 序y 1 或s t e i n h a u s 序列换句话说，s t e i n h a u s 序列是在【o ，1 】上同分布的独立随机变 量的序列，r a d e m a c h e r 序列是以相同的概率取值+ l 或一1 的相互独市的随机变龟序 列 2 5 求禾口矩阵 设给定一个无穷矩阵 s = ( n 。) ( 几= 1 ，2 ，m = i ，2 ，) 若给定任意固定的m ，l i mn 。= 1 ，则称矩阵s 为一求和矩阵 t l + o o o o 给定级数( 其中 n t 3 ) ，我们考虑级数 n = 1 o 蒯m ( n = l ，2 2 ) m = 1 0 ( 3 若它们分别收敛于l ，叫2 ，n ，并且序y u w 。) 在b 内也收敛，则称级数v n n = 1 s 一可求和，且称l i m 叫n 是它的s 一和 n + 2 6 抽象函数，强导数和有关引理 本文t j 的收敛是按范数收敛，即设e 为赋范线性空问， z n ) cex 0 e ， 当l i m | i z n x o l = o 时，称 z n ) 按范数收敛于x o b 值抽象函数f ( z ) 是定义在数 n 一 o o 域k ( k 可以足实数域或复数域) 上且在抽象卒问b a n a c h 审问b 内取值的算子b 值 5 湖北人学硕：i ：学位论文 抽象函数f ( z ) 解析是指定义在复平面的某一个区域s 上并在复b a n a c h 空间b 中取 值的抽象函数f ( z ) 对v z s 都存在着强导数 f 7 ( z ) = 。l i 。r a 。! 垒! 掣( 6 c ) 这里，极限是指按b 中范数收敛 引理2 1 【2 】对于取值于- b a n a c h 空间b 中的幂级数 ( 2 2 ) 其中z n b ，z c ，z 0 是某固定复常数，则 ( i ) 其收敛半径 7 = 1 l i m s u p 忙n l l ， n o o 即当i z z o i r 时，级数( 2 2 ) 发散 ( i i ) 级数( 2 - 2 ) 在i z z o i 7 内是一个抽象解析函数f ( z ) ，目在圆内闭一致收敛 引理2 2 1 2 】如果抽象函数f ( z ) 在s ：1 2 一z o l r 内解析，那么 脚) ：壹掣( z - - z o ) 几，v 舢 n = o 。 6 n 幻 一z n z 脚 3 b 值随机泰勒级数 3 1 对称情形 3 b 值随机泰勒级数 定义级数( 2 2 ) 的收敛边界是i z z o i = 7 ，边界卜的奇异点是指不存在f ( z ) 的 任何穿过边界上包含该点的弧的解析延拓，称边界上的非奇异点为j 下则点，收敛 边界是自然边界是指边界上的点都是奇异点由引理2 1 和引理2 2 知，级数( 2 2 ) 边 界卜至少有一个奇异点 对于级数( 1 4 ) ，当u 给定时，( 1 4 ) f l 勺收敛半径是r ( u ) = 1 l i ms u py 晒研，这 是一个u 的可测函数，它与有限个x 。的值无关，根据0 1 律，它在q 上几乎必然是 一个常数，u p r ( u ) = 7 a s0 r o 。在这里只考虑0 7 。情形以f ( 名，u ) 记 级数( 1 4 ) 的和函数，或者简- i 2 , 为f ( z ) 对于级数( 1 4 ) ，给定i z i = 7 上的一段闭弧i ，则 u ：，对f ( z ，“，) 而言是正则 的 是一个事件考虑这样的u 集合，使得7 ) = r ，且i 的中心是点r ，即，= r e 掘：i a l p ，p i r e t 口一z 则i 是正则的对每一个给定z ，上式是一个事件，考虑这种事件的可数并，从 而 u ：，对f ( z ，u ) 而言是正则的) 是一个事件由o 1 律，它的概率是0 或1 闭弧 7 e 缸：胁q 伪) ( 这里譬和譬是有理数) 被称为有理弧考虑所有几 乎正则的有理弧，设冗是它们的并，则冗中所有有理弧是正则的并且没有其他的 有理弧是正则的因此，冗几乎必然是z i = 7 上所有正则点的集合，称亿为f ( z ) 的 j 下则集合 定理3 1 1 设0 r o 。，若系数k 是b 值对称随机向量，则圆= r 几乎必 然是f ( z ) 的自然边界，即冗是空集 证明假设冗非空选取一个足够大的整数u ，使r 包含长度为( 2 7 r u ) r 的角弧， 7 湖北人! 硕二l j 学位论文 设后= 0 ，1 ， 一1 ，定义：= 1 ，若n k ( m o d v ) e n k = 一1 ，若n = k ( m o d v ) ， ( 3 1 ) 根据相似性，( 3 1 ) 几乎必然具有f ( z ) 的性质，即冗几乎必然足以( z ) 的正则点集合 由于 f ( z ) 一凡( z ) 2 凰协z 抖。kz 七h k ( z ) ， j = o 且凰( z ) = h k ( z e 2 霄”) ，则凰( 名) 在h = r 上几乎必然是正则的义由于 一10 0 u 一1 r ( z ) = ( e ：) 扩= ( 口一2 ) f ( z ) ， k = 0m = 0k = 0 r ( z ) 】= 2 f ( z ) 在i z i = r 上几乎必然是正则的，矛盾即定理l 得证 推论3 1 1 设是定义在概率空间( q ，尸，尸) 上b 值独立对称随机向量序列， z c ，贝, i j b 值随机洛朗级数 + o 。 f ( 2 ) = 扩 的收敛边界h = r 1 ，i z i = r 2 ( 其中r l = 1 l i m s u p r , 几乎必然是自然边界 证明令f ( z ) = 垂( z ) + ( z ) ，其中 虫( 名) = 皿( z ) 。k 扩， r 2 = l i ms u p 们犀珂) n + o o ( 3 2 ) n 孑 磨n 脚 l l z ， f zf 脚 脚 n z n x 瞄 3 b 值随机泰勒级数 对( z ) 作变换：= x z ，级数变成 ( 可) = x n y n n = 1 ( 3 3 ) ， 由引理2 1 ，( 3 2 ) 在l z i ：q n n z n n = o 的收敛边界h = r ( 其中r = 1 l i r as u p 洞) 几乎必然是自然边界 复值情形是b 值情形的特殊情况，南定理3 1 j ，容易得到下面的推论： 推论3 1 3 设是定义在概率空问( q ，厂，p ) 上复值独立对称随机向量序列， z c ，则复值随机泰勒级数 的收敛边界| z i = r ( 其中r = 1 l i r a s u p 陬动几乎必然是自然边界 n o o 推论3 1 4 设是定义在概率空间( q ，芦，p ) 一h 复值独立对称随机向量序列， z c ，则复值随机洛朗级数 + o o f ( z ) = z n o o 的收敛边界例= 7 1 ，i z l = r 2 ( 其中7 1 = 1 l i ms u p n ，面x 习，r 2 = l i ms u p 取：习) n - - - 0 0n o o 几乎必然足自然边界 9 扩x 脚 i i 苟 f 湖北人学硕：i j 学位论文 推论3 1 5 设是r a d e m a c h e r 序列，z c ，随机级数 的收敛边界= 1 几乎必然是自然边界 3 2 一般情形 为了叙述方便，称z i = 。是整函数的自然边界，并用r f 表示 ( 1 4 ) ( 其中是独立的b 值随机向量) 的几乎必然的收敛半径同样的，用r g 表示和 为g 的级数的几乎必然的收敛半径，也就是7 f = i l i r a s u p 驴研 n 定理3 2 1 设r f 0 ，则只有以下两种可能： ( i ) l z l = r f 几乎必然是( 1 4 ) 的自然边界； ( i i ) 存在一个函数f ( z ) = a n z n ，厂在z l = r f 内收敛，且7 f 一， r f ，而且 有z l r f ，且= r g 几乎必然是g 的自然边界 对q 中几乎所有的u ，有下列性质： ( i ) l z l = r g ，对几乎所有的u ； ( i i ) l z i = r g 是g 的自然边界 1 0 n z n e 脚 l i zf 矿x 脚 3 b 值随机泰勒级数 选取一个满足上式的u 7 ，定义o n = 瓦( u ，) ( n = 0 ，1 ，2 ) 则 g ( z ，u ，u ) = ( ( u ) 一。几z n = f ( z ) 一化) n = o 满足结论( i i ) 推论3 2 1 设是定义在概率空间( q ，厂，p ) ，卜复值独立随机向量序列， z c ，则对于复值随机泰勒级数 ( 3 5 ) 仅存在两种可能： ( i ) h = r 尸( 其中7 f = 1 l i ms u p i x 。1 ) 几乎必然是( 3 - 5 ) 的白然边界； n o 。 0 0 ( i i ) 存在。个函数f ( z ) = a n z n ，在i z i = r f 内收敛，且7 f 一， r f ，- 向且 有h r f - 几乎必然是f ( z ) 一，( z ) 的自然边界 推论3 2 2 设x 。是定义在概率空间( q ，厂，p ) 上b 值独立随机向量序列，z c ，则对r r b 值随机洛朗级数 + o 。 f ( z ) = x n 矿， 一o o ( 3 6 ) 仅彳孚在两种司能： ( i ) l z = r 1 ，吲= r 2 ( 其中r 1 = 1 l i ms u p i i j l ，r 2 = l i m s u p i i x n 1 1 ) 几 札+ n o 。 乎必然是( 3 6 ) 的自然边界； + ( - o ( i i ) 存在一个确定的函数f ( z ) = z n ，( 孑) 在您 i z i r l 内收敛，且存 在r ：和呓，使得h = r ：，l z i = 吒儿乎必然是f ( 名) 一，( z ) 的自然边界 证明假设( i ) 不成立，令f ( z ) = 垂( z ) + 皿( z ) ，其l i i 虫( z ) = z n ，( z ) = n = o o o0 0 x n z 一对( z ) 作变换：可= 1 z ，级数变成1 i ，( 可) = x n y “，由定理3 1 2 ，存 n = ln = l 在函数( z ) = a n z n ，( 名) 在h r l ，而且有h = r 圣一咖几 n = o 。 乎必然是中( z ) 一( z ) 的自然边界存在函数砂( 秒) = k 圹，( z ) 在m 1 a = r 2 内收敛，且7 皿一妒 r 2 ，而 且有z l = 1 r , 妒几乎必然是皿( z ) 一妒( 名) 的自然边界令f ( z ) = ( z ) + 砂( 名) ， 则厂( 名) 在r 2 i z i r l 内收敛，且= 硒一曲，= 1 r , - o 几乎必然是f ( 2 ) 一，( z ) 的 自然边界 推论3 2 3 设k 是定义在概率空间( q ，厂，尸) 上复值独立随机向量序列， 名c ，则对于复值随机洛朗级数 + 。o f ( z ) = 矿， ( 3 7 ) 仅存在两种口】能： ( i ) h = r l ，h = r 2 ( 其中r 1 = 1 l i r a s u p i x n l ，r 2 = l i m s u p i x n i ) 几乎 托+ o 。n o 。 必然是( 3 7 ) 的自然边界； + ( i i ) 存在一个确定的函数f ( z ) = c n z n ，( z ) 在r 2 i z l c r 0 内收敛，( 7 0 r ) 引理4 1 i 设 ( z ) ) 是复平面上某个开区域q 上的复值解析函数序列， ) 是b a 彻c h 空间i | i 的序列，级数c r i ( z ) 在q 的子区域g 上收敛，其和为f ( z ) ， 又设f ( 孑) 可解析延拓到圆盘d ：i z a l r 中，这里dcq ，a g ，存在求和矩阵s ， 使得( z ) s 一可和于f ( z ) 证明因为f ( z ) 在d 内解析，则对每个z d ， 球) ：妻掣( ) n n 。= ? 弋z ) 盖贵妒g ) ( n ) ( z 一。户 昌三三 于是对任意m ，l i r aa n m = 1 ，即s = ( a n m ) 为一求和矩阵 f n ( 。) = c m 妒( n ) ， m = o 1 3 一c e n x 脚 湖北人学硕l j 学位论文 可得， 叫几( 名) = a n m c m ( 名) m = o ：妻妻掣( 户 ：妻壹氅( z n ) j 一壹华乎( z 一 ：妻学( 卜妻学( 户 令礼一。o ，知叫nz ) _ f ( 名) ，故( z ) s 一可和于f ( z ) n = o 引理4 1 2 【1 】设 k 是独立对称的b 值随机向量列，s 是求和矩阵，如果级 数a 8 s 一可求和，则该级数a 8 收敛 n = 1 定理4 1 1 设k 是定义在概率空间( q ，户，p ) 上b 值独立对称随机向量序列， 则直线盯= o c 几乎必然是级数( 1 5 ) 的自然边界 证明设级数收敛于函数f ( s ) ，假设级数( 1 5 ) 不以盯= 口。为自然边界，即存 在一个圆心在直线盯= o c 上的开圆盘d ，在d p 勺f ( s ) 几乎必然是可解析延拓的 设8 0 = c r 0 + i t o 是d 中的一点，其中 t o o c ，因而根据引理4 1 1 存在某个可和矩 阵s ，级数( 1 5 ) 在8 = 8 0 处几乎必然是s 一可和的由于是b 值对称随机向量， 根据引理4 1 2 ，级数( 1 5 ) 在d 内几乎必然收敛，这与吼是收敛横坐标是矛盾的 推论4 1 1 设是定义在概率空间( q ，丁，p ) 上的独立b 值对称随机向量序 列，则b 值随机解析殆周期级数 + o 。 f ( 3 ) = x n e 8 的收敛边界几乎必然是自然边界 o o 证明将级数分为两个部分，f ( s ) = ( s ) + 7 7 ( s ) ，其l | i ( s ) = k e h 8 o oo o n = 0 7 7 ( s ) = x n e 。一一，那么驴( s ) = x n e - a , , s 就是随机狄里克雷级数，根据 n = 1n = o 定理4 1 1 ，收敛边界盯= 口。，几乎必然是它的自然边界另一部分7 7 ( s ) = 1 4 i 4 b 值随机狄里克雷级数 0 0 x n e a 一一，记o r c 。为级数收敛的横坐标，根据定理4 1 1 ，收敛边界盯= 0 c 2 几乎 n = 1 必然是该级数的自然边界综上所述，f ( s ) 的收敛边界儿乎必然是自然边界 复值情形是b 值情形的特殊情况，由定理4 1 1 ，容易得到下面的推论： 推论4 1 2 设是定义在概率空间( q ，厂，p ) 上复值独立对称随机向量序列， 则直线o r = 0 c 几乎必然是级数 的自然边界 推论4 1 3 设是定义在概率空间( q ，丁，p ) 上的独立复值对称随机向量序 列，则复值解析殆周期级数 + o 。 f ( s ) = k e 一 的收敛边界几乎必然是自然边界 4 2 一般情形 一o 。 在一般情形下，我们可以利用对称化方法得到以下结果 定理4 2 1 对于b 值随机狄里克雷级数( 1 5 ) ，仪存在两种可能： ( i ) 直线口= a c 几乎必然是自然边界； ( i i ) 存在某个确定的函数f ( 8 ) = ea n e 。一，厂( s ) 的收敛直线为盯= o c ，存 n = o o o 在盯7 ，一o o 仃7 o r 中几乎必然收敛， 盯= o r 7 几乎必然是f ( s ) 一厂( s ) 的自然边界 证明假设( i ) 不真，用q q 表示一个新的概率空问并且考虑 g ( s ，u ，u 7 ) = ( ( ) 一k ( u ，) ) e 8 ( 4 一1 ) n = o 其中( u ，u ，) q q 在q q 中几乎必然有f ( s ，u ) 和f ( s ，u 7 ) 在r 卜是正则的：因 此c ( 8 ，u ，_ ) 也是在r _ k e 贝 j ( 4 1 ) 的系数足独立的对称的随机向量，应用定 1 5 一 。 艟x 脚 湖北人学硕： ：学位论文 理4 2 1 ，得到口g o c ，且盯= o g 几乎必然是g 的自然边界 对q 中几乎所有的u 7 ，有下列性质： ( i ) ，u 7 ) = o g ，对几乎所有的u ； ( i i ) t 7 = o g 是g ( s ，u ，u 7 ) 的自然边界 选取一个满足上式的7 ，定义0 n = k ( u ，) ( n = 0 ，l ，2 ) 则 g ( s ，u ，叫7 ) = ( ( u ) 一) e 8 = f ( z ) 一，( z ) n = 0 满足结论( i i ) 复值情形是b 值情形的特殊情况，由定理4 2 1 ，容易得到下面的推论： 推论4 2 1 对于复值随机狄里克雷级数 仪存在两种可能： ( i ) 直线盯= o c 几乎必然是白然边界； ( i i ) 存在某个确定的函数厂( s ) = a n e 。一，厂( s ) 的收敛直线为仃= 盯。，存 n = 0 在盯，一盯7 0 i 中几乎必然收敛， 口= 盯7 几乎必然是f ( 8 ) 一厂( s ) 的自然边界 推论4 2 2 设是定义在概率空间( q ，f p ) 上的独寺b 值随机向量序列， z c ，则对于b 值随机解析殆周期级数( 卜7 ) + 0 0 f ( s ) = 妊e s ， 仅存在两种可能： ( i ) 直线盯= t t c ，盯= 1 7 c 2 几乎必然是自然边界： + o 。 ( i i ) 存在某个确定的函数，( s ) = a n e 。 ，使得盯= g c ，盯= o c 。j l - t - , 必, 然 一o 。 是f ( s ) 一厂( s ) 的自然边界 1 6 k 吡x 脚 4 b 值随机狄里克雷级数 证明假设( i ) 不成立，令f ( s ) = 圣( s ) + 皿( s ) ，其中m ( s ) = e e 。一，虫( s ) = n = 0 ex n e 。一由定理4 2 1 ，存在函数妒( s ) = k e 。”，使得m ( s ) 一砂( s ) 的收敛 ，l = ln = o 边界盯= c r c 。几乎必然是自然边界同理，存在函数砂( s ) = c - n e 。一一，使 得王，( s ) 一妒( s ) 的收敛边界盯= 几乎必然是自然边界，记，( s ) = ( s ) + 妒( s ) ，定 理得证 推论4 2 3 对于复值随机解析殆周期级数 + o 。 f ( s ) = 墨e 。 ， 一0 0 仅存在两种可能： ( i ) 直线盯= o e ，盯= o e ：几乎必然是臼然边界； + ( i i ) 存在某个确定的函数厂( s ) = a n e 。一，使得盯= o 。，c r = 盯。：几乎必然 一o o 是f ( s ) 一，( s ) 的自然边界 4 3b 值随机勒襄特级数 考虑b 值随机勒襄特级数 o o x v n ( z ) ， n = 0 ( 4 2 ) 其中 x 。) 是独立b 值随机向量序列，p n ( z ) 是勒襄特多项式我们先考虑 x n ) 是独 立对称的b 值随机向量序列的情形 定理4 3 1 设【 是独立对称的b 值随机向量序列，0 r d ( o ，历) ， 其中d ( 口，目) 是到厨的距离，使得，( z ) 可以解析延拓到圆盘d ：i z n i j d 内，由 引理4 1 i ，对于z d ，存在某个可和矩阵s ，使得级数( 4 2 ) 在该点a s 可求 和于，( z ) ，而根据引理4 1 2 ，级数( 4 2 ) a s 收敛，由于d 中含有b 外的点，这 与目几乎必然是( 4 2 ) 的收敛椭圆矛盾，这便证得该定理 在一般情形下，我们利用对称化方法，可得到以下结论 1 7 湖北人学硕i ：学位论文 定理4 3 2 级数( 4 2 ) a s 以收敛椭圆历为自然边界，或者存在常系 数勒襄特级数a n r ( z ) ，使得( 繇一a n ) r ( z ) 具有更大的收敛椭网耳， o o n 2 0 n = o 且( 一a n ) p n ( z ) a s 以耳为自然边界 n = o 证明若( 4 2 ) a 8 不以目为自然边界，则( 4 2 ) a s 在b 上某段开弧r 上全 纯，考虑定义在q q 上的随机级数 g ( s ，u ，u ) = ( ( u ) 一k ( u ，) ) r ( z ) ( 4 3 ) n = o 则它a 8 在r 上全纯，由于 k ) 一( u ，) ) 是q q 上的独立对称随机变量序 列，因此级数( 4 3 ) 的收敛椭圆髟严格大于b ，且( 4 3 ) o s 以耳为自然边界 于是对几乎所有的u q 。有： ( i ) 级数( 4 3 ) a 8 以耳为收敛椭圆，对几乎所有的u q ； ( i i ) 耳是级数( 4 3 ) 的自然边界 因此，取u q ，具有上述性质，令a n = 赫( u ，) ( 佗= 0 ，1 ，2 ) 得证 1 8 参考文献 参考文献 【1 】j - p 卡昂纳著，吴敏、余家荣等译函数项随机级数【m 】武汉：武汉大学版社，1 9 9 3 【2 】李围平，蹇明算f 函数论 m i 武汉：武汉大学出版社，1 9 9 6 【3 】卢方芳随机级数的自然边界【j 】应用泛函分析学报，2 0 0 7 ，3 ：7 7 8 0 【4 】余家荣随机幂级数与指数级数f j 】数学进展，1 9 9 0 ，7 ：2 5 7 2 6 3 【5 】莫叶勒襄特级