高等数学B上练习卷.doc

高等数学B(上)练习一一、填空题(每小题4分，共16分)1、 “函数在上有最大值和最小值”是在上连续的 条件，“函数在上连续”是在上可积的 条件.(充分、必要或充要)2、 极限 .3、 设曲线的方程是，则曲线的拐点是 .4、设二阶非齐次线性微分方程有如下形式的特解：，则 二、选择题(每小题4分，共16分)5、 设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于 (A).(B).(C).(D).6、 极限等于 (A).(B).(C).(D).7、 设，则有 (A).(B).(C).(D).8、 图中曲线段的方程为，函数在区间上有连续的导数，则积分表示 （A） 直角三角形的面积. （B） 直角三角形的面积. （C） 曲边三角形的面积.（D） 曲边三角形的面积.三、微分学（每题8分，共16分）9. 设函数，求的最大值或最小值，并说明理由.10. 设函数由方程确定，又函数由方程确定，求复合函数的导数.四、积分学（共22分）11. （8分）设，求不定积分.12. （8分）求反常积分13. （6分）如果为连续的偶函数，且为周期为的周期函数，证明：五、应用题（每题10分，共20分）14. 求心形线的一段（）与轴及轴所围图形的面积.15. 某化学反应罐的外形的上部和下部为同样的半球面，中部为圆柱面，尺寸如右图所示（单位从略）.甲罐中斜线部分表示密度为的液态化学物. 现要将甲罐中的液态化学物全部抽到乙罐中，问需要做多少功？（重力加速度用表示）16、（10分）求二阶微分方程满足初始条件，的特解高等数学B(上) 练习二一.填空题（每小题4分，共16分）1. 函数在可微分是在上连续的 条件，函数在上连续是在上取得介于和之间的一切值的 条件.（充分、必要或充要）2. 极限 . 3、函数的最小值是 ，曲线的拐点是 . 4. 极限 . 二. 选择题（每小题4分，共16分）5. 设，当时，以上3个无穷小按照从低阶到高阶的排序是 （A）.（B）.（C）.（D）.6.设函数在区间连续，则以为 （A）可去间断点.（B）跳跃间断点.（C）无穷间断点.（D）振荡间断点.7. 设，则有 （A）. （B）.（C）.（D）.8. 设是连续函数 ,，则是 （A）（B）（C）（D）.三.微分学（每题8分，共16分）9. 求曲线上曲率最大的点.10.设函数由参数方程确定，试用数学归纳法证明，当时，有.四.积分学（共22分）11.（7分）求不定积分.12.（8分）求积分13.（7分）如果连续函数的图象关于直线对称，（1）证明：；（2）证明：五. 应用题（每题10分，共20分）14.求曲线的一段（）与轴围成的图形的面积.15.设一容器的表面是由曲线绕轴旋转一周而得. （1）若上述表达式中单位为m，求该容器的容积；（2）将该容器中盛满的水从容器上方抽出，则至少要做多少功？（水的密度为）六.微分方程（共10分）16.求微分方程满足的特解.高等数学B(上) 练习三一、填空选择题(每小题4分，共20分) 1 2的带佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式是 3已知，则函数 4设有下列4个条件： 在上连续； 在上有界； 在上可导； 在上可积则这4个条件之间的下列各关系中，正确的是 (A)； (B)； (C)； (D) 5设两辆汽车从静止开始加速沿直线路径前进，右图中给出的两条曲线和分别是两车的加速度曲线那么位于这两条曲线和直线之间的图形的面积所表示的物理意义是 二、(10分)已知函数，利用导数研究函数的性态并填写下表，并写出计算过程单 调增加区间极 值 点图形上的拐 点图形凸区间单 调减少区间图形凹区间渐 近 线三、计算导数：(每小题6分，共12分)(1)设函数由确定，求(2)设，求四、计算下列积分(每小题6分，共24分)： (1)；(2)；(3)； (4)设求五、(8分)由定积分换元法可证得如下结果： 若连续且为奇函数，则对于任意的，有； (1) 若连续且为偶函数，则对于任意的，有 (2) 现在考虑连续函数.设为一常数，满足以下的性质I或性质II: 性质I：对任意的，； 性质II：对任意的， 试将(1)式推广到满足性质I的上,将(2)式推广到满足性质II的上，写出相应的结果并加以证明六、(10分)设函数具有二阶导数且，直线是曲线上任一点处的切线记直线与曲线以及直线、所围成的图形的面积为 证明：的最小值七、(1)(8分)求解初值问题 (2)(8分)设满足微分方程，且其图形在点处的切线与曲线在该点的切线重合，求函数高等数学B(上) 练习四一、填空选择题（每小题4分，共20分） 1 2函数在处可导是曲线在点处有切线的 (充分条件、必要条件、充要条件) 3已知的一个原函数是，则 4 5设，其中在区间上连续，的图形如图所示，则在区间(0,5)内，以下结论中正确的是( ) (A) 有2个极值点，曲线上有4个拐点； (B) 有4个极值点，曲线上有2个拐点； (C) 有3个极值点，曲线上有4个拐点； (D) 有4个极值点，曲线上有3个拐点二、计算以下各题（每小题6分，共24分） 1设，求 2设函数由方程所确定，求3 4三、(10分)设 其中具有连续导数， (1)求出的表达式；(2)讨论在处的连续性 四、(10分)设有如下的证明题：“如果可导且， 证明对任一，有”某学生证明时，其证明过程分下列三步： 第一步：由积分中值定理得 (在与之间)； 第二步：上式两端求导得； 第三步：因为，故由上式得 (1)试指出上面三步证明中，哪一步是错误的? (简要说明理由) (2)给出正确的证明五、(10分)设A、B两点为抛物线上横坐标分别为和的两点，过A、B两点分别作抛物线的切线 (1)证明两条切线的交点的横坐标为(2)证明由这两条切线和抛物线所围成的平面图形的面积只与p 的值有关，而与的值无关。六、（10分）如图，一无盖容器的侧面由面上的双曲线(单位为m) 绕y轴旋转而成，底部位于过y轴上的点(0，-2)且垂直于y轴的平面上现从容器顶部以的常速向容器内注水问： (1)当注水时间为6分钟时，容器内水的高度为多少? (2)此时水面上升的速率是多少?七、 (1) (6分)求通解： (2) (10分)设函数具有二阶连续导数，且满足，求高等数学B(上) 练习五一、填空题 （共6小题，每小题4分，满分24分，只需将答案填入以下空格）1、 .2、函数由方程确定，则 .3、设函数，则 .4、不定积分 .5、设函数连续，且，则 .6、设是微分方程的一个解，则此微分方程满足条件的特解 .二、选择题 (共4小题，每小题4分，满分16分，只需将正确答案的代号填入以下空格)7、当时，函数是的 （A）同阶但非等价无穷小； （B）等价无穷大；（C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小.8、设函数在连续，且，则 (A) 函数的表达式必为； （B） 函数在处不可导；（C） 函数在处可导，且； （D） 函数在处可导，且.9、曲线与轴围成的图形的面积为 （A）； （B）；（C）； （D）.10、设函数、及均连续，且，、及均为微分方程的解，则必定有解 (A) ； （B）；(C) ； （D）.三、解答题 （共4小题，每小题7分，满分28分，需写出具体解题过程）11、讨论函数的间断点并指出其类型。12、求曲线的最大曲率.13、计算广义积分。14、求曲线之长四、（满分8分）已知函数在处连续，且，求极限五、（满分8分）计算定积分.六、（满分8分）设，试讨论函数与的大小.七、（满分8分）利用变换将微分方程.化简成关于的微分方程，并求其通解.高等数学B(上) 练习六一、填空题 （共6小题，每小题4分，满分24分，只需将答案填入以下空格）1、 .2、等边双曲线在点的曲率为 .3、函数在上的最大值为 .4、 .5、 .6、微分方程的特解形式可表示为 (只需写出形式,不必确定其中系数).二、选择题 (共4小题，每小题4分，满分16分，只需将正确答案的代号填入以下空格)7、当时，函数是 （A）无穷小量； （B）无穷大；（C）有界量，但不是无穷小量； （D）无界的，但不是无穷大.8、设函数在上具有二阶导数,且,下列不等式正确的是 (A) ； （B）；（C）； （D）.9、函数在上 （A）可导必有界； （B）有界必可积；（C）可积必连续； （D）连续必可导.10、具有特解及的三阶常系数齐次线性微分方程是 (A) ； （B）(C) ； （D）三、解答题 （共4小题，每小题7分，满分28分，需写出具体解题过程）11、求极限12、设函数，求.13、计算反常积分.14、求由圆所围图形绕轴旋转而成的旋转体体积.四、（满分8分）设函数在处可导，且,试求曲线在横坐标为的点处的切线方程.五、（满分8分）设函数，计算定积分.六、（满分8分）设函数在内可导，且满足，求.七、（满分8分）证明：当时，高等数学B（上）练习七一、填空题 （共6小题，每小题4分，满分24分，只需将答案填入以下空格）1、 .2、等边双曲线在点的曲率为 .3、函数在上的最大值为 .4、 .5、 .6、微分方程的特解形式可表示为 (只需写出形式,不必确定其中系数).二、选择题 (共4小题，每小题4分，满分16分，只需将正确答案的代号填入以下空格)7、当时，函数是 （A）无穷小量； （B）无穷大；（C）有界量，但不是无穷小量； （D）无界的，但不是无穷大.8、设函数在（）上具有二阶导数,且,下列不等式正确的是 (A) ； （B）；（C）； （D）.9、函数在上 （A）可导必有界； （B）有界必可积；（C）可积必连续； （D）连续必可导.10、具有特解及的三阶常系数齐次线性微分方程是 (A) ； （B）(C) ； （D）三、解答题 （共4小题，每小题7分，满分28分，需写出具体解题过程）11、求极限12、设函数，求.13、计算反常积分.14、求由圆所围图形绕轴旋转而成的旋转体体积.四、（满分8分）设函数在处可导，且,试求曲线在横坐标为的点处的切线方程.五、（满分8分）设函数，计算定积分.六、（满分8分）设函数在内可导，且满足，求.七、（满分8分）证明：当时，解答：一、填空题：1、； 2、； 3、； 4、；5、；6、.二、选择题：7、D； 8、B； 9、A； 10、C.三、解答题:11、 (2分) (5分) (7分)12、 (2分) (5分) (7分)13、 (2分) (5分) (7分)14、 (2分) (3分) (7分)四、由及在处连续知 (3分) (6分)故曲线在横坐标为的点处的切线方程为即 (8分)五、 (2分) (4分) (6分) (8分)六、令，原方程化为： （2分）两边求导：，即 （4分） （6分） （8分）七、设， （2分）当时，单调减少；当时，单调增加；又，故当时，即单调增加， （4分）再由知当时，即单调减少；当时，即单调增加， （6分）由知当时，即。 （8分）高等数学B（上）练习八一、填空题 （共6小题，每小题4分，满分24分，只需将答案填入以下空格）1、.2、函数由方程确定，则.3、设函数，则.4、不定积分.5、设函数连续，且，则.6、设是微分方程的一个解，则此微分方程满足条件的特解.二、选择题 (共4小题，每小题4分，满分16分，只需将正确答案的代号填入以下空格)7、当时，函数是的 A （A）同阶但非等价无穷小； （B）等价无穷大；（C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小.8、设函数在连续，且，则 D (A) 函数的表达式必为； （B） 函数在处不可导；（C） 函数在处可导，且； （D） 函数在处可导，且.9、曲线与轴围成的图形的面积为 C （A）； （B）；（C）； （D）.10、设函数、及均连续，且，、及均为微分方程的解，则必定有解 B (A) ； （B）；(C) ； （D）.三、解答题 （共4小题，每小题7分，满分28分，需写出具体解题过程）11、已知函数在处连续，且，求极限.解：由知， （2分） （7分）12、讨论函数的间断点并指出其类型. 解：是函数的间断点， （2分）由知是函数的无穷间断点（第二类） （4分）由及知是函数的跳跃间断点（第一类） （7分）13、计算广义积分.解： （4分） （7分） 14、求曲线之长.解：， （3分） （5分