（应用数学专业论文）小波分析在图像增强中的应用.pdf

摘要 摘要 随着傅里叶分析的发展，小波分析对数学和工程应用的发展产生了深远的 影响，并且已经成为众多学科共同关注的热点。它被广泛应用于信号处理、图 像处理与分析、语言识别与合成，量子场论，地震勘探，c t 成像，机器视觉， 自动控制，天体物理等领域。 本文首先对相关的傅里叶分析作了介绍。然后，介绍了小波分析的基本概 念，基本理论。并介绍了多分辨分析的主要理论，以及分解与重构算法的建立 和实现。在此基础上，本文主要探讨了小波变换在图形的增强、融合、压缩中 的应用。利用小波增强、融合、压缩图像的基本原理和方法，对二维信号( 图 形) 进行了处理。从以上的实例中发现，小波分析克服了传统方法的不足，充 分体现了小波变换在图像处理中的优越性。 关键词：小波变换；m a l l a t 算法；小波分解与重构；图像处理 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ff o u r i e ra n a l y s i s ，w a v e l e ta n a l y s i sh a sn o to n l ye x e r t e d a ni m p o r t a n ti n f l u e n c eo nt h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c sa n de n g i n e e r i n g ，b u ta l s o b e e nt h ec o n c e m e dq u e s t i o no fm a n ys u b je c t s i ti sw i d e l yu s e di nt h ef i e l d so fs i g n a l p r o c e s s i n g ，i m a g ep r o c e s s i n ga n da n a l y s i s ，l a n g u a g er e c o g n i t i o na n ds y n t h e s i z e ， q u a n t u mf i e l dt h e o r y , s e i s m i cp r o s p e c t i n g ，c ti m a g i n g ，m a c h i n ev i s i o n , a u t o c o n t r o l ， a s t r o p h y s i c s t h i sp a p e ri n t r o d u c e dr e l a t e df o u r i e ra n a l y s i s t h e ni n t r o d u c e dt h ew a v e l e t a n a l y s i sb a s i cc o n c e p t ，t h ee l e m e n t a r yt h e o r ya sw e l la st h em u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s a l s ot h ec o n s t r u c ta n da c t u a l i z eo ft h ed e c o m p o s i t i o na n dr e c o n s t i t u t i o na l g o r i t h m w em a i n l yd i s c u s st h ea p p l i c a t i o no fi m a g eb u i l d u p ，a m a l g a m a t i o na n dc o m p r e s s i o n u s i n gw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，d e a l 、i t ht w od i m e n s i o ns i g n a lu s i n gb a s i cp r i n c i p l e a n dm e t h o do fw a v e l e t w er e a l i z ef r o mt h ee x a m p l ea b o v et l l a tw a v e l e th a sm o r e s u p e r i o r i t yi ni m a g ep r o c e s s i n gt h a nt h et r a d i t i o n a lm e t h o d s k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；m a l l a ta l g o r i t h m ；w a v e l e td e c o m p o s ea n dr e s t r u c t u r e ； i m a g ep r o c e s s i n g i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：砒耳彬 2 0 0 7 年1 0 月。日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：可场缈 2 0 0 7 年。11 。月 日 第一章概论 第一章概论弟一早僦t 匕 小波分析是当前数学科学中一个迅速发展的新领域，它是在傅里叶分析的基 础上发展起来的一种新时频分析方法，和傅里叶分析相比它有着许多本质上的进 步。因此，小波分析的发展具有重大的理论和应用的双重意义。小波分析的理论、 方法与应用的研究一直为热门课题。它能够从信号中提取许多有用的信息，使各 种新好处理方法的统一处理框架，它的快速算法为分析和解决实际问题带来极大 的方便。 目前小波分析在语音、图像、图形通信、地震、生物医学、机械震动、计算 机视觉等领域都有很好的应用。小波分析是目前国际上公认的信号、信息获取与 处理领域的高新技术，是众多学科关注的热点，是信号处理的前沿课题。小波理 论本身也处在发展中。 第一币 f o u rie r 级数 设t 0 。令 砰钓钳：暧1 2 1 。 当( z ) 不是周期信号时，x c 4 辱- - t 0 ，令 f t ( 国) = f ：办p ) p 叫硝出， 其中石( x ) 以丁为周期并且当x 【一百t ，；】时，办( x ) ：厂( x ) 。由前面所述可知， 厶( x ) = z c n p 。丁， 打= z 其中 铲歹1 睃胁芋出= 扣争。 于是 办( 工) = 去薹力 ( 等- - ) 口下2 z m x 等 ( 1 3 ) 上式右端级数可以看成实轴上间隔为等 r i e m a n n i g l 。若在( 1 3 ) 中令j r t 专佃， 则有 m ) = 去e 他) e f 掰如 2 第一章概论 其中 f ( c o ) = r l i mfr(功2厂(x)p1烈dx-，-t,oo 。 与周期信号相对应，厂( 神称为f ( t ) 的频谱，也就是f ( t ) 的f o u r i e r 变换。己知f ( t ) 求( 彩) 的过程称为( 频谱) 分析，而由厂( 妫求f ( t ) 的过程称为合成。 第二节f o u r i6 r 变换 对于f f 俾) ，定义它的f o u r i e r 变换为 厂( 砌= i 。f ( x ) e 一“d x 。 一 f o u r i e r 变换有如下性质： 定理1 1对任何f f ( r ) ，有 ( i ) 夕叫蚰。洲i 。 ( i i ) f r ( 功在r 上一致连续。 ( i i i ) ! i m l s ( a o ) l = 0 。 ( i v ) 如果夕r ( r ) ，则在的连续点x ，有厂( x ) = 去e 夕( 彩) p 觚如。 注：当f 口( r ) 时，f 可能不属于口( r ) 。这说明f 与厂的地位不对称。这 在某种程度上限制了它的应用。但是，l 2 ( r ) 中的f o u r i e r 变换没有这一缺陷。 定理1 2对任何f 三2 ) ，有 ( i ) 当彳专佃时，o ) p 一觚出在r ( r ) 中收敛。 ( i i ) 对几乎所有的国r ，极限l i m ；a f ( x ) e 一。硝出存在。， 定理1 3 设f l 2 ( r ) ，则 ( i ) 对任何a 0 ，g ( 力= ( 玖) ， g ( c o ) = 允f ( 2 c o ) 。 ( i i ) 若g ( x ) = f ( - x ) ，贝0 9 ( c o ) = 厂( c o ) 。 c t t ；，夕rc r , 且1 1 ；1 1 1 2 石i 。 ( i v ) p a r s e v a l 恒等式 对任何g i f ( r ) ，( 厂，g ) = 去 ，即 3 第一章概论 if ( x ) g ( x ) d x = 圭i 厂( 动g ( c o ) d c o 。 ( v ) 对任何g l 2 ( r ) ， if ( t ) g ( t ) d t = i f ( t ) g ( t ) d t 。 ( v i ) 逆变换公式 a l - 妇- , 。i l 上2 x 夕( 妫p 血如一厂。, 1 1 = 0 ( v i i ) 对任何g r ( r ) ，如果厂( c o ) g ( c o ) r ( r ) ，则厂宰g 1 9 ( r ) 且 ( 厂木g ) “( 动= 厂( 国) g ( 动。 ( v i i i ) 如果c o f ( c o ) r ( r ) ，则在r 上局部绝对收敛，f r ( 尺) 且 厂7 ( c o ) = i c o f ( c o ) ；反之，若f r ( 尺) ，贝, l j f ( c o ) = i c o f ( c o ) r ( 尺) 。 ( i x ) 如果矿( x ) r ( r ) ，则f ( c o ) 几乎处处可导并且厂7 ( c o ) = ( 一i x f ( x ) ) “( 功。 f o u r i e r 变换是时频分析的基本工具，它能够较好地刻画信号的频率特征， 但几乎不能提供信号在时域上地任何信息。此外，f o u r i e r 分析是一种“整体分 析 ，为了知道信号所含某个频率分量的大小，需要知道信号在整个时间域上的 值。在应用中，人们所关心的却常常是信号的局部特征。例如，音乐和语音信 号中人们所关心的是什么时刻演奏什么音符，发出什么样的音节；对地震波的 记录中人们关心的是在什么位置出现什么样的反射波：图象分析的边缘检测关 心的是信号突变部分的位置，即纹理结构。这些任务的完成就不是经典的f o u r i e r 分析所能及的，需要时频局部化的方法。 时频局部化主要有窗口f o u r i e r 分析和小波分析。 第三节窗口f o u rie r 变换 为了达到时间域上的局部化，在f o u r i e r 分析的基本变换函数p 一饼之前乘以 一个时间上有限或在无穷远处迅速衰减的时限函数g ( x ) ，然后用它们作分析工 具。这样，p 叫积起频限作用，g ( 工) 起时限作用，合在一起，就起到时频双限的 作用。具体来说，信号f ( x ) 关于窗口函数g ( x ) 的窗口f o u r i e r 变换定义为 ( 名f ) ( c o , t ) = i f ( x ) g ( x t ) e - l x o j d x 由定理1 3 ， 1 一 f ( x ) g ( x 。) 2 寺e ( f g f ) ( c o ，t ) e 蝴d c o 4 第一章概论 两边同时乘以g ( x - t ) 并对t 积分，有 ( x ) l i g | i ：= 去ee ( t ) ( 纰，) g ( x - t ) e n n d c o d t 即 八功2 赢肌f g f ) ( c o , t ) 烈卜f ) 揪 这就是窗口f o u r i e r 变换的反变换公式。 为了能够进行局部分析，我们希望窗口函数g ( x ) 具有良好的时频局部化性 质：g o ) 集中在某个时段之内。但是，根据复变函数理论，不存在非零函数 g r ( r ) 使得g ，g 同时具有紧支集。也就是说。前面对窗口函数g ( x ) 的要求是 不能达到的。事实上，要想同时获得足够高的时间分辩率和频率分辩率是不可 能的。这就是著名的h e i s e n b e r g 测不准原理。 设g ( x ) ，x g ( x ) l 2 ( r ) ，r 2 中的点 铲彘尉贴) | 2 出 蕊a ：la 俐卜 称为窗口函数g ( x ) 的中心，而 g ，三言 、2 _ 尽2 1 2 出驯酬卜 岱g 乞户= 一 5 k 谈 ) d 。圳 蚴 刮 妨 烈 烈 斯 伽 x p 仔胁 一2 2 上鲥 ，l i i i i = 乱g 第一章概论 尽2 f g ( 石) 1 2 出口g f 如 恬叫随 一2 万e 工2 蜘) 1 2 , & e i g 俐2 d 国 2 xg l ： 壶l r e 艮蕊1 2 2 水d 知烛i 1 2 0 因为磊d ( x | 2 ) = 如) 1 2 + 昭( x ) 丽+ x g ( x ) g 7 ( x ) 口( 尺) ，所以 l i m x g ( x ) 1 2j 0 。 由分部积分公式可得 e x 瓦dl g ( x ) 1 2 出= 一e i g ( x ) 1 2 出。 代入上式可得， ( a 8 , a ；) 2 彘( 狮鼬糊2 7 1 上式当且仅当g ( x ) 为g a u s s 函数时取等号。 ( i i ) 当t o , c o o 不全为0 时，设t o = 6 ，= 口，类似的可以证明结论成立。 注：测不准原理的等价描述：对任何f l 2 ( r ) ， 尽2 1 2 出e 国2 脚卜去1 1 1 1 ：。 上述定理表明，为了获得较高的频率分辨率，必须降低相应的时间分辨率， 反之亦然。 窗口f o u r i e r 变换的主要优点是：若信号的能量集中在( 由窗i = 1 函数确定的) 时间间隔【巧，瓦】和频率间隔 砚，哆】内，则其窗口f o u r i e r 变换将局部化在区域 r l ，瓦】【q ，0 ) 2 】内。而在信号没有多少能量的时间和频率间隔处，其窗口 f o u r i e r 变换接近于0 。它的主要缺点是：由于对所有的频率都使用同一个窗函数， 从而具有固定的窗1 2 1 宽度，所以它的分变率在时间频率平面内的所有局部区域 都相同。也就是说，窗1 2 1 是事先给定的，与被分解信号的频率高低没有关系。 6 第一章概论 小波变换则克服了窗口f o u r i e r 变换的这一缺陷。在小波变换中，窗口的大 小不是固定不变的，它随着频率的大小而改变；对于低频信号采用较宽的窗口， 而对于高频信号采用较窄的窗口。换句话说，小波变换具有“自适应”性质。 7 第二章小波变换 第二章小波变换 帚一早 ，j 、汲艾饫 我们知道f o u r i e r 变换是一种积分变换，而小波变换其实也是一种积分变换。 第一节基本小波的概念 定义2 1 1 设甲( x ) r ( r ) n ( r ) ，且满足条件 i 1 2 1 w ( r o ) l c 甲= 哔， ( 2 1 1 ) 则称甲( x ) 为一个基本小波函数( 简称小波) ，条件式( 2 1 1 ) 称为容许性条件。 由小波定义的容许性条件可知，必有甲( o ) = 0 ，即f _ 甲( x ) 出= 0 。从而小 波至少具有一阶消失矩。我们在前几章中介绍的小波函数都满足基本小波的定 义。下面再介绍几种常用的基本小波函数。 ( 1 ) m o r l e t 小波 时域形式 。 j 2 甲( x ) = e 2 e i 嘶，c o o 5 ， 频域形式 + 一! 竺堕蔓 w ( o j ) = 4 2 7 r e 2 。 m o r l e t 小波是一种复数小波，其时域和频域都具有很好的局部性，常用于复 数信号的分解及时频分析中。但是，m o r l e t 小波不满足容许性条件，因为 a - , ( o ) 0 ，不过，当c o o 5 时，可认为w ( o ) 0 ，近似满足容许性条件。 ( 2 ) m a r r 小波 时域形式 r 2r 2 甲( x ) ：( 1 一x 2 ) p 2 ：一罢( p 一了) ， a x r 频域形式 一 一 一生 、p ( 国) = 2 万彩2 e2 。 m a r r 小波是g a u s s 函数的二阶导数，在缈= 0 ，甲( 妫有二阶零点，在时域与 频域有很好的局部性。 ( 3 ) d o c 小波时域形式 8 第二章小波变换 上1 一 甲( x ) = p2 - 二， e 8 ， 频域形式 2 y ( c o ) = 2 巧p2 一p 。2 矿】。 d o c 小波是两个尺度差一倍的g a u s s 函数之差。在缈= o ，甲( c o ) 有二阶零点， 在时域与频域有很好的局部性。 第二节小波变换 首先将基本小波甲( x ) 经过伸缩和平移后记为 ，二( x ) = 1 4 一w ( x - b ) ， 口，b r ，口0 ，( 2 2 1 ) 其中变量a 反映了一个特定基函数的尺度( 伸缩情况) ，变量b 指明了它沿x 轴的平移位置。 定义2 2 1 对任何f l 2 ( r ) ，它的连续小波变换定义为 ( 似啪) = ( 厂，比) = d ( x ) 一i 甲( 孚) d x 。 ( 2 2 2 2 ) 注意，所谓连续小波变换，是指a ，b 的取值是连续的。连续小波变换实际上是一 种积分变换，所以也称为积分小波变换。在( 2 2 2 ) 式中引入因子h 一必的原因 是标准化，使1 1 9 ：= 忙0 ：对于所有口，b 成立。如果假设0 v i i ：= 1 ，则有 l ( w v f ) ( a ，6 ) h i ：h ：。 定理2 1对任何 g r ( 尺) ， ，忡t , , i o o_ h ( 甄门( 口，6 ) ( g ) ( 口，6 ) d a d b = c v ( f ，g ) 。 ( 2 2 3 ) 1 j - 0 0 + t 。 证明：i 已f o ( c o ) = l a l 於f ( c o ) 驴t ( a c o ) ，g 口( 叻= h 尼g ( c o ) y ( a c o ) ，则 rr 彳1 ，6)(戚磊而两dadbit(wvf ) ( a d a d b lii ，6 ) ( 眠，g ) ( 口，6 ) = e 黠 d h 一；亭似咖制1 一；鬲 姗 = 击e 黠 d c 帅1i 蕊埘 9 第二章小波变换 = 两1e 黠m c 矿叫 丽卜 2 去e 砉e c ( 国) 瓦砑如妇 j z 石l l “ 4 “( 国剖涵1 2 批 气1 。c ) ( 奶；( 国膨唰汹卜 = q 瓦ld ( 动；( 州国 = q ( 厂，g ) 定理2 1 说明，给定f l 2 ( r ) ，有 e e 砉( ) ( 口，6 ) ( ，g ) 姗= q ( ，g ) ，v g l 2 ( r ) 。 因此，至少在弱收敛的意义下，有 2 击腰砉( 胞6 ) d a d b 定理2 2 设k i 1 ，l l ( r ) i q l 2 ( r ) ， i 2 可，微r q 2 7 r ( 尺) ，x q 2 ( x ) f ( 尺) ， 电( o ) ：电( o ) ：o 并且 c t p ll , i 1 - = 即槲陋，i 等 佃。 眩2 舢 设厂l 2 ( r ) 并且有界，则在厂的每一个连续点石，有 ( x ) = p l i m 。c 鼍，1l 串：拳e ( ，( _ ) 曲) ( ) 曲 ) a b 。 ( 2 2 5 ) 呜+ 佃 证明：分四步来证明。 ( i ) ( 2 2 5 ) 式右端可以改写为 f a i a z ( x ) = c w i - x 工。制弛窘e 砂e 厂( 力h y 。( 学炒：( x 口- b ) 彩 = c 。：- 1e 制如亨跏e 厂( 力阿1 杪。( 一鲁妒：( 尘音生) 勘 令 ( x ) = c v , , v , - lb 鲥音跏( 一知争如 l o 第二章小波变换 也( x ) 2 m ( x y ) f ( y ) d y ( i i ) 由f o u r i e r 变换的性质， 批( 妫= c - l k 玑爵e 出d l ( _ ：( 争e 咖 2 吒0 1 匕弛亩姒彻) ( 删 “恍q h 中悱高以咖t ( 口 2 吒。1 ( k 制雨i 姒a 口移- 胁一埔y ：t 口) 谚- ( 口胁) = m ( x l o ) - m ( a 2 c o ) 其中 州神- c 以k 叫亩蹦咖t ( 口胁 因为a 沙：( 口) r 俾) ，少，有界，所以 陋) j c , ( i o 荆弗卜叫口2 阻) j 2 埘舛i 刮一。 由( 2 2 4 ) 式，五( 国) 有界，所以 阻，m 制一， v 国r 。 由此可知，m ( c o ) 的逆f o u r i e r 变换m ( x ) 是一个有界连续函数。 ( i i i ) 由五( 动- c 。：- 1l 判亩疚( 口移。，当c o 0 时 丢五c 妫屯订1 书( 妫丽订国 另一方面，由于x 沙： ) f ( r ) ，所以沙：( 妨可微，从而 l i m y 2 ( a ) ：l i m 坚! 盟二笙! ! q 2 口- + 0 口 口- o 口 = y ；( o ) 。 由m ( c o ) 的定义， 石d l l i m c v v - 1 - - - - 1 ；, , j _ - i i 扣口) 赢 第二章小波变换 ：c y l y 2 - 12 多。( o ) y 又o ) = 0 因此，五( 妫是一个可微函数。此外，由于x 五( x ) l i ( r ) ，所以 阻动mc 妫一洳| 肝一暇- 1 1 瞰x ) i 出 = 2 s i n 2 陟：( x ) i 出 口国5 c ，：( x ) l 出 c 。l 刮 于是 i 丢叫c s c 阻忡。叫。 所以五，( 动l 2 ( r ) 。于是 e j m ( x ) 陋= e ( 1 + x 2 ) 一( 1 + x 2 ) i m ( x ) 陋 ( e 丢i 一勘( e ( 1 + x 2 ) 阻( x ) 1 2 出) 舛c 蚓叫2 + 阻，阿 o o 。 i 坡m ( x ) l i ( r ) 。 由于 州o ) = c n 。：- 1 ( 口渺知肛1 ， 所以 e 阻( x ) 陋= l ( i v ) 显然 厶4 ( 石) = e 扣百x - y ) 厂( y 渺一e 石1 叭_ x - p y 厂( y ) 砂 由于m ( x ) 是连续可积函数并且e l m ( x ) 陆= 1 ，容易证明，当厂有界并且在x 点 连续时， ，l i m 鞋- m 百x - y ) ( j ，) 咖= 厂( x ) 。 1 2 第二章小波变换 另一方画， l 硅m c 型a f f ) f ( y ) d y i c 硅l m c 寻，渺2 c 口衙彬 = 么矧m | 1 2 | 帆 哼0 ( a 2 专佃) 。 所以 i 妒m 佃厶如( x ) = ( x ) 。 ( 2 2 5 ) 式表明，为了从( ) ( 口，6 ) = ( f ，( ) 曲) 重构原始信号厂( f ) ，我们 可以另外选取一个与w i 毫无关系的函数、王，：，这在实际应用中是非常有好处的。 例如，我们可以选取w 2 l 2 ( r ) 使得s u p p v i j 2c 【- t ，t 。这样，对任何x ，我们 只需要知道( 厂，( k i 1 ) 曲) 在区域 ( 口，6 ) ：l b - x i i 口丁i ) 上的值就可以重构厂。这实际 上是小波变换具有局部性的一个反映。 定理2 3 设e ( 1 + h ) i 甲( x ) l 出 + ，甲( o ) = o 。如果厂有界并且关于指数 口( o ，l l h o l v l e ，连续，即 l f ( x ) - g ( y ) i c i x - y 卜 ( 2 2 6 ) 则的小波变换满足 l ( w v f ) ( a ，b ) l = l ( f ，) l c l a l 叶。 ( 2 2 7 ) 证明：由题设， r y ) 出= 0 ，所以 ( 厂) = 肪i 彤沙( 等) 似) 一f ( b ) d x 。 从而 ( 咖口口i 咣i y ( 孚) 悟i 坩i 出 c 旷e 耖( y ) 1 1 y l 口砂 c i 口i 口一。 ， 定理2 4设甲r ( r ) 具有紧支集，甲( o ) = 0 ，f 是r 俾) 中的有界连续 函数。如果对于某个口( 0 , 1 ) 存在与a ，b 无关的常数c 使得 匕) l c l a l 酣。 ( 2 2 8 ) 则关于指数口h o l d e ，连续。 证明：取甲r ( r ) 使得y ：具有紧支集并且连续可微，e y ： ) d x = 0 ， 1 3 第二章小波变换 c y ，既2i 。由足理2 2 ， 几) = e 窘e ( 加曲) ( 蚴小) d b 。 令 聃) = l 盟拳e ( 加曲) ( 蚴小) 乃一 厶( x ) = b 拳e ( 厂，曲) ( 沙：) 曲( x ) 动， 贝l j f ( x ) = z ( 功+ 六( x ) 。为证结论成立，只需证明石和厶都关于指数口日d 也，连 续。 ( i ) 首先，z ( x ) 在r 上有界： i 叱亨肛l 口i 叶研卜等) p c 慨i i 。u 口i 一埘如 0 使得s 甜印沙，s u u p v 2c 卜r ，尺】。因为y 2 连续可微，所以 i y ：( x ) 一沙：( 少) l c l x - y i 。 对1 ，有 + 功一z ( x ) 翊7 d ae ( 帕) 一i ( x 口- b ) 啪( 半) r i b 7 d a 上。c h 凇( 争f + i 蹦半) 陋 + 扎蜩7 d ab 袢小i c l 口i 。c 1 1 p - c 2 ( v ：o 。l , h , i 以i 。1 帐砌+ 嘶中闰旷忱( h r + i h l ) d 口) = c 3 。 再从石( x ) 有界可知，存在与x ，办无关的常数c 。，使得 i z + 厅) 一z ( 石) f c 。”， v x ，h 。 ( i i ) 对于石( 力，同样可以证明它是有界的： 胁) 1 - 如拳肪| i 2 i l 州( y z ) 曲 ) d b = c ，b 窘c l 矿l 沙：( 孚) 卜 - ll j _ b t 鲫p ( y ) i 蚴砌 l y - b l s a r 喇b 订d ak ：h 州帅陟 o 使得l ( 厂，) | c i 口i 肘叶必。 定理2 5 设e ( 1 + h ) l 甲( 刮出 0 ，如果 口么甲( 口一6 尼) ：，后z 构成r ( r ) 的标准正交基，则任何厂l 2 ( r ) 可以展开为小波级数： 厂( x ) = 0 。因为u 间v ，= r ( 尺) ，所以存在h u e z 巧使得 牌一s l l ：占。 设j l z 。则对任何j o ，h 巧，从而 i l i - , ；s l l f - h 占， j j 。 这就证明了( 3 1 1 ) 中的第一个等式。 下面证第二个等式。设髟是_ 在巧+ 中的正交补，即 巧+ t = 巧o ， 则 = 矿loe i = 彬lo 矿2o 矿2 = = i r e _ lo 矿2o o 矿，o ， v j 0 。 设q ，为上的投影算子。对任何f r ( 尺) ，有 氏l = 勘j 州j f o 因为q ，厂与q ，厂正交( j j 7 ) ，所以 1 8 第三章多分辨分析与正交小波基的构造 壹jjqj卅：=jj壹q-，卅：u昂州；iij=i j = i 州： 00 ， 这说明：。q _ j 厂依范数收敛。令厅= ：。q _ f 。对任何歹 0 ， 异厂一h = r 厂一q 。f i l0 iq _ ，厂一q - f = 巳厂一q - ，f 。p j 从而 r h n 旷，= n 巧= o 。 ，e z 即办= 昂厂，弓厂= q f 厂。因此 怨m i ：= 酬l i m - q t f 卜磐驴硎。 上式最后一步用到了倒j j g 艟的收敛性。 由定理3 2 的证明可知， ( r ) = o ，。 j = - a o 。 就是说，我们把l 2 ( r ) 分解成为- - y u 相互正交的子空间的直和。 定理3 3 设缈e ( r ) 。则勋( 一k ) ：k z 构成标准正交系当且仅当 i 矽洄+ 2 z c ，) i = 1 ，伽。 ( 3 1 2 1 ) 证明：当劬( - k ) ：k z 构成标准正交系时， a o ，= i 伊( x ) 伊( z k ) d x 7 卜 = 去删易( 功卜妇如 = 去驴踟棚刃，卜v k ez i 玉l j t ( 3 1 2 ) 成立。反之，当( 3 1 2 ) 成立时，类似可证移( 一后) ：k z ) 构成标 准正交系。 定理3 4 设所。( 功= i 1 吃p 嘲。则 i m o ( 缈) 1 2 + i n o ( 国+ 刀) 1 2 = 1 ，口p 。 ( 3 1 3 ) 定理3 5 设劬( - k ) ：k z 是v o 的r i e s z 基，则存在伊，使得 妒( 一k ) ：k z 构成的标准正交基。 1 9 第三章多分辨分析与正交小波基的构造 证明：由r i e s z 基的定义，存在常数a ，b 0 使得 彳忙畦i l q 伊( 一七) 0 b 1 l c 眨，v c - - - - c 。 e 1 2( 3 1 4 ) 又因为 睦啦叫卜去蚓薹c k e - i k m 抖国 去蚓荟c k e - # k m l 2 薹l 易+ 2 刀万，1 2 如 所以( 3 1 4 ) 等价于 么薹z l 易c 国+ 2 甩万，1 2 曰，月eli 利用上式容易验证 圪= 厂：厂( 动) = c ( 缈) 伊( 纠，c ( o j ) 三2 卜万，万】) 。 令易( 妫：翻( 腕胁砌石) 降，。则易v o y f r k荟el 易( 缈+ 2 后万) l = k e zi 易( 国+ 2 尼万) 1 1 2 n e z i 刍( 彩+ 2 行刀) 1 1 2 = t ，口口z li 所以 伊( 一k ) ：k z 是标准正交系。 令圪= s p a n 易( 一后) ：七z ) ，则 易( 一尼) ：七z ) 构成的标准正交基。 因为缈v o 且是整平移不变的，所以v ocv o 。 另一方面，由于易( 国) ：( 腕i 易( 国+ 2 咒万) 1 2 ) 易( 曲。 所以缈v o ，从而v oc 。因此，= v o 。 定理3 6设伊r ( r ) 并且劬( 一k ) ：k z ) 是l z ( r ) 中的标准正交系。令 v o = 龟伊( 一后) ：以 ，2 ，= 扩( 2 7 ) ：f 。则以下两个条件等价： l 七e zj ( i ) 巧c 巧+ l ，v z ； ( i i ) 存在2 万周期函数聊。( 动，使得伊( 动= ( 詈) 易( 争。 证明：只需证明( i i ) j ( i ) 。 第三章多分辨分析与正交小波基的构造 由定理3 3 ，| 矽( 国+ 2 万，) i = 1 ，伽。 又因为i m o ( 妫1 2 + i m 。( 国+ 万) 1 2 = 1 ，伽。因此聊。( 彩) 在卜万，万】上平方可积。 设( 妫= 去眦p 嘲，其中 以 j 2 。 再从缈( 国) = m o ( i c o ) 汐 【i g o ) 可知 伊( z ) = 2 玩矽( 2 z 一刀) 。 朋e z 从而对任何后z ， 伊 一| ) = i 吃缈( 2 x 一2 k 一甩) = 互吃一：。伊( 2 x 一，1 ) k 。 因此，ck 。又因为_ = 厂( 2 ) ：u o ，巧+ 。= ( 2 j - ) ：f k ) 。 所以c 巧+ ，w z 。 定理3 7 设u 是r ( r ) 的平移不变闭子空间。既对任何f u 和f r ， 厂( _ f ) u 。则存在可测集e r ，使得u = f r ( 尺) ：( c o ) = o ，国芒e 。 lj 定理3 8 设缈r ( 尺) 满足条件 ( i ) 劬( 一后) ：k z 是l 2 ( r ) 中的标准正交系； ( i i ) 存在2 石周期函数所。( 咖，使得刍( 功：聊。( 0 9 矽 ( 二) o 9 ； ( i i i ) 伊( c o ) 在0 点的一个邻域内几乎处处不等于0 。 令= c k q ，( 一七) ：h ，2 ，巧= 扩( 2 ，) ：f 。则e ：z j 是一个多分 l 七e zj 辨分析，够是它的尺度函数。 第二节尺度函数的性质 定理3 9设缈是一个具有紧支集的连续函数并满足正交性条件： 1 伊( z k ) c o ( x 一，x & = 民，k ，z 。 o 令巧= , p o + o x - k ) l z ，则有n 巧= o ) 。 砖z 证明：由条件可知， 缈o 一后) ) 眦是的标准正交基，如果f ，则有 厂( x ) 2 乏吼矽( x - - 后) 。两端用缈( x - - 后) 作内积，可求出吼= e f ( y ) 芴( y - k ) d y ， 2 1 第三章多分辨分析与正交小波基的构造 从向有 厂( x ) = ( e 厂( y ) 而i 两) 妒( x 一七) = e ( 缈( x k ) r p ( y - k ) ) f ( y ) d y 。 ，摊e 厶 由s c h w a r z 不等式，可得 i f ( x ) l ( 口缈( x 一后) 芴丽陟) ( e i f ( y ) 1 2 a y ) = ( l 妒 一研) 经i l f l i 。 由于缈是具有紧支集的( 即在某个有限区间外恒为零) ，上式中的求和 z l 孕, ( x - k ) 1 2 只有有限项，故存在常数c 使得下式成立。 r 豁l 厂( z ) i c l l ：l j ， 对任意厂v o 。 现在假设厂( x ) 圪_ ，则厂( 2 7 ) z o ，利用上式有 脚，x ) i i r l i ，当j 专佃。 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 下面分三步证明( 3 2 2 ) 式。 第一步，证明( 3 2 2 ) 式对任意满足如下形式的特征函数成立： 出，= 怯蜓嚣： 其中a ，b 为满足口 0 ，可 选取一个阶梯函数g 使得i i 一g l l 。由于正交投影算子不增加范数，故有 l 防( 厂一g ) i l 。由第二步结论，当j 充分大时，有 s s - g 18 0 ) c ( i ) = 1 2 拳c ( i ) ； e l s e c ( i ) = o 8 母c ( i ) ； e n d e n d r x = w a v e r e c 2 ( c ，s ，h a a r ) ； c o l o r m a p ( p i n k ( n b c ) ) ； s u b p l o t ( 1 ，2 ，1 ) ； i m a g e ( w c o d e m a t ( f , n b c ) ) ； t i t l e ( 原始图像) ； s u b p l o t ( 1 ，2 ，2 ) i m a g e ( w c o d e m a t ( r x ，n b c ) ) t i t l e ( 新图像) 分解后的图像，其主要信息( 即轮廓) 由低频部分来表征，而细节部分则由高 频部分表征。因此，对分解后的低频系数加权进行增强，而对高频部分加权进行弱 化，经过如此处理后，即达到了增强图像的目的。 三小波的图像融合 图像融合是将两幅或多幅图像融合在一起，帮助理解图像并快速地获取感 兴趣的信息。应用小波进行图像融合的原理是将融合方法应用到原始图像的小 波分解的低频分量和高频分量中。 图像融合时将统一图像的两个或更多个图像之和承载一幅图像之中，以便于 满足人们的某种需要。这一技术应用于多频谱图像理解和医学图像处理等领域， 使得融合图像更容易为人们所理解。基于小波的图像融合如图5 所示。将图6 ( b ) 融合到图5 ( a ) 中，得到融合后图像图5 ( c ) 。 3 l 第四章小被分析的应用 原始图像 图4基于小渡的图像增强 ( d ) 垮( 始图像一 ”原始图像二“) 融台后图像 盟5基于小波的图像融台 四小波的图像压缩 通常所说的图像压缩主要指无损压缩( 无失真) 和有损压缩( 有失真) 两 大类。所谓无损压缩是指图像数据经压缩后可以完全得到复原，复原后的图像 与原始图像完全一致。有损压缩是指经它处理的数据在基本保持原图像的特征 的前提下，不可避免地要丢掉一部分原始图像信息。 第四章小波分析的应用 图像能够进行压缩的主要原因如下： ( 1 ) 原始图像信息存在着很大的冗余度，数据之间存在着相关性，如相邻 像素之间色彩的相关性等，消息中这些冗余信息将会产生额外的编码。如果去 掉冗余信息，就会减少消息所占的空间。 ( 2 ) 在多媒体系统的应用领域中，人眼作为图像信息的接收端，其视觉对 于边缘急剧变化不敏感( 视觉掩盖效应) ，以及人眼对图像的亮度信息敏感，而 对颜色分辨率弱等，因此在高压缩比的情况下，解压缩后的图像信号仍比较满 意。 基于上述两点，发展出数据压缩的两类基本方法：一种是将相同的或相似 的数据或数据特征归类，使用较少的数据量描述原始数据，达到减少数据量的 目的，这种压缩一般为无损压缩；另一种是利用人眼的视觉特性有针对性地简 化不重要的数据，以减少总的数据量，这种压缩一般为有损压缩。只要损失的 数据不太影响人眼主观接收的效果，即可采用。 图像数据往往存在各种信息的冗余，如空间冗余、信息冗余、视觉冗余和结 构冗余等，因此，有必要对它进行压缩。对于原始图象厂( 聊，疗) ，m ，聆= 0 ，1 ，n 一1 ，取 c j + l m = 厂( 朋，川，可用张量积小波对图像进行分解。由二维分解公式 = h m 一2 k 办柚，c j + l ，m ， = h 。一2 kg 脚，c j 帆一 = g 。mh - ：，q 帆疗 = g 帕。g 脚，q 慨。 可将原图像分解为四部分，如图6 所示。 一。o 图6 3 3 l lh l l hh h 第四章小波分析的应用 其中l 表示低频部分，其中h 表示高频部分。 实际上，用张量积小波分解图像，可以看作用一元小渡分别对图象的行和列 进行分解。例如，由一维分解公式 c h ， = c pd h 女= g tc j 。 ”e z 加 n e z 将原图像的每一行都分解为低频部分l 和高频部分h ，然后再对每一列都分解 为低频部分l 和高频部分h ，如图7 所示。 匹一匪 幽7 用小波把原图像分解一层，分为四部分，其中l l 部分称为低频部分，l h 和h l 称为次高频韶分，h i - i 称为高频部分。对于低频部分l l 可进行第二层分 解，分为四部分这样可一直进行下去。 小波分析进行图像压缩的基本原理足根据二维小波分解算法，将一幅图像做 小波分解，可得到一系列不同分辩率的图像，而表现一幅图像最主要的部分是低 频部分，如果去掉图像的高频部分而只保留低频部分，则可以达到图像压缩