（计算数学专业论文）关于水平集在图像分割中应用的研究.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 在对图像的研究和应用中，图像分割是图像处理的重要研究内容之一。人们 往往只对图像的某些部分感兴趣，图象分割的目的是将原始图象划分为一系列有 意义的区域或提取图象中感兴趣的区域。 本文首先介绍了几种传统的图像分割方法，其次系统研究了水平集方法。基 于几何形变模型的水平集方法，将二维( 三维) 的闭合曲线( 曲面) 的演化问题转化 为高维空间中水平集函数曲面演化的隐含方式来求解，由于其拓扑自适应能力和 稳健的数值性态在图像分割等诸多领域得到广泛应用。并详细介绍了g a c 模型， m u f o r d s h a h 模型的基本理论及其在图像分割领域的应用。 本文主要工作如下：首先编程实现了g a c 模型和简化的m s 模型( c v 方法) 。 对结果进行分析，指出其缺陷性。其次对c v 方法提出改进方案，将其与g a c 模型结合，在考虑图像的同质区域信息的同时考虑图像的梯度信息，实验结果表 明该方法可弥补其的不足，既能得到了更优的全局解又降低了计算的时间复杂 度。另外提出了c v 双水平集方法，该方法具有理想的区域划分方案，可以分 割具有多个不同图像区域的图像。 关键词：图像分割：偏微分方程：水平集方法：g a c 模型：简化的m _ - s 模型：双 水平集 西北大学硕士学位论文 t h er e s e a r c ho fl e v e is e tm e t h o di i m a g es e g m e n t a t i o n a b s t r a c t h lt h er c s e a r c ha n d 印p l i c a t i o o fi i n a g e ，i m a g es e g r n e m a t i o ni s 距i i n p o n a n t p a r to fi m a g ep r o c e s s i n g p p l eo f t e no n l yi m e r e s t e di nc e r t a i np a r t so ft h ei m a g e ， a c c o r d i n gt om f r e r e n ti n l a g ea n a l y s i st a s k ，i m a g es e g r n e n t a t i o na i m sa tp a f t i t i o nt h e o r i g i n a l i m a g ei n t os e v e r a lm e a n i n g 血lr c 百o n so ri s o l a t i n gt h er e 画o no f i m c r e s t i n 吕 i i l 廿l i sp a p e r ，s e v e r a l 仃a d i t i o n a li m a g es e 鲫e n t a t i o nm e m o d sa r ei n 仃o d u c e d f i r s t l v ，t h e nt 1 1 eb a s i cm e o r vo nl e v c ls e tm e t h o di ss y s t e m a t i c a l i yr e s e 疵h e d t h e 1 e v e ls e tm e t h o db a s e do n 鼯o m e 砸cd e f o 册a b l em o d e l ，w h i c ht r a n s l a t e st h ep r o b l 锄 o fe v o l u t i o no f2 dc l o s ec u n 7 ei n t ot l l ee v o l u t i o no f1 e v e ls e t 劬c t i o ni i lm es d a c e w i 血h j 2 1 1 e rd i m e i l s i o n g e o m e l r i cd e f o m l a b l em o d e li sm a d et l l ew i d e s p r e a d a p p l i c a t i o ni ni m a g es e g m t a t i o nb e c a u s eo f a u t o - a d a p t e da b i l i t yo f t 叩o l o g y 锄dt h e s t e a d vv a l u ec o n d i t i o n a n dg e o d e s i ca c t i v ec ：o n t o u rm o d e la n dm o m f o r d s ha ：h m o d e la sw e l la st h e i ra p p l i c a t i o ni ni m a g es e 鲫e n t a t i o nf i e l di sd i s c u 豁e d 1 1 1 i sa r t i c l eb 血n et a s ki s 器f 0 1 l o w s ：f i r s t l yt 1 1 eg a cm o d e l 锄ds i m p l ym s m o d e la r ep r o 盯锄m e d ，a 1 1 dt l l ed r a w b a c k so ft h e s em e t h o d si sp o i n t e do u tt l l r o u g l l e x p e r i m e m sa n a l v s i s t h ei i n p r o v e dm e t h o di sp r o p o s e dw l l i c hc o m b i n e sg a cm o d e l 柚ds i m 口l vm sm o d e l ( c - vm e t h o d ) ，t 1 1 em e t h o dc o n s i d e rm ei n f o r m a t i o no f 灯a d i e l l t i i l f o 肌a t i o n 勰w e l l 邪h o m o g e i t yr e 西o ni n f o m a t i o n t h ee x p e r i m e n t a lr c 锄1 t s h o wt h a tt h i sm e t l l o dc a nm a k eu pt h ed e f b c t so f t h e m u s i n gt l l i sm e t h o d ，t h eo v e r a u s o l u t i o nc a nb er e c e i v e d ，a n dt h ec o m p l e x i t yo fm n 血n gt i m ec a nb er e d u c e d h l a d d i t i o nc vd o u b l el e v e ls e tm e t h o di sp m p o s e d ，nh a s 锄i d e a ls c h e m eo fr e 西o n p a n i t i o na n di sa b l et os e 毋n e i l tt h ei m a g ew h i c hh a sm a n yd i f f e r e n tr e 西o n s k e y w o r d s ：i m a g es e g n l c n t a t i o n ；p a n i a ld i m 姗t i a le q u a t i o n s ；l e v e ls e tm e m o d ； g a cm o d e l ：m sm o d e l ；d o u b l ek v e ls e t i l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：盔豳翊 指导教师签名：硅垒硷 2 j d d 富年6 月协日溯彦年月l 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：店厕圣肯 2 。op 年6 月仁日 西北大学硕士论文 第一章绪论 图像是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接 或间接作用于人眼并进而产生视知觉的实体。图像中包含了它所表达物体的丰富 描述信息，是我们最主要的信息来源。在对图像的研究和应用中，人们往往仅对 图像中的某些部分感兴趣。这些部分常称为目标和前景( 其它部分称为背景) ，它 们一般对应图像中具有独特性质的区域。为了辨识和分析图像中的目标，需要将 它们从图像中分离提取出来，在此基础上才有可能进一步对目标进行利用。图像 分割就是指把图像分成各具特性的区域并提取出感兴趣目标的技术和过程。 1 1 图像分割的目的和意义 在大多数自动图像模式识别和场景分析中，图像分割是一个基本的预备步 骤。图像理解的重点是在图像分析的基础上，进一步研究图像中各目标的性质和 它们之间的联系，并得出对原始成像客观场景的解释，从而指导和规划行动。一 方面，它是目标表达的基础，对特征测量有重要的影响。另一方面，因为图像分 割及其基于分割的目标表达、特征提取和参数测量等将原始图像转化为更抽象更 紧凑的形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。 图像分割在很多方面，如医学图像分析，交通监控等，都有着非常广泛的应 用卜”，具有重要的意义。 ( 1 ) 分割的结果常用于图像分析，如不同形式图像的配准与融合，结构的测 量，图像重建以及运动跟踪等。 ( 2 ) 在系统仿真，效果评估，图像的3 d 重建以及三维定位等可视化系统 中，图像分割都是预处理的重要步骤。 ( 3 ) 图像分割可在不丢失有用信息的前提下进行数据压缩，这就降低了传输 的带宽，对提高图像在因特网上的传输速度至关重要。 ( 4 ) 分割后的图像与噪声的关系减弱，具有降噪功能，便于图像的理解。 1 2 本课题的研究背景及现状 图像分割是图像处理技术中的一项关键技术，自2 0 世纪7 0 年代起一直受到人 们的高度重视，至今已提出许多种检测算法。如经典的一阶微分法和二阶微分法 西北大学硕t 论文 等，但这些方法对噪声敏感，抗噪性能差，并常常会在检测边缘的同时加强噪声。 在图像分割最初发展的二十年里，人们主要对三种分割方法：闽值分割、边缘检 测和区域提取进行研究。在闽值方法中，利用背景和物体的灰度不同来进行图像 分割；在边缘方法中，则先确定边缘像素，并把它们连接起来以构成所需的边界。 在利用区域的方法时，把各像素划归到各个物体或区域中。进入八十年代以后， 越来越多的学者开始将模糊理论、马尔可夫模型、遗传算法理论、分形理论、神 经网络、形态学理论、小波理论等研究成果运用于图像分割的研究中，取得了很 大进展。 现在，图像分割方法通常分为基于区域的分割方法、边缘检测、结合区域与 边界技术的方法、基于模糊集理论的方法、基于神经网络的方法以及图像分割领 域的其它方法。图像分割技术从兴起到现在，算法上得到了不断的改进和创新， 已经取得了很大的进步。但由于图像种类的多样性，很难用一个精确的数学公式 来表征图像分割的过程。因此，尽管分割的方法很多，但还没有一种通用的、能 使各种类型的图像达到最优分割质量的图像分割方法，所提出的各种图像分割方 法都只是针对特定类型的图像取得一个质量较好的分割结果。一般来说，对图像 分割方法的选择，都应依据图像和目标而异。能否找到一个统一的方法来用于所 有图像的分割是现在许多学者研究的方向。 近些年，基于变形的模型方法成为目前研究最多，应用最广的分割方法。变 形模型提供了一种高效的图像分析方法，它结合了几何学、物理学和近似理论。 通过使用从图像数据获得的约束信息( 自底向上) 和目标的位置、大小和形状等先 验知识( 自顶向下) ，可有效地对目标进行分割、匹配和跟踪分析。早期的基于变 形模型的的方法主要是主动轮廓，参数主动轮廓的分割过程是利用曲线随时间的 变形，假设演化曲线为c ( p ，f ) = x ( p ，r ) ，y ( p ，f ) ，这里p 是任意的参数化变量，而 t 是时间。设曲线的内向单位法向量为n ，曲率为k ，则曲线沿其单位法矢方向的 演化过程可以用如下偏微分方程表示： a 一 = v ( 七) j v ( 1 _ 1 ) 研 上式中v ( 露) 的为法向速率，决定曲线上每点的演化速度。这种方法强烈依赖曲线 的初始位置，进入凹陷困难，常陷于局部最优，且不支持拓扑改变。 2 西北大学硕1 二论文 水平集方法( 1 e v e ls e t ) 最初由0 s h e r 和s e t h i a n 提出m 】，其基本思想是将 二维闭合曲线演化问题转化为三维曲面问题来求解，它不是试图去跟踪演化后的 曲线位置，而是遵循一定的规律，在二维固定坐标系中不断更新水平集函数，从 而达到演化隐含在水平集函数中的闭合曲线的目的。这种演化曲线方式的最大特 点是：即使隐含在水平集函数中的闭合曲线发生了拓扑结构的变化，水平集函数 依旧保持为一个有效的函数。 由于几何活动轮廓模型的良好特性，已经引起了越来越多的关注，并在图 像处理和计算机视觉领域得到广泛的应用。如s e t h i a n 等利用水平集方法来去除 图像噪声，既保留了目标边缘，又达到了消噪的目的；m a l l a d i 将水平集方法创 造性地运用到图像分割中，并在图像的分割与重建中达到了传统平面曲线演化方 法难以达到的效果；m a n s o u r i 将运动分割问题视为寻找隔离运动目标的最短闭合 曲线问题，从而将水平集方法应用于运动目标跟踪领域；p a r o g i a s 和d e r i c h e 用 水平集方法进行运动目标检测与跟踪，他们的方法同时结合了区域信息和边缘技 术，因此得到了令人满意的结果。 1 3 本文的主要工作 第一章对图像处理的意义及各种方法的简单介绍。 第二章对传统的分割方法做了细致的描述，介绍了常用的算法和算子，对比 并分析对同一幅图像处理的结果。 第三章详细介绍了曲线演化理论、水平集方法以及数值计算。 第四章介绍了测地线活动轮廓模型及m u m f o r d s h a h 模型的理论基础，并对其 缺陷提出了改进方案，同时提出双水平集的c v 方法。 第五章总结与展望。 西北大学硕士论文 第二章传统的图像分割方法 上章对传统的图像分割方法做了概念性的描述，在本章将对这些方法的实 现做详细的介绍8 ”。 2 1 阈值法 由于实现的直观性和简单性，图像阈值处理在图像分割应用中占有重要的位 置。它根据图像的整体和局部的灰度信息，选择一个或几个阈值，从而将图像分 割为目标与背景或多个目标与背景的区域。阈值分割通常作为预处理，其后再应 用其它一些分割方法进行处理，它常用于c t 图像中皮肤、骨骼的分割。阈值法的 核心是如何正确的选择阈值，最普遍、最简单的方法就是基于灰度直方图的闽值 选取。 假设图2 1 为图像，( x ，力的直方图，该图像由暗于背景的较亮对象组成，采 用这种方法，目标和背景像素会具有两种主要模式的灰度级。一种从背景上提取 对象的明显方法是选取一个阈值t 来分离这两种模式。任何满足，( j ，y ) r 的点 ( 工，y ) 称为对象点，其它点则称为背景点。换言之，阈值处理后的图像g ( j ，j ，) 定 义为 m 朋= 嬲曷 标注为1 的像素对应于对象，而标注为o 的像素对应于背景。t 为常数时这种方法 称为全局阈值处理，允许闽值变化的方法称为局部闽值处理。 闽值分割的缺点是，不适用于多通道图像和特征值相差不大的图像，对于图 像不存在明显的灰度差异或物体的灰度值范围有较大重叠的图像分割问题难以 得到准确的结果。另外，由于它仅仅考虑图像的狄度信息而没有考虑图像的空间 信息，因此对噪声的灰度不均匀性很敏感。 4 西北大学硕士论文 1 l 图z 1 图像的直方图 f i g u r c 2 1h i s t o 跖帅o f i i l l a g c 2 2 基于边界的图像分割 在一副图像中，各个对象的内部灰度值可能有各种不同的变化，但对象的边 界常对应于灰度值的急剧改变，灰度值的急剧改变定义为图像的边缘，数学上可 以用图像的梯度模值 i 肘( x ，) ，) ：= i v ，( 工，y ) i = ( e + e ) 2 ( 2 1 ) 来刻画图像在某一点( 石，y ) 的灰度变化的大小，并且将吖( y ) 达到局部极大值定 义为边缘所在的位置。这样一来，确定物体边界问题就转化为边缘检测问题，常 用的计算梯度的方法是用有限差分来近似。下面介绍几种经典的边缘检测算子： 2 2 1s o b e l 算子 s o b e l 算子采用3 x 3 邻域可以避免在像素之间内插点上计算梯度。考虑表2 1 中所示的点( f ，) 周围点的排列。 表2 1o ，) 点邻域像素点示意图 t a b l e 2 1s k c l c h o f n c i g h b o i 士1 0 0 d p i x e l so f ( f ，) ， 口o 口5 ( f ，- ，) q 4 d 32 s o b e l 算子的梯度幅值可表示为 西北大学硕士论文 m = 拉毛 其中的偏导数用下式计算： 占，= 矿( x + 1 ，y 一1 ) + 2 ，( j + 1 ，y ) + ( 工+ 1 ，j ，+ 1 ) ) 一 ，( x 一1 ，y 一1 ) + 2 ，( x 一1 ，力+ ，( x + 1 ，y + 1 ) s 。= ，( 工一1 ，y + 1 ) + 2 厂( 工，y + 1 ) + 厂( 工+ 1 ，y + 1 ) ) 一 厂( x 一1 ，y 一1 ) + 2 ，( 工，y 一1 ) + 厂( 算+ 1 ，y 一1 ) ) ( 2 2 ) s ，和s ，可用下列卷积模板来实现： 表2 2 实现s ，和5 ，的卷积模板 t a b l e2 2t e n l p l a t eo f c 彻v o l u 廿0 l lt or e a l i z e j j a n ds v lol 一2o2 1 o 1 5 | 5 v s o b e l 算子检测出来的边缘可能大于2 个像素。对精度要求比较高的场合需要 对边缘细化。s o b e l 算子利用像素点上下、左右相邻点的灰度加权算法，根据在 边缘点处达到极值这一现象进行边缘检测。因此s o b e l 算子对噪声具有平滑作用， 提供较为精确的边缘方向信息。但是，正是由于局部平均的影响，它同时也会检 测出许多伪边缘，且边缘定位精度不够高。所以，当对精度要求不是很高时，这 是一种较为常用的边缘检测方法。 2 2 2 拉普拉斯边缘算子 拉普拉斯( l a p a l a c i a n ) 算子是一种常用的二阶导数算子，实际中可根据二阶 导数算子过零点的性质来确定边缘的位置。对一个连续函数，( y ) ，它在位置 ( y ) 的拉普拉斯值定义为如下： v 2 = 窘+ 軎出。c v 。 两北大学硕十论文 其中，( z ，) ，) 是具有整数像素坐标的输入图像。它通常可以用下表的形式以数值化 方式的卷积核来表示： 表2 3l a p a l a c i a n 卷积核 t 曲1 e2 3c o n v o l u t i 彻k 釉e lo fl a p a l a c i a i l o lo 一141 0一l0 111 18一l lll 当l a p a l a c i a n 算子输出出现过零点时就表明有边缘存在，其中忽略无意义的 过零点( 均匀零区) 。对于零交叉点刚好在两个中心像素之间时，边缘可以用其左 边或者右边像素来标记( 整幅图像的标记必须一致) 。多数情况下，零交叉点很少 恰好在两个像素点中间，因此边缘的实际位置要通过内差方法来确定。原则上， 过零点的位置精度可以通过线性内插值方法精确得到子像素分辨率，对于含有噪 声的图像，在利用l 印a l a c i a n 算子之前，通常选用c a u s s 低通滤波进行预先平滑。 基于边界的图像分割方法计算量小，边界探测的速度也很快，但是也存在着 一些问题，容易产生对边缘点的错误追踪，可能产生伪边缘、不连续边缘甚至边 缘丢失，不能保证封闭的边缘。此外，提取出的边缘是基于灰度变化的某种准则 而得到的“图像意义上的边缘”，这种边缘可能不与实际边缘完全对应。因此， 它们具有灵敏性和确定性不足的问题。 下图为两种算子对同一幅图像的的处理结果： 两北人学硕1 ：论文 a 原图 bs o b e l 算子处理结果cl a p a l a c i a n 算子处理结果 图2 2 两种算子对图像r i c e 的分割结果 f i g u r e 2 2s e g m e n 伽0 no f i m a g er i c eb ym oo p e m t o r s 2 3 基于区域的图像分割 成。 区域分割的目的是把图像分成区域，通过基于像素属性的分布的阈值来完 令集合r 代表整个图像区域，对r 的分割看作是把r 分成n 个子区域r ，r ：， r r 。的处理，满足： ( b ) r ；是一个链接区域，i = l ，2 n 。 ( c ) r ；nq 2 ，对所有的i 和j ，i j 。 ( d ) p ( r ；) 2 t r u e ，对i 2 l ，2 ，n 。 ( e ) p ( r u 矗j ) = f a l s e ，对任何邻接区域a 其中，p ( 矗，) 是定义在集合r ，中的点上的逻辑谓词，中是空集。 条件( a ) 指出分割必须是完全的，即每个点都必须在一个区域内。条件( b ) 黑 西北大学硕一l 论文 要求区域中的点应该按预先定义好的方式连接的。条件( c ) 说明区域间不相交。 条件( d ) 分割区域中的像素点必须满足的性质例如，若所有足中的像素有 相同的灰度区，则p ( 胄，) = 豫晒。最后，条件( e ) 指出，邻近区域的月i 和r ，在 谓词p 上的意义是不一样的。 区域生长的基本思想是将具有相似性质的像素集合起来构成区域。具体先对 每个需要分割的区域找一个种子像素作为生长的起点，然后将种子像素周围邻域 中与种子像素有相同或相似性质的像素( 根据某种事先确定的生长或相似准则来 判断) 合并到种子像素所在的区域中。将这些新像素当做新的种子像素继续进行 上面的过程，直到再没有满足条件的像素可被包括进来，这样一个区域就长成了。 在实际应用区域生长法时需要解决三个问题： 选择或确定一组能正确代表所需区域的种子像素； 确定在生长过程中能将相邻像素包括进来的准则； 制定让生长过程停止的条件或规则。 分裂合并是先从整幅图像开始通过不断分裂得到各个区域。实际中常先把图 像分成任意大小且不重叠的区域，然后再合并或分裂这些区域以满足分割的要 求。 基于区域的分割方法都具有算法简单、容易实现、计算速度快等特点。尤其 是对于面积或体积计算以及易于鉴别的组织的分类。然而，它们也有一定的缺点 限制了它们的具体应用：没有提供任何关于分割区域的结构信息，因为要从分割 像素点集中提取有关的几何信息非常困难；容易受到图像的异常表现( 比如闭合 但是又独立的区域之问的错误桥形连接) ，或者一个区域阻挡了另一个区域的视 线的阻挡现象的影响，虽然能得到封闭的区域轮廓，但是边缘定位精确度不高。 西北大学硕士论文 第三章水平集方法 3 1 水平集方法理论基础 水平集( l e v e ls e t ) 方法是1 9 8 8 年由o s h e r 和s e t h i a n 首次提出，其思想是将 曲线或曲面看成一个函数的零水平集，通过函数的水平集演化来确定曲线和曲面 的演化。水平集方法自提出以来，已经在图像处理和计算机视觉等领域得到了广 泛的应用，除应用于图像分割之外，还可应用于图像去噪与增强呷1 “，图像修 复”，“】，运动目标跟踪呻。2 ”。 o s h e r 和s e t h i a n 提出可以将平面闭合曲线隐含地表达为三维连续曲面 妒( x ，y ) 的具有相同函数值的同值曲线，通常选 伊= o ) ，称为零水平集，妒“y ) 则称为水平集函数。下图说明了水平集函数表达闭合曲线的方式。 a 平面曲线b 水平集函数表达 图3 1 平面封闭曲线及其水平集函数 f i g 啪七3 1p 1 a n ec k i s e dc u r v e 柚dm el e v e ls e t 如l c t i o n 下面简要说明水平集方法的数学表达及其与曲线演化的关系。 设连续函数妒( 石，弘f ) ：胄2 尺一是闭合曲线c ( p ，f ) ：o p 1 在t 时刻的隐含 表达，即t 时刻c ( p ，f ) 对应于妒( 工，y ，f ) 的零水平集 j 。( p ，o ) 2 眠y ) l 妒( 训，o ) 2 o ) ( 3 1 ) l c ( p ，f ) = ( x ，y ) ip ( x ，y ，f ) = o ) 水平集方法的目的就是要使水平集函数伊( x ，y ，f ) 在演化过程中，妒的零水平 集的平面闭合曲线 1 0 西北人学硕上论文 始终满足曲线演化的偏微分方程砉= v ( 女) ，其中v ( 七) 是速度函数，n 是曲线的 内向单位法向量，对方程( 3 2 ) 求全微分得 v 妒墨+ 塑：o ( 3 3 ) 西a f 其中v 妒是伊的梯度。 设s 是闭合曲线c 的弧长参数，根据水平集函数的定义，妒沿衄线c 的方向的 变化量为o ，即纯= o = 吼工，+ 吼y ，= ，这样v p 就垂直于闭合曲线c 的 切线，因此，v 妒和c 的法线同向。假设函数矿位于c 内部的部分为负，外部部分 为正，则水平集c 的内向单位法向量就是 一一尚 c 。a ， 将( 1 1 ) 式和( 3 4 ) 式带入( 3 3 ) 式，可得 仍2 却删= v ”( 七) 尚叫七) l v 刊 ( 3 5 ) 整理后，可得 等= v ( 女) 刚 ( 3 - 6 ) a 、“ 这样任意的水平集函数( 工，y ) ：( 岛) = o ，方程( 3 6 ) 可以保证水平集函数 妒( 工，弘f ) 随时间的演化满足印( c ( p ，f ) ，f 】) = o ) 的条件，即尹的零水平集始终是活 动轮廓线c ( p ，f ) ，上述方称是曲线演化方程的欧氏表达。曲线的曲率可又水平集 函数表示为 尚2 等篙 7 ) 在具体实现水平集方法时，通常将水平集函数选取为由初始曲线生成的符号 距离函数( s i g n e dd i s t a n c ef u n c t i o n ) ，记为s d f 。设妒( 工，_ y ，f = 0 ) = d ( j ，y ) 是s d f ， 西北大学硕士论文 妒( 工，y ，f = 0 ) = d ( x ，y ) ( 3 8 ) 其中，d ( y ) 是点( 工，y ) 到初始曲线c 0 的距离，其符号根据点( j ，y ) 在c o 的内外部 而定，如果( 工，) ，) 位于c 0 的内部，可取正号( 或负号) ，反之取负号( 或正号) 。在 曲线演化过程中要求水平集函数始终保持为符号距离函数。因此，s d f 的快速稳 定计算，对于提高水平集方法的效率和稳定性来说是十分重要的。 因为演化方程仅从零水平集推导而来，一般速度函数只定义在零水平集，其 它水平集没有定义，不过，单位法矢和曲率在所有的水平集都定义。因此，演化 妒时需要一种方法将速度函数v ( j ) 推广到所有的水平集，变为延拓的速度场 k ，( t ) 瞵。然而许多速度场的延拓的方法常导致水平集函数不能保持符号距离 函数，从而引起单位法矢和曲率计算上的误差。为减小误差，在经过若干步更新 迭代后要重新初始化。 3 2 变分法和梯度下降流 在许多应用数学的领域中，会遇到这样一种问题，它的解归结于最小化某一 能量泛函( e n e r g yf u n c t i o n a l ) 。在一维情况下，这一泛函有如下一般形式 e ( “) = f 1 ，( j ，“，“，) 出 ( 3 9 ) 其中函数“( 功必须满足边界条件“( ) = 口，“( 并，) = 6 。由微积分的知识我们知道， 函数厂( x ) 的极值对应于，= o 的点，与此相类似，e ( ”) 的极值对应于a 酬却= o 的函数“( z ) 。为了求出一阶变分e ，我们考虑对最优解做一微扰v ( 石) ，得 “( z ) + “工) ，当v ( 和v ( 工) 足够小时，有 于是 f ( 训“+ v + ) ：f ( 训，“) + 竽v + 罢+ 础 咖 卿+ v ) 叫卅( v 鼍“等胁 考虑到函数“( x ) + v ( 力也许不满足上述边界条件，即“( j 。) + v ( j 。) = 口， 西北大学硕七论文 “( ) + v ( 工。) = 6 ，故有v ( ) = o ，“而) = o ，从而根据分部积分法有 v = e = v 等盱：v 丢c 争出= 一e v 丢尝边 带入前式得 e ( “+ d ：e ( 。) + 阻罢一v 要( 等) 弘 ( 3 1 0 ) 咖黜内 可见，当e ( “) 达到极值，以致对“( 曲的微扰“曲，e 的值不改变，则它应满足 篓一；( 罂) ：o ( 3 1 1 ) 乩出、抛。 此式称为变分问题( 3 9 ) 式的e u l e r 方程。 对于二维情况 e = j f f o ，y ，刚，) 嘞 ( 3 1 2 ) 采用完全类似的推导方法可得到对应的e u l e r 方程 罢一要( 要) 一要( 5 ：o ( 3 1 3 ) 面一五瓦一万一- o 3 1 3 从以上的讨论的可知，求解能量泛函极值问题归结为求解相应的e u l e r 方程。 可惜，只有在极少数简单的情况下，e u l e r 方程可有解析解，而在大多数实际应 用问题中，不可能直接求解。所以我们需要一种数值算法来解决该方程的求解问 题，梯度下降流( g r a d i e n td e s c a n tf l o w ) 就是为了变分问题的数值解法而提 出的。现在我们在函数“( ) 中引入一个辅助变量，“时间t ”，并需要“( ，f ) 随时 间的变化总是使e ( “( ，f ) ) 减小。那么u 遵循怎样的演化方式才能满足这一要求呢? 现假定微扰项v 是由于u 从t 到f + 缸所产生的，即 v ：“：竺r 扰 这样( 3 1 0 ) 式就可改写为 西北人学硕士论文 脚心脚h 卅出睁篆一丢c 出 如果令 詈= 1 誓一丢c 詈肛丢c 箸卜鼍西。缸出、加“凼、锄加 ( 3 1 4 ) 那么 缸：e ( ，f + 址) 一e ( 吖) ：一ff 【罢一要( 罢) 】：出o 。础积咖 可见只要u 随着时间按( 3 1 4 ) 式演化，则能量泛函e ( “) 将随时间单调下降，故 称( 3 1 4 ) 式为变分问题( 3 9 ) 式的梯度下降流。这样一来，我们可以从某一 选定的初始函数“。开始，根据( 3 1 4 ) 式做迭代计算，直到u 达到稳态解为止， 这时 罢：o - 罢一要( 罢) ：o 西加出、抛 可见梯度下降流的稳态解也就是e u l e r 方程的解。类似地，关于( 3 1 2 ) 式的梯 度下降流为 詈= 丢c 差，+ 茜c 毒一等 c s ，s ， 值得特别注意的是在应用梯度下降流求解时，在e ( “) 不是凸性函数时，梯度下 降流的解可能由于选用不同的初始值“。( x ) 而得到不同的局部极小解而非全局最 小解。只有当e ( “) 是凸性时，它有唯一极小解，从而梯度下降流可得到与初始 条件无关的唯一解。 3 3 水平集方法的数值计算 水平集方法的数值计算，可以利用有限差分方法的离散网格结构进行近似求 解。设离散网格的问隔为h ，在n 时刻，点( f ，) 处的水平集函数为群， 群= 妒( 肪，加，f ) ，f 是时间步长，水平集函数演化的偏微分方程( 3 6 ) 可以 离散化为： 1 4 西北大学硕士论文 华州( v 榭) - o ( 3 1 6 ) 上式中嵋表示n 时刻扩展速度函数v 。位于网格点( f ，) 处的值，为解决水平集函 数的奇异性问题，计算中利用了基于波前传导的熵守恒原理，熵守恒原理应用在 偏微分方程的求解上，就是偏微分方程的粘滞解方法。在这里给出该数值方法。 对于空间变量x 上的一阶偏导用如下差分方法： d 己= 母i 。i 一9 i _ 。i d 若= 9 i “j 一9 i i d 嚣= ( 纯扎，一依一l ，) 2 以上三式分别称为向后差分，向前差分和中心差分。同样对于空间变量y 上的一 阶差分为： d 己= 9 i 。i 一争i ，j - d 罨= p “一q i j d 孑= ( 红小。一仍，h ) 2 则满足熵守恒的完整数值解方案为： ，= 呜+ f 【m a x ( v l o ) v + + l i l i n ( 叶o ) v _ 】 ( 3 1 7 ) 上式中的 v 一= ( m a ) 【( d 等，o ) ) 2 + ( 仃l i n ( d 孑，o ) ) 2 + ( m a 】【( d 孑，o ) ) 2 + ( m i n ( d 嚣，o ) ) 2 】2 v + = ( m a x ( d 百，o ) ) 2 + ( m i n ( d 善，o ) ) 2 + ( m a x ( d 菇，o ) ) 2 + ( n l i n ( d 若，o ) ) 2 】2 由于这一数值计算公式是基于与数值流量方向相对应的单边差分实现的，因此， 也称为迎风单边差分方案。 通过方程( 3 1 7 ) ，利用迭代法不断更新水平集函数，更新完成后，利用轮 廓检测方法，提取更新后的水平集函数的零水平集，即可得到更新后的闭合活动 轮廓曲线。直接利用这种数值方法计算水平集函数的演化时，需要在全图像域更 新水平集函数，计算量很大，研究人员又提出了多种水平集函数演化的快速算法， 最主要的是窄带法【2 6 j ( n a r r o wb a n d ) 和快速行进法( f a s tm a r c h i n gm e t h o d ) 。 西北大学硕士论文 第四章测地线活动模型及m u m f o r - s h a h 模型 常见的几何活动轮廓模型印。8 1 可以分为两大类，基于边界的活动轮廓模型 2 ”1 和基于区域的活动轮廓模型。本章主要介绍基于边界的测地线活动轮廓模 型和基于区域的简化的m u m f o r d s h a h 模型。 4 1 测地线活动轮廓模型 图像分割中的活动轮廓模型是由m k a s s 等人的工作m 。”开始的，其基本思想 是将图像分割问题归结为最小化一个封闭曲线的“能量”泛函 目c ( p ) 】= 口j 1 q ( 圳勿+ j l c 。( p ) j 2 和一五j 1 w 【c ( p ) 坳 ( 4 1 ) 其中第一项的积分是曲线的e u c l i d e a n 弧长，第二项 1 c 圳2 咖= 参2 咖 表示曲线的震荡“能量”。因而晟小化这两项就是要求闭合曲线尽可能短并且尽 可能平滑，在短程化弧长的过程中也将使曲线平滑，因而第二项要求可不必单独 提出。对第三项的意义做详细的讨论。从第二章基于图像边缘的分割方法的讨论 可知，图像的对象和背景的分界处存在灰度值的较大差异，那么对象的轮廓就对 应于明显的边缘，即图像梯度模值1 w i 在对象的边界达到局部极大值。可见第三 项最大化就是要求封闭曲线尽可能落在i v i 较大的位置。可见该模型的基本思想 与传统的基于边缘的图像分割方法是相同的。但由于这一模型的前提是c ( p ) 为封 闭曲线，因而它的解不会产生传统方法中的“断裂”问题。 为了避免第三项前的负号，可引入一个新的函数g ( r ) ，r + ，它可以是具 有单调递减的非负函数，这样可以保证1 w l 的局部极大值对应于g ( i v 加的局部极 小值，最大化j w c ( p ) 】| 印等价于最小化b ( 1 w 【c ( p ) i ) 印，则( 4 1 ) 可改写为 西北大学硕士论文 l1 研c ( p ) 】_ qj 1 q ( p ) 陋+ 搿：扣( j w c ( p ) 】1 ) 印 ( 4 2 ) 该模型存在一个严重的缺陷，即它不仅依赖曲线的几何形状，而且依赖于曲 线的参数p ，为可克服这一缺点，g s a p i r o 根据f e r m a t 原理提出了测地线活动轮 廓模型( g e o d e s i ca c t i v ec o n t o u r ，g a c ) 模型，在该模型中不含自由参数， 目前被认为是图像分割的p d e 方法最基本的活动轮廓模型之一。 定义如下“能量”泛函： k = f g ( 【w ( c ( s ) ) i ) 出 ( 4 3 ) 三( c ) 表示封闭曲线c ( s ) 的总长，因此g a c 模型认为对象轮廓对应于以g ( ) 为加权 函数的最短程闭合曲线，由于它是建立在以曲线的固有几何性质一弧长为基础上 的，因而消除了原有模型的依赖于自由参数的缺陷。最小化( 4 3 ) 式所对应的 梯度下降流为： 喜= g ( i v ，d 廊一( 豫，膏) 膏 ( 4 4 ) 其中g 应理解为g ( 1 v ，( 五y 1 ) 所定义的二维函数。即g ( z ，j ，) = g ( 1 w ( x ，y ) i ) ，常用的边 缘函数为g ( r ) 2 再言万，p - 1 ，2 ，其中k 为选定的常数，它可控制g 的下降速率。 ( 4 4 ) 式的前一项，是曲线的曲率乘以非负标量因子，它的作用是：在曲率为 正的局部，曲线向内收缩，而在曲率为负的局部，曲线将向外扩张。曲线总的长 度将逐渐缩小，并且逐渐平滑。 总之，按照g a c 模型的演化方程( 4 4 ) 式，曲线运动将两种力的支配，一 种力来自于曲率几何形变一曲率运动，它的强弱要受到因子g “y ) 的影响。在图 像的边缘附近l v ，l 有较大值，从而g 佤_ y ) 有较小的值，故在图像的边缘附近，前 一种力的作用将变得很小，即曲率运动部分将基本上起不到作用。因此，也把边 缘函数g ( 阳( z ，圳) 称为边缘停止函数。第二种力来自于梯度v 奢，它是一种不论当 前c 的局部是在对象边缘的内部还是外部，都能将曲线引向边界的吸力。从而使 曲线演化可最终达到贴近边界的稳定状态。这也是实现图像分割的理想状态。 利用第三章的方法，g a c 模型所对应的水平集方法的p d e 为 西北大学硕士论文 鲁制地尚 s ， 在以上的推导中已隐蔽地使用了速度场的自然延拓，即将( 4 4 ) 式中的零水平 集的曲率和法矢量延拓为水平集函数的所有水平集的曲率和法矢量。所以当利用 迎风方案对该式做数值实现时，需重新初始化。 下面是对一副6 4 6 4 的人工图片的处理结果，时间间隔疵为0 0 3 ，经过8 0 0 次迭代，每2 0 0 次进行一次初始化。 圜 图4 1g a c 模型对合成图像的分剖 f i g 盯e 4 1s e 舯e r 血o no f s y i l l l l e s i si “1 a g eb yg a cm o d e l 基于图像边界的分割模型最大的缺点就是分割结果和初始化条件相关，这是 因为它只是利用了活动轮廓线所在位置或其周围的图像局部信息，难以综合利用 图像的全局信息，这容易导致轮廓线越过边缘且不再返回到正确位置或者演化不 到正确的边界，也就是说曲线的运动方向也是固定的，一旦变形曲线突破图像的 边界，就难于正确返回，导致分割的失败。g a c 模型中为了使曲线演化能稳定理 想的局部极小值而不是稳定在其它非理想的局部极小值，初始曲线的选用就变成 了一个至关重要的问题。如上图给出的实验结果，利用一个包围对象的的封闭曲 线作为初始曲线，能够得到正确的分割。由于初始曲线要相当靠近对象边界这一 要求，从实践的观点来看是完全不能接受的，因为这就是要求人工描绘轮廓，而 计算机图像处理的目标是完全自动或最低限度的人工干预。而且该模型难以处理 凹形边界和带有内部空洞的目标，如下图： 日 图4 2g a c 模型对带有凹形边界的图像的分割 f i g u r e 4 2s e g m e n t a t i 蚰o f i m a g ew 1 1 i c hh v e c o n c a v ee d g eb yg a ci n o d e l 1 8 西北大学硕_ 上论文 测地线活动轮廓模型还有一个缺陷，如果图像的噪声很大，这样会使图像的 边缘变模糊，即使活动轮廓线能够停止，得到的也是错误的分割。 4 2m u m f o r d s h a h 模型 m u m f o r d s h a h 模型( 简称m s 模型) 能够很好地解决g a c 图像分割中存在的 这些问题，m u m f o r d s h a h 模型的偏微分方程所涉及的图像函数，( x ，) ，) 的定义域 是全局数据，而g a c 模型仅利用轮廓线所在位置的图像数据。因此，m s 模型的一 个非常显著的特点就是全局优化，仅有一条闭合初始曲线，就可以把带有凹形