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超越方程的一般解法林文业湛江公路工程大队 邮编:52400 电要: 一般的超越方程经过变换,都可以化为如此形式,例如,其中为实数,如果函数在的某个邻域内存在无穷阶不为零的连续导数,那么超越方程可以求解,并且具有解的一般形式。关键词: 一般的超越方程；无穷阶不为零的导数；解的一般形式。一.解法基本定理 定理: 如果函数在的某个邻域内存在无穷阶不为零的连续导数,且 ,那么级数在上一致收敛。证明: 由于函数在的某个邻域内存在无穷阶不为零的连续导数,且 ,因而根据泰勒展开有 显然下列级数在上一致收敛因此级数 在上一致收敛。证毕。二. 超越方程的一般解法 一般的超越方程经过变换,都可以化为如此形式 (1)其中为实数,函数在的某个邻域内存在无穷阶不为零的连续导数。 假设超越方程(1)有如下级数解(2)其中,把(2)代入(1)的左边得 对照(1)的右边,可见时,(2)是(1)的解。因此超越方程(1)的一个解为其中, 求超越方程(1)的另一个解。设,为超越方程(1)的一个已知解。根据泰勒展开有由于为超越方程(1)的一个已知解,因而超越方程即与超越方程(1)有同解,通过同样的方法可求得超越方程(1)的另一个解为其中, 假设超越方程(1)有个解,通过同样的方法可求得超越方程(1)的另外个解。三. 超越方程求解具体例子求解超越方程 其中为实数 (3)由常系数齐次线性微分方程两种级数解的内在关系可知超越方程(3)最多只有两个解。显然函数在的某个邻域内存在无穷阶不为零的连续导数, 因此超越方程(3)的一个解为 其中设,为超越方程(3)的一个已知解,那么超越方程(3)的另一个解为其中,参考文献1. 华北师范大学数学系编常微分方程、刘玉琏、傅沛仁编数学分析讲义。2. 2000年湛江师范学报.增刊。作者简介:
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