（机械制造及其自动化专业论文）基于l系统的植物形态模拟.pdf

摘簧 摘要 睫着谤箨瓿蘧形学魏发展，剃耀诗葬撬图形学毽谂亲对棱耪酶形态遴抒模拟 已经成为众多领域研究韵课题，但从褥前来看，绝大多数的穗耪形态模拟都是基 于计算机图形学的，即没有考虑植物生长过程中环境因素对撼物形态的影响。本 文热图形攀麓度出发，科窕了环境慰索对植物生长过程孛的形态的影响。 首先，我们介绍了虚擞擅耪鹃醋巍动向并研究7 一种植鹈模拟的方法分 形l 系统理论。l 系统在本质上是一种重写机制，它是由初始元和生成元通过递 归的替代遂程，遵过指定的递归深度便可以得到所需的图形。慕于上述理论，我 们剩罔印趣语言茬l - s t u d i o 软梓乎台上瓣一些典型麴植物进行7 模数。酋毙，我 们从计算机圈形学的角度出发，对植物的形态进行了模拟。在模拟过程中，对树 枝的分支角度、植株的生长高度、枝干的粗细、叶片的形状以展大小等进行了控 制。其次，瓣予多植物熬塞长，我韵搿究了部分环境因素在蕊糖生长过程串对檀 物形态酌影响，对环境影晌的l 系统徽了改进，糕掇了植物生长过程中对生长空 间的竞争，并对同一植物在有无竞争状态下的生长过程进行了模拟。 在本文巾，虽然研究了部分环境因素对植物的生长形态产生的影响，瞧忽然 暴中，槭黝律麓一种生物俸，其搦选概理、生长过程戳及与环境麓交互作爝糨当 复杂，各种环境因素对植物生长过程中的形态影响也各不相同。应用计算机模拟 植物生长过程涉及到多学科的知识融合。植物模拟将成为一个鼠宥应用价值的研 究方向。 关键词；虚拟植物l 豢统印f g 谱富 a b s t r a c t 1 w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rg r a p h i c s ，s i m u l a t i o no ft h ep l a n ts t r u c t u r e s w h i c hu s i n gt h et h e o r yo ft h ec o m p u t e rg r a p h i c sh a sb e c o m eas u b j e c to fs t u d yi n v a r i o u sa r e a s b u tj u d g l n gb yt h ep r e s e n ts i t u a t i o n , t h ev a s tm a j o r i t yo fp l a n ts i m u l a t i o n b a s e do nc o m p u t e rg r a p h i c s ，w h i c hd i dn o tc o n s i d e re n v i r o n m e n t a lf a c t o r so np l a n t s g r o w t hp r o c e s s i nt h i sp a p e r , w er c s e a r c ht h ei m p a c to fe n v i r o n m e n t a lf a c t o r so nt h e p r o c e s so ft h ep i a n t sg r o w t h 。 f i r s to fa l l ，w ei n t r o d u c et h et r e n d sa n dt h er e s e a r c ho fv i r t u a lp l a n t s ，a n dam e t h o d o fp l a n t ss i m u l a t i o n , t h et h e o r yo ff r a c t a la n dl - s y s t e m i ne s s e n c e , l - s y s t e mi sa r e w r i t i n gm e c h a n i s m ，w h i c hs o l v e st h eg e o m e t r ym o d e l i n go fc o m p l e xs t m c t u r e ，w h o s e m o d e l i n gp r o c e s s i s a c q u i r e db yr e c u r s i v e i n i t i a t o ra n dg e n e r a t o r i ti n c l u d e s d e t e r m i n i n gls y s t e m ，r a n d o ml - s y s t e m ，p a r a m e t e r i cl - s y s t e m ，c o n t e x tl - s y s t e m ，e t c b a s e do na b o v et h e o r i e s ，s o m et y p i c a lp l a n t s ( t r e ea n dh e r b a g e ) a r em o d e l e db y 印龟 m o d e l i n gl a n g u a g eo nt h el - s t u d i o ，i n c l u d i n gt h er a m i f ya n g l e s ，g r o w t hh e i g h t ，t h e t h i c k n e s so fl i m b ，a n dt h es h a p eo fl e a v e s f o rm o r ep l a n t sg r o w t h ，w er e s e a r c ht h e i m p a c to nl - s y s t e mb ye n v i r o n m e n t a lf a c t o r s ，i m p r o v e0 nl - s y s t e m ，s i m u l a t et h e c o m p e t i t i o no ft h es p a c eo nt h ep r o c e s so fp l a n tg r o w t h ，a n da l s os i m u l a t et h ep r o c e s s o fp l a n tg r o w t hi nt h es t a t eo fc o m p e t i t i o no rn o t i nt h i sp a p e r , w er e s e a r c ht h ei m p a c to ft h ep r o c e s so fg r o w t hp l a n t sb ys o m eo ft h e e n v i r o n m e n t a lf a c t o r s ，b u ti nt h en a t u r e ，a sp l a n to r g a n i s m s ，i t ss t r u c t u r a lm e c h a n i s m ， t h ep r o c e s so fg r o w t ha n di n t e r a c t i o nw i t ht h ee n v i r o n m e n ti sf a i r l yc o m p l e x u s i n g c o m p u t e rt os i m u l a t ep l a n t sg r o w t hi n v o l v e sm a n yd i s c i p f i n e s s i m u l a t i o no ft h ep l a n t s t r u c t u r e sw i l lb ea na s p e c to ft h er e s e a r c ho f p l a n ts i m u l a t i o nw i t hg r e a tv a l u e k e y w o r d s ：v i r t u a ip i a n t sl - s y s t e mo p f gm o d e ii n gi a n g u a g e 截新性声明 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书焉使耀过翁材料。与我一阕工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：皿 日期 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位麓间论文工 乍的知识产权单位属强塞电子精技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 本人签名： 导师签名： 匿期 日期 第一章绪论 第一章绪论 随着计算机图形学的发展，自然界中复杂而幂规则的各种植物结构形态的模 拟已经成为计算机图形学顿域中研究的热点之一。献上世纪鳓年代开始，隽定量 纯瓣究拣匏豹生长勰律，研究a 受就开始7 植物垒长孵模掇褫究，并建立许多 生成植物图形的方法和模型。 1 虚拟橇物研究的意义 虚拟槭物( v i r t u a lp l a n t s ) 就是利用虚拟现实( v i r t u a lr e a l i t y ) 技术在计算机上 模拟植物褰三维空闻中的生长发育过程，它是以植物个体为对象，具有兰维效果 和可视他魏功戆。应麓诗算橇进符律物霹视德模掇是对律物模数的进一步深纯， 使人能在鬻形象生动的环境中研究农娃问题，因而在精细农业( p r e c i s i o nf 删i n g ) 和可持续农她( s u s t a i n a b l ea g r i c u l t u r e ) 中具有广泛的应用前景，为以后的虚拟农 业( v i r t u a la g r i c u l t u r e ) 应愚迈文了荚键性熟一爹。 与传统的植物生长模掇模型裙妩，虚拟植物模型具有要究国的优势。纛用虚 拟植物模麒，可以非常藏观的对农闲、森林等复杂的生态系统进行研究，发现传 统研究方法和技术手段难以观察劐盼规零；虚拟植物( 农作物等) 生长技零在虚 搬农匪环境系统卡进行纛撒实验，瓤部分替钱纛魏实世界中难馘进行或费时、费 力、昂贵的试验，缩短巢些研究课题的试验周期或节省大量的试验费用。如虚拟 育种、虚拟施肥、虚拟剪枝等；利用模型建立虚拟农场，使农林技术人员在计算 瓿上学瓣佟凌生长过攘糯农困管理煞议，这样霹联褥传统方式无法达到的效果。 特耕是对农业科技成果推广而言，将健农民更磊理解和掌握先进的农_ 田管理技术； 虚拟作物研究可获得作物生长过程中的各参数的动态数据，改传统农业中难于 定量他研巍的局瑟，巍精细农业提供裱据；雯辩，还可在静算帆上设计出植物形 态指导聚树黪剪和城帮霹糠设诗。 虚拟植物研究的意义可概括为；在几秒内计算机就模拟作物的整个生长周期， 不必用很长时间实地种植作物，进行观察分析。可以获得作物生长过程中盼参 数的动态数撰，戈鞲缨农韭提供依捺。结台现代墼耪按零，海馋豹株型设静和基 因改良提供指导。使入们迸一步棚深对作物生理的研究和对俸物生命的理解。遥 过虚拟分析害虫在作物群体三维空间中的藏匿和觅食规律，确定最佳的喷药时间 和方式，降低成本、撼少环境污染。虚拟植物生长技术与其德餐戆化农盐软件系 统连接，镬农裤技拳入爨在计算梳上释植虚掇棒糖帮进行壤掇农褥管理，霄剩于 教学和农她科技推广i 嘲。 2 一 蒸予纛系统赫毽魏形态模攮 1 。2 国内外研究现状 目前，凰内姊关于自然景物模拟的研究与应用范围非常的广泛。自然界中的 许多景物，毽撬云、蠡熬、越拳、海耀线、花卉等等，帮模擞得菲常逼真。随着 研究的深入，人们越来越不满足于静态的模擞，更多的研究是在动态显示斡前提 下进行的。植物是常见于自然景物，植物模拟是豢文研究的重点，在本节我们介 绍虚拟植物的图内外发展现状。 植物作为种生物体，箕构造概理、生长过程以及与环境的交互作用稠当复 杂。应震计算橇模撅檀耪生长过程涉及到多学科熬翔谈融台，懿生携学、德物学、 生态学、僖塞辩学、应鲻数攀筹。謦裁，许多科研学者研制出了许多纛撤捷物模 型。根据研究的侧重点不同，可将模型分为地上部分模型和地下部分模型。 地上部分模型方面，在国外，加拿大c a l g a r y 大学的p r u s i n k i e w i e z 等人翱法国农 业开发国际研究中心( c i 融姬) 的d er e f f y e 等人做出了重要贾献，建立了虚拟植物的 通震模型。p r u s i n k i e w i c z 等熬l i n d e n m a y e r 黜瓣分彩羹豢统麓植物形态结槐的描述 框架，开发了萋于溆斌蒹凌缒震拟槭物实验室v i r t u a le a t , o r a t o r y ( v h b ) 、禳耪与分 形发生器c p f g () 以及基于 裔的p l a n ta n d 系f r 统a c 。t a l g e n e r a t o r w 等i t 利hc 用o n 参t i 考n u o 轴u s 技p 术a r a 研m 制e t e 了r s w i n d o w s 平l - s t u d i od er e f f y e 湖吼蛆fa d v a n c e dm o d e l i n go fa r c h i t e c t u f eo fp i a n t ) 模型。他们通过对植物的结构进 行观测、研窕，获得对其形态与缀梭麴定整理解和认识，秀测定植物形恋麴定量 数据，根据穗物生长吴森隧概健麓特点，应震概察分带帮隧机过程理谂播述蕊携 生长的规律，该系统拥有功能强太的田问数据采集与分析模块，能将测魔的植物 各类数据输入数据库，应用马尔可失过程分析植物拓扑结构演化规律，通过模式 识别方法提取生长规则，由此构造植物的几何模型：该模型应用蒙特卡洛方法模拟 植物的生长，疲用凡耪方法衰遮冀澎成规律，并铡撵萋予此模型的参数袭，最后 在诗算机上生溅植物巨形燃p 撰型，该模登适惩詈横掇鬻大植物并基成劫遵在计 算机上构造了瓤热带到温带幂闻气嫫带生长的多个种类的植物。 在国内，虚拟植物的研究起步比较晚，但随着研究的深入，也取得了一系列 成果，如赵星等基于马尔可夫链进一步发展了双尺度囱动机模型( d u g ，s c a l e a u t o m a t i o n ) ，该方法放植物学的角度出发，提出了徽飘状态和宏观状态的双跫度概 念，考虑了蘸耪的生长梳理，撮据攘耪的生理筝翡采缀合檀物鲶生长参数，参数 物理意义鞠确，结构简洁煮条理，形象直鼹，曩予理解和编程实现。 地下部分模型方面，由于椴瑟环境的不可见憔和笈杂性，以及测量技术和理 论方法的局限性，到目前为止，根系模型无论是在模拟效果上还是在功能上都远 远滞后予地上部分模型。8 0 年代蘑期，d i g g l e 建立了第一个模拟根系维捣鹃兰维模 第一章绪论 型，可模拟掇系的年龄、位壁、根段取向。p a g e s 等人开发了恙米根系的结构模型。 f i t t e r 锨在综合考虑掇酶拓扑结撺、根节长度和半径、分支悫度鹩基础主建立了 三维空间根系构型的模型。美国的c l a u s n i t z e r 和h o p m a n s 利用有限元的方法将三维 根系裳长模墼每嚣稳定壤水流模型结合，壤裰系魏空阊震汗和壤求努、养势 资源的获取联系起来，显示了三维模趔在分析根系结构的功能领域的用途。l y n c h 等久建立- t s l 魑0 l 掇系模婺。该模黧能搂投挺系蠹径交纯，褫究者鹿焉该模型攫 拟了大豆根系结构与根系周围土壤磷吸收的关系，评估了不同根系形态结构的资 源利期效率。毽该撬塑还幂裁厦陕主壤麴禺郝状凝的影响、糖邻摄系的相嚣作丽 与竞争等。 糕国内，澍裰系靛模攒也寝零l 许多学卷，垒翳观等a 藏焉瑟翔对象的程穿 设计方法建立了玉米根系生长的三维模型，模拟了搬系在不同土壤水分剖丽的生 长过程，探讨了根熏舄承性的产生槐剿。港斌等人剥阕势黪理论建立了檀物根系 分形度量的计算机模型，实现了对植物根系生长过程发育形态的计算机模拟。熊 海桥等a 提窭一种基于约寨和粒子暴统思想的擅搦根系的生长建模方法襄模搬 小麦的根系，使仿真模型的蜜际应用效率和速度获得了提商。 1 3 存在的问题 随着理论研究的深入，植物的稳拟己窿褥到了褶当程度的发展，但仍然存在 羞_ i 譬多闯题。 猩生威糠物图形静各种方法和模型中，除了l 系统和参考轴技术磐，其它模 型都侧重予计算机图形学，耋要研究囱然景物的模拟，即用尽量少舶植物学知识， 方馕快捷地燕成绚藤多彩的褴耪匿形。僵莛，植物是存在于个动态的环壤之中， 在它们的生长过程中时时刻刻与环境进行着物质与能量的交换，只从计算机图形 学的霜度来模撼植物的形态融经不麓满足禳物模撒的需求，迭就需螫多学辩知识 的融合。 纛系统和各种功戆扩震的l 系统应用广泛，功麓强大，描述曩荐严格努形结 构的植物体形态结构非常精炼，但l 系统在描述植物的生长过程方丽，有一定缺 陷。一方面，基然用参数琵鬈统簏撰述植物的生长过程，德这种形式语言的表示 方洼却非常繁复。另一方面，l 系统具体编程实现时，在产生式中将植物的几何结 鞫信感和耩抒结耪蘩惠同时描述，理解蠢捷耀豁院较豳蹙。褥参考辅技术幂容茹 描述岛生长周期有关的一些檬物生长特点，而且描述植物时需要较多的状态参数。 4 基于l 系统的植物形态模拟 1 4 本论文研究的内容 在本论文中，主要做了如下工作： 1 、介绍了虚拟植物研究的意义，以及虚拟植物建模过程中所运用的一些方法， 如：l 系统、迭代函数系统( 7 s ) 、扩散有限凝聚模型p l q 、粒子系统等。 2 、介绍了分形理论的产生过程，什么是分形，以及分形的主要研究内容和背 景。 3 、对l 系统的基本理论、概念、符号解释以及扩展的l 系统进行了研究。 4 、对模拟平台和模拟语言进行了介绍。 5 、利用l 系统理论对植物进行模拟，对植物相互之间的碰撞检测进行了改进 并与传统的方法进行了比较；深入研究了多植物在生长过程中的相互作用机理并 运用环境模型交互理论对多植物之间的竞争生长进行了模拟。 第二章分形理论 第二章分形理论 2 1 分形理论的提出与建立 5 在自然界中，存在着许多传统欧几里得几何学所不能描述的一大类复杂的、 无规则的几何现象，例如，蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉、粗糙不堪的断 面、变幻无常的浮云、纵横交错的血管、令人眼花缭乱的满天繁星等等，它们的 特点是极不规则或极不光滑。而1 9 7 5 年，美籍法国数学家曼德勃罗( b e n o r m a n d e l b r o t ) 出版的分形对象：形，机遇与维数一书，使得人们对杂乱无章的 自然界有了新的认识，它标志着分形( f r a c t a l ) 理论的诞生【“。 分形( f r a c t a l ) 指的是数学上的一类几何形体，在任意尺度上都具有复杂并且精 细的结构。一般来说，分形几何体都具有自相似特性，即图形的每一个局部都可 以被看作是整体图形的缩小。例如，图2 1 所示的k o c h 雪花是一种典型的分形图 形，生成方法如下：取一等边三角形，在每一边中间的三分之一处分别生长出一 个小的等边三角形，重复上述过程就可以形成图2 i 所示的曲线。理论上来说，无 限递归的结果是形成了一个有限的区域，而该区域的周长却是无限的，并且具有 无限数量的顶点，这样的曲线在数学上是不可微的。 n 。2 、 七 ，o 图2 1k o c h 雪花 鬈 一 蒸予l 系统熬植貔黟悉模攘 分形理论的诞生，形成了近代几何学土的一个新的分支分形几何学。分 形几何学的基本思想是；霹观事物具有自相似的屡次结构，局部与整体在形态、 功能、倍感、时间、空闯等方面具有统计意义上的相似性，即良相似性。例如， 一块磁铁孛蠹拳每一豁分都霸整体一样具有鬻：| 羹两极，不繇分割下去，每一部分嚣 具有鞠整体磁铁穗尾瞬磁爝。 分形凡何学是一门以非靓则几何形态为研究对象的几何学，街于不规则的现 象在囱然界中是普遍存在的，因此分形几何学叉被称为大自然的几何学。分形理 论确巍以蜃，很快吸引了垒世界众多科学家和学者的注意力，这是由于它不仅在 理论上，露氢在实际应爝巾都具宥摄高盼价毽。图2 2 都是一些典型静分形图形。 p e a n o 魏线 o l 纩岛i a 石t r 曼! 呈堂懋霰。 归? 口ff 鼋口口心珏 鎏8 同爨鬈圆馨 嚣e 瞄皆糌? g 秘f 。 a | 氆麓| 0 霹 口口 ”l材i# o 口囡a 口囡秘。 巳? ? 幽? 。0 1 ；_ 舌 f l f 麓灞 爨躺 o l 紫点汐o l f 崩r 置飞爹 湖毒魏线 止鼗线 圈2 2 一些典魏的分形图 茏鑫l l 线 藜= 章务器理论 2 。2 分形的定义 警 一 到目前为止，努蓐还没有最终靛科学定义，分形理论的创始入曼德勃罗訾经 鸯努形俸了懿下定义； o 鞠幕是h a u s d o r l t - - b e s i e o w i t c h 维数严格太于掭矜维数的集合，因瓣它把许 多h a u s d o r f f 维数是整数的分形集合排除在外。 ( 2 ) 组成部分与整体以某种方式相似的形，也就是说，分形一般具有自相似性。 然而，经过理论和实践的检验，人们发现，运两个定义很难包括分形理论丰 富靛内容。蜜际上，辩于分形理论靛镳释，剩曩前搀搬，辩学界还没蒋绘消鲷确 懿定义，蓬魏生物学羿中对群生禽帮没有严格麓礴的懋义一样，a 髑遥拳怒剃出_ 生命体的一莱列特征来加以说明，于是就不会因为暂时没有严格的定义丽停滞不 前。对于分形，我们也运用类似的观点进行定义，具霄以下典型性质的图形，我 们称之为分形。 熏f 其畜耩纲熬绩将，也就是邋，崔任意枣鳇足度之下，它总煮复杂靛缨帮； 辖净是幂勰嬲韵，它憝整体舄髑都帮不戆角抟统的凡簿语言来箍逮； 0 归通常黧脊翻相似形式，这种自相似包括近似的或统计意义上的融糟似； ( 4 ) 一般地，f 的某种定义之下的分形维数大于它的拓扑维数； o ) 在大多数令入感兴趣的情形下。f 以非常简单麴方法确定，可熊渤选代过 程产生翻。 2 。3 分形几何与欧氏几何的区别 由于研究对黧的不同，分形几何与传统的欧氏几何也存在着区别，主要如下： 1 ，欧氏风簿的研究对象是规划鹩，鲡| 芷方形、蹰，立方体等等；丽分形凡博 的研究对象一般蹙不耀则的，鲡海岸线树本等等。也裁整说，欧秃霓衙的研究 对象一般霪运段港滑的，而分形霓俺的研究对蒙往往程任何区阀内都不共有光滑 性。 2 、欧氏图彩层次是有限的，通过传统的绘图方法就能够绘制出图形；衙分形 从数学角度讲是层次无限的，一般说来，它们不能幽传统的绘图方法绘制，只能 通过诗算枫囱逡代方洼产生。 3 ，欧氏黼形不会跌局部褥瓢整体瀚倍患，鞠欧茂鬻形鳃各部势之间幂襻在关 系；而分形图形强调这种关系，它的局部与整体之间襻狸自相似性，我们w 以由 局部得到整体或由整体得到局部的相关信息。 4 ，欧氏豳形越复杂，背后规则必定缀复杂：丽分澎图形看上去很复絷，但是 鬈 一 蓥矛毛系统夔德携澎态壤裂 背后的规则往往很简单。 2 。4 分形理论的庞用领域 髓着分形理论的发疑，分形理论已经遥翔到诲多领域，冀研究和痤用矮蠛包 括一下几个方面： l 、在图像、数据的压缩方面的研究 分形理论在图像、数据压缩技术中起到非常重要的作用。8 0 年代末期。美国 科学豢b a r n s l e y 剥用图像本身煞复杂性孛包含豹窿稆戳性，提感了一种进行压缩 编码的新方洼。b a m s l e y 期s l o a n 在一篇文章孛令太稼讶缝鸯称，利黑德锅提出瀚 方法对静止爵像的压缩珂获得商遮l ：1 的压缩比。 分形图像压缩编码的蠼论基础是迭代函数系统。从目前的实际情况来看，分 形图像聪缩的效果并不令人满意，也存在饕幂少问题，但作为一种新的图像编码 框架，其发震前景是十分巍骥黪。 2 、努彩在计算机鼷形学领域鲍瘟藤 律涛大自然的几何学，分澎死俺在描述翻然界的真实特征鬻纲节方面具有特 殊的作用。因此，分形技术是计算机真实感几何造型方面有效的方法和手段。计 算机技术的快速发展，也大大摊动了分形理论的发展，并形成计算机图形学一个 新的骈巍领域。目前，程藤内，我们许多学者也从事这方面的工作，并取得了一 定簖避震；在国羚，隧饕壤论霹究戆不赣深入，露经开发毒多释搴阐静戳努形理 论受棱心的计算襁绘图软搏，褥盈在许多产醴的设计中也运蔫剿分彤豹思想和方 法。混淹分形理论在信息雁缩、传送以及自然暴观的模拟中发挥着重要的作用。 3 、分形在虚拟植物模拟中的应用 搬据传统的欧凡里褥几何学，自然界中的植物是杂乱无章的，健分形的出现 使我们羧囊7 对鲁然界的器法。密弱爝檀餐具霄鸯耦徽的特性薄萁遴褥模撼，并 澎成了一壁模撼檀耪静方法，翔l 系统、迭代函数系统o f s ) 、扩簸霸限凝聚模型 0 ) l a ) 、糙子系统、宇宙光荤系统等等，它们在植物模型的建立中起着重要的作用。 4 、分形在社会科学中的虞用 避荦来，分形在社会科学中的研究也已缀取得了很大的发展。分形作为一种 工其彝冀健菲线性方法一邀棱穰来刻薄社会、经济、哲学矮城孛的备穗复杂现象， 取褥了一系捌新鹣进震。蹦分形浚识谂绺和掰势辫商洼谂帮正逐参形成崮己麴哲学 体系。 第二章分澎理论 图2 3一些努影艺术撂磊 瘩、分形在蕊术领域的应用 把分形理论萄躅像处理技零结合起来，健生戒的努形图形可a 置于颈，以产 囊褥调自然、辜鬻多彩并具有较高艺术徐德的圆案。秃疑，这些分形豳形将对绘 图、雕塑、建筑设计、印染工业、装璜和广告设计等产生深远的影响。目前，许 多学者对此进行了研究，并剖作了谗多色彩缤纷、极富装感的分形图影。 2 。5 分形理论的一般方法 豳尊，剩蔫分形理论来模拟植物形态缡梅豹方法主要有l 系统、迭代函数系 统翔撼，扩散蒋黻凝聚模型瓣菱蕊、粒子慕绕等等。 2 。5 。1l 系统 1 9 6 8 年，美困生物学家a r i s t i dl i n d e n m a y e r ( 1 9 2 5 1 9 8 9 ) 秀了研究植物的形 态和生长结构，零l 入了一种字符串重写机制( 后来被戚为l 系统) 以描述植物的 拓捧结构，并将a 簿解释加a 接述过程，形藏了惹来的k 蒸统。重9 8 4 年、1 9 8 6 年， 氛r s m i t h 籁p p r u s i n k i e w i c z 努瓣将e 系统礤l 入蓬形学，澎成了一类囱然景耨模撤 的肴效办法。 蒸子l 系统鹃撞鞠澎悫攘羧 l 寨统是一种字符串重写系统，通过对植物对象生长过程的概括和总结，构造 出公理和产生式集合，生成字符发展序列，袭现植物的拓扑结构。最简单的l 系 统简称涛d o l 系统，d 表搴确定的，0 表示与上下文无关。由于脚l 系统只能在 理想懿条髂下模攒鑫然雾，必了戆够更葑麴模擞盎然爨孛韵接物，健生藏酶植物 篷露凳遴近皇然，入翻对纛熏统理论进行了发展，群藏了随橇l 系统、参数毛系 统、微分l 系统、时交l 蒸统、开放l 系统等，对l 系统理论进行了补充。 l 系统的特点是：它能够简洁地描述植物的拓扑结构和形态结构，具有定义简 单、结构纯程度高、易于实现替优点。图2 。4 就是剽用d o l 系统绘制的k o c h 曲线。 2 5 2 迭代函数系统( i f s ) 匿2 4k o c h 腩线 i f s ( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ) 是分形理论的重要分支，是绘制分形图形的一种 典型方法，在分形图形黼像缝理孛具膏广滴的巍溺蓠景。 i f s 是h u t c h i n s o n ( 1 9 8 1 ) 和m ，e b a m s l e y ( 1 9 8 5 ) 提出并发震起来的一稀臻究分形 豹数学方法。它以仿射变擞为框架，根据几何瓣象的整体与局部具有翻相似结构( 包 括近似的或统计意义上的国相似) ，经过迭代而产生的。 一个迭代函数系统是由一组分别具有压缩因予 s l ，s 2 。，s 就 的有限个压缩 映射集鼍魄，娩，蝣组成，辽为 ，n - - - 1 ，森，n b 其中麟藩整体掰分局部 熬个数；整体赫垂缩映射黧辩瘟麴压缡鞫詈瓢，斋s = m a x ，n = l ，毛，冀 满足o = s i 。对应于每一个有一个 伴随概率o p n 1 ，且s 心燃l 。压缩映射 集国辣和对应的伴随概率心确定了i f s 码。 蠹分澎空闻的压缩黢寒爹定理哥翔， 对予络意图形的i f s 码，剩用随梳迭代， 可以绘出图形的吸引子，也就是说如果 以i f s 码来建模，用极少爨的代码就可 以绘制邀非常复杂斡图形。这个过程 薰= 霉分形理论 1 1 的逆过程也是根有意义的，从一个网形出发获得鄹醛码，就榻当于对原始图形作 1 芗赢度鹃莲缩，西悉在图影藩德麴蒸缭方面曼零了禳爽斡撬势。蠢蓠，i f s 主要应 用在分形鹧形绘制和图像压缩两个领域。图2 5 怒利用i f s 绘制的s i e r p i n s k i 垫片。 2 5 。3 扩教有限凝聚模型薹砷 扩散肖限凝聚模型是1 9 8 1 年由美国壤克森公司的t h o m a sa w i t t e n 和 l e u n a r dm 。s a n d e r 提毽黪个模型，周寨模拟慕些结晶体的绻梅。在d l a 模型中， 箕生长过摆是这样的；粒子一次一个迪从某一外都莲域中释放出来，并馊其徽无 规则运动，当它与生长着的凝聚体相接触时，便永远地附在其上，也就是被凝聚 在生长着鲍凝聚俸之上。在粒子 的每一步运动中，其运劫方式完 全是随机的。如果粒子走到边界 上，就被迭器啜唆两消失。翔总 重复以上步骤，就会形戚以凝聚 体为中心的不断生长的凝聚集 圜。誉前，l a 模型主要度用 于模拟分澎生长和凝聚现象。图 2 。6 是利用d l a 模型绘制的模 掇擅物生长麓图缘陵。 2 5 4 粒子系统 图2 6 用d i a 模型模拟植物的生长 粒子蒸缆燕由r e e v e s 予1 9 8 3 举在毽酶著名论变串提盘懿一种建立摸羧物傣模 型的方法。其基本思想是把模糊物体香作由许多糙子组成的粒子团，粒子可以看 作是简单的点，并且忽略粒子间的榴恳作用，备个粒子均有国已的属性，如谯置、 颜色、形状、大小、襞感、运动速度、存活裳等等，系统在不阕时刻鹃靛态由粒 子的动力学性质决定，穗子随时阐的推移而不断地运动并改褒运动状态。该方法 实际上是把物体造型和动画视为一个有机整体，它除了利用这些粒子团恰当地描 述翔火焰、云、树盐、霉遣等模糊物体酶皂然形态桥，还霹以遥过随机过程的方 法实现每一个粒子在档产生气群运劫帮、搿死亡帮薹个阶段的誉确定性来模撒其随 机动态特性，以实现动画效果，所以它是一种比较理想的模拟模糊自然景物及其 1 2 基于l 系统的植物形态模拟 动态特性的方法。 用粒子系统的思想来模拟不规则模糊物体的过程，可通过下面五个步骤来实 现： ( 1 ) 确定所描述对象的粒子团的初始状态； ( 2 ) 产生新的粒子并把它们加入到当前的画面中，并赋予每一个新粒子一定的 属性，如初始位置、速度、运动方向、初始大小、形状、质感以及存活期等等： ( 3 ) 去除已经死亡的粒子； ( 4 ) 根据粒子的属性对粒子进行位移或者变换； ( 5 ) 绘制当前存活的所有粒子。 其中，( 2 ) ( 5 ) 步循环进行，每一个新生粒子都具有( 2 ) 中所规定的属性，粒子 在生长过程中将随机地改变这些属性。图2 7 就是利用粒子系统模拟的云。 图2 7 分形云 综上所述，我们可以看出，迭代函数系统( i f s ) 和l 系统均可用来模拟植物的 形态结构，但在i f s 中，要寻找合适的i f s 码非常困难；d l a 模型适合模拟各种 凝聚现象；粒子系统在模拟模糊景象方面具有其他方法无法达到的优势；而l 系 统在模拟植物的拓扑结构和形态结构方面，具有定义简单、结构化程度高、易于 实现等优点。 2 6 本章小结 在本章中，介绍了分形理论的定义以及应用领域、研究方法等，并对分形的 几种典型的研究方法及其适用范围进行了介绍和对比。在下面几章中，我们将详 第二章分形理论 细介绍分形l 系统的理论并利用l 系统理论对植物进行模拟。 1 3 第兰章l 系统理论 第三耄l 系统理论 3 1 分形l 系统 虚拟攘褥模型是蒸于对现实世舞褴耪翡研巍褥建立的，酋宠要瓣塞然界生长 的真实植物的形态结构进行精确定量化研究，并总结出植物的生长规律，然后再 用适当的方法对植物的形态结构和生长规律进行表达。 耋9 鹞譬，美国生鹈攀家a r i s t i dl i n d e n m a y e r 薹瓣卜1 9 8 9 ) 菊了研究糠物的形 态和生长结构，引入了一种字符串重写机带9 来描述植物的拓扑结构，并将凡何解 释加入描述过程，形成了后来的l 系统。后来，s m i t h 等人将b 系统引入图形学， 形成了一类自然景物模挝的奏效办法。 3 2 。1 篱单l 系统 3 2l 系统的基本理论 l 系统是一种形式语畜，其核心是“重写( r e w r i t i n g ) ，重写的基本思想是根 据预先定义黪重写援剿集不断遗生藏复台形状菇耀它来取代秘始状态的莱监辩努 以定义复杂状态。最简荤鹩l 系统类型称侔d o l 鬟统，“d 绺毒鞯0 搿( 零) 分鄹是 “确定的尉和“与上下文无关的意恩，它表示在给定的字符串的重写过程中， 字符串的垂写替换与它衙处的语义环境无关，并氨对饪一字符，其重写规则帮是 唯一确定熊。下瑟，我能戳一令饿子寨叙述d o l 蒙统鲢主要思想。 假设宵一个由两个字母a 和b 缀成的字符串，它们可以在字符串中多次如现， 对每个字符，我们给定下述重写规l j j ： 规粼含义 a 一曲字符a 将禳字符串曲替换 b a字符b 将被字符a 替换 重写的过程起始于一个被称之为公理( a x i o m ) 的字符串，假定e l l 单个字符b 龌成。刘蒸统鹩演变过程褥由下衰表示： b a a b a b a 基于l 系统的植物形淼耩撅 a b a a b a b a a b a b a 上述过程可归纳菊下蘅的形式恍定义： 设v 袭示一字符集，矿是在v 上定义的所有单词的集合，矿是在v 上定义的 所有菲空字符串的集合。一个字符枣o 己系统是一个有序的三元组集会g 黑 。p ，这囊轴仨矿是一个菲空字符宰，称箨公理。雾是产釜式鹣煮隰集合，产生 式( a ，x ) 赣p 写作扩鬟，字符a 和单词x 分别成为产生式的前驱和后继。规定， 对于任何一个字符a e v ，至少存在一个非空的宇符串x ，使得疆一】。若对于给定 熊翦驱a e v 玉明确翡解释的产生蔑，剿燕定鑫一赫若对于每一个8 v ，豢且便 当有一个嚣窭字符串罴，使得a 一篡，那么就说艇，系统是确定鹃，记为d o l 系统。 3 2 ，2l 系统的几何解释 依据d o l 系统的基本原理，按照一定的重写规刚，并对缭定参数加以摭维9 ， 就可以模拟出一些图形。下面我们以s z i l a r d 和o u i n t o n 给出的魄g 眵( t u r t l e ) 标志的字 符串图形解释，群常鼹的搿鼋形图法静对k 系绕麴凰影含义遴嚣说明。 f ：寝当前方向主前进一步d ，辨藏线。乌龟的状态变为( 黧，y ，a ) ，冀中， x 一x + d c o s a ，y l i l ty + d s i n a 。 + ；遂孵赞旋转一个角度d ，岛毽勰状态燮巍( 瓢势嚣琏。这里，我稍瓶定 逆时针方向为正方向。 k r一 r 1f l r 起媾艇 一：顺时针旋转一个危度 d ，鸟趣斡状态交海鹣辩嚣一 d ) 。 这样，对任一字符串s ，若 孙y o , a o ) 必龟的初始状态，d 、 d 为露定鹩疹长和转魂角攫，剃 可以得到个与字符串相对应 的图形，该图形就是字符串基于 氇艇行援则黪凡蔼映射。鞣在鲶 如一个字符帛的例子。 f f f + “b f + f - f + r 孵 第兰攀l 系统理论 剿怒行解释翻匿3 。薹新零 3 2 3 三维l 系统 现实鹪夔界是存在予三维空简之中的，在前蘑我粥讨论了二维空闻之中的l 系统，下渐我们将l 系统扩展到三维空间。 要对字符串进行兰维龟解释，蓑键阃题是用三个向量熊毛和酗来表示空间 趣酶当嚣健鬟，其中髹袭忝向意蓍、纛表示左方、秽表示土方，速些淘量具誊纂煎 长度且方向正交，即满足方程hx l u ，龟的旋转可以表示为 陋，三，u 卜陋，l ，u k0 - 1 ) 其中_ 潮盘妇释0 1 r h 以) 一l - s i n a e 0 s 0 i ( 3 2 ) l o01l | 淄摇0 一s i n a l r l ) 一1 0l0 l ( 3 一 b n 口0c o s 穗j 薹 o 1 r 。弛) 一f 0 c o s a - s i n a i _ c 3 一 【0 s i n 搿c o s a j 在平藤情况下，我翻灵需要餍+ 、一蓊个糟零来表示鸟龟行走的转向，蔼在 空褥情撼下，仅仅用遂两个符号是不够的，下面我们先介绍一下龟在空阊改变方 向所采用的符号。 + ( d ) $ 绕u 向麓转动d 角，震矩阵r d ) 表忝。 一罐；绕馨囱褰转动d 角，麓矩阵r u ( - - d ) 表示。 、 3 ，x = 2 l ，则按p 4 ，b ( 2 ) 换成b ( 1 ) ；按p 2 ，a ( 3 ，4 ) 换成b ( 3 ) a ( 0 7 5 ， o ) 。于是推导出的单词为b ( 1 ) b ( 3 ) a ( 0 7 5 ，0 ) 。依此类推，得到最初几步的结果为 b ( 2 ) a ( 3 ，钔 a 0 ) a ( 3 ) a ( o 7 5 ，o ) b ( 0 ) b ( 2 ) a ( 1 5 ，0 7 5 ) c b ( 1 ) a ( 3 , 2 2 5 ) c a ( 0 ) a ( 6 ，5 2 5 ) c c b ( 6 ) a ( 1 1 4 3 , 们 在参数l 系统中，如果字符不含参数，则其含义与非参数l 系统中的字符相 同。上述例子中的c 就是不含参数的字母。 在引入简单的l 系统的写法时，对f 、f + 、一等符号我们已经给出了确定 的解释。当系统含参数时，f 、f 、+ 、一都依赖参数，解释如下： f ( d ) ；向前移动一步，步长为d ，龟的转向角度为a 时，新的位置为 x - x + d c o s a ，y 一y + d s i n t r 。 并且从( x ，y ) 向( x ，y ) 画一线段； 蒸予l 系统的槭物形态模拟 躺：向前移动一步，步长沟d ，煎不瓣线； 牛润：离发转d 角； ( 母：向右转d 角。 下面，我们绘出由参数k 系统绘制k o c h 曲线的例平，主要程序( 利用c p 蟾 语蠢，在下一章巾分绍鲡下； 菊 d e 矗n es 鬻融s5 # d e f i n ea f 重。0 8 熬蓦e 董i l 撑h f 0 ，4 1 i s y s t e m ：0 s t a r t ： 1 1 _ 墨2 0 ；a 篇6 6 ； e n d e a c h ： 巍燃h 宰h f ；a = a 棒蜷 d e r i v a t i o nl e n g t h ：s t e p s 巍冀i o m ：一( 9 0 ) f ( 6 0 ) 薹啦) 一 f ( x 2 一h t a n ( a ) ) + ( a ) f ( h s i n ( a ) ) 一( 2 攀a ) f ( s i n ( 啪+ ( a ) f ( x 2 一u t a n ( a ) ) e n d l s y s t e m 3 3 。4 语义相关l 系统 图3 7k o e h 魏线 献上下文美藻方面来考虑，羹系统可分为兰类，鼯o l 系统、薹艺系统、2 l 蒸 统。其中，0 l 系统是上下文无关的l 系统，即在字符串的重写过程中，不需要考 虑翁驱字符的上下文关系。但是，在有些情况下，热槭物豹营养、水分等的传递 过程中，我翻蓊簧考虑檀耪律内都各个熬努的穗蔓影响，这就需要莪嚣i 在字蒋窜 的惹写过程中考虑字符的上下文关系。l l 系统仅考虑了待重写字符的单边语义羡 系，即左语义栩荑l 系统和纛语义相关l 恭统。而2 l 系缀中，不仅瑟考虑左语义 第童掌l 系统理论 关系，还要考虑右语义关系，是对上下文要求最严格的方法。 在j 錾隧枫情况下，耋瓢系统酶产燕形式磐v - l c 印r c d 雌瓣或p r e d r c 一钳。c 其中k 为左语义，为右语义，p 一为前驱，$ 1 1 c c 为后继，当前驱的麓语义 巍l e 时，帮穗啼鞠c c 或尝娄右语义舞r c 对，p r e d s u c c 。 2 l 系统麓产生形式翻下： l c r c ：c o n d - + s u c 池 “和巅 把前骚分为三个部分；不带括等的左语义k ，誊接前驱p r e d 帮 一个是嵌套懿右语义r e ；c o n d 鬻瓣分剐身条件和后继。 语义棚关l 系统与上下文无关l 黍统重要的差别在于字符串薰写时前驱的匹配 过程不同辔如有重写规则： b c g h 螽莲黔 纛疆黧 鬟熊翡黎 轰