（应用数学专业论文）关于calabiyau簇形变微分方程的计算.pdf

嗣川大学硬士学链论文 缡鬟 关于c a l a b i - y a u 簇形变微分方稷的计算 应用数学专业 研究生罗影指导教师张起帆教授 本文主羲是利用a g bi 棚l d 醒文【1 7 l 巾的思想，对c a l a b i y a u 簇 r c r ) 一露+ + + r n x l 岛， 绘斑7 一令求鳃荬畿分方程熬簿苹雾法 首先，我们介绍文本要用到的藻本知识，包括撼本对象、基本定义和p a d i c d w o r k 理论姨及h 敏躯体不凄点联论。 然后，我们介绍l a u & r 在文【1 7 】中所用的d w o r k 形变理论其基本想法 莛：先计算菜令特殊鳄维上戆z 啦函数，再遴逑形变理论诗算在这令患难近豹 其他纤维的z c 协函数形变规律是由一个微分方程来刻划的，但是如何写出 微分方程势非易事本文对c 8 l a b h 躯簇给踟了一个求出其微分方程豹简单舞 法 最后，我们再以罪= 3 的情况 、 f ( r ) = 霹+ 霹+ 瑶+ a r z m x a 为例子。详细写出计算过程来进一步解释说明这个算法对”一4 ， f ( r ) ；前+ 嗣+ + 善：+ 4 m l 算2 铂q 我们通过一个c 程序来计算搭( r ) 关髓词c a l a b i - y a u 簇；z e t a 函数；d w o r k 理论；形变理论 四川大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o m p u t i n g d i f f e r e n t i a le q u a t i o no f d e f o r m a t i o nt h e o r ya b o u tc a l a b i - y a u v a r i e t i e s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：y i n gl u os u p e r v i s o r ：q i f a nz h a n g t h ep u r p o s eo f t h i sp a p e ri st og i v ea ne f f i c i e n tm e t h o df o rs o l v i n gt h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so f c a l a b i - y a uv a r i e t i e s f ( r ) = z 2 + + 醒+ r n z l w i t ht h e h e l po f a g b l a u d e r si d e ai n 【1 7 】 f i r s t l y , w ei n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n sa n df a c t s ，i n c l u d i n gp - a d i cd w o r k t h e o r e m a n dd w o r k sl e f s c h e t zf i x e dp o i n t st h o e r e m s e c o n d l y , w ei n t r o d u c et h ed e f o r m a t i o nt h e o r y t h eb a s i ci d e ai st om a k et h e s e h y p c r s u f f a c e sm o v ea l o n g 锄a f f i n el i n e o n e 啪s e i e dus p e c i a lf i b e r , w h o s ez e t a f u n e t i o ni se a s yt oc o m p u t e ，a n dc o m p u t et h ez e t af u n c t i o n so f t h o s ef i b e r sn e a ri tb y d w o r k s d e f o r m a t i o n t h e o r y t h e d e f o r m a t i o n t h e o r y c a n b e e x p r e s s e d b y a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw h i c hi sn o te a s yt ob ew r i t t e nc l e a r l y i nt h i sp a p e r , w ep r e s e n ta l le f f e c t i v e a l g o r i t h mf o rc o m p u t i n gt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o no f c a l a b i - y a uv a r i e t i e s a tl a s t , w ee x p l a i nt h ea l g o r i t h mb ys h o w i n ga ne x a m p l ew i t hn = 3a n dt h ev a r i e t y b e i n g g i v e n b y f ( r ) = z + 碹+ 霹+ 3 f x l z 2 x s w ec o m p u t eb ( r ) b y8 0 m ecp r o g r a m m ew i t hn = = 4a n dt h ev i n e r yb e i n g 蜘b y f ( r ) = $ ：+ + + + 4 r x i 勋船黝 k e yw o r d s ： c a l a b i - y a nv a r i e t i e s ，z e t af u n c t i o n s ，d w o r k st h e o r y , d e f o r m a t i o n t h e o r y 一一 四川大学硕士学位论文 第一章引言 一直以来，怎样有效地计算有限域上多元多项式方程点的个数问题，都 是一个倍受关注而又极具挑战的问题数点问题用公式来表述的话就是计 算z e t a 函数，所以将计算方程的点的个数问题可以归结于计算有限域上代数簇 的z e t n 函数。 1 9 6 4 年，d w o r k 开创性地利用p - a d i c 的方法证明了z e t a 函数的有理性，而且 研究了一个族的z e t a 函数【4 ，5 】虽然w e i l 猜想最终i 由d e g l i g n e 用l a d i c 的方法证 明，但p - a d i c 方法是构造性的，因而有更大的应用前景 对于一般的q 元有限域上的d 次n 元多项式，数点问题有一个平凡的复杂 度d ”t o g c q ) 近些年来，人们从不同角度分析研究，得到了一些好的结果。 对，l ；1 的情况，b e r l e k a m p 从根本上做出了回答【l o 】，此时问题涉及到单 变量多项式的分解 n = 2 时问题就简化成计算曲线上的点的个数，此时的复杂度为f 凹( 口) 仍， 其中q 为d 的某个指数函数，在某些特殊的情况下，白还可以简化成关于d 的 多项式函数【1 1 另外n = 2 时问题在实际中有着广泛的应用。特别是在密码 学中这点在【3 】所列出的参考文献中不难看出，关于这方面的文献可以参 见【7 ，8 ，9 ，l l ，1 2 ，1 4 ，1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 2 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 。 2 0 0 0 年万大庆( d w a n ) 对一般的n 提出了计算z e t a 函数的想法 2 6 ， 2 7 。2 0 0 1 年l a u d e r 和w h 耐某些a r t i n - s c h r e i e r 曲线给出了多项式时间算法计 算其z e t a 函数，而且这种想法可以进一步推广到一般的a r t i n - s c h r e i e r 曲线【1 8 】。 次年，他们利用d w o r k 的迹公式和半线性约化理论，给出了一个算法复杂度 为( p d l o g ( q ) ) “的算法，这个算法对小特征的情况为多项式时间算法，但需要维 数固定【1 9 】 l a u d e r 将形变理论用于研究某些特殊形状的簇的z e t a 函数的计算【1 7 】其基 本出发点是：对于对角型多项式，数点问题比较简单；而对任何合适的多项式 都可以变形成对角型多项式这个想法在有限域上似乎用处不大，但是一旦将 它和p a d i e 微分方程相结合，就可以把一个高维的数点问题转化成一个一维的 形变问题。具体算法过程是：先计算某个易于计算的特殊纤维上的z e t a 函数， 再通过形变理论计算在这个点附近的其他纤维的z e t a 函数其中的形变规律是 由一个微分方程来反映 四川大学硕士学位论文 对于形如f ( r ) = 卫z + + z ：+ r n z l 的c a l a b i y a u 簇，l a u d e r 的算法 尤其有效，但是如何写出微分方程并非易事我们所做的工作就是有效的写 出c a l a b i - y a u 簇的微分方程 本文结构如下： 第二章：我们先在第l 节介绍本文要用到的基本对象、基本定义，然后在 第2 、3 、4 节分别介绍p a d i cd w o r k 理论、l e f s c h e t s 不动点理论，形变理论。 第三章；我们给出本文的主要结果在第1 、2 节给出微分方程的且( r ) 的算 法在第3 节以n = 3 为例子来详细解释说明这个算法然后我f f j s t j 用c 程序编 程计算n = 4 时的b ( r ) 一2 一 四川大学硕士学位论文 2 1 基本对象 第二章预备知识 首先我们说明本文中要用到的一些基本记号： 日：表示特征为p 的口元有限域，其中q = p - ，p 为素数，a 为正整数 瓦：表示届的代数闭包。 昂；表示巧的阶为矿的子域。 n ：表示p - a d i c 复数域 g l 表示p - a d i c 有理数域 磊：表示p - a d i c 整数环 霄：表示一个特殊的p - a d i c 复数。满足 r p l 一- p r o ：表示q 。在n 中唯一的口次不分歧扩张 冗l ：表示磊的p 1 次全分歧扩张z p h 。 冗：表示局和r 1 的合成 z ：表示整数环 z i ：表示正整数环 z ：为向量 l ，z 2 ，) 的简写 x ：为向量( 知，x l ，) 的简写 a ：表示集合( 1 ，2 ，1 ) 的子集有时也用口、s 等来表示这样的集合 才：表示集合a 关于集合( 1 ，2 ，仉) 的补集 桦 ：表示集合a 的大小 t r f q 。焉：表示从耳到b 的迹在不会产生歧义的时候我们将之简写 为t r ，：表示日【却，2 。】上的一个d 次齐次多项式 咖：表示次数 u ( z ) ：表示z 日i 约t e i c h m f i l l e r 提升即叫( z ) 为极大无分歧扩张中的唯 一单位根，满足叫( 刁三z ，托甜加定义u ( o ) = o 。 一3 一 四川大学硕士学位论文 定义2 1 1 对任意的正整数，记 k 为，在j 上的有理点个数，则，的z e 协函 数【3 0 】定义为： 跚，刃2 e x o 。譬p ( 2 1 1 1 ) 现在t l u 、v 分别表示由，定义的射影簇和仿射簇，其z e t a 酗x 分别记为： 粥巧2 唧l 至( _ k o o 半矿 _ 刚刃。唧l 互。_ k o o 华寸 我们感兴趣的是u 为非奇异的情形，不失一般性还可以假定u 处于一般位 置，即：x l o f o x l ，z 2 甜o x 2 ，z o f o z 无公共零点后面提到的u 、y 若 非特别说明，都是满足这性质的肌( 【，) 和帆( y ) 有如下显然关系： n k ( v ) ；( 矿一i ) n k ( u ) + 1 这样，e z ( u , d 可以转化为求z 刀 定义2 1 2 【d w o f k 分裂函数】 定义e 为一个p 一砌c 解析函数：o ( z ) = e x p ( r z 一 r 矿) 进一步，对任意 的a z + 。- p 类似的定义e 。le 。( $ ) = e x p ( 7 r z 一丌。) t 这个分裂函数在t c i c h m f i l l e r , 点处的取值可以表示非平凡的加法特征虿： 弓一月l ，面= 0o u 类似的可以定义非平凡的加法特征皿1 ：日一 r l ，雪12 e d 。u 和皿：印_ 局，皿= 皿l 。t r f 。马 苎兰苎1 ：型耋：页式9 墨，】，记最o ) = x e ，- 田- z o ( x ) ) 以及 其相应的工函数为： 。 l ( g ，刁一e x p 曼譬矿 2 ) l _ ( k o o 4 四川大学硕士学位论文 利用定义2 1 3 , - - 1 知，对仿射簇v ：，= o 有： s k ( 知，) = 皿l t r ( x o f ) = 矿j ( y ) 5 啄 这样，求z ”自然可以转化成求一个l 函数： m 矗巧一。曼学p 对在闭单位圆周上的收敛幂级数b ，由定义2 1 3 可定义 s h ( b ) = b ( x ) b ( x a ) b ( x e - ) x t x 以及其相应的l 函数： 郇小。量学p l 女 。 利用d w o r k 证明z e t a 函数有理性的思想【4 】知，若b 的收敛半径大于l ， 则l ( b ，为p a d i c 亚纯的，进一步，若日来自于g ( 更特别地，来自于，) ， 则工( b ，刃= 二0 ，r ) 是有理函数这样就很容易将l ( g ，力转化成l ( b ，t ) 引理2 1 i 对集合s 1 ，2 ，l ，记毋表示将b o o x t = o “ s 得到的新的幂级数，类似于鼠( 口) 和l ( b ，记：髭( b ) ； x 一- 。l b ( x ) b ( x 。) b ( x 矿。1 ) ，l + ( b ，= e x p l 。( s ：( b ) t k k ) ，则 有： s k ( b ) = ( 风) ， s g o , 一 l ( b ，刀= nf 慨，即 s o ，一 一5 一 四川大学硕士学位论文 为了计算z e t a 函数。我们定义两个系数在r 上的形式幂级数日和日( ) 定义2 2 1 设f 为前面提到的多项式，的t e i c h m n l l e r 提升：矿= f = 而其 3 6 j 中q 为弓的t e i c l l l i i n l l 盯提升定义日和日( ) ( s z 0 ) 为系数在r 上的形式幂级 数： h ( x ) = n j je ( 勺知) ；e x p ( 丌x o f ( x ) 一 r 弼f ( 护) ) ， 日) ( x ) = 巩e jl - i o 。s 4 - le ( ( 吗如) ，) = e x p ( a z o f ( z ) 一们5 f ( ) ) 下面的引理可以告诉我们h 和日( ) 之间的关系 引理2 2 1 设r 为f r o b e n i u s 自同构，则形式幂级数日和日( ) 满足： h e d ( x ) = r t ( h ( x m ) ) o i s - i 上面定义的日( | ) 与计算t a 函数之间的关系如下l 定理2 2 l 让，日陋l ，勋，茹n l ，以表示方程，= o 在( 辱) “上的解的个数， 则有如下关系成立： 面 k ( x o f ( x l ，) ) = 矿以一( 矿一1 r # ( 吩卜 = 日( x ) 日( 帕( x 4 ) 日( 耐( x 矿- 1 ) x q t , - t 1 1 证明： ( 证明可参见【1 9 】的引理4 和性质i i ) 先证明第一个等式对任意的t 日，有： 暑州训，= 戮三? 一6 一 四川大学硕士学位论文 这是加法特征和的一个标准结论( 参见【2 0 1 6 8 页) i 圈i l 皿k ( x o f ( x l ，x j ) = 矿以 知5 - ，。( f 3 p 去掉x o = o 所贡献的( 矿一1 ) “个零点即可得第一个等式 1 1 i ! t l k ( z o ，( z l ，z 。) ) = 矿m 一( 矿一1 ) “ 5 咏( 譬p 下面证明第二个等式为了简化记号，记x 一( x o ，峦l ，) ( 巧) “+ 1 x 为叉的t e i c h m n l i 贫提升，利用吼的定义，有。 吼( - 0 ，( - l ，现，瓦) ) = 吼( 吕。j 而岩) 。 = r 。j 虮( 弓碧) = 几e j e 女( 吩) = l - i j j n o 洳o ( a j x j ) p ) = 巩e j 兀o “i i o ! 。一le ( 口j x j ) 9 ，) = r i o 争l 皿e j o 娜，le ( 巧列一) ， = i - 1 0 垡 n j jn o s l 6 2 时，a ( 6 1 ) 0 如下等式成立： 啦。i i 一( 日( x 一) ) = ( 略。h c x ) ) 4 ( 2 2 9 ) o s 4 一l 我们用归纳法证明之 对口；0 ，很明显成立 假设。一1 时结论成立，即： 媚一1 。i i 一( 日( x 一) ；( 如。p ( x ) ) ”1 0 _ i _ 1 的情况 记 为映射缈oh o s 一l 口l 。( x 一) 在正规基零a 下的矩阵，类似知一l 的 推导，可以得到等式。 日口( x ) 日。( x 9 ) 日( d ( x ，4 ) = ( 口一1 ) “+ 1 n ( 坂k ) x 一一l 喜l 利用( 2 2 8 ) 式子，我们可以得到， 妒；。h 日似( x 一) = ( 晖。日“( x ) ) o _ , s k - 1 因为上式两边的映射缈oh o s i s 。一1 日( 呻( x 矿) 和( 睇。日( 由( x ) ) 都是线形 的，所以： m 豳；m ： 一1 2 一 四川大学硕士学位论文 由此，定理得证 2 3l e f s c h e t z 不动点公式 我们先定义一个b 觚a c i i 空间三公( ，y ) 定y 2 3 1 让，( ，y ) 科】表示以丌h 刈x 1 ( = 九) 为正交基 l l s n 的b a n a c h 空间。 换句话说，以n ) 中元素就是一个无限和的冗线性组合，而且要求系 数一0 。以后将吆( 1 ) 简记为l z j l 里2 3 1 当，y 止芋时，h 幺n ) 。 引理2 3 2 当o o ) 生成的的闭子空间 若记岛= 丌知卫争一l o ，1 歹n ，由定义2 3 2 可以得 出；l a = l ( n 岛) ，l a = z ( u 岛) 利用容斥原理和简单的组合推 j e a j e a 理，可以得出： 引理2 3 3 t r ( o i l l 口) = ( - 1 ) 。t r ( o i l a ) 设a l ，2 ，t 1 ) ，让，( ) 表示由多项式，扛“，) 取= o 当 a ，毛o 当i 萑a 得到的新的多项式让) 表示由方程，( = 0 定义的新的仿 射簇则可以得到； 定理2 3 4 口l ( k ：i ) ) = ( g 一1 ) 襻再+ ( 口一1 ) 。嘎+ 1 t r ( o i l l ) 证明：( i e 明可参见【2 1 1 的第七章) 一1 3 一 四川大学硕士学位论文 由定理2 2 3 的式子( 2 2 1 0 ) 和引理2 3 2 ，我们可以得到： g 嵋= ( q 一1 r + 0 1 ) “+ 1 t r ( o l ) 类似，( ) 的定义我们定义记号：工( ) ，可以得h i l ( ) 把，( ) 和带再代入式子( 2 3 1 ) ，即可得出定理结果。 由此，引理得证 ( 2 3 1 ) l l 。 一 结合引理2 3 3 和引理2 3 4 ，利用二项式定理，经过简单计算可以得到； 引理2 3 5 让u 表示由，定义的射影簇，有： ( 1 ) 邺) = 害+ q - 1 ( 川) # t i t r ( 口i 删) 一 ( 2 ) m ( = 了q - t 丁_ 1 1 q - i ( 一1 尸；( 一q ) # t lt r ( 口 记船的r 基为 e i l l i n ，工圆 舻为r 上的分次b 龇卵h 空间，为 矗 其闭予空间，三= 白再丽白，a ( 求和符号是对所有( l ，l ) l ，2 ，n ) 求和) 定义映射口； 0 ：一，啦；口口 定理2 3 1 映射= 矿口，对z i ，有： ( 1 ) 邺) _ 专荨呐_ 1 ) “曼( - 1 ) 坝q ) ( 2 ) 唧) = 等竿4 q - k ( 哆( - 1 ) 坝计 o o 时。马= 0 ( 4 ) 、上品是个有限维空间，维数为i 出m ( 凰) ：( d - 1 ) n + ( - 1 ) 一”( d - 1 ) 证明：由于具体证明过程比较复杂。我们造这里就不给出证明了，详细证 明过程请参见【2 l 】第七章和第八章。 其中 上r o 的具体表达式和基也可以表示出来 基为： r 抽z 争$ 毋i o s d l ，= 丸) l s i s 凰的具体表达式为： 一一lnjgoxll4 而。兄【，卫l ，z 】 o2 瓦瓦再面面茅f 可诵 l = 啦，r 知毋z x l a , r ，m o ，n = l 。丸 厶= l n z o x l 磊r 【，l ，】1 2 4c a l a b i - y a u 簇的形变理论 幕j c a l a b i - y a u 簇f ( r ) = 四+ + + r n x l z 。，利用定理2 3 2 我们可 以求出c a l a b i y 缸簇的凰的维数和基维数为。t = d i m ( h o ) = l q - 1 【( n 一1 p + 一1 6 一 四川大学硕士学位论文 ( 一1 ) ”一1 ) j ，基为： 岛一 e 1 一) = ”毋研1 z 1 1 s n 一1 ，n a o = ) 1 s t s ” 上b 的具体表达式为： 其中 一一lrlxoxl妨。兄【知，zl，z。】ho2 酉函再面蕊茅f 可诵 = 丌知碚z 1 $ i 啦r ，啦_ o ，n 知= 1 s l s 。) l i = l 7 ：c o x l 磊x r x o ，z i ，】 d = 唧( 一 r z o f ) 。缸最oe x p ( 7 r z o f ) 根据l a u d c r 在文【1 7 】中的形变思想，对于c a l a b i y a u 簇，我们首先考虑 其中某个特殊簇f ( r 0 ) 上的有理点个数肌( r o ) ，不妨设r 0 e 由消去理 论知：，( r o ) 非奇异且处于一般位置【1 3 】此时，映射n ( r o ) ：w ，( r o ) - - - - - - 4 w 。( r 吕) ，在这里我们分别用。( r 0 ) 和彬。( r 吕) 表示凰在r 取值为特定的r 0 和通 常的r 时对应的空间，存在正则同构c r o r = e x p ( 丌f ( r ) 一 r f ( f o ) ) ：w ( t o ) 一 w 。( f ) 满足如下的交换图： w ( r o ) 笪喀w ( 瑶) i 印rl 勺一 驴( r ) 旦w ( p ) 注意到口( 时“) n ( r 吕) 口( r o ) 为彬( r o ) 的自同态。d w o r k 揭示了它 和 k ( r 0 ) 的关系【1 3 】： 帆( r 0 ) = _ q ( n f - 1 ) j k _ 一i + q - k ( 一1 ) “t r ( a ( 时一1 ) q ( r 3 ) 。( r 0 ) ) 另可以得到：q ( r 矿) 口( p ) 口( r ) = q _ 。n m ( r 0 ) c 矗r 在i 伊( r ) 上以一种自然 ；ti k绸-雾i；： 四川大学硕士学位论文 的方式可以定义一个导数： g r = ，r 嘉嘟， ( 2 4 1 ) 以和坼分别表示以( r o ) 的n 一基和w 。( r ) 的q ( r ) 基形成的列向量注意 到o o r 作用在w 。( r o ) 上为o ，通过简单计算，g r 作用在n ( r ) 空间上为： o r ( 坼) = w r b ( r ) ( 2 4 2 ) 其中b ( r ) 是一个有理函数矩阵记c ( r o ，r ) 为c r o r 在( r ) 的基坼下对应的矩 阵，则： q _ ，r ( w r o ) = 坼c ( r o ，r ) 利用( 2 4 1 ) 式、( 2 4 2 ) 式有微分方程： 0 = g r ( c h t r ( h ，r o ) ) = g r ( 肼e ( r o ，r ) ) = w r ( b ( r ) c ( r o ，r ) + a c ( a r r o , r ) ，、 简化得： b ( r ) c ( r o r ) + 骂产= o 而其初值也很明显： c ( r o ，r 0 ) = 四 这里的e 表示单位矩阵 要解此线形微分方程关键是求出( 2 4 3 ) 式中的曰( r ) 的表达式， 们研究的核心问题一旦b ( r ) 解出，上面的线形微分方程便可解出， 过一条特殊曲线f ( r o ) 求解出一类曲线f ( r ) 的z e t a 函数。 一1 8 一 ( 2 4 3 ) 这也是我 这样就通 ： 日_，4，_ 目q ，0 毋 t j 日番l，哥目鱼，奢ja每d。 n ，； 四川大学硕士学位论文 3 1 求解b ( r ) 第三章主要结果 为了记号的方便，我们在后面的表达中忽略掉7 r 和如，因为蜘的次数完全 由茁l ，的次数决定( d = 九) ，而7 r 的次数又和z o 的次数是相同的 1 曼l 墨“ 同时取f o = 0 由日。的结构可知： 0 = d j ( n 0 ) l i s “ = h 毋+ 啷hx i k + n fh 霹m ( 3 1 1 ) l s n i s nl - s n 将g r 作用在c a l a b i - y a u 簇上可以得到： c r ( w r ) = w r ( 一们l - t n ) = w r b ( r ) ( 3 1 2 ) 故关键是求出j l ( 1 j t ) 在e l ，c i 下的表达式具体分析如 下： 情况l ： 当c j z l $ 。厮时，即v 九t i 一2 时，| 1 m t 。使 得勺。l x n = e 。，此时要把e j $ l 善。表成e l ，龟的线形组合是很容易的， 勺霉l = ( e “，r ，卜“，白叶l ，c 1 ) ( o ，0 ，l ，0 ，o ) r 情况2 ：当f j z l x n 隹西时，即j1sm t 使得k = n 一1 时，表 达式不再那么明显，但是注意到凰是m 甜( l s 。如n 。( 厶) ) 下得到的，故此时 求勺靓在e l ，l 下的表达式要通过m o d ( 1 剑。k ( 厶) ) 设勺。l = 。i 1 + 1 z + 1 ，将之代入仍得到： 0 ；功( n 毋+ 1 ) l s i 曼“ 一1 9 一 四川大学硕士学位论文 = ( + 1 ) 1 - i 毋+ 1 + n 回i i 茁 + 1 + n f $ + 2 ( 3 1 3 ) l s nl i n l - 曼“ 如果我们对( 3 1 3 ) 式作一个简单的替换，可以得到如下方程： ( 一n ) 丐”n 。+ nn $ + n r x 7 ”i i = 0 ( 3 1 4 ) l s s nl s i 曼nl l 茎” 为了后面叙述的方便，我们将上式的第一项简称为o u t l ，第三项简称 为o u t 2 ，作为两个输出端，第二项简称为伽，作为输入端仔细分析( 3 i 4 ) 式可以发现。 咖( 嘲= 啦 i s , s n d e g ( o u t l ) = o t i n l s i s ” d e g ( o u t 2 ) = 口 l s i “ ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 也就是说o u t l 的总次数比o u t 2 的总次数低n 次，而且输出端o u t l 、o u t 2 的z i 的次 数比输入端i l l 的的次数下降了n 次，达到了降次的目的在具体操作时我们就 可以利用这个差异简化操作次数 具体做法是这样的： 为了后面表达式的简单，我们不妨假设勺。l z 。= z 毋，很明 显啦= 九+ 1 ，同时不妨假设n 口l 0 , 2 2a n22 ，若口l ，啦，a n 不是 递减的，只需要把后面得到的结果中的n l ，a 2 ，a n 的值做个相应的调整进 一步由，在第二种情况中可以推出o l = n 将勺1 如= 砰埭作为输入端带入( 3 1 4 ) 式，可以得到； o z 2 2 z 挈+ 彻 卫字霉+ n r z ；1 + 1 8 z 尹+ 1 霉挈+ 1 = 0 若上式的t 2 端研则可求出勺z l 在e 1 ，白，下的表达式 一2 0 四川大学硕士学位论文 若上式i 拘o u t 2 端e r ，将之作为输入端带入( 3 1 4 ) 式进行迭代，得到； 0 = ( a 2 + 1 一付) 每i 击尹+ 1 哪i 掌+ 1 + n 1 + 1 _ ”筇尹1 维+ ： + n r x ：1 + 2 一”z ；2 + 2 一x n “+ 2 再同上面一样判断上式的o u t 2 端，若四托“谚巩“z 挈+ 2 局，则可求出勺o l $ 。在e l ，c 2 ，e t 下的表达式若上式 的o u l 2 端z ：1 + 2 ”孝柑一带+ 2 簪曷，将之作为输入端带入( 3 1 4 ) 式 进行迭代，如此反复做下去那么新的问题出现了t 这样的迭代是否会在有限 步中止下面的定理告诉了我们答案 定理3 1 1 上述情况l 中的基不需要傲任何迭代就可以表成e l ，e 2 ，c t 的线性 组合情况2 中的基至多做n 次迭代就可以表成e l ，e 2 ，e t 和众多o u t l 端的线性 组合 证明：定理的前一部分在前面已经讨论情况1 时已经得证下面证明后一 部分。 对勺z l = 砑1 z 挈，1 7 , 口1 n 2 2a n 2 ，我们通过上面的 讨论可以得到下面这个表格： 做第i 次迭代需要满足条件得出的o u t 2 i = 1a l = n 1 + 1 一“堙十1 媚3 + 1 镑+ 1 i = 2 口2 + 1 件 $ ：i + 2 一”z 字十2 一“z ；3 ”毋+ 2 i = 3 n 3 + 2 ，l砰- + 3 一”甥2 + 3 一“磁3 + 3 一毋+ 3 t = k 诹+ 七一1 ，1 日+ 一“。字+ 七一“z ：+ 知一8 z + l = n + n 一1 n砰堙鸸3 埭 观察上表的最后一行可以发现o u t 2 气f 霉l 进一步可知，只有满足条 件n l + i 一1 n ，( i ；1 ，2 ，n ) 的c j x l 才可能做n 次迭代，且n 次迭代后得 到的o u t 2 鼍，霉l 这样联立这n 个迭代式就可以将f $ l 表成众多o u t i 端 的线性组合如果c $ l 不满足条件啦+ i 一12 n ，o = 1 ，2 ，n ) ，则迭代 到某步( 迭代次数肯定小于n ) 后得出的o u t 2 厮此时联立这些迭代式就可 以将c j 。l 表成e l ，c 2 ，f t 和众多o u t l 端的线性组合 一2 i 一 四川大学硕士学位论文 至此，定理得证 一 注意到这些迭代得出的o u t l 并不都在j ；r 中，对那些不在点r 中的o u t l 我们再 进行迭代由( 3 1 5 ) 、( 3 1 6 ) 式可以得出：d e g ( o u t l ) = d e g ( i 忭) 一l r t ，所以 从整体而言，对o u t l 进行迭代肯定会比对i n 进行迭代要简单些，迭代次数也要 相应减少。 利用定理3 1 1 和关系式：d e g ( o u t l ) = d e g ( i n ) 一，l ，进行有限步迭代，必定 能将f 产l z 。表成e l ，电，旬线性组合最终必然将b c r ) 计算出来。 3 2b ( r ) 的算法 输入ln - - - - c a l a b i - y a u 簇的唯一参数。 输出：矩阵b ( r ) 。 s t e p o ：求出凰的维数和基( 利用定理2 3 2 ) s t e p l ：将王b 的基西分成两大类：第一类是( c ji 勺z l x n j 昂) ；第二类 是 勺i 勺z 1 x n 簪研， s t e p 2 , 对勺z l 若在第一类中，寻找1sm t 使得勺霉l = e ， s t e p 3 ：若勺z 1 在第二类中将勺z l x n ( t ) 作为输入端代入 ( 3 1 4 ) 式进行迭代 s u - l 4 判断迭代得出的o u t l 和o u t 2 是否有o u t l 研和砌2 西成立 若o u t l 所和o u t 2 毋同时成立，转s t e p 6 否则转s t e p 5 s t e p 5 ：将o u t l 和o u t 2 不在脐中的作为输入端代入( 3 1 4 ) 式分别进行迭 代。然后转s t e p 4 s t e p 6 ：联立所有迭代方程式求出勺霉l x n e ( i ) 的线性表达式 s t e p 7 ：将求出表达式的系数组合成矩阵，再把系数扩大( 一n ) 倍( 根 据a t ( 坼) = i 作( 一彻1 $ 。) = w r e ( r ) ) ，即得口( r ) 3 3 例子 例：以n = 3 为例 e ( r ) = 霹+ 遥+ 霹+ 3 r z l z 2 2 3 一2 2 四川大学硕士学位论文 此时的玩的维数和基分别为lt = 2 ，j 昂= “l ，e 2 = 茁1 现z 3 ，z 2 l m 2 2 3 2 ) ， 要计算的b ( r ) 为： ( e 1 ，e 2 ) - ( - - 3 x l x 2 x 3 ) = ( 一3 z z ；z ；，一3 $ 3 l 。2 3 。3 3 ) = “l ，c 2 ) 口( r ) 根据上面的算法思想： ( 1 ) ，e l ( 一3 x l x 2 x 3 ) = 一3 茁2 l m 2 2 w r 属于情况l ，所以 将e l ( 一3 z l z 2 趵) 写成e 1 和f 2 的线形组合很容易。 c l ( - 3 z l x 2 z , ) = o e l + ( - 3 ) e 2 ( 2 ) 、e 2 ( - 3 z , x 2 x 3 ) = - 3 四：2 z ；聋w r 属于情况2 ，要表示成1 和c 2 的线 形组合不太容易将砰霹霹代入( 3 1 4 ) 式，得到方程。 翻z 2 + 缸3 1 屹1 3 3 + 3 r z l l 吻4 4 = 0 ( 3 3 1 ) o u t l 系数为o ，o u t 2 = z i 露隹w r ，故继续代入( 3 1 4 ) 式，得到： 1 2 1 1 2 2 1 ；+ 3 2 1 1 善4 2 2 4 3 + 3 r z 2 2 2 2 2 正3 5 = = 0 ( 3 3 2 ) o u t l = 。1 1 山2 1 山3 4 碧w r ，o u t 2 = z 1 1 五2 再3 4 隹w r ，故o u t l 和伽t 2 分别代入( 3 1 4 ) 式对o u t i ，有： 1 2 1 1 屹1 叼1 + 3 2 1 1 吻1 叼4 + 3 r z 2 2 2 霹= 0 ( 3 3 3 ) 得到的两个输出端都在晰冲对o u t 2 ，有： 知2 l 。2 2 3 2 + 3 砰霹+ 3 r 遥霹= 0 ( 3 3 4 ) 得出的o u t 2 = 蝴雹司已经和前面( 3 _ 3 1 ) 式的输入端相同，所以现在联立 ( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) ， ( 3 3 3 ) ，( 3 3 4 ) 可以解得l 善潞3 3 3 = 丽1f ( 一9 f 2 。翻霹一r z ：z 帕1 1 ) ( 3 3 5 ) - 2 3 四川大学硕士学位论文 所以瓢州= 三窖 下面我们对n = 4 ：f ( r ) = + 连+ + z ：+ 4 r x t x 2 x 3 x 4 通过c 程序来计 算b ( r ) 。 我们先计算维数和基，然后为了让计算出的b ( r ) 有规律一点，我们改变下 基出现在瞰冲的顺序。计算维数和基的c 程序见后面附的程序1 。通过程序l 算 出维数和基：，l = 4 ，出m = 2 1 ， l2 霉1 1 。2 i “3 1 卫；e 2 = 霉i z 獬碹e 3 = 霉1 1 4 2 2 4 2 3 霹e 4 = z 1 1 。2 2 遽筇i f 5 = z i 碹磅霹 e b2 z 1 1 4 2 3 。3 2 4 4 2f 7 = z i 谚蹦3 码f 8 = 砰畦司 e 92 z 2 1 4 2 1 3 3 4 4 2e l o = 霉；霹1 雹6 1 1 ：= z 2 1 * 2 2 m 3 2 。4 26 1 2 = z ；z ；霹码 6 1 3 = 。2 l 。2 3 砖6 1 4 = 斫碹霹je 1 5 = 研z 2 1 。3 1 四e 1 6 = 研z ；霹 6 1 7 = 霜z 2 1 砖z j6 1 8 = 霉 霹z 搦6 1 9 = 研遁z i ie = 碹通砖码 e 2 1 = 毋遽碹堙 为了让计算出的b ( r ) 有规律，我们改变下基的排列顺序；w r = e l ，6 1 l ，6 2 1 , f 2 ，e ，c 5 ，1 7 , 6 7 ，f 1 5 ，c 3 ，4 t f 6 ，c 8 ，f 9 ，e l o , e 1 2 ，e 1 3 ，e 1 4 ，e 1 6 ，1 8 ，e 1 9 ) 。i 疆过 程序2 迭代求出b ( r ) 如下t b c r ，= ( 喜言詈喜量 e 也。- 4 。( 与一- 。1 1 专) ， 。= ( 譬p r ) 。 一2 4 四川大学硕士学位论文 m a i n ( ) 。 i n t ，l = 4 ；i n td i m ；i n ti ；i n tl ；i n tp ；伽tk = o ；i n tj 5 1 = o ； i n t a 2 2 1 1 5 】= o ；i n tb 2 2 2 2 = o ； d i m = ( p d t u ( n 一1 ，n ) + 朋o ( - 1 ，1 ) 木( n 一1 ) ) n ； p r i n t f ( ”礼n = 2 d n d i m = 2 d 矿，n ，d m ) ； ，d r o 【l 】= 1 ；j 1 】 n ；j 1 1 + + ) f o r ( j 2 1 = a ；j 1 2 n ；j 【2 】+ + ) f o r ( j 3 1 = l ；j 1 3 】 n ；j 【3 】+ + ) f o r ( j 4 1 = 1 ；j 4 1 n ；j 4 1 + + 1 q