（基础数学专业论文）万有双曲几何中的三角学.pdf

i i i ii ii iit i t l i iul li il 19 0 7 0 0 2 t r i g o n o m e t r yo fu n i v e r s a lh y p e r b o l i cg e o m e t r y s h ih u i q i a n g b s ( h u z h o ut e a c h e r sc o l l e g e ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n p u r em a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rj i a n gy u e p i n g a p r i l ，2 0 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 储躲庙毖强嗍五( 1 年占月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密吖 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者躲学会坛日护f r 年月乒e t 作者签名： 一 日期二9 if 年 6 月_ 产 新躲辂j 7 ；汤嗍驯年月严日 硕士学位论文 摘要 欧式几何自诞生以来，影响深远，一直统治着人们关于空间的观念在人们的 生产生活中发挥着巨大的作用但是欧式几何五大公理中的第五公理也一直受到 数学家们的质疑许许多多的数学家尝试去证明这条公理但这些尝试都失败了 数学家开始怀疑欧式几何并不是唯一的几何到了1 9 世纪，l o b a c h e v s k i i 发表双曲 几何理论，标志了双曲几何的诞生 双曲几何是数学中的一个主要研究领域本世纪初，w i l d b e r g e r 等人开始利用 纯代数的方法来研究双曲几何，称为万有双曲几何 本文主要研究万有双曲几何中的三角学，特别是等腰三边形和q 一面积公式相关 定理 首先，本文介绍了万有双曲几何的背景知识，包括最基本的点，线定义以及一 些基本的定理，如勾股定理等对这部分知识的介绍是必不可少的其次，利用万 有双曲几何中的离差法则，讨论- f q _ 距离和离差的关系最后，本文提出了q 一面积的 概念欧式几何中的三角形划分成若干个小的三角形，其面积就是小三角形面积之 和在万有双曲几何中，这是不成立的，也就是说q 一面积不具有可加性同时也得到 了一个等腰三角形是直角三角形的必要条件 关键词：双曲几何；q - 距离；离差；q - 面积；等腰三边形 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t s i n c et h et h e o r yo fe u c l i d e a ng e o m e t r yw a sp r o p o s e d ，i tp l a y sa ni m p o r t a n t r o l ei np e o p l e sl i f e b u tt h ep a r a l l e lp o s t u l a t ei ne u c l i d e a ng e o m e t r yi sq u e s t i o n e d b ym o s to fm a t h e m a t i c i a n s m a n ym a t h e m a t i c i a n st r i e dt op r o v et h i sp o s t u l a t e ，b u t t h e ya l lf a i l e d m a t h e m a t i c i a n sb e g a nt os u s p e c tt h a tt h e r ee x i s ta n o t h e rg e o m e t r y d i f f e r e n tf r o me u c l i d e a ng e o m e t r y i n1 9 t hc e n t u r y , l o b a c h e v s k i ip r o p o s e dh i s t h e o r yo fh y p e r b o l i cg e o m e t r yw h i c hm a r k e dt h eb i r t ho ft h i ss u b j e c t h y p e r b o l i cg e o m e t r yi so n eo ft h em a i nr e s e a r c ha r e a so fm a t h e m a t i c s a tt h e b e g i ：u a m go ft h e2 1 t hc e n t u r y , 、d b e r g e ra n ds o m eo t h e rm a t h e m a t i c sb e g a nt o s t u d yh y p e r b o l i cg e o m e t r yb yu s i n gap u r e l ya l g e b r a i cf a s h i o n ，t h i sn e wm e t h o di s c a l l e du n i v e r s a lh y p e r b o l i cg e o m e t r y i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h et r i g o n o m e t r yo fu n i v e r s a lh y p e r b o l i cg e - o m e t r y , e s p e c i a l l yt h ea s s o c i a t et h e o r e m so fi s o s c e l e st r i l a t e r a la n dt h ef o r m u l ao f q - a r e a f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h eb a s i ck n o w l e d g eo fu n i v e r s a lh y p e r b o l i cg e o m e t r y , i n c l u d i n gt h ed e f i n i t i o no fp o i n t ，l i n ea n ds o m eb a s i ct h e o r e m s ，s u c ha sp y t h a g o r a s t h e o r e ma n ds oo n s e c o n d l y , w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i po fq - d i s t a n c ea n ds p r e a d b yu s i n gt h el a wo fs p r e a di nu n i v e r s a lh y p e r b o l i cg e o m e t r y l a s t l y , t h ef o r m u l a o fq - a r e ai sd i s c u s s e d i nu n i v e r s a lh y p e r b o l i cg e o m e t r y , t h et o t a la r e ao fa b i g t r i a n g l ec a nn o tb ec a l c u l o u sf r o mt h es u n lo fa l lt h es m a l lt r i a n g l e s a f t e rt h i s t h e o r e m ，w eg e tan e c e s s a r yc o n d i t i o no fo n ei s o s c e l e st r i a n g l ei sar i g h tt r i a n g l e k e yw o r d s ：h y p e r b o l i cg e o m e t r y ；q d i s t a n c e ；s p r e a d ；q - a r e a ；i s o s c e l e s t r i l a t e r a l i i i 硕士学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要 a b s t r a c t 第1 章绪论1 1 1 双曲几何的发展史1 1 2 万有双曲几何的特点及优点2 第2 章背景知识介绍4 2 1 点和线4 2 2 点共线和线共点5 2 3 边与顶点5 2 4 偶6 2 5 三角形和三边形6 2 6 q 一距离和离差7 2 7 t q 定理和t s 定理8 2 8 勾股定理9 2 9 离差法则1 0 2 1 0 中点及中线1 1 第3 章等腰三边形的相关定理及其证明1 2 第4 章三角形q - 面积的定义及其应用1 9 结论3 l 参考文献3 3 致谢3 6 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1双曲几何的发展史 双曲几何诞生于十九世纪早期，是非欧几何的一种特例欧式几何的公理体系 是由五大公理所构成这五条公理分别为： 公理1 ：任意一点到另外任意一点可以画直线 公理2 ：一条有限线段可以继续延长 公理3 ：以任意点为心及任意的距离可以画圆 公理4 ：凡直角都彼此相等 公理5 ：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小 于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交 在这五条公理中，第五条公理是最复杂与最不自然地一条公理第五条公理等 价予平行公理： 给出一条直线和一个不在这条直线上的点，只存在一条经过这个点且与给定 直线平行的直线 两千多年来，有多数学家尝试用前四条公理来推导第五条公理，但是都用到了 其他的假定，最后这些假设都被证明是和第五公理等价的 公元前4 0 0 年，p r o c l u s 采用了一个额外的假设：直线外同一侧所有到直线的距 离相等的点做成一条直线 英国入j o h nw a u i s ( 1 6 1 6 - 1 7 0 3 ) ，用到了一个假设：设有一个三角形，总有任意 大小的三角形与之相似 意大利人g i r o l a m os a c c h e r i ( 1 6 6 7 - 1 7 3 3 ) 使用了四边形，其中有两个角等于直 角，这两个直角的两条边具有相同的长度他假设余下的两个角不是直角，得出了 一些结论 j o h a n nh e i n r i c hl a m b e r t ( 1 7 2 8 - 1 7 7 7 ) ，采用类似于g i r o l a m os a c c h e r i 的方法继 续进行研究，得到了许多结论，并写了一部书他逝世后，1 7 8 6 年此书公开出版 k 五s t n e r ( 1 7 1 9 - 1 8 0 0 ) ，指导了他学生k l g i i e l ( 1 7 3 9 - 1 8 1 2 ) 的一部论文，其中包含 了三十多种证明，试图证明平行公理 在十九世纪，数学家们终于取得了决定性的成果他们不再继续花时间去推翻 第五公理，而是去寻找第五公理不成立的情况下有什么结果于是诞生了对双曲几 何来说至关重要的公理： 给定一条直线和直线外一点，至少存在两条直线与给定直线平行 一1 万有双曲几何中的三角学 历史上有三位数学家和两位数学爱好者对双曲几何的诞生做出了巨大贡献历 史将会记住他们的名字 两位数学爱好者分别是s c h w e i k a r t 和他的侄子t a u r i n u s 1 8 1 6 年，s c h w e i k a r t 提 出了“a s t r a lg e o m e t r y 这是一个与第五公理不相关的理论他的侄子t a u r i n u s 在1 8 2 4 年得到了一个非欧的双曲几何 三位数学家分别是c a r lf r i e d r i c hg a u s s ，n i k o l a ii v a n o v i c hl o b a c h e v s k i i 和j a n o s b o l y a i g a u s s 的遗产中包含了部分草稿从这部分草稿中可以看的出他在很早的时期， 至少在1 8 1 7 年，就已经考虑了广义的平行公理，并且对非欧几何有了一个清楚的了 解这可以从g a u s s 和他人的信件中得到他的关于这方面知识的一些信息 b o l y a i 的父亲f a r k a s 是g a u 胬一个朋友的学生，他和g a u s s 保持着长时间的通信 f a r k a s 花了一生的努力去证明平行公理，但是失败了于是他试着改变他儿子在这 方面的研究然而，b o l y a i 花了巨大的精力去研究个问题并在1 8 2 3 年构建了双曲几 何的基础l o b a c h e v s k i i 也发展了双曲几何并且在1 8 2 9 年率先发表了他的理论 g a u s s b o l y a i s 和l o b a c h e v s k i i 等人在已有的基础上公理化的发展了双曲几何 他们没有建立一个双曲几何的分析模型，也没有证明他们发展的几何之间的相容 性l o b a c h e v s k i i 发展了双曲几何三角学双曲几何三角学和欧式几何中的三角学 是完全平行的l o b a c h e v s k i i 论证了他得到的这些分析性公式和其他人得到的几何 学的相容性 l e o n h a r de u l a r ，g s p a r dm o n g e ，g a u s s 等人在他们的曲面研究中发现了分析 学与高维非欧几何之间存在的必然关系 1 8 3 7 年l o b a c h e v s k i i 认为带常负曲率的曲面描绘了非欧几何两年后，在对l o b a - c h e v s k i i 的工作毫不知情的情况下，m i n d i n g 独自对常曲率曲面进行了大量研究，证 明了l o b a c h e v s k i i 的结论是正确的 b e r n h a u dr i e m a n n ( 1 8 2 6 - 1 8 6 6 ) 在曲率面和黎曼流形的研究中认识到了所有 这些关系在1 8 6 8 年e u g e n i ob e l t r a m i 特别指出了所有这些课题之间的关系所有 这些数学家的分析性工作为双曲几何提供了许多的分析性模型并且证实了非欧几 何与欧式几何一样具有一致性 1 2万有双曲几何的特点及优点 本文使用一种新的纯代数的方法来研究双曲几何这种新方法称为万有双曲几 何，是文献【1 】描述的更为一般的几何的一种特例万有双曲几何的特点有： 1 、与e i n s t e i n 的理论相对论几何有更加直接和紧密的联系实际上，双曲几何 一2 一 硕士学位论文 本身就是投影相对论几何文献【2 】涉及到了双曲几何与相对论几何之间的联系 2 、对那些一直以来被称为无穷远点的点以及那些被前代几何学家称之为理 想点的点，有了一种清楚的，具体的处理方式 3 、万有双曲几何中的三角学，点与点之间的距离，线与线之间的离差都有自己 的公式，而且这些公式与欧式平面上的三角学公式有类似的地方可以把万有双曲 几何中的三角学公式看成是欧式几何中的一些公式的变形，具体请参考文献f 3 1 4 、万有双曲几何在有限域上可以的得到很自然的发展具体的工作请参考文 献 4 ，5 1 3 】等 5 、万有双曲几何中，有对偶的概念点与线之间存在对偶关系 6 、万有双曲几何中，不会用到超越函数，如l o g x 、s i n h x 等这些函数在双曲几 何中运用的比较多，给计算带来了诸多的不便 万有双曲几何还存在着许多独特的性质和特点，这些性质和特点使得万有双 曲几何与双曲几何有了许多的不同之处同时万有双曲几何的研究方式也是使用 纯代数的方式，这与传统的研究方式完全不同具体请参考文献f 1 4 ，1 5 3 7 1 采用纯代数的方法来研究双曲几何，与传统的研究方法相比，可以带来了更多 的方便用代数的方法来研究双曲几何具有以下优点： 1 、简单优美：由于采用了代数的方式，万有双曲几何的许多公式，表达式，定 理都可以用简单的代数表达式来表示，而不需要用到积分公式和求和公式等，使得 表达式看上去更加的简单，且容易理解 2 、逻辑清晰：用传统的方法来研究双曲几何通常会遇到模糊的地方，但是用纯 代数的方法可以让我们很容易的摆脱逻辑困扰 3 、与数论有联系：几何问题和数论问题之间的联系更加明显 4 、更容易构造：与传统双曲几何相比更加直接、更加优雅 5 、更简单的证明：用纯代数的理论框架可以让许多定理通过简单的计算就可 以得到 6 、万有双曲几何在研究相对论几何中具有重要意义，如同椭圆几何在欧式几 何研究中的重要性这种双曲几何研究形式为研究相对论几何提供了新的几何语 l 口 一3 一 万有双曲几何中的三角学 第2 章背景知识介绍 在本章中，我们主要介绍了万有双曲几何的背景知识更多的相关内容请参考 文献【3 8 ，3 9 4 1 】 2 1点和线 定义2 1 13 个不全为零的数字做成一个孓比例z ：y ：z ，并且对任意地非零 实数入，有z ：可：z = 妇：a y ：a z 对于两个3 - 1 | ：例x l ：z 2 ：x 3 ，玑：y 2 ：蜘，若x l ：x 2 ：2 ：3 = y l ：y 2 ：蜘，则 x l y 2 一x 2 y l = 0 ，z 1 蜘一z 3 玑= 0 ，铂珈一x 2 y a = 0 定义2 1 2 一个点a 就是一个3 - 比例外面加上方括号，n 三i x ：y ：z 】一条直 线l 就是一个譬比例外面加上园括号，l 兰( z ：m ：n ) 称点a 与直线l 是对偶的，如 果满足z ：名= z ：仇：n 此时记a = l 上或l = a l 为了便于理解，通常点用小写字母表示，线用大写字母表示 对于一个点a 兰k ：y ：刁和一条直线l 三( z ：m ：n ) ，若满足i x + m y n z = o ，则 称点a 是在直线l 上的或者直线l 经过点a ，一个点a 是零的当且仅当与这个点对偶的直线l 经过点a ，即 护+ y 2 一z 2 = 0 一条直线l 是零的当且仅当直线l 经过它的对偶点a ，即 z 2 + m 2 一n 2 = 0 两个点a l 兰x l ：x 2 ：z 3 】、a l 三【y l ：耽：蜘】，a l 垂直于口2 当且仅当 z l y l + x 2 y 2 一奶蜘= 0 两条直线l 三( 1 1 ：1 2 ：1 3 ) 、m 兰( m l ：m 2 ：m 3 ) ，l 垂直于m 当且仅当 l l m l + z 2 m 2 一z 3 m 3 = 0 两个不同的点0 1 兰x l ：y l ：z 1 、a 2 兰i x 2 ：沈：z 2 ，存在唯一的一条直线l 同时 经过这两个点，且 l 兰a l a 2 兰( y 1 2 2 一y 2 z l ：z l x 2 一z 2 x 1 ：x 2 y l z l y 2 ) 一4 一 硕士学位论文 2 2点共线及线共点 设有三个点口1 = , t 1 ：y l ：名1 】，a 2 = i x 2 ：y 2 ：勿】，a 3 = i x 3 ：y 3 ：勿】，如果这三个 点是共线，那么 x l y 2 z s x l y a z 2 + x 2 y 3 z l x z y 2 z l + 勋讥忽一x 2 y l z 3 。0 反之也是成立的 设有三条直线l 1 = ( z 1 ：m l ：n 1 ) ，l 2 = ( 1 2 ：仇2 ：砌) ，l 3 = ( i s ：m 3 ：n 3 ) ，如果 这三条直线共点，那么 l l m u n s l l m a n 2 + 1 2 m a n l i s m 盘n l + i s m l n 2 1 2 m l n 32 0 反之也是成立的 2 3边与顶点 定义2 3 1 一条边瓦i 瓦就是两个点a l ，眈组成的集合 口l ，a 2 ) 定义2 3 2 一个顶点z 五就是两条边己1 ，l 2 组成的集合 三1 ，l 2 ) 若瓦而是一条边，则a l a 2 就是这条边所在的直线边瓦瓦是零的，若直线a l a 2 是 零的边面i 是诣零的，若a l ，a 2 至少有一个是零点此时若只有一个零点，则称 边万而是单诣零的；若两个点都是零点，则称边可瓦是双诣零的边可瓦的对偶就是 顶点n n 士 若豇i 是一个顶点，则三1 l 2 是顶点所在的点项点z 五是零的，当且仅当己。三2 是一个零点顶点瓦瓦是一个诣零的当且仅当直线三1 ，l 2 至少有一条是零的若仅 有一条直线是零的，则称丽是单诣零的；若两条直线都是零的，则称蕊是双诣 零的顶点面i 的对偶就是边疆 定义2 3 3一条边两瓦是完全边，当且仅当a l 与a 2 是垂直的顶点蕊是一 个完全点，当且仅当工1 与l 2 是垂直的 定理2 3 4 1 3 9 对于任意的边硒i ，存在唯一的一个点p ，p 与a l ，a 2 都是垂直的， 却= n _ 口士= ( a l a 2 ) 上 定理2 3 5 【3 9 】对于任意的顶点z 忑，存在唯一的一条直线p ，p 与l 1 ，l 2 都是 垂直的，且p = 己 士= ( l 1 工2 ) 上 称直线p 是顶点硒的垂直边，若p 与直线l 1 ，l 2 都是垂直的由p 的表达式可 以看出直线p 就是顶点五瓦的对偶边故若直线p 经过点三1 l 2 ，当且仅当顶点硒是 零的 一5 一 万有双曲几何中的三角学 2 4偶 定义2 4 1 称一个点。和一条直线l 作成的集合 口，l ) 为一个偶，记作五z ，其 中这个点a 不在这条直线厶上偶瓦是零的，当且仅当点a 和直线l 至少有一个是零 的 定义2 4 2 对于任意一个非对偶的偶石z ，存在一条唯一的直线，经过点a ， 且垂直于直线厶n - - - a l 上，称这条直线为高线存在一个唯一的点n ，礼落在直 线三上，且垂直于点a ，佗三i f l - l ，称这各点为高点 定义2 4 3 对于任意一个非对偶的偶瓦，存在唯一的一条直线m ，m 经过 点口，且垂直于瓦的高线，记这条直线m 兰n ( 一l ) ，称它为偶石z 的平行直线存 在唯一一个点m ，m 落在直线口上，且垂直于石乙的高点礼，记这个点m 兰a z ( a l 上) ，称 它为偶瓦的平行点 从以上两个定义可以看出瓦的平行点和平行直线是对偶的 定义2 4 4 对于任意一个非对偶的偶石z ，存在唯一的点m ，m 落在直线l 和 偶石z 的高线a l 上上，记作b 三( a l x ) l 称这个点为基点 定义2 4 5 对于任意一个非对偶的偶石z ，存在唯一的直线m ，m 经过点a 和 偶五z 的高点a j l 上，记作m 兰( 口上l ) 己上称这条直线为基线 2 5三角形和三边形 定义2 5 1 一个由三个不共线的点作成的集合 口1 ，0 , 2 ，n 3 ) 为一个三角形，记 作a la 2 a 3 定义2 5 2 一个由三条不共点的直线作成的集合 l 1 ，l 2 ，l 3 为一个三边形， 记作瓦可i 对每一个三角形a - - _ - - a l a 2 幻来说，都存在一个与之相对应的三边形 厶三l 1 l 2 l 3 其中这个三边形的三条边分别为 l x 三a 2 a 3 ，l 2 兰a l a 3 ，l 3 三a l a 2 对每一个三边形v 兰l 1 l 2 l 3 来说，都存在一个与之相对应的三边形 寺兰a l a 2 口3 其中这个三角形的三个顶点分别为： a l 三l 2 l 3 ，a 2 兰l 1 己3 ，a 3 三l 1 l 2 一6 一 硕士学位论文 2 6 q - 距离和离差 这一节主要介绍万有双曲几何学的一些基本的概念，如两个点a 1 和a 2 之间的q - 距离q ( a a ，a 2 ) ，两条直线己1 和己2 之间的离差s ( l 1 ，l 2 ) 等 定义2 6 1 两个点a l = 陋l ：y a ：彳1 】和a 2 = i x 2 ：沈：勿】之间的q _ 距离记 作q ( a l ，a 2 ) ， 口( 口，。2 ) 兰1 一两再( x l x f 2 + 丽y a y 两2 - 确z x z 2 ) 2 在这个定义中可以看出当点a l 、a 2 都是零的，q ( a 1 ，口2 ) 是没有意义的当点a 1 和 点a 2 是垂直的，此时z l x 2 + 轨抛一z l z a = 0 ，所以这两个点之间的q - 距离就等于1 如 果这两个点a l 和a 2 是相同的，即口l = 0 , 2 ，贝l j q ( a 1 ，o 2 ) = 0 定理2 6 2 f 3 9 1两个不同的点a 1 和o 2 ，这两个点之间的q 一距离 q ( a l ，勉) = 0 ， 当且仅当直线a l a 2 是零的 定义2 6 3 两条直线l 1 = ( 1 1 ：m l ：n 1 ) 和如= ( 1 2 ：m 2 ：砌) 】之间的离差记 作s ( l t ，l 2 ) ， s ( l t , l 2 ) 三1 一百而( 1 1 1 2 f 4 碡r n l m 丽2 - - 再r t l 巧r t 2 ) 2 孬 在这个定义中可以看出当两条直线l 1 、l 2 都是零的，s ( l l ，岛) 是没有意义的 当这两条直线l 1 和点l 2 是垂直的，此时z 1 2 2 + m l m 2 一n l n 2 = 0 ，所以这两条直线之 间的离差就等于1 如果这两条直线l 1 和l 2 是相同的，即厶= l 2 ，则s ( 己l ，l 2 ) = 0 定理2 6 4 1 3 9 两个不同的非零的直线l l 和如，这两条直线之间的离差 s ( a a ，a 2 ) = 0 ， 当且仅当点l 1 三2 是零的 q - 距离和离差的定义在整个万有双曲几何中具有很重要的作用，是两个最基本 的定义为了可以和射影几何结合起来，在f 3 上定义交比设有向量v = ( n ，b ，c ) ， 则m = 【a ，b ，c 1 就是与之对应的双曲点 一个交比可以看成是一个具有射影不变性的仿射量假设在一个有向量p 和q 张 成的子空间内有四个非零向量v 1 、忱、秒1 、让2 ，则有 v l2x l p + y l q ，v 22x 2 p + y 2 q ； u l2z l p + w t q ， ? 2 2 = z 2 p + w 2 q 一7 一 万有双曲几何中的三角学 ( 忱：u ，坳) 兰鬻筹 b x l y l f ，x 2 w 珈l l = 网x l y l 7 冈 从上面的定义可以看出，交比只依赖这些双曲点，如将 1 改为入口1 来说，交比不 变所以可以写成 ，忱：t 1 ，u 2 ) = ( h 1 ，1 ：【u 1 】，k 1 ) 2 7 t q 定理和t s 定理 以下将介绍双曲三角学中最重要的两个定理：t q 定理和t s 定理在给出这两 个定理之前，先给出一个重要函数 s ( a ，b ，c ) 三( a + 6 + c ) 2 2 ( a 2 + b 2 + c 2 4 a b c ) 则有 ：2 a b4 - 2 a c4 - 2 b c 一口2 6 2 一c 2 4 n 6 c 0口 口0 bc 11 b1 c1 ol 12 = 4 ( 1 一口) ( 1 6 ) ( 1 一c ) 一( 口+ 6 + c 一2 ) 2 定理2 7 1 1 3 9 ( t q 定理) 设有三个点n 1 ，a 2 ，a 3 ，且这三个点是共线的令 q l 兰q ( a 2 ，a 3 ) ，q 2 三q ( a l ，a 3 ) ，q 3 三q ( a l ，a 2 ) ( q 1 + q 2 + 口3 ) 2 = 2 ( 口；+ 谚+ 酲) 4 - 4 q l q 2 q 3 定理2 7 2 3 9 ( t s 定理) 设有三条直线l 1 ，l 2 ，l s ，且这三条直线是共点的令 研三s ( l 2 ，l 3 ) ，s j 三s ( l 1 ，l 3 ) ，岛兰s ( l 1 ，l 2 ) 一8 一 硕士学位论文 则有 ( 岛+ 岛+ 岛) 2 = 2 ( 研+ 鹾+ 霹) + 4 s i s 2 $ 3 2 8勾股定理 定理2 8 1 4 1 j 设有三个不同的点n 1 ，6 2 ，a 3 ，这三个点之间的q - 距离分别为 9 1 兰q ( a 2 ，a 3 ) ， t 2 三q ( a l ，a 3 ) ，q a 兰g ( 口1 ，a 2 ) 若直线a l n 3 与直线0 2 a 3 是垂直的，则有 驰= q l + 9 2 一9 1 9 2 如果有三条不同的直线l 1 ，如，岛，这三条直线之间的离差分别为 研兰s ( 如，l 3 ) ，岛兰s ( l l ，l 3 ) ， 岛三s ( l i ，l 2 ) 若点l 1 岛与点岛厶是垂直的，那么 岛= & + 岛一& 岛 定义2 8 2 设有两个点口1 兰2 ：1 ，玑，z 1 ，眈兰x 2 ，y 2 ，勿】，称p ( 口1 ，口2 ) 为积，且 p a l , 眈) 兰两再( x l x f 2 4 - 丽y l y 两2 - - 再z l z f 2 ) 2 丽 定义2 8 3 设有两条直线l 1 三( 1 l ，m l ，h i ) ，l 2 三( 1 2 ，m 2 ，观) ，称c ( l 1 ，l 2 ) 为 交，且 c ( l i , l 2 ) 三万而( 1 1 1 2 f + m 葡l m 面2 - - 而n l f n 2 ) 2 丽 将上面两个定义与q - 距离和离差的定义对比，可以得到以下关系 p ( a l ，a 2 ) + q ( a l ，a 2 ) = 1 ， c ( l 1 ，l 2 ) + s ( 己1 ，l 2 ) = 1 有了这两个关系式，可以将勾股定理进行变形 1 一p 3 = 1 一p 1 + 1 一仇一( 1 一p 1 ) ( 1 一p 2 ) = 1 一p l + 1 一仇一( 1 一耽一n + p 1 仇) = 1 一p i p 2 一9 一 万有双曲几何中的三角学 故有 这里的a ，现，船分别是 同理可以得到 p l2 p ( a 2 ，a 3 j ， 、 这里的q ，q ，岛分别是 p 3 = p l p 2 p 2 = p ( a l ，n 3 ) ， 岛= c 1 c 2 p a = p ( a l ，口2 ) q = c ( l 2 ，l 3 ) ，5 2 = c ( l 1 ，l 3 ) ，c 3 = g ( l 1 ，l 2 ) 定理2 8 4 4 1 l 设有三个点a l 兰 x l ：y l ：z l 】、a 2 三 x 2 ：y 2 ：钇】、a 3 三胁：蜘： 且这三个点是共线的，令p l = p ( 口2 ，n 3 ) 、p 2 = p ( a l ，a s ) 、p a = p ( a l ，a 2 ) ，则有 2 9离差法则 别为 ( p l + 砌+ 阳一1 ) 2 = 4 p l p 2 p 3 定理2 9 1 1 4 1 设有三个不同的点口1 ，0 , 2 ，a 3 ，这三个点之间的q - 距离和离差分 q l 兰q ( a 2 ，口3 ) ，q 2 兰q ( a l ，a s ) ，q 3 三q ( a l ，口2 ) ； 三s ( n l a 2 ，a l a 3 ) ，岛三s ( a l a 2 ，a 2 a 3 ) ，岛三b ( a l a 3 ，a 2 a 3 ) 则有 & 3 2 岛 q 1眈口3 定义2 9 2 设有三个不同的点，a 1 ，a 2 ，a 3 ，且这三个点都不是零的若三个点 的分别为 a 1 兰陋1 ，y l ，z 1 ，a 2 三 x 2 ，? 2 ，z 2 ，a 3 兰 x 3 ，y 3 ，勿】 定义一个a ，且 a 兰a ( a l ，a 2 ，a 3 ) = 一 ( x l y 2 2 3 一x l y 3 2 2 + x 2 y 3 2 1 一x 3 y 2 z l + x 3 y l z 2 一x 2 y l z 3 ) 2 当这三个点a 1 ，a 2 ，a 3 共线时， 离+ y 一z ) ( z ；+ 镌一z ；) ( z ；+ 壤一名) 。 ( z 1 y 2 2 3 一x l y a z 2 + x 2 y 3 2 1 一x 3 y 2 2 1 + x 3 y l z 2 一x 2 y l z 3 ) 2 = 0 1 0 硕士学位论文 此时a = 0 定理2 9 3 4 1 】设有三个不同的点0 1 ，a 2 ，口3 ，它们之间的q - 距离分别为 q l 三q ( a 2 ，a 3 ) ，q 2 三q ( a l ，a 3 ) ，q 3 兰q ( a l ，口2 ) 且s l 兰s ( a l a 2 ，q l a 3 ) ，则有 ( q 2 q 3 & 一q l 一口2 一q 3 + 2 ) 2 = 4 ( 1 一q 1 ) ( 1 一q 2 ) ( 1 一口3 ) 2 1 0中点及中线 定义2 1 0 1 设硒i 是一条边，点c 称为边硒i 的中点，若满足 q ( a l ，m ) = q ( a 2 ，m ) 定义2 1 0 2 设l 1 ，如是两条直线，直线l 为直线l 1 与三2 的中线，若满足 s ( 己1 ，l ) = s ( l 2 ，l ) 一1 1 万有双曲几何中的三角学 第3 章等腰三边形的相关定理及其证明 定理3 1 1 设有一个三边形l 1 l 2 l z ，其中 a l 兰l 2 l 3 ，a 2 兰l x l 3 ，a 3 兰l 1 l 2 这三个点之间的q 距离分别为q l 、9 2 、铂，三条直线间的离差分别为三l 、厶、厶， 则q 1 = q 2 ，当且仅当& = 岛 证明由定理2 9 1 1 4 ：1 得到 s 1s 2s 3 一= 一= 一 口1 口29 3 从而可知q 1 = 钇，当且仅当岛= 岛证毕 定理3 1 2 设一个非诣零的等腰三边形- l 1 l 2 l 3 ，l 1 上如，其中有两个q - 距 离9 1 = 口2 = 1 ，则有 研= 岛= 1 ， 并且有 岛= q a 证明 因为q l ，也是有定义且不等于零的，所以从午距离的定义可知三个点己l 三2 ， l 1 如，工2 l 3 都是非零的从而三边形五z i 瓦是非零的 假设s ( l 1 ，l 2 ) = 0 ，l 1 和l 2 所在直线分别为 则点l 1 l 2 为 三l = ( z l ：m l ：n 1 ) ， 二2 = ( f 2 ：抛：n 2 ) l 1 l 2 三( m l n 2 一m 2 n l ：n x l 2 一n 2 1 1 ：1 2 m 1 一l l m 2 ) 若点l 1 l 2 是零的，当且仅当 另一方面 ( m l n 2 一m 2 r $ 1 ) 2 + ( n 1 如一n 2 1 1 ) 2 一( z 2 m 1 一z 1 7 n 2 ) 2 = 0 s ( l i ，l 2 ) 1( f l f 2 + m l m 2 一n l r t 2 ) 2 2 卜万石雨j 积爵而f 丽 ( 1 + m 一佗 ) ( 癌+ 仇；一凡；) 一( 1 1 1 2 + 仇l m 2 一n l n 2 ) 2 ( 1 + m ；一n ；) ( 癌+ m ；一n ；) ( r t l z 2 一m 2 n 1 ) 2 + ( n 1 1 2 一n 2 1 1 ) 2 一( 1 2 m 1 1 1 m 2 ) 2 ：= 一- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ，- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 二一 ( z + m ；一佗 ) ( 鹰+ m ；一亿；) 一1 2 硕士学位论文 由上面两式可以看出点己1 l 2 是零的这与l l l 2 是非零的矛盾，从而有 s ( l l ，l 2 ) 0 ， 即 由定理2 9 1 1 4 1 得到 因为q 1 = q 2 = 1 ，所以 岛0 s l s 2s 3 一= 一= 一 9 1q 2铂 晏：l i 一= 岛 于是有 岛= 岛 又因为l 1 上l 2 的，从而由勾股定理可知 s = s 2 + 岛一岛岛= 岛+ 岛一& 岛 所以有 岛= 岛= 1 进一步由离差法则可知岛= q a 证毕 定理3 1 3 设有一个等腰三边形瓦z i 万，且有 其中有 n 1 = l 2 l s ，a 2 = l 1 l 3 ，a 3 = l 1 l 2 ； q l = 口( 眈，n 3 ) ，q 2 = q ( a l ，n 3 ) ，q 3 = q ( a l ，口2 ) ； s l = s ( l 2 ，l 3 ) ，岛= s ( l 1 ，l 3 ) ，s 3 = s ( l 1 ，l 2 ) a 3 a 1 b l 3 a 2 s a = 岛= s ， 口1 = 9 2 = 口， 一1 3 万有双曲几何中的三角学 而且瓦砭而是非对偶的，其基线为l ，若 r 1 = s ( l 1 ，l ) ，疡= s ( l 2 ，工) ，r s = s ( l 3 ，l ) 则有 r s = s q ， 耻岛= 涮 证明因为偶瓦讧而是非对偶的，所以由定义2 4 7 可知，存在一条唯一的基 线l ，使得l 过点l 1 l 2 且与直线l 3 垂直而且点l i l 2 与l l 3 也是垂直的 在三边形瓦荔中，由勾股定理可知 s 2 = 届+ 忍一兄】忍 硕士学位论文 又因为 所以得到 由对称性知 岛= 岛= 1 ，r 3 = 1 ， q 2 = 1 q l = 1 所以点三1 如与点l 2 l 3 是垂直的，又点l 2 厶在直线如上，故三2 就是偶瓦恧刁两的一。 条基线同理，三1 也是偶瓦砭面的一条基线而这与基线的唯一性相矛盾& r 3 = s q 1 所以由方程组 e 黾 耻忌= 涮 引理3 1 4 4 1 】设可瓦是一条边，这条边两石具有一个中点当且仅当p ( n 1 ，0 2 ) 是 6 1 三i x l ：y l ：z 1 ，6 2 三i x 2 ：y 2 ：勿】 则边瓦而有且仅有两个中点若将点o l ，a 2 正规化，使得 则这两个中点分别为 并且 z ；+ y 一z = z ；+ 谚一霹， m l 三i x l + x 2 ：y l + y 2 ：z l + 勿】，m 2 三i x l 一x 2 ：y l 一耽：z l 一勿】 m l 上m 2 定理3 1 5 设有一个等腰三边形五硒，且有 a l = l 2 l 3 ，a 2 = l 1 l 3 ，a 35l t l 2 ； q l = q ( a 2 ，a 3 ) ，q 2 = q ( a l ，a 3 ) ，q 3 = g ( n 1 ，0 2 ) ； s 1 = s ( l 2 ，5 3 ) ，s ；= s ( l 1 ，5 3 ) ，冤= s ( l 1 ，l 2