（应用数学专业论文）多维数值积分的数论方法及其在结构可靠度分析中的应用.pdf

摘要 蒙特卡罗方法是计算多维数值积分和结构失效概率的有效方法，原理和程序 结构简单、收敛的概率性和收敛速度和问题维数无关、具有很好的适应性，但由 于蒙特卡罗方法收敛速度慢，计算量大，特别是所得到的只能是概率误差，而不 是真正的误差。蒙特卡罗方法计算积分时，对固定的n 来说，影响结果好坏的 主要是伪随机数序列的均匀性。引进数论方法中比随机数序列更为均匀的具有低 偏差的一致分布点集，用来代替伪随机数序列以提高计算效率和精度，而且用数 论方法求解多维数值积分和结构失效概率得到的是真正的误差，避免了蒙特卡罗 方法所得概率误差的缺陷。 用g l p 点集( 好格子点集) 、h a l t o n 点集、h a l t o nl e a p e d 点集、h a m m e r s l e y 点集、华王点集和随机数序列对三个数值积分算例的计算结果进行比较可知， g l p 点集的计算误差较小且计算时间较短，随机数序列的计算误差最大。通过 四个结构可靠度算例可知g l p 点集、h a t o nl e a p e d 和h u a w a n g 点集计算较好， 但h a l t o nl e a p e d 点集计算时闯较长，h u a - w a n g 点集计算多维数值积分的误差较 大，所以g l p 点集的总体计算效率最高，蒙特卡罗方法的计算效率最差，而且 结果波动较大。 重要性抽样能提高蒙特卡罗方法的效率，通过算例可知重要性抽样同样能提 高多维数值积分和结构可靠度计算的数论方法的效率。 关键词：数值积分、数论方法、蒙特卡罗、结构可靠度 a b s t r a c t m o n t ec a r l om e t h o d ( m c m ) i sa ne 瓶c i e n tm e t h o di nn u m e r i c a lm u l t i p l e i n t e g r a l sa n de s t i m a t i o no ff a i l u r ep r o b a b i l i t i e sf o rs t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y t h em e t h o d a n dt h ep r o g r a ms t r u c t u r ea r es i m p l e ，t h ec o n v e r g e n c ep r o b a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e r a t ea r ei n d e p e n d e n tw i t ht h ed i m e n s i o nsa n di th a sg o o da d a p t a b i l i t yi nd i f f e r e n t s i t u a t i o n s t t o w e v e r , c o n v e r g e n c e r a t eo fm c mi sl o wa n dm c m r e q u i r e sl o n g c a l c u l a t i o n e s p e c i a l l yi st h a tm c mg o tt h ee r r o ri nt h es e n s eo fp r o b a b i l i t y , n o t t h e u s u a ls e n s eo fe r r o r f o rm c mi n c o m p u t a t i o no fm u l t i d i m e n s i o n a li n t e g r a l s ，t h e r e s u l ti sd e p e n d e n to nt h eu n i f o r m i t yo ft h eq u a s i - r a n d o ms e q u e n c e so fn u m b e r sf o ra f i x e dn t h e r e f o r e t h e r e p l a c e m e n to fq u a s i r a n d o ms e q u e n c e s o fn u m b e r sb y u n i f o r m l yd i s t r i b u t e ds e t sw i t hl o wd i s c r e p a n c y ( n u m b e r t h e o r e t i c a lm e t h o dm t m 的 c a ni m p r o v et h ee 街c i e n c ya n da c c u r a c va n dt h er e s u l tw i t hu n i f o r m l yd i s t r i b u t e d s e t sg o tt h eu s u a ls e n s eo f e r r o r r e s u l to ft h r e en u m e r i c a lm u l t i p l ei n t e g r a l sw i t hg l p ( g o o dl a t t i c ep o i n t ) s e t s ， h a l t o ns e t s ，h a l t o nl e a p e ds e t s ，h a m m e r s l e ys e t s ，h u a w a n gs e t sa n d q u a s i r a n d o m s e q u e n c e s s h o wt h a tg l ps e t s g o t l e s se r r o ra n dn e e d sl e s sc a l c u l a t i o n s q u a s i r a n d o ms e q u e n c e sg o t t h el a r g e s te r r o r ：f o u re x a m p l e sf o re s t i m a t i 0 1 2o ff a i l u r e p r o b a b i l i t i e ss h o w r e s u l t sw i t hg l ps e t s h a l t o nl e a p e ds e t sa n dh u n - w a n gs e t sg o t t h el e s se r r o r , b u th a l t o n l e a p e ds e t sn e e d sl o n g e rc a l c u l a t i o n s h u a w a n gs e t sl e a d s m o r ee r r o ri nn u m e r i c a lm u l t i p l ei n t e g r a l s s og l ps e t si st h em o s te m c i e n tf o r e s t i m a t i o no ff a i l u r e p r o b a b i l i t i e so v e r a l l h o w e v e r , r e s u l tw i t hq u a s i + r a n d o m s e q u e n c e sl e a d st ob i g g e s t e r r o ra n di su n c e r t a i n t y i m p o n m l c es a m p l i n gi sw i d e l yu s e di nm c m e x a m p l e ss h o wt h a ti m p o r t a n c e s a m p l i n g e a r la l s o i m p r o v et h ee m c i e n c y o fn u m b e rt h e o r e f i c a lm e t h o df o r n u m e r i c a lm u l t i p l ei n t e g r a l sa n de s t i m a t i o no ff a i l u r ep r o b a b i l i t i e sf o rs t m c t u r a l r e l i a b i l i t y k e yw o r d s ：n u m e r i c a li n t e g r a l s ；n u m b e rt h e o r e t i cm e t h o d ；m o n t ec a r l om e t h o d ； s t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y ； 7 日u 日 多维数值积分的蒙特卡罗方法的原理和程序结构简单、收敛的概率性和收敛 速度和问题维数无关、具有很好的适应性，但由于多维数值积分的蒙特卡罗方法 收敛速度慢，计算量大，特别是所得到的只能是概率误差，而不是真正的误差。 蒙特卡罗方法计算积分时，对固定的计算结点n 来说，影响结果好坏的主要是 伪随机数序列的均匀性。引进数论方法中的较随机数序列更为均匀的具有低偏差 的一致分布点集，用来代替伪随机数序列以提高计算效率和精度，而且用数论方 法求解多维数值积分得到的是真正的误差，避免了蒙特卡罗方法所得概率误差的 缺陷。 结构失效概率可用数值积分的方式求得，蒙特卡罗方法是求解结构失效概率 的相对精确法，用数论方法可以进一步提高蒙特卡罗方法的计算效率，并且得到 的是真正的误差。 本文的创新点在于： ( 1 ) 用数论方法和蒙特卡罗方法对多维数值积分的计算结果进行了比较， 得知数论方法比蒙特卡罗方法精度高； ( 2 ) 在一致分布点集中，通过多维数值积分算例计算得知g l p 点集比h a l t o n 点集、h a l t o nl e a p e d 点集、h a m m e r s l e y 点集和华一王点集计算误差小： ( 3 ) 将数论方法引进结构失效概率的计算中，算例计算表明用g l p 点集的 计算结果比蒙特卡罗方法的计算结果精度高、稳定而且所得误差为真正意义上的 误差： ( 4 ) 重要性抽样同样能提高数论方法计算结构失效概率的效率。 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：，1 矽桫 学位论文使用授权说明： 2 0 0 5 年5 月2 2 日 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术 期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或 电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相致。除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权 河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： ! 兰望坐 2 0 0 5 年5 月2 2 日 1 1 多维数值积分概述 第一章绪论 计算定积分 ，= if ( x ) d x( 1 、1 ) 的时候，如果能确定被积函数f ( x ) 的原函数f ( x ) ，即f ( x ) = f ( x ) ，则积分值可精确地 算出，事实上 i2j 。，( 膏) 出= f ( 6 ) 一f ( 口) ( 1 2 ) 但是，在实际计算( 1 1 ) 的过程中，由于被积函数f ( x ) 的原函数往往不能由显函数表出或 显函数表达式过于繁杂而不适于计算，甚至有些被积函数只是若干离散点上的量值。对 于这样的情况，我们常常采用数值积分方法来计算定积分。数值积分方法，是从近似计 算的角度，采用某种数值计算的过程来求出定积分的近似值【l 】。 当维数s = 1 时，我们可以采用梯形公式或辛普森公式等方法来计算式( 1 1 ) 。考察在 0 ，l 】区间内的梯形公式： 胁) d x “喜w ，圯j s ， 其中n 为大于零的自然数，积分系数：u ：三，。，：一1 ，( 1 f ”一1 ) ，当被积函数 f ( x ) 在 o ，1 上有连续的二阶导数时，误差阶为o ( n 。) 。 当s 2 时，可以用累次积分法进行求解： f ：f ( x ) d x 案- 鼢叫，书 4 ， 其中，5 = o ，1 5 为s 维单位空间，w i 为积分系数。式( 1 4 ) 中总结点为n = + 1 ) 5 ，当被 积函数在1 _ e 有连续的二阶偏导时，即a 2 f & ，2 ( 1 i s ) 在5 上连续时，式( 1 4 ) 的误 差阶为o ( n 。“) 。当维数s 增加时，精度将急剧降低，即如果要保持一定的精度，当维 数增加时，计算量将迅速增加，导致“维数的灾难”，所以这类方法不适用 2 。 二十世纪四十年代发展的蒙特卡罗方法( m o n t ec a r l om e t h o d ) 能避免高维数值积 分中“维数的灾难”问题。 蒙特卡罗方法又称随机模拟( r a n d o ms i m u l a t i o n ) 、统计试验( s t a t i s t i c a lt e s t i n g ， s t a t i s t i c a lt r i a l s ) 或计算机随机模拟方法，是统计抽样与计算数学相结合的方法。这一方 法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数 学家冯诺伊曼用摩纳哥的著名赌城m o n t ec a r l o 来命名这种方法口j 。 蒙特卡罗方法在计算高维数值积分中的特点是：方法和程序结构简单、收敛的概率 性和收敛速度与所论问题的维数无关、具有很好的适应性。但是收敛速度慢，计算量大， 特别是所得到的只能是概率误差，而不是真正的误差 3 - 4 。 用蒙特卡罗方法计算积分时，对固定的求积结点数n 来说，影响结果好坏的主要是 伪随机数序列的均匀性。如果能用一个人为设计的高度均匀化的数列来代替随机数序 列，则计算精度能得到提高。而数论方法中的具有低偏差的一致分布点集较随机数序列 更为均匀，用来代替伪随机数序列可以提高计算效率和精度，而且用数论方法求解多维 数值积分得到的是真正的误差，避免了蒙特卡罗方法所得概率误差的缺陷，而且对于某 些函数族来说，这种逼近的误差主阶已经臻于至善了 5 , 6 1 。 当i ( f 2 ) o 。时，在概率意义下，多维数值积分的蒙特卡罗方法的平均收敛速度为 0 0 开) ，但存在一致分布点集使误差阶为o ( n 。( 1 0 9 功“) ，优于蒙特卡罗方法i t l 。 利用数论方法进行多维数值积分的关键问题是选取一个均匀散布的点集，k o r o b o v 1 8 , 9 ，华罗庚与王元 1 0 , 1 1 1 ，h a l t o n1 1 2 1 与h l a w k a 1 3 建议了各种方法以获得s 维单位立方体 c 3 上的低偏差点集，这些集合也称为c 3 上的数论网格( n t - n e t ) 。目前常用点集有g l p 点集( 好格子点集，g o o d l a t t i c e p o i n ts e t ) 、g p 点集( 好点集，g o o d p o i n ts e t ) 、h - 点集( h a l t o n 点集) 及其变体、h a r m a a e r s l e y 集合、h a b e r 序列等，其中“华王点集”就属于g p 点集。 1 9 9 6 年方开泰和王元指出：g l p 点集是通过模n 得到的集合，这一集合在实际中 最为有用而且便于计算【7 j 。 令，= ( _ ，0 ) c 。，集合 若前n 项构成的点集只有偏差 ，i ，碌k = 1 , 2 ，( 1 5 ) d ( n ，只) c ( r ，e ) n 。1 ” = 1 , 2 ( 1 6 ) 则称集合“，g k , k = 1 , 2 ，为g p 点集，而r 为个好点，其中有平方根序列、 华王点集【1 1 1 等。 h a l t o n 点集方法基于自然数的p 进制表示【1 2 ，而h a l t o n 点集的一些变体比h a l t o n 点集偏差更小，如h m l m a e r s l e y 点集、攀登的h a l t o n 点集、f a u r e 序列。 在上述几种主要的点集中，如果n 较d , n i 菱好用g l p 集合：在增加网格点时，g l p 集合需从头开始，但g p 点集和h a l t o n 点集只需在已有点集上添加部分点集；h a l t o n 点 集的计算量最大，所以只适合小维数问题p 1 。 1 2 结构可靠度概述 结构的安全性、适用性和耐久性这三者总称为结构的可靠性，可靠度是可靠性的数 量描述。结构的可靠度指的是结构或构件在规定的时间内，在规定的条件下具备预定功 能的概率 1 5 , 1 6 1 。 材料性能、构件尺寸以及结构的外来作用都是随机的几何量或物理量，而不是确定 的单值量，事物本身的模糊性和我们对于事物认知的不完善性都是不确定性因素，结构 可靠度理论就是因为工程结构设计中存在的一些不确定性因素而产生和发展的。 1 3 结构可靠度的常用计算方法 在结构可靠度分析当中，结构构件功能函数z 。( x ) 出现小于零( z x ( x ) 0 ) 的概率 称为该构件的失效概率p ，户，值可通过多维积分计算求得1 6 】： p ，= p ( z z ( x ) o ) = f d ，厶 = 小) 0 p ( x i ，x 2 , x s ) d x ，a 5 ：z d x ， ( 1 7 ) 式中x = 阮，z ：，z 。y 是s 维随机变量，表示结构上的作用效应、结构构件的性能等 基本随机变量； ( x ) = f ( x ，x ：，x 。) 是基本随机变量x 的联合概率密度函数；结构的 功能函数z x ( z ) = g ( x 。，x 2 ，b ) ；当z j ( z ) 0 时， 结构处于可靠状态；当瓦( x ) = 0 时，结构达到极限状态：d f 是与z 。( x ) 0 相对应的失 效区域。 式( 1 7 ) 的计算通常使用一次二阶矩法或二次二阶矩法1 1 扣1 ”，即用结构功能函数 的一次项或二次项和随机变量( 或当量正态化随机变量) 的前二阶矩来进行可靠度近似 计算。 次二阶矩法的中心思想是非正态随机变量的正态变换及非线性功能函数的线性 化从而进行结构可靠度的近似计算，该类方法是一种近似的计算方法，但由于计算精度 能够满足一般工程需求，所以具有很强的适用性。均值一次二阶矩法、改进的一次二阶 矩法、j c 法、几何法都是以一次二阶矩法为基础的可靠度计算方法【1 5 , 1 6 l 。 二次二阶矩法考虑了结构功能函数的二次非线性项，其数学基础是数值逼近中的拉 普拉斯( l a p l a c e ) 渐近原理。当结构功能函数或经映射变换后的结构功能函数的非线性 程度较高，只考虑功能函数一次项的一次二阶矩方法的计算精度不能满足工程应用要求 的情况而提出“1 6 “9 棚j 。同理，有些学者提出了四阶矩方法f 2 l 】。k o u t s o u r e l a k i s 及g i s c h u e l l e r l 2 副提出了一种在高维情况下适用并且对隐性功能函数计算效率较高的“线性抽 样”方法( 1 i n es a m p l i n g ) 。 当一次二阶矩法和二次二阶矩法不能满足精度要求或需校核时，可采用蒙特卡罗方 法用于结构可靠度计算，蒙特卡罗方法( m o n t ec a r l om e t h o d ) 是求解失效概率适应性 强且相对精确的方法 1 5 , 1 6 , 2 4 】。 1 4 结构可靠度分析的蒙特卡罗方法和数论方法 1 4 1 蒙特卡罗方法 式( 1 ，7 ) 失效概率的计算实质上是在失效区域d ，上的积分值，而蒙特卡罗方法适用 性广，不受问题的维数影响，因此在结构可靠度计算上得到广泛应用。在数学上蒙特卡 罗方法被认为是精度较低的方法，但是在结构可靠度分析上却是相对精度较高的方法 1 3 1 5 , 1 6 。 文献【1 5 】建议抽样次数n 必须满足n 1 0 0 p f ，p f 为预先估计的失效概率，一般在o 1 以下，所以一般n 在十万次以上，计算量太大。所以研究如何减少抽样次数以适应工程 上的计算要求是个很有意义的研究问题。在抽样的过程中，方差越小，模拟的精度也 越高，所以降低估计值的方差，是减少模拟次数，提高模拟精度的手段之一。 缩减方差的技术有对偶抽样法、条件期望抽样法、重要抽样法、分层抽样法、控制 变数法和相关抽样法等【i “。对于结构可靠度问题，应用最多、也最为有效的是重要抽样 法，包括一般重要抽样法、渐近重要抽样法、更新重要抽样法、方向重要抽样法等 2 4 , 2 5 。 影响蒙特卡罗方法结果好坏的主要是伪随机数序列的均匀性，而数论中的一致分布 点集比随机数序列更为均匀，所以用数论方法来进行结构可靠度计算能提高计算效率。 1 4 2 数论方法 d a v i dr o b i n s o n 将数论方法用于可靠度计算 2 6 】，他用h a l t o n 点集、h a l t o nl e a p e d 点集、h a l t o nr r 2 点集、h a m m e r s l e y 点集和拉丁超立方抽样方法计算了结构失效概率， 认为在这些点集中h a l t o nl e a p e d 点集的计算结果较好。但h a l t o n 点集及其变体h a l t o n l e a p e d 等点集所需计算量大且只适用于维数小的情况下，而好格子点集( g l p ) 及华 王点集所需计算量小口】，所以本文用g l p 点集和华王点集进行结构失效概率的计算并 与h a l t o n 、h a l t o nl e a p e d 及h a m m e r s l e y 点集的计算结果作了比较，以期能找出一种适 合可靠度计算误差小、效率高的点集。 本文用g l p 点集、h a l t o n 点集、h a l t o nl e a p e d 点集、h a m m e r s l e y 点集、h u a - w a n g 点集和随机数序列对三个数值积分算例和四个结构可靠度算例进行了计算比较，数值积 分算例一考察线性的草变量的和，算例二和算例三考察变量乘积型、多极值点的函数。 结构可靠度四个算例分别考察点集的均匀度、极限状态函数为高度非线性、双曲线型、 “噪声”型功能函数下的结果，每个算例都计算了直接抽样和重要性抽样。结构可靠度 算例一在维数3 时增加计算了均匀格子点集作比较，并且计算了不同抽样中心和抽样函 数方差时的结果。 由于蒙特卡罗方法是可靠度分析中较精确的方法，但是计算量大，因此，改进蒙特 卡罗方法提高该方法的效率有较大的现实意义。 1 5 研究方法和本文内容 本文引进几种一致分布点集，从点集的均匀度上改进蒙特卡罗方法。用这几种点集 和随机数系列对数值积分算例进行计算，比较计算结果可验证点集的均匀度的优劣。同 样，用这些点集和随机数系列计算结构失效概率，考察结构可靠度计算的蒙特卡罗方法 和数论方法及数论方法中各点集的计算效率的高低，从而选择结构可靠度计算的较优点 集。 本文共分六章，内容如下： 第一章为绪论，介绍了多维数值积分和结构可靠度，对多维数值积分的数论方法和 结构可靠度计算的蒙特卡罗方法进行了介绍，提出用数论方法进行结构可靠度计算的构 想以提高结构可靠度计算的计算效率。 第二章介绍了几种数论点集和随机数序列。主要介绍了g l p 点集、h a l t o n 点集、 h a l t o nl e a p e d 点集、h a n m a e r s l e y 点集、华王点集、均匀格子点集和随机数序列的产生 方法、误差及特点，并比较了计算机生成各点集的计算时间。 第三章主要讨论了数论点集在数值积分应用上的可行性和被积函数周期化对计算效 率的影响。通过三个数值积分算例对各种点集的计算结果进行比较，从而对各点集的均 匀度进行比较。 第四章讨论了结构可靠度的蒙特卡罗方法，用数论点集构造了结构可靠度的数论方 法。对蒙特卡罗方法的直接抽样和重要性抽样进行了比较，同理构造结构可靠度计算的 数论方法的直接抽样和重要性抽样。选取了四个结构可靠度算例进行计算，对各数论点 集和蒙特卡罗方法的计算结果进行比较。选取了四个算例以检验各点集在不同情况下的 计算效率，算例一和算例二的极限状态函数分别为线性和高度非线性，算例三的极限状 态函数为双曲线型，算例四为噪声型函数。 第五章为本文结论和展望。 2 1 一致分布点集 第二章一致分布点集及随机数 定义2 1 哆令s 为一一正整数及c 5 表示s 维空间的单位立方体 0 x 1 玉1 ，- t ，0 x 。s 1( 2 1 ) 令n 为一正整数及 只( ) = ( x l 砷( 后) ，x s ( n ) ( 尼) ) ，1 k 心( 2 2 ) 表示c 5 中的一个点集，其中 0 x n ) ( t ) 1 ，1 s f s( 2 - 3 ) 对于任意，= ( ，) c ，令。( r ) = 虬( ，) 表示只( 尼) ，( 1 k s 挖) 中适合诸不 等式 0 x 1 ”( 七) 1 , - - - , 0 x s ( n ) ( 女) 的个数，若 w 闰p 一，l ，一。 b 4 ， 则称点集只( t ) ( 1 k s h ) 有偏差- d ( n ，p ) 。 令”，为一个整数序列1 。 1 7 ： ，对应于一个m ，有一个c 5 中的点集 最，( ) ，( 1 k n ，) ，且有偏差d ( n ，p ) ，若d ( ”，p ) = 0 0 ) ，则称点集只，( 七) ，( 胛。 n ： ) 为一致分布且有偏差d ( n ，p ) 。 特别当胛，= l ，z ，气女) ：工。( 盘) ，x s ( i ) ( 女) = x ，( 女) ，( z = 1 , 2 ，) 时，则称序列 p ( 七) = ( x l ( 七) ，。一，x 。( 七) ) ，k = 1 , 2 ，( 2 5 ) 在c 3 上一致分布且有偏差d ( ，p ) 。 2 2 g l p 点集 定义2 2 5 】令( n ；红，乓) 为一个整矢量满足1 h ， ”，红( i _ ，) ，s n 及最大公 约数( ，缸) = 1 ，i = i ，s ，令 k ，h , ( m o d 功， 七- i ， h ，s ，( 2 - 6 ) ic a = ( 2 一1 ) 2 n ， 7 一一 、 1 q n 托，则集合只= c k = ( c 。，c b ) ，k = 1 ，n 称为生成矢量( n ；h a ，) 的格子点 集。如果只在所有可能的生成矢量具有最小偏差，则称只为g l p 集合。由式( 2 6 ) 定义 的c 。可由公式： = 等) _ 半) ，以， ， 来计算。其中花括号 ) 表示取小数部分。 但是给予( n ；啊，) 其在单位立方体c 8 上的格子点集通常并不一定是均匀散布 的，要使其在c 8 上是均匀散布的则有一定的限制条件。 定理2 1 5 1 对于任意素数p ，皆存在整矢量 。= ( 啊，) 使由( 届啊，) 生成的 格点集有偏差d ( p ) c ( s ) p 一1 ( 1 0 9 p ) 3 ，证明见【5 】o k o r o b o v 9 建议取( 岛，玛) 为下面构成的矢量： ( 盔，一，吃) ；( 1 ，t 7 ，盯2 ，a 3 。1 ) ( r o o d p )( 2 8 ) 此处1 a p ，而且他证明了存在一个整数a ( r o o dp ) 使( 1 ，a ，。2 ，d 纠) ( m o d p ) 对应的格点 集仍有偏差d ( p 1 m a x ( p l ，一，p s ) ) 项构成的集合有偏差： ( 2 1 4 ) m 1 血i = 1 旦鼍笋咧n 弋l o g 妒) ( 2 1 5 ) 因此h a l t o n 集合在c 5 上是好的一致分布点集。 但是，h a l t o n 点集在些情况下将出现相关现象【2 7 2 目，特别是中维和高维情况下。 l k o c i s 和w w h i t e n 【2 7 】指出，当第维和第i 2 维的数值均较小时( i ， l ，以= m 5 ，我们称集合 铲 ( 等，等b 辄川，耐 偿：， 为均匀格子点集合，该集合有偏差c 1 ( s ) ”3 兰d ( n ，s ) c 2 ( s ) n “3 ，当s 2 时，集合不 是均匀散布的，所以集合在一些数值计算中并：不适用。 2 8 随机数序列 产生均匀分布随机数的方法有物理方法和数学方法，其中用数学方法因速度快、费 用低廉、可重复进行而得到广泛应用。 产生随机数的数学方法有：平方取中法、移位指令加法、同余法、t a u s w o r t h e 法等 方法0 。本文中用v i s u a lb a s i c6 0 中的随机数发生器产生伪随机数，该随机数发生器 采用线性同余法，公式如下： z m = ( z 。+ a + c ) m o d ( 2 ”) ( 2 2 3 ) 其中：x 。为新的随机数，矗为前一个随机数( 默认初始值为3 2 7 6 8 0 ) ，a 2 1 1 4 0 6 7 1 4 8 5 ，c = 1 2 8 2 0 1 6 3 ，m o d 为取余函数，周期为2 ”= 1 6 7 7 7 2 1 6 。 2 9 特定分布随机数的产生 在结构可靠度分析中，涉及到的随机分布有正态分布、对数正态分布、r 分布、极 值型分布等，用均匀随机数序列c 。产生符合特定分布的点集的过程称为对随机变量进行 模拟，或称为对随机变量进行抽样 3 , 4 , 7 1 ，主要有直接抽样法( 反函数法) 、变换抽样法、 值序抽样法、舍选抽样法、复合抽样法( 合成法) 、近似抽样方法。本文中采用反函数 法，即如果随机变量r u ( o ，1 ) ，f 。( ) 是分布函数f ( x ) 的反函数，则： 占= f 1 ( r ) f ( x ) ( 2 2 4 ) 如果分布函数f ( x ) 有概率密度函数f ( x ) ，则 r = f ( s ) = ，( x ) 出 ( 2 2 5 ) 在结构可靠度分析中，产生点集后，如果置服从正态分布或工，f ( t ) 且五相 互独立，则： x k i2 e 1 ( c k i ) ，七= 1 ，珥f _ 1 ，5 ( 2 2 6 ) 2 1 0 小结 本节主要介绍了g l p 点集、h a l t o n 点集、h a l t o n l e a p e d 点集、h a m m e r s l e y 点集、 华王点集、均匀格子点集和随机数序列。增加计算节点时，g l p 点集、h a n m a e r s l e y 点 集、均匀格子点集需从头计算，而h a l t o n 点集、h a l t o nl e a p e d 点集、华王点集和随机 数序列则只需对增加的节点进行计算，但是h a l t o n 点集、h a l t o nl e a p e d 点集及 h a m m e r s l e y 点集计算量较大，用v b 6 0 进行编程，当j = 1 0 ，”= 8 0 5 0 9 8 时，h a l t o n 点 集、h a l t o nl e a p e d 点集及h a m m e r s l e y 点集的计算时间分别为g l p 点集的1 4 倍、1 9 倍 和1 3 倍，而华王点集的计算时间约为g l p 点集的0 9 倍。 对于小n 情况，由于g l p 点集更为均匀，所以在小n 情况下最好使用g l p 点集。 而h a l t o n 点集及其变体所需计算量较大，只适合小维数情况。由于g l p 最优系数的计 算时问也较长，而系数个数并不多，所以需将最优系数事先计算出以提高效率。 二维情况下各种点集图如下图，n = 1 5 9 7 ，在h a l t o nl e a p e d 点集中取l = 4 0 9 。由图 可见，蒙特卡罗方法的随机数序列较不均匀。 g l p h a l t o n 4 m c m h a l t o n - l e a p e d h u a - w a n g h a m m e r s l e y ： ： 图2 3 各点集二维点集图 均匀格子点 ；!；i； ；i； i-i-j；! i；ii-ii；!；iii；-j；j；!；!；i；：；-!；-；：i；ll：-； ；i；i；i5；：；l；i；li；j；i；l；：；i；5i5i；5iii；-i；i；-；1；i；!i；i；i；-i；ii；-；i；ii：；：；-； 第三章数值积分的数论方法 3 1 数值积分的数论方法 定义3 1 1 5 1 ：令 x = 1 2 ) 。圪的上确界矿( 厂) 称为f 的全变差。 f i g ：t 里3 1 【5 1 令己( ) ( 1 s k n ) 为有偏差d ( n ，p ) 的点集，若厂( x ) 为在h a r d y 和k r a u s e 意义下的有界变差函数，则 ( z ) 村一去荟n 肥( 蚴m ，) d ( 妒) ( 3 4 ) 作为定理3 1 的逆，我们有下列定理 定理3 2 若式( 34 ) 对所有f b 。皆成立，则暑，( ) ( 1 k 蔓 ) 为有偏差不超过d ( n ，p ) 的点集。证明见f 5 】 由定理3l i q + 见，我们可以用一致分布点集只( k ) o k ，? ) 上函数值的算术平均 m s 是质数，或函数c , o 是由函 数，经过简单周期化得来的，则有 t 厂，删= 专砉p ( 专) ， 等) + 。c - ， c s 定理3 4 设厂( z l ，x s ) 叫( c ) ，n 等于p 或p2 ，而p 是大于s 的奇质数，此时， 有 只似胁专喜水舟，+ o c 等， 证明详见9 ”。由此可见，周期化方法并不能使采用数论网格点和随机数的数值积分结果 有实质性的改进，当求积结点个数相同，被积函数周期化与未经周期化两种情况所得结 果精度相当，但所耗运算时间前者多于后者，所以对非周期函数可以直接使用数论网格 点和随机数。 3 3 算例 选取了三个数值积分算例【2 7 】，分别用g l p 点集、h a l t o n 点集、h a l t o nl e a p e d 点集、 h a m m e r s l e y 点集、华王点集和随机数序列进行计算。每个算例分别计算维数s = 3 时计 算结点n = 3 5 到3 1 4 6 9 4 、s = 5 时和n = 1 0 6 9 到3 7 4 1 8 1 、s = 1 0 时和n = 4 6 6 1 到8 0 5 0 9 8 的计 算结果。 3 3 1 算例一 积分函数为 ：厂，d x = ：j ：导( 喜一一言卜。出：呶 c 。， 其中被积函数为单变量的和，为线性形式，为光滑的具有单极值点函数。 图3 1 维数s = 3 时算例误差折线图 图3 2 维数s = 5 时算例一误差折线图 3 3 2 算例二 积分函数为 j 。( x ) d x 图3 3 维数s = i o 时算例一误差折线图 j ：冉 舞群 1 2 裂卜引s 被积函数为乘积形式，为不连续、光滑和具有多极值点的函数。 9 图3 4 维数s = 3 时算例二误差折线图 图3 5 维数s = 5 时算例二误差折线图 3 3 3 算例三 积分函数为 图3 6 维数s = i o 时算侈r j - - 误差折线图 ：厂( x ) 援= ：j ：冉( 2 压( x j - 1 2 协，出：啦 ( 3 1 3 ) 被积函数为乘积形式，为不连续、光滑和具有多极值点的函数。 图3 7 维数s = 3 时算例三误差折线图 图3 8 维数s = 5 时算例三误差折线图 图3 9 维数s = i o 时算例三误差折线图 3 4 计算结果 用计算结果作出误差折线图，由图和计算结果可得下表： 2 2 表3 1 各点集计算误差表 单位：t o g l e i ( 其中e 为误差值) h a l - 七o n 维数 6 l ph a l t o nh a m m e r s l e y h u a w a n g m c m l e a p e ( 1 算 32 1 2 65 7 67 9 l一6 3 l- 7 5 44 5 5 例 53 3 4 36 4 38 8