小学阶段数感培养的策略研究论文.pdf

擘 学校代码 1 0 2 7 0 国内图书分类号 内封 扉页 学硕士学位论文 学号 0 9 2 3 0 0 2 4 1 小学阶段数感培养的策略研究 硕士研究生 周卫 导师 张伟平 申请学位级别 教育硕士 学科 专业 学科教学数学 所在单位 闵行区罗阳小学 答辩日期 2 0 1 2年5 月2 0 日 授予学位单位 上海师范大学 摘要 本研究以一年级至五年级的学生为研究主体 研究的内容主要是依据小学生 数感的发展规律研究有效的课堂数感培养策略 本研究从 全日制义务教育数学 课程标准 实验稿 的角度出发来分析数感的内涵和构成要素及小学生数感培养 的内容 依据数感要素测试卷的调查结果来分析小学生数感发展的规律并研究有 效的课堂数感培养策略 数感的调查结果 随着年级的增高 学生的数感在增强 学生在数的表示 运算 估算上的能力发展随着年级的增高快速增长 这说明这三大领域是以学生 后天学习为主要因素 二年级的学生与一年级的学生比较有一个质的飞跃 在数 的表示 数的运算和数的估算上尤为显著 三年级学生与二年级的比较 在数的 运算 估算和问题解决中发展很显著 在数的估算上尤为显著 四年级与三年级 比较 差距不大 五年级与四年级比较 差异最显著的方面是数的意义 小学生 数感培养的建议 在重视动手操作中培养小学生的数感 在重视估算教学中培养 小学生的数感 在重视图形表征教学中培养小学生的数感 在数学思想渗透教 学中发展小学生数感 关键词 小学生 数感 培养 教学策略 a b s t r a c t 删 洲 删圳 m i y 2 115 5 6 4 t h i ss t u d yi sb a s e do nt h em a i ns u b j e c lo fp r j m a r ys c h o o is t u d e n t sf r o mg r a d e o n el o r a d ef i v e t h ec o n t e n l so ft h es l u d yi sm a i n i yb a s e do nt h en u m b e ro fs t u d e n t s a s e n s eo ft h ei a wo fd e v e l o p m e n lo fn u m b e rs e n s el od e v e l o pe 仟e c t i v ec i a s s r 0 0 m s t r a l e g i e s i t s f u 一l i m ec o m p u i s o r ym a l h e m a l i c sc u rr c u i u ms t a n d a r d s t r i a iv e r s i o n p o i n to fv i e wt oa n a l y z et h en u m b e ro fe l e m e n l so fa s e n s eo fm e a n i n ga n da s e n s eo f c u i t u r ea n dt h en u m b e ro fp r i m a r yc o n t e n t n u m b e ro fe i e m e n t so ft h et e s tb a s e do na s e n s eo fv o i u m et oa n a l y z et h ef n d i n g so fi a ws t u d e n t sd e v e i o pn u m b e rs e n s ea n d s e n s eo fl h en u m b e ro fe 仟e c t i v ec l a s s r o o ml r a i n i n gs l r a t e g v n u m b e rs e n s e s n d i n g s a sl h eg r a d ei n c r e a s e d s e n s e0 fl h en u m b e ro f s t u d e n l si sg r o w i n g t h ea b i i i t yo fe p r e s s o p e r a l i o na n de s t l m a l en u m b e r0 fs t u d e n t s i sd e v e o p i n gw t ht h er a p i dg r o v n ho fh i g h e rg r a d e i ts h o w st h a tt h e s et h r e ea r e a si s l h em a i nf a c l o ri ns t u d e n t s i a l e rl e a r n i n g s e c o n d y e a rs l u d e n t sa n df i r s t y e a r s t u d e n l sh a v em o r eo faq u a i t a t i v el e a p t h en u m b e rt h a te s t i m a t e st h en u m b e ro f o p e r a t i o n so ns e v e r a ip a r t i c u i ar ys i g n i f i c a n t t h j r d y e a rs t u d e n l sa n ds e c o n d y e a r c o m p ar s o n l h en u m b e ro fo p e r a l i o n s e s l l m a t j o na n dp r o b i e ms o i v i n gi nt h e d e v e i o p m e n lo fv e r ys i g n i f c a n l p a r t i c u l ar l yo nt h ee s l i m a t e so ft h en u m b e ro f s i g n i f i c a n l c o m p a r e dw i t ht h et h i r dg r a d ef o u n hg r a d e l h eg a pi ss m a i f l f f hg r a d e a n df o u r t hg r a d e t h ed j f f e r e n c ei sm o s ts i g n i f i c a n ta s p e c to ft h es i g n i f i c a n c eo ft h e n u m b e r n u m b e ro fr e c o m m e n d a t i o n st od e v e l o pas e n s eo fs t u d e n t s e m p h a s i so n h a n d s o nl r a i n i 几gs t u d e n t si nl h el j u m b e rs e n s e f o c u so nt r a i n i n gs t u d e n t st o e s l i m a t et h en u m b e ro ft e a c h i n gi nas e n s e f o c u so nd i a g r a mr e p r e s e n t a t i o no ft h e n u m b e ro ft e a c h i n gs l u d e n t st oc u i t i v a l eas e n s e d e v e i o pt h es e n s eo fs l u d e n t si n t e a c h i n gm a t h e m a l i c a ii d e a sa n dp e r m e a t i o n k e y w o r d s p r i m a r ys c h o o is t u d e n t s n u m b e rs e n s e c u l t i v a i o nt e a c h l n g s l r a l e g i e s 目录 摘要 a b s t r a c t 第1 章导论 1 1 1 立论依据 一 1 1 2 研究的意义和价值 2 第2 章文献综述 4 2 1 和数感有关的问题 4 2 2 数感形成的心理学和思维论基础 9 2 3 儿童数感的发展特征 1 1 2 4 小学生数感培养的内容及相关的测试要素和教学内容 1 2 2 5 有关 小学生数感培养策略 的文献资料 1 3 2 6 本章小结及本论文研究的问题 1 5 第3 章研究过程的设计 1 6 3 1 实验步骤 1 6 3 2 研究方法 1 6 3 3 测试问卷的编制 1 6 3 4 测试问卷的实旌 1 6 3 5 小学生数感发展现状的调查结果 1 7 3 6 小学生数感发展现状调查结果的分析 1 9 第4 章小学生数感培养策略的相关案例分析 2 l 4 1 动手操作在数感建立中的地位 2 1 4 2 估算在数感建立中的地位 3 3 4 3 图形表征在数感建立中的地位 4 2 4 4 数学建模在数感培养中的地位 4 6 第5 章小学生数感培养的研究结果与教学建议 5 3 5 1 国内一线教师从经验上谈论的主要观点 5 3 5 2 我的研究结果与教学建议 5 3 第6 章本研究的不足和继续研究的方向 6 7 附录 6 8 附录一 小学阶段数感测试题 6 8 附录二 上教版教材在小学阶段数学知识的安排 7 0 参考文献 8 6 在读期间发表的学术论文及获奖情况 9 0 致谢 9 1 v 第一章导论 第1 章导论 1 1 立论依据 在d a n t z 垤于1 9 5 4 年正式提出数感 n u m b e rs e n s e 概念后 美国学校数学 标准委员会在1 9 8 7 年提出 数感 是有效的数学教学计划的成份之一 并将学 会用数学的方式去推理 交流 解决问题的能力作为基本目标 在2 0 0 1 年我国 的 全日制义务教育数学课程标准 实验稿 中强调学生的数学活动 发展学生 的数感 符号感 空间观念 统计观念 以及应用意识与推理能力 并在总体目 标中提出要使学生经历 运用数学符号和图形描述现实世界的过程 建立初步的 数感和符号感 发展抽象思维 的思想 并且指出小学数学的目标是发展学生的 数感 在小学数学教育中 培养学生的数感 目的就在于使学生学会用数学的方 法去思考 理解和解释问题n 1 数感 发展好的学生能增强他们数学学习的兴 趣和自信心 并且能影响他们以后与数学相关的领域 如物理 化学学科的学习 史宁中教授也曾指出 数感 发展的关键期是小学低年级口 因此 小学生数感的 培养相当重要 所以近些年来国内外对数感的内涵 数感的发展规律和数感的培养问题成了 研究的热点 在国外对数感的研究已有十几年的历史 研究者有d a n t z i g 1 9 5 4 c a s e 1 9 9 8 德汉尼等人 d e h a n e n e 1 9 9 7 g a l l i s t e l g e l m a n 1 9 9 2 桑 德 s o w d e r 1 9 8 8 m a r k o v i t s s o w d e r 1 9 9 4 y a n g 2 0 0 2 y a n g r e y s 2 0 0 1 雷斯 r e y s 1 9 9 4 卡特 c a r t e r 1 9 8 6 j o r d a n 等人 2 0 0 6 卡 彭特等人 c a r p e n t e r c p b u r n r e y s w i s l o n 1 9 7 6 m a r k o v i t i s s o w d e r 1 9 9 4 等许多先行者 他们对数感的内涵 构成要素 发展特征 培养策略都有 深刻的研究 在国内大多数一线教师对数感的培养问题停留于以教学实践为主的 经验式研究 在理论层面对数感分析的研究者也有 些 如马云鹏 史炳星2 0 0 2 年的 认识数感与发展数感 郑毓信2 0 0 2 年的 数感 符号感与其它一课程标 准大家谈 藤发祥2 0 0 4 年的 数感及其教育价值 东北师范大学校长史宁中 2 0 0 6 年的 对数感及其教学的思考 东北师范大学的2 0 0 9 级博士生郭民的 小 学生数感的发展与特征研究 东北师范大学2 0 0 9 级硕士生张力维的 小学高年 级学生数感特点及差异性研究 华东师范大学2 0 0 6 级硕士生赵振国的 3 6 第一章导论 岁儿童估算和数感的发展研究 华师大2 0 0 6 届硕士生谢茜的 对我国5 6 7 年级学生数感现状的调查研究 等 从上可看出在我国一线教师从实践层面提出了自己的观点和发展数感的教 学对策 而数学研究者较多的从理论层面提及了数感的内涵和发展规律 这两者 之间缺乏一定的沟通 所以一线教师在理论层面对数感的内涵和本质认识有待进 一步深入 而数学研究者在实践层面对小学生数感教学尚未形成系统的研究方 案 对数感教学的内容 过程和方法以及教学组织形式的研究还十分薄弱 所以 在针对小学生数感状况进行实质性的调查后 研究小学生数感培养的教学策略显 得尤为重要 基于以上思考 提出了我的研究问题 小学生数感培养的策略研究 1 2 研究的意义和价值 作为一名小学数学教师 对数感的内涵 人的数感发展规律心中略知一二 对小学生数感的发展特征 小学数感的培养目标与内容更要清晰 这样才能在课 堂教学中采取有效的策略去培养学生的数感 本文研究的理论意义是建立良好的 数感有助于学生用数学的思维去思考 解决问题 让学生成为社会人 因为各行 各业都需要数感好的人才 同时为相关领域的学科打好扎实的基础 实际意义是 小学阶段跨度大 低年级和中高年级学生的认知规律有一定的差异 很多一线的 数学教师对小学生数感的发展规律与特征认识并不清晰 如何结合课程纲要中数 感的不同内容 设计有效的课堂教学措施 逐步培养学生的数感 这对每个小学 一线的数学教师有很实效的借鉴作用 我们知道数感发展的好坏并不是天生的 也不全是后天习得的 就比如是 现今六十几岁的老人中 有些小学都没读 但他们日常的家务帐算起来是没问题 的 在我们的工作种类中 木工 裁缝 建筑工中的很多人的文化水平很低 但 这些工种的人群他们的数感是不错的 因为在现实情境中很多时候需要他们的心 算能力 方案规划能力 有些人连圆的面积公式都不知道 但他照样能设计出最 佳方案 让材料更省 让钱赚得更多 但有些行业的确需要专业的基础和培养 如保险公司的策划员 他的每一种保险品种的推出都要进过精密的测算 让顾客 感到有钱可赚 让自己也能持续发展 银行里的理财产品也是如此 所以研究的 理论价值是数感究竟与什么有关 人类数感的发展规律是怎样的 实践价值是发 展学生的数感 让他们能根据实际问题选择最优的计算策略 并能对生活中的问 7 第一章 导论 一 题根据自我的逻辑推理选择最优的解决方法 这正是每个家长和教师所期盼的 也是成为一个社会人的基本条件 第二章文献综述字 第2 章文献综述 2 1 和数感有关的问题 2 1 1 数的来源与数的计算工具 2 1 1 1 数的来源 在动物园里我们经常能看到鹦鹉做l o 以内的加减法题 人们会很惊叹和怀 疑小鸟怎么会这么聪明 因为一年级的学生也才刚开始学习1 0 以内的加减法 人们会猜测饲养员做了一些手脚 因为在一般人看来鸟是不会有数量概念的 但 美国的约翰 巴罗在 天空中的圆周率一计数 思维及存在 中就己指出某些动 物具有原始的数量概念 它们能够区分集合的大小 只要涉及的数量不大口3 有 人曾做过这样的实验 他们放置两堆种籽 当两堆种籽的数量分别是较小数量3 和l 4 和2 以及4 和3 时 大部分小鸟总是选择数量多的那堆种籽 而当 两堆种籽的数量较大时如为4 和5 的时候 大多数小鸟就不知道哪边的数量更 多了 副 人类是进化的高等动物 在漫长的生活实践中才形成了数量的概念 结绳 记事 也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事 我国古书 易经 中 有 结绳而治 的记载 传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数 用利 器在树皮上或兽皮上刻痕 或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法 这些 办法用得多了 就逐渐形成数的概念和记数的符号 在历史的长河中 数字曾在 不同的时期不同的国家有不同的表现形式 如罗马数字符号 i 代表1 v 代 表5 x 代表1 0 l 代表5 0 c 代表1 0 0 d 代表5 0 0 m 代表 l 0 0 0 这些数的表示形式在一些古钟上还能看到 在2 5 0 0 多年前的春秋战国 时期 人们创造了一种十分重要的计算方法一筹算 筹算就是拿小竹棍作 算筹 来计算 算筹摆法有横纵两式 都能表示同样的数字 算筹记数的表示方法为 个位用纵式 十位用横式 百位再用纵式 千位再用横式 万位再用纵式 这 样从右到左 纵横相间 以此类推 来表示任何自然数 遇零用空位表示 如 纵式 ll l l l i沁绷t 丌砸w 横式 一 兰至薰 l 士圭壶 l23 456789 第二章文献综述 3 7 6 3 7 0 39 5 1 0 i 川 川 i l i i l 当今世界通用的数码是阿拉伯数字1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 但最 早使用的是古代印度人 只是阿拉伯人把古希腊的数学和这一简便易写的十进制 位值记数法融合在一起 最终传遍欧洲演变成今天的阿拉伯数字 在计算中除了 十进制以外 在数学萌芽的早期 还出现过五进制 二进制 三进制 七进制 八进制 十进制 十六进制 二十进制 六十进制等多种数字进制法 1 5 在长 期实际生活的应用中 十进制凸显出来它的优势 从我国古代算筹数码中没有 1 0 这个数可以清楚地看出 筹算从一开始就严格遵循十位进制 9 位以上的数就 要进一位 同一个数字放在百位上就是几百 放在万位上就是几万 随着人类生产的发展 自然数已经不能满足生活的需要 人们发现很多数量 具有相反的意义 所以就出现了负数 在古代算筹中分红黑两种 红筹表示正数 黑筹表示负数 接着人们在实际生活中遇到不能等分的情况 如3 个苹果分给4 个人 于是分数就产生了 于是数的领域就出现了正整数 负整数和零 加上正 分数和负分数 就扩充到了有理数 但随着圆周率的出现 人们意识到了另一类 数 无理数 有理数和无理数一起统称为实数 在1 9 世纪后又出现了虚数 复数 数的概念发展到虚和复数以后 在很长一段时间内 连某些数学家也认为 数的概念已经十分完善了 可是后来者又提出了四元数 多元数 超复数 狭义 数 广义数的概念 尽管人们对数的归类法还有某些分歧 但都感到数的概念还 会不断发展 数的概念 数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结 果 2 1 1 2 数的计算工具 在我国数的计算领域也是一个漫长的发展史 如春秋战国时期的筹算 之后 又发明了珠算 从l5 世纪开始 中国的珠算盘逐渐传人日本 朝鲜 越南 泰 国等地 对这些国家数学的发展产生了重要的影响 以后又经欧洲的一些商业旅 行家把它传播到了西方 在明代 珠算完成了普及并最终彻底淘汰筹算这一过程 直至今日 还有幼儿在学习珠心算 s 第二章文献综述 在国外近代科学发展促进了计算工具的发展 如1 6 2 0 年 英国人甘特发明 了计算尺 1 6 3 2 年奥特雷德发明了有滑尺的计算尺 在1 6 4 2 年 法国数学家帕 斯卡制造了能够计算加减法的手摇计算机 这也是世界上第一架计算机 在1 6 7 1 年德国数学家莱布尼兹发明了能够进行四则运算的手摇计算机 在公元1 8 9 0 年 美国人霍勒力斯制成了第一台程序控制计算机 1 9 4 5 年 世界上第一台电子计 算机 埃尼阿克 e n i a c 诞生于美国 当年1 2 月开始试运行 1 9 4 6 年2 月 正式交付使用 它是美国宾夕法尼亚大学埃克特等人研制的 电子计算机被人们 誉为 人类文明最光辉的成就之一 1 9 7 7 年 日本卡西欧 c a s i o 公司生产 出世界上第一部微型计算器m q 一6 这种袖珍计算器可握在手掌中 使用方便 可进行八位数的四则运算 十六位数的概数计算 以及有关百分比和幂的计算 此外还有时钟 秒表和年历的功能 1 2 1 2 数感的内涵及其构成要素 2 1 2 1 数感的内涵 国内外学者对数感问题的研究已有几十年的历史 从文献中可看出研究者 对于数感的理解有不同的观点 d a n t z i g 1 9 5 4 首次提出数感的概念 认为数感是对微小数量变化的一种 直觉感受 j u d i t hs o w d e r1 9 8 8 关于数感的主要观点是 一个具有良好组织的 概念网络 它能够把一个数字与和它相关的操作具体而有效的连接起来 并以灵 活而有创造性的方式解决数学问题 在1 9 8 9 年美国n c t m 中关于数感的阐述为 数感是一种从所用的各种数字意义中提取出数特征及数关系的直觉能力瞄3 2 0 0 1 年7 月我国新版的 全日制义务教育数学课程标准 实验稿 解读 在第二章中对数感的解释是 数感是一种主动地 自觉地或自动化地理解和运用 数的态度与意识 在2 0 0 2 年 我国学者马云鹏和史炳星认为 数感是一种 主动地 自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识 数感是人的一种基本 的数学素养 它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础 是将 数学与现实问题建立联系的桥梁 我国台湾学者杨德清2 0 0 2 年关于数感的观 点是盯1 一个人对数字和运算的一般性的理解 并使用这种理解去灵活地做出数 学判断 并且发展有用 有效率的策略去处理具体的数字情境 郑毓信2 0 0 2 年 随1 认为 数感 与 语感 方向感 乐感 相似 都代表了一种相关的 6 第二章文献综述 能力 但与能力相比 又都含有一种 直感 的涵义 特殊场合的敏感性 2 0 0 4 年藤发祥西1 认为数感是人们在数概念的扩展中而产生的对数学的一种敏感与一 般理解 在2 0 0 6 年史宁中 吕世虎n 町认为数感是数的感悟 它表现为对量与数 的一种直观能力 数感的建立起初是依靠经验的积累 到一定程度后在经验和理 性的融合中 就形成了一定能力 2 1 2 2 数感的构成要素 在国外 g e r s t e nn 1 3 等人对数感的相关研究进行了总结 数感被解释为对数 的流畅性和灵活性 对数字意义的感觉 进行心算的能力 看待世界的能力 进 行比较的能力 认为对数字思维的流畅性是数感的特点 美同学者g a y n 副等人认 为数感由四种基本能力构成 1 能透彻理解数的含义 意义 2 能掌握数与数之 间的多种关系 3 能认识数的相对值 4 能理解运算对数的相对影响 在1 9 9 8 年 c a s e n 3 3 他提到 好的数感的特征包括 1 估计数量 判断数量的流畅性 2 能够认识到不合理的结果 3 心算时的灵活性 4 能够在不同的数量表征 之间移动 能够使用最恰当的表征 j o r d a n 钉等人 2 0 0 6 总结了幼儿数感的 主要成分 包括数数 数知识 数量转换 数量估计 数字组型五个方面 美国 国家数学教师研究委员会 n c t m 2 0 0 0 提出数感n 4 1 包括对数字意义较好的理解 对多重数字关系的理解和把握 对数字的相关数量的认知 对运算给予数字相关 作用的认识 对生活环境的普通物体在情境测量中作为参照物的使用 在国内 对数感的研究相对起步较晚 我国台湾学者杨德清在2 0 0 3 年概括 前人研究的基础上 认为数感组成成分包括 1 理解的数意义 2 能辨别数的相 对大小 3 适宜地使用基准 4 理解运算对数字的相关作用 5 适宜地发展不同 的策略并评价答案的合理 我国的 数学课程标准 n 们 教育部 2 0 0 1 中提到 了六个方面的表现 理解数的意义 能用多种方法表示数 能在具体的情景中把 握数的相对大小关系 能用数表达和交流信息 能为解决问题选择适当的算法 能估计运算的结果 并对结果的合理性作出解释 从上可以看到 对于数感的内涵和构成要素 研究者的关注点有所侧重 所 以目前还没有形成一种公认的定义 结合上述文献和我国 课程标准 中的描述 本研究认为狭义的数感认识观是重点强调培养学生对数字 量 的感觉与反应水 平 广义的数感内涵界定为 数感就是人们对数和数的关系的一种感悟和直觉 依据数学思想运用数字关系和数字模式进行推理与解决生活实际问题的能力 它 7 第二章文献综述 应该包括符号意识 运 估 算能力和模型思想 数感的构成要素定义为5 个方 面 1 理解数的意义 2 理解数与数之间的多种关系 3 理解运算的意义 和运算对数的影响 4 能估计运算的结果 5 能灵活运用适当的策略 适 当的算法去解决实际问题 并能对结果的合理性做出判断和解释 2 1 3 数概念与数感的区别 对于数概念 从直观来说 就是对数本质的理解 在人类历史的长河中 由 于生产生活的需要 对数的理解在不断的螺旋上升 从绳子打结 划刻痕 摆小 棒到用阿拉伯数字来计数 人类拣炼出了最简洁的计数符号 从二进制 五进制 八进制等到十进制 人类拣炼出了最优的十进制的进位制 从自然数 负数 分 数 有理数 无理数 实数到虚数 复数 人类感受到了数系还会不断的扩充 由此可见 抽象的数概念是通过具体的计数形式来体现的 一个完整的计数系统 包括三个要素 简洁的记数符号 进位制以及较高单位的表示方法n 6 数学概念的理解是一个相互补充 不断上升的过程 前面概念的理解是后 续概念学习的前提和基础 后续概念的产生又会加深对先前概念的理解 数系扩 充的历史让我们体会到数概念的学习是一个循环往复的过程 只有无理数的产 生 才会加深有理数概念本质的理解 只有虚数的出现 才会加深实数概念本质 的理解 格尔曼和加利斯特尔在2 0 世纪7 0 年代末的研究发现 数概念的发展涉及 对数数技能的整合和应用 儿童数数的学习经验与数概念的发展有直接的联系 心引 数概念的掌握包含以下三个方面 1 数的实际意义 如 2 是指两个 物体 2 数的顺序 如1 在3 之前 3 在1 之后 l 比3 小 3 比 1 大 3 数的组成 如 3 是由1 1 1 l 2 2 1 组成的 u 要让学生 对数本身真正意义的理解 就要帮助学生建立数位及计数单位的概念 而对计数 单位认识的深度 将直接影响学生理解数的意义 所以 要深层的认识十进制计 数系统 以其做支撑 来帮助学生理解数的意义 长期研究培养学生数感的英国学者朱莉娅 安吉莱瑞指出 数感是高度个 性化的产物 它不仅和孩子们已有的数概念相联系 也和怎样形成这些概念相 8 第二章文献综述 联系 数概念是儿童数学能力发展中的一个重要支撑 它的发展是学生 今后数学学习的基础 而且是学生思维能力发展的桥梁n 9 综上所述 数感是一种用数字和运算法则进行灵活解决问题的能力 而数 概念是指对数本质的理解 包括数的意义 数的大小顺序 数的组成 数概念的 理解有利于提升学生的数感 所以要注重数概念的教学 特别是数字之间的大小 关系 多种的表达形式 不同的运算意义 数的组成与算理之间的关联 这些不 仅能加深学生对数概念的理解和掌握 还能提高学生的数感 2 1 4 基数与序数的区别 数概念包括基数和序数两个方面 数作为基数 数被用来作为集合的势的标 记 即元素的个数 属于 几个 的问题 数作为序数 数被用来作为一 个有序排列中元素秩序的位置的标记 属于 第几个 的问题乜2 l 计数活动是认识自然数的重要途径 通过计数过程可以得到基数 计数的过 程也存在着对应 即 集合中元素的个数与数字之间的对应 在计数过程中 个体会理解数的实际意义 如 3 是指三个物体 还会感悟数的顺序 如2 在3 之前 3 在2 之后 序数指有序列结构和顺序意义的数 顺序意义是对于一个系 统而言的 如一周里的星期几 年里的月份或是字母表中的字母 数的顺序意 义包括自然数的顺序 每个数在自然数列中的位置 数与数间的顺序关系幢引 有研究显示早期婴儿已有初级的序数概念 但往往与基数概念分不开 主要 体现在数间的大小 顺序关系 与基数的表征能力的获得不同 人类个体对序数 的表征能力似乎更早 有研究显示 多数3 岁多的幼儿能从1 数到1 0 但是若问7 和9 哪个多 大都不知道 4 岁多的幼儿能答对的也不到一半 这说明孩子虽然学 习到了数词的顺序 但并不知道其所代表的数量意义 只有在理解数字在一个序 列中与它的数量有关的每个位置后 儿童才会理解它们的基数意义心3 1 在西方国家基数 t w o 与序数 s e c o n d 有不同的表达方式 而在我国只需要 在基数前面加一个 第 有研究表明从幼儿至小学四年级 我国学生序数的计 数能力明显强于国外乜3 在小学低年级可以通过给物说数和比较多少两项任务对 基数概念进行考察 通过圆点排序和选序数两项任务对序数概念进行考察n7 l 2 2 数感形成的心理学和思维论基础 9 第二章文献综述 数感涉及到数学概念 数学思想 技能等多种领域的共同发展 从认知心理 学的角度来看 数感与元认知能力有关 数感主要体现在个体确定数学问题答 案的数量大小 数字类型及选择适当的计算方式 而这和个体的元认知操作有密 切联系 所以元认知训练能有效促进学生数感的发展 k a m ii 1 9 8 9 也提及 教 师应当将焦点放于儿童的思维上 鼓励儿童说说自己是怎么想的 探索不同的解 题策略 而不是答案的精确性乜引 数感的形成与发展与个体的认知特点 数概念的形成 数学思维的发展特 征有密切的联系 瑞士心理学家琼 皮亚杰在儿童的认知领域有很深入的研究 他把人的发展分为四个阶段 l 感知运动阶段 s e n s o r i m o t o rs t a g e 0 2 岁 2 前运算阶段 p r e p e r a t i o n a ls t a g e 2 7 岁 3 具体运算阶段 c o n c r e t e o p e r a t i o n a ls t a g e 7 一1 1 岁 4 形式运算阶段 f o r m a l0 p e r a t i o n a ls t a g e l l 1 6 岁 他认为 第一阶段儿童主要是靠手的抓取和嘴的吸吮来探索周围的 世界 本阶段儿童还不能用语言和抽象符号为事物命名 第二阶段已能将前期阶 段获得的感觉运动行为模式内化为表象或形象模式 且具有了符号功能 能运用 语言或较为抽象的符号来代表他们经历过的事物 但这一阶段的儿童还不能很好 地掌握概念的概括性和一般性 第三阶段的儿童已经获得了长度 体积 重量和 面积等的守恒 思维可以逆转 能借助具体的事物或具体事物的表象进行逻辑思 维和群集运算 但儿童的思维还停留于具体事物的支撑 抽象思维还不行 第四 阶段的儿童能发现命题之间的关系 能够根据逻辑推理 归纳或演绎的方式来解 决问题 能理解符号的意义 隐喻和直喻 能做一定的概括 其思维发展水平已 接近成人的水平n 1 皮亚杰在人的发展的第一阶段中认为 人类触觉本能的渐进发展是数学概 念形成的前提条件 这个观点对学前教育产生重要的影响 人们越来越重视智力 玩具的开发 道理就是如此 因为许多精心设计的玩具可以帮助儿童感受事物的 特征 发展重要的认知技能 这为正规的数学教育做好了重要的准备 在小学阶 段教师的教学方法也都以在动手操作中认识物体的属性 理解数概念u 1 从人类思维方式上来看 可以分为逻辑思维和直觉思维 两者是相辅相成 不可分割的 数感多少与人的一种对数 对问题解决的直觉有关 认知心理学研 究表明 直觉实质上是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进行敏锐的分 析 推理 并能迅速发现解决问题的方向或途径的思维形式 所以数感的发展与 抽象逻辑思维是紧密相连的比 第二章文献综述 2 3 儿童数感的发展特征 在近几年我国从 估算和数感 角度研究儿童数感发展特征的结论有 估 算能力 数数能力 视觉空间认知能力对于学前儿童具有显著的年龄差异 而且 这三种能力在4 5 岁期间是快速发展的时期 随着数量的加大 学前儿童估算 的精确度会明显下降 数数能力的发展和视觉空间认知能力的发展能带动学前儿 童数量估算能力的发展m 3 随着年龄的增长学前儿童会使用多种数量估算策略 如大班儿童估算策略的使用要优于小班幼儿 儿童数感的发展与年龄有关 与性 别无关 学前儿童对于数概念 顺数 实物比较和数符号辨认 的理解要优于 倒 数和序数 汹3 3 6 岁儿童有一定的数量估算能力 但合理估算的水平比较低 而且受估算数量大小的影响很大 3 6 岁儿童的基数概念能力 数感发展和 数量估算能力三者之间具有显著的正向相关心引 在近几年我国从 学生年龄差异 角度研究儿童数感发展特征的结论有 随 着年级的升高 学生的数感表现呈现逐步提升的趋势 二年级学生的数感发展要 落后于三 四 五 六年级很多 三四年级之间 四五年级之间学生数感的发展 差异不大 但五六年级之间学生的数感发展有明显的差异 学生数感的发展在小 学阶段整体上分为三个阶段 一二年级学生为第一个阶段 三 四 五年级学生 为第二个阶段 六年级学生为第三个阶段n 1 随着年级的上升 男生在某些领域 中的数感要胜于女生 表现为 男生习惯于从位置制概念 数的组成 数的多种 表示 数字的估算方面去解决问题 而女生更倾向于使用运算的意义去解决问题 b 引 从数感整体来讲 男女生之间不存在显著的性别差异 但7 年级的男女生之 间存在着显著性差异 男生的数感要优于女生心7 在近几年我国从 数感的内涵 角度研究儿童数感发展特征的结论有 6 7 年级的学生大多用程序性的机械计算获取答案 而不擅长使用概念性的理解去解 决问题 引 小学四年级学生在数感五个板块上的表现比较好的是 了解整数的 意义 比较整数的大小 了解整数运算的结果 比较弱的是 合成与分解整数 发展不同的计算策略 口5 j 数感起源与发展问题主要概括为生物遗传和经验习 得两个方面 儿童数感发展中的差异主要数学基础 阅读技能 元认知和语言文 化背景因素 其中 认知加工与文化背景 对儿童数感发展水平的影响更大口朝1 所有学生表现较好的是 数的意义的理解 运算意义的理解 表现较弱的是 恰 当策略 如估算 分解和重组数字等 的运用 对数与数之间关系的理解 而基 准量的运用则是学生最为薄弱的方面 我国七年级学生强于准确计算 并能有效 11 第二章文献综述 理解数的意义和大小 擅长于借助用小数意义的理解来认识分数 对分数运算的 意义和作用不能充分理解 数的等量表征方式单一 不能合理地选择度量基准 不会灵活地选择估算的方法口2 i 在近几年我国从 地区差异和学习兴趣 角度研究儿童数感发展特征的结 论有 从不同区域来讲 同学校同年级的学生在数感发展上不存在显著差异性 不同学校同年级的六年级学生在数感发展上存在一定程度的地区差异性 靠近交 通方便 文化先进的地区的学生数感发展较快 4 i 在地区差别上城市优于农村 在三个向度 了解整数的意义 比较整数的大小 合成与分解整数 上城市学生 优于农村学生 但在 了解整数运算的结果和发展不同的计算策略 上农村学生 优于城市学生 但差异不显著口引 数感和数学学习兴趣之间在5 和6 年级学生 中存在显著的相关性 但在7 年级学生中是不相关的 笔者还发现学生的数感和 数学成绩之间没有相关性乜7 1 综上所诉 我国小学生数感发展的特征可以概括为以下几点 一 小学阶段学生数感的发展水平随着年级的增长而逐步提高 第一阶段 为一二年级 第二阶段为三 四 五年级 二 小学生的数感与数学成绩之间不存在正比的关系 但和数学学习兴 趣之间存在显著的相关性乜7 三 绝大多数的学生不习惯运用估算去解决问题 而习惯于运用精确计算 来解决问题 擅长机械计算获取答案 而不擅长运用概念性的理解去解决问题 四 3 6 岁儿童的基数概念能力 数感发展和数量估算能力三者之间具有 显著的正向相关 由上可以估测到培养小学生数感的策略是 关注学生年龄阶段性的区别 关 注兴趣的情感因素 关注概念和估算的教学 关注在动手实践中掌握知识和运用 策略 2 4 小学生数感培养的内容及相关的测试要素和教学内容 2 4 1 小学生数感培养的内容 第二章文献综述 关于数感的理论成分前面已说过 由于研究者的角度不同而略有差异 但多 数研究者认为青少年数感的核心成分是感知大小数虽 辨别数字模式 比较数字 大小和估计数量 计算和完成简单的数字形式转换b 2 4 2 数感的测试要素 有研究者把数感量表的编制确定为五种成分 了解数字的意义和关系 在具 体情境中应用数字与比较大小 以多重方式表征数字 发展运算策略 判断数量 合理性 此结果与国外先前研究 s o w d e r 1 9 9 4 m c i n t o s h e ta 1 1 9 9 7 r e y s e ta 1 1 9 9 9 j o r d e n 2 0 0 6 基本一致 3 7 1 2 4 3 小学数学教学内容 数与代数 是数感领域的一个重要概念 在人教版的 教师教学用书 中 关于培养和发展学生数感的教学建议涉及了 数与代数 领域的几个重要内容 不难看出入教版教材在培养学生的数感上主要注重培养学生理解数的意义 即对 数概念的理解 其中又更侧重于对整数和小数的数概念的理解汹1 所涉及的内容 有 一年级上2 0 以内数的认识和计算以及加减法应用题含义的理解 一下是1 0 0 以内数的认识和加减法的计算 二年级的表内乘除法 千以内数的认识与表达以 及三位数加减法的横式计算和竖式计算 三年级的一位数乘除多位数 单位换算 和量感建立 四年级上册大数的认识 下册小数的加减法 五年级上册小数的乘 法 平均数的应用 现在上海地区使用的上教版教材在小学阶段数学知识的安排如附录二 2 5 有关 小学生数感培养策略 的文献资料 2 5 1 国外学者对小学生数感培养的研究观点 研究者 y a n g 2 0 0 3 设计了过程导向的教学模型 帮助教师有效的把数感 活动整合进课堂中 杨德清 2 0 0 2 进一步证明六年级学生的数感能通过过程导 向的教学模型而得到发展 雷斯 r e y s 1 9 9 4 提出 发展学生的数感的有效方 式是给学习的过程提供一些引导 如鼓励有意义的讨论 探究 思考和推理等 几个研究 m a r k o v i t s s o w d e r 1 9 9 4 y a n g 2 0 0 2 y a n g r e y s 2 0 0 1 他 们证明有效的数学教学应该集中于学习过程 13 第二章文献综述 总之 研究者为数感教学归纳了三个教学原则 提供丰富的能进行数字和数 量关系连接的活动 探索和讨论概念 确定一个适宜的概念理解顺序 g r i f f i n 2 0 0 4 但数感并不是直接的教学目标 它应该被看作是其它学习的副产品 g r e e n o 1 9 9 1 它是在培养好奇心的环境中 通过在各种背景下探索数字和 观察数字而逐渐发展的 h o w d e n 1 9 8 9 2 5 2 国内学者对小学生数感培养的研究观点 国内学者早期的观点有 史宁中 吕世虎在2 0 0 6 年5 月数学教育学报上发表 的文章 对数感及其教学的思考 中的主要观点 数感发展的关键期是低学段 教学需要学生亲身经历实践与理性思考的有机结合n 引 叶蓓蓓在数学教育学报 2 0 0 4 年第5 期发表的文章 对数感的再认识与思考 中的主要观点 注重概念 教学 注重培养学生的估算能力畸1 张红波在 借鉴古人思想培养学生数感 一文中的观点 在数学教学中可以让学生感受生活数学 体验数据大小 经历 估算过程 参与实践活动 鼓励大胆猜想 自觉质疑反思 0 马云鹏 史炳星 在2 0 0 2 年1 1 月数学教育学报发表文章 认识数感与发展数感 中的观点 在数 概念教学与数的运算教学中指导学生解决现实问题 重视数学教学过程 重视数 概念教学 重视判断运算方法和运算结果 注重结合具体的问题选择恰当的算法 陈亚萍 付茁在2 0 0 7 年1 1 月 教学与策略 中发表文章 数感的含义 价值 及其对课程改革的启示 中的观点 重视理解数的意义 在具体情境中认识数 紧密结合数的读写和计算 重视十进制计数法对理解数的意义的作用 培养学生 的估算能力 重视用学生的语言和数学语言去解释现实问题 重视问题解决h 1 国内学者近期的观点有 南京师范大学2 0 l o 届硕士论文李妍的 小学生数感 培养的教学策略研究 中的主要观点 在生活情境中 在动手操作中 在估算 中 在解决问题中培养数感乜引 罗玉华在2 0 0 8 年教育探索中发表的文章 数学课 程改革中的 数感 中的主要观点 重视对数的含义和数的运算意义的理解 重视用自己的语言解释数学和用数学语言解释现实问题 重视问题解决活动口引 杨承军 陈炳建在2 0 1 0 年第1 期佳木斯教育学院学报发表的文章 唤起经验 注 重体验 让孩子心中有 数 小学生 数感 培养实践探究 文中主要观 点 注重学生把所学知识与生活经验联系起来 在知识的构建过程中注重有意 识地引导学生动手操作 重视纵横比较寻求联系 9 骆晓 徐明夏在2 0 0 9 年发表 的文章 人教版小学数感内容设置与分析 中指出 注重在数概念的教学中创 立现实情境 注重在理解数概念和阅读数学故事的过程中学会用多种方法表示 1 4 第二章文献综述 数 注重在理解数概念和解决问题的过程中把握数的相对大小关系 注重利用生 活中的数字和在解决问题的过程中渗透数能用来表达和交流信息的思想 注重培 养学生能为解决问题选择适当的算法的能力 注重在运算中培养学生的估算能力 乜9 j 鲁海西在中国科技创新导刊2 0 1 0 年9 月发表文章 浅谈小学生数感的培养策 略 中的观点 注重生活体验 动手操作 比较估算 交流表达h 0 刘军在 2 0 1 0 年1 2 月 中国校外教育 中发表文章 小学生数感培养探析 他的观点一 一结合生活 自主探索 动手实践 加强估算 解决问题 数感的形成是一个潜 移默化的过程 需要教师长期的在教学中创造性地运用教材 利用身边的数学素 材h2 l 郑锡瑜 赵玉玲在2 0 1 0 年1 2 月 延边教育学院学报 中发表文章 小学生 数感培养策略浅谈 她们的观点 在体验中 在比较中 在表达与交流中 在解决问题中培养学生数感 用不同的方式思考和解决问题h 3 2 6 本章小结及本论文研究的问题 以上的文献资料阐述了数的来源 数的计算工具 数感的内涵及其构成要素 数概念与数感的区别 基数与序数的区别 数感形成的心理学和思维论基础 儿 童数感的发展特征 小学生数感培养的内容及相关的测试要素和教学内容以及有 关小学生数感的培养策略 结合以上的文献资料 所以本研究以一年级至五年级的学生为研究主体 研 究的内容主要是依据小学生数感的发展规律研究有效的课堂数感培养策略 本