2011年高考数学一轮复习专题01_集合与函数概念(教师版).doc

2011年高考数学一轮复习资料第一章集合与函数概念第1讲 集合的概念及其运算【知识精讲】1.元素和集合的关系是从属的关系，集合与集合的关系是包含的关系，二者符号表示不同.求解集合问题的关键是搞清楚集合的元素，即元素是什么，有哪些元素.2.集合的关系有子集、真子集；集合的运算有交集、并集、补集和相等.常常借助Venn图、数轴和函数图象进行有关的运算，使问题变得直观，简洁.3.空集是不含任何元素的集合，因其特殊常常容易忽略.在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A两种可能，此时应分类讨论.【基础梳理】1.集合与元素（1）集合元素的三个特征：_确定性_、_互异性_、 _无序性_.（2）元素与集合的关系是_属于_或_不属于_关系， 用符号_或_表示.(3)集合的表示法：_列举法_、_描述法_、_图示法_、 _区间法_. (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整 数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为_有限集_、_无限集_、_空集_. 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质对任意的xA，都有xB，则（或）. 若AB，且在B中至少有一个元素xB，但xA， 则_（或_）. _A；A_A；AB，BCA_C. 若A含有n个元素,则A的子集有_2n_个,A的非空子集有_2n-1_个,A的非空真子集有_2n-2_个. (2)集合相等 若AB且BA,则_A=B_.3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集：AB=x|xA或xB； 交集：AB=_x|xA且xB_； 补集：=_. U为全集，表示A相对于全集U的补集. (2)集合的运算性质并集的性质:A=A；AA=A；AB=BA；AB=ABA.交集的性质：A=；AA=A；AB=BA；AB=AAB.补集的性质：【要点解读】要点一集合的基本概念【例1】已知集合M=y|y=x21,xR,N=y|y=x1,xR，则MN=（ ）A（0，1），（1，2） B（0，1），（1，2）Cy|y=1,或y=2 Dy|y1【命题立意】集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x21(xR)，y=x1(xR)的值域，求MN即求两函数值域的交集【标准解析】M=y|y=x21,xR=y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN=y|y1y|yR=y|y1,应选D【误区警示】本题求MN，经常发生解方程组 从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR，这三个集合是不同的【变式训练】集合中有一正一负两个元素，求的值.【标准解析】因为集合有两个不同元素,所以且,设两个元素分别是,因为两个元素符号相反,所以.【技巧点拨】 本题的实质是一元二次方程解的问题,解题思路有两种,一种是利用判别式和韦达定理;另一种是利用二次函数图象数形结合.【答案】由题意知,方程为一元二次方程,且有一正一负根, 设两个根分别是,则由可得.要点二集合的关系【例2】若A=2，4, 27,B=1, 1, 22,(38), 37，且AB=2，5，则实数的值是_【命题立意】本题考查了集合的表示，集合语言的理解、集合的运算，解一元一次、二次方程和分类讨论思想的应用.【标准解析】AB=2，5，27=5,由此求得=2或=1 A=2,4,5，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查当=1时，22=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1当=1时，B=1,0,5,2,4，与AB=2，5相矛盾，故又舍去=1当=2时，A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此时AB=2，5，满足题设故=2为所求【误区警示】集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，强化对集合元素互异性的认识【变式训练】已知集合,，且则的值为_【标准解析】集合都表示方程的解集，集合,是确定，有四个子集，由而推出有四种可能，进而求出的值【技巧点拨】集合是集合的子集，集合的子集有四个，故有四种情况，分别讨论即可，简易入手，思路清晰.集合不要写成=，因为可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合有可能是空集，还有可能是单元素集的情况要点三集合的运算【例3】集合A=x|x25x60,B=x|x23x0，求AB和AB【命题立意】集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解【标准解析】 A=x|x25x60=x|6x1，B=x|x23x0=x|x0 如图所示， AB=x|6x1x|x0=R AB=x|6x1x|x0=x|6x3，或0x1【误区警示】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果 【变式训练】设全集U=x|0x10,xN*，若AB=3，ACUB=1，5，7，CUACUB=9，则集合A、B是_【标准解析】A=1，3，5，7，B=2，3，4，6，8【技巧点拨】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出要点四集合的应用【例4】已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若A=，则实数m的取值范围是_【命题立意】集合作为一种数学语言的工具，常用于其他章节中，并能与其综合应用.本题主要考查能否准确理解集合表示的意义.【标准解析】由A=又方程x2(m2)x1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根， 或=(m2)240解得m0或4m4【误区警示】解决有关AB=、AB=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题【变式训练】设A=x|2x1，B=x|x2xb0，已知AB=x|x2，AB=x|1x3，求、b的值【命题立意】可在数轴上画出图形，利用图形分析解答【标准解析】如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合x|1x2，且AB=x|1x3根据二次不等式与二次方程的关系，可知1与3是方程x2xb=0的两根， =(13)=2， b=(1)3=3【技巧点拨】类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果第2讲 函数的基本概念及表示【知识精讲】1.若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同,则两个函数为同一函数.2.函数有三种表示方法列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式 比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为 函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解 析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视. 3.求用解析式y=表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若是整式，则函数的定义域是实数集R；若是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；若是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；若是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；若是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 4.分段函数尽管在教材上没有明确的定义，但是是一个重要的函数形式，分段函数是一个函数，而不是几个函数.其图象为若干段曲线，不一定连续.【基础梳理】1.函数的基本概念 （1）函数定义 设A，B是非空的数集 ，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意 一个数x,在集合B中都有 唯一确定 的数和它对应，那么就称f:AB为 从集合A到集合B的一个函数，记作y=,xA.(2)函数的定义域、值域在函数y=,xA中，x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合|xA叫做函数的值域 .显然，值域是集合B的子集.(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 .(4)相等函数：如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据. 2.函数的表示法表示函数的常用方法有： 解析法 、 图象法 、 列表法 .3.映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f， 使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为 从集合A到集合B的一个映射.4.由映射的定义可以看出，映射是函数 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A, B必须是 非空数集 . 【要点解读】要点五函数与映射的概念【例5】设集合，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中对应的元素的和都为奇数，则映射的个数是（ ）A.8个 B.12个 C.16个 D.18个【命题立意】主要考查学生对映射的定义的理解、推理论证能力和分类讨论思想.【标准解析】因为为奇数，所以需要给每一个元素找到对应的元素，对应的元素不同表示不同的映射，需要分类讨论.【误区警示】对映射的含义理解不准确导致错误，不会分类，【答案】为奇数，当为奇数、时，它们在中的对应的元素只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法故映射的个数是故选D.注：理科的同学可用上述方法，文科的同学可以一一枚举，然后查个数.【变式训练】A=1，2，3，4，5，B=6，7，8从集合A到B的映射中满足的映射有（ ）A.27 B.9 C.21 D.12【标准解析】因为对应关系的存在，、都必须有确定的值，并且满足“”的关系，要么取“小于”要么取“等于”，所以可以根据等号的个数进行分类讨论.【技巧点拨】 熟练掌握映射的概念，根据对应法则，找准对应关系，选好分类标准，避免重复和遗漏.【答案】（1）当全是等号时，（即与B中的一个元素对应），则有C个; （2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应），有CC=12个; （3）有二个不等号的映射，有CC=6个.所以共有3+12+6=21个，答案选C.要点六求函数的定义域【例6】函数y=的定义域是( )A.-,-1(1,) B.(-,-1)(1,) C.-2,-1(1,2) D.(-2,-1)(1,2)【命题立意】作者考查我们对于常见表达式的综合运用。一个是对数式，一个是偶次根式。从外向内进行求解不等式组。【标准解析】-x-1或1x.y=的定义域为-,-1(1,.【误区警示】解决具体函数的定义域主要考虑五个方面偶次根式被开方数非负；对数函数的真数为正，底数为正且不为1；分式中的分母不为0；0或负数指数幂的底数不为0；实际问题中的变量手实际问题具体条件的制约.高考在这类问题设置题目的难度不大，掌握这些类型即可应付.【变式训练】已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：【标准解析】：(1)由0x2， 得 【技巧点拨】x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0u2，即0x2求x的取值范围抽象函数、复合函数的定义域主要有两类：若的定义域为，则在中，从中解得的取值范围即为的定义域；若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域要点七求函数的解析式【例7】（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求（5）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿的市场价与上市时间关系用图（甲）的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图（乙）的一条抛物线段表示。（1） 写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式。（2） 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）【命题立意】函数解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁，该类问题是高考的常规题目，其特点类型多，方法活，学生必须贮备常见的类型，以不变应万变.【标准解析】第（1）题中的，所以可用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知函数类型，可用待定系数法；第（4）题因为题目所给方程中含有、，常用方程组法【误区警示】其实配凑法的本质也是换元法.在使用配凑法和换元法求函数解析式时，往往忽略定义域，换元时要确保换元前后的“等价性”.（5）解：()由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)= 2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=(t150)2100，0t300 4分()设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)g(t)即h(t)=6分当0t200时，配方整理得h(t)=(t50)2100，所以，当t=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当20087.5可知，h(t)在区间0,300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大12分【变式训练】（1）若,求。（2）已知=ax+b,且a+b=ax+8 求（3）动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A。设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数。 【标准解析】（1）解法一（换元法）：令t=则x=t2-1, t1代入原式有 （x1） 解法二（定义法）： 1 f(x)=x2-1 (x1)（2）解：（待定系数法） a +b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b 解之 或 =3x+2或=-3x-4 D P C P A P B （3）解：如图 当P在AB边上运动时, PA=x 当P在BC边上运动时 PA=当P在CD边上运动时PA=当P在DA边上运动时PA=4-x 【技巧点拨】求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，待定系数法；（4）同时含有和的等式，或同时含有和的等式：解方程组法；（5）求抽象函数的解析式：赋值法.求函数解析式的常见类型就这些，需要抓住题目特点，具体问题采用不同的方法.要点八 段函数和抽象函数【例8】2010天津理（8）已知函数若则实数的取值范围是 A B C D 【命题立意】分段函数是一类非常重要的函数形式，因为其覆盖面较大，而备受命题人的青睐. 本小题考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识，考查分类讨论的数学思想。【标准解析】由已知，函数在整个定义遇上单调递增的。故 ，等价于，解得【误区警示】常见的错误是计算中不能根据自变量的范围挑选出适合的函数段，或计算错误.解决这类问题的有效方法是由内到外逐层计算，解题时要层次分明，思路清晰.【变式训练】2010年天津文（8）若函数=,若 ,则实数a的取值范围是（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+）（C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【标准解析】当时，由f(a)f(-a)得：，即，即，解得；当时，由得：，即，即，解得，故选C。【技巧点拨】分段函数问题的解题方法是“分段解决”，各段解决完后，再综合.【例9】2010年重庆理(15) 已知函数满足：， ，则_【命题立意】抽象函数和分段函数一样也是当前高考考查的热点，由于抽象函数只给一些函数的性质，而不知函数的具体解析式，因而是函数的一个难点.选择本题旨在抛砖引玉，寻找一般的解题思路.【标准解析】取x=1 y=0得法一：通过计算，寻得周期为6故=f(0)= 法二：取x=n y=1,有=+,同理=+联立得= 所以T=6 故=f(0)= .【误区警示】找不到已知函数值和未知函数值的联系，不会利用所给函数性质进行合理地赋值，是思路受阻的主要原因.【变式训练】2009年四川文12、已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ，则的值是 A. 0 B. C. 1 D. 【标准解析】若0，则有，取，则有： （是偶函数，则 ）由此得于是，【技巧点拨】解决抽象函数问题，要全面地应用其所具有的性质展开解题思路.通常的方法是赋值法.要善于根据题目条件寻找符合条件的函数原型，帮助探求结论，找到解决问题的思路和方法.练习归纳了常见的函数原型，最好记住.第3讲函数的性质【知识精讲】1.根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数 在其区间上的单调性，其步骤是（1）设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1x2； （2）作差f（x1）-f（x2），然后变形； （3）判定f（x1）-f（x2）的符号；（4）根据定义作出结论. 2.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质.3.复合函数的单调性 对于复合函数y=fg(x),若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b)或者(g(b), g(a)上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同 (同时为增或减),则y=fg(x)为增函数;若t=g(x)与 y=f(t)的单调性相反,则y=fg(x)为减函数. 简称为:同增异减.4.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.5.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: =0 =1(0). 6.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴 对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.【基础梳理】1.函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1x2时,都有 f（x1）f(x2) ，那么就说函数在区间D上是增函数 当x1f(x2) ，那么就说函数在区间D上是减函数 图象描述自左向右看图象是_上升的_ 自左向右看图象是_下降的 _ (2)单调区间的定义 若函数在区间D上是_增函数_或_减函数 _，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，_区间D_叫做的单调区间. 2.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x，都有_ f（-x）=f（x）_，那么函数就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x，都有_ f（-x）=-f（x）_，那么函数就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴 对称.3.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: （1）考查定义域是否关于_原点 _对称；（2）考查表达式是否等于或-： 若=_- _，则为奇函数； 若=_，则为偶函数； 若=_-_且=_,则既是奇函数又是偶函数； 若）-且，则既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 4.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_相同_, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_相反_(填“相同”、“相反”）.(2)在公共定义域内 两个奇函数的和是_奇函数_,两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和、积是_偶函数_； 一个奇函数，一个偶函数的积是_奇函数_. 要点十函数的单调性【例10】定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）设，若，试确定的取值范围【命题立意】函数单调性是函数的重要性质，是每年必考内容.判断方法主要有定义法、导数法、图象法.解答题常用导数法，本题就用到这种方法.【标准解析】判断函数的单调性可以用导数法和定义法.【误区警示】利用定义法判断，变形不到位，不能判断出差的正负；利用导数判断，求错导数的不再少数.【变式训练】已知在其定义域R上为增函数，=1, = )+.解不等式+ 3【标准解析】【技巧点拨】单调性的应用：比较大小；解抽象不等式；求值域等 要点十一函数的奇偶性【例11】判断下列函数的奇偶性（1）=x (nN, x0)（2）=log2(x+), xR（3）=lgx2+lg (x0) （4）=()tanx（5）=【命题立意】函数的奇偶性是函数的重要性质，是高考的热点.【标准解析】判断函数的奇偶性，首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.然后利用定义判断，寻找和的关系. （1） nN, 2n是偶函数，2n+1是奇数，=(-x)=x= 是偶函数。（2）=log2(-x+)=log2=-log2(x+)=-， 是奇函数。（3）=lgx2+lg=0，则=且=-，既是奇函数，又是偶函数。（4）的定义域是x|xR且x kZ关于原点对称，又=()tan(-x)=-()tanx=()tanx=为偶函数（5）对于三角形1+sinx+cosx，当x=时，其值为2，当x=-时，其值为零，由此1可知原函数=的定义域中包含x=，但是不包含x=-，所以定义域不关于原点对称，所以是非奇偶的函数。【误区警示】判断函数奇偶性是时，学生往往忽略求函数的定义域，导致错误；再者，不会合理变形，导致判断错误.【变式训练】判断下列函数的奇偶性.（1）；（2）（3）已知函数对任意都有.【标准解析】具体函数先求函数定义域，分段函数分段讨论奇偶性，抽象函数要合理取值，寻找和的关系.【技巧点拨】 判断函数的奇偶性首先求函数的定义域,这是固定的步骤.如果定义域关于原点对称,利用定义,计算比较和,有时,需要对函数进行化简后再判断,较为简便.如果不好判断,可以利用奇偶性定义等价形式进行判断.若证明函数不具有奇偶性,举组反例即可.【答案】1）奇函数（2）函数的定义域为且.图象关于原点对称，又关于y轴对称，所以既是奇函数又是偶函数.函数的定义域为.当时，当时，综上，对任意，是奇函数.【题型透视】判断函数奇偶性的主要方法有：定义法、图象法.做选择题或填空题时还可以用一些常用的结论如：两个偶函数的和或差构成的函数还是偶函数等；分段函数的奇偶性要分开段讨论.要点十二函数的最值或值域【例12】求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）【命题立意】求函数最大、最小值问题历来是高考热点，这类问题的出现率很高，应用很广因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了【标准解析】一次函数和二次函数的值域利用函数的单调性来解决；是一个复合函数，内部函数是一个二次函数，可用配方法，然后整体换元.含有多个绝对值的函数通过讨论去掉绝对值符号，写成分段函数的形式，然后分段求，再综合.分式型的函数如果分子和分母中变量的最高次数一直，用分离常数法，如小题，不一致者用均值不等式法.【误区警示】知识贮备少，不能针对题目的特点选择相应的方法.【答案】（1）（配方法），的值域为（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为又，故， 的值域为（3）分离变量法：，函数的值域为（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：， ，函数值域为（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为（8），当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为（9）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为【变式训练】求下列函数的值域 y=3x+2(-1x1) 【标准解析】中函数是一个一次函数,利用函数单调性求即可;函数较为简单,直接观察即可;分离常数后,可借助反比例函数的单调性解决;中函数利用均值不等式即可,但注意均值不等式使用的条件.【技巧点拨】 求函数值域的一般方法是:观察法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合等，含有根式的函数有时代数换元，有时三角换元，有时借助函数的单调性，一定要把握其本质。对于结构比较特殊，具有明显几何意义的函数，可以利用数形结合法.【答案】-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 即函数的值域是 y| y2 即函数的值域是 y| yR且y1（此法亦称分离常数法）当x0，=，当x0时，=值域是2，+)（此法也称为配方法）函数的图像为：值域是2，+)【题型透视】求函数值域（最值）的题目多，方法相对也比较固定，所以掌握一些常见的题型和一般方法是很有必要的，下面归纳常见的方法及其对应的类型：1如果函数是基本初等函数，利用基本初等函数的性质求值域；2配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数（形如的函数）3不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型函数）4函数的单调性：特别关注的图象及性质5判别式法：形如的分式函数6换元法：形如：型值域的无理函数，用换元法.7导数法：高次函数8数形结合法9. 分离常数法要点十三函数的周期性【例13】设函数是定义在R上的以3为周期的奇函数，若，则的取值范围是 （ ）（A）（B）且 （C）或 （D）【命题立意】抽象函数是高考的一个热点，抽象函数的周期是高考常考考点，恰当地值或变量代换选取是一个难点.【标准解析】以3为周期，所以，又是R上的奇函数，则，再由，可得，即 ，解之得，故选D【误区警示】不会恰当地赋值和变量变换是本题做不出或用时较长的主要原因.【变式训练】函数对于任意实数满足条件，若，则 【标准解析】函数对于任意实数满足条件，即的周期为4，【技巧点拨】对于抽象函数的求值问题，待求的函数值要和已知的函数值产生联系，要有联系，要用函数的周期调整，奇偶性变换.【题型透视】抽象函数的周期没有固定的模式，掌握常见的抽象函数的周期的一些规律，对解题大有裨益：型：周期为；型：周期为；型：周期为.且，则的周期T=4a；要点十四函数的图像【例14】2009年山东6. 函数的图像大致为( ). w1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 【命题立意】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.【标准解析】函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. w【误区警示】没有考虑到函数的奇偶性或对复合函数的单调性不熟，导致入手较慢，甚至不会做.【变式训练】已知图1中的图像对应的函数为，则图2中的图像对应的函数在下列给出的四式中，只可能是 （ ）A B C D【标准解析】由图2知函数为偶函数，可以排除掉B，图2中保留了y轴左侧函数图象，可以排除掉A和D,故选C.本题亦可以一一画出函数图象，再判断.【技巧点拨】 由函数解析式确定函数图象，或由函数图象确定函数解析式的问题，主要解题思路是：充分利用函数的性质或特殊点(特别是与坐标轴的交点)进行排除.【答案】C【题型透视】函数图象主要涉及三个方面的题型：识图、画图、用图，三者要求的层次逐渐增加.这类问题主要考查图象的几种变换，有时也考查函数的奇偶性，解决的关键是熟练掌握并会灵活应用三种常见变换的规律特点和函数的性质.要点十五函数的对称性【例15】对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(ax),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和 【命题立意】本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题 【标准解析】设函数图象上任意一点A(x0,y0)，只要证明点A关于直线x=a对称的点B也在函数图象上即可.【误区警示】找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化 【答案】(1)证明 设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),=a,点(x0,y0)与(2ax0,y0)关于直线x=a对称，又f(a+x)=f(ax),f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函数的图象上，故y=f(x)的图象关于直线x=a对称 (2)解 由f(2+x)=f(2x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4x0也是f(x)=0的根，若x1是f(x)=0的根，则4x1也是f(x)=0的根，x0+(4x0)+ x1+(4x1)=8即f(x)=0的四根之和为8 【变式训练】已知函数为偶函数，则函数图像关于直线 对称，函数图像关于直线 对称.【标准解析】设由可得函数关于对称，关于对称.【技巧点拨】函数图像对称性是函数奇偶性图像特征的进一步拓展，要学会从函数变换角度去理解图像对称性，以及用函数代换特征去处理函数对称性.【题型透视】函数的图象的对称本质还是点的对称，所以证明图象对称问题常常转化到点的对称问题.需要记住的一些结论：