（理论物理专业论文）yangian在berry+phase中的应用.pdf

摘要 自从杨振宁 1 和r j b a x t e r 2 分别于1 9 6 7 年与1 9 7 2 年创建了 量子杨一巴克斯特方程 3 4 5 以来，量子可积模型 6 7 8 9 方 面的研究取得了很大进展，特别是v g d r i n f e l d 1 0 儿1 1 1 2 所建立 的y a n g i a n 和量子群理论对物理中的量子完全可积模型的对称性研究提 供了强有力的数学工具。自从1 9 9 2 年以来，人们在y a n g i a n 各种物理 实现和量子完全可积模型的研究方面取得了重要的进展，并给出新的 物理理解和理论结果。例如我们所熟悉的氢原子 1 3 问题中就存在 y m l g i a n 对称性及r 乃意义下的量子完全可积性 1 4 1 5 。 对于最简单的两个1 2 的耦合系统，李代数生成元只能实现其自 旋三重态之间的跃迁，而要实现三重态和单态之间的跃迁，必须由 y a n g i a n 代数中的j 算子所引起，即j 成为量子力学中超越李代数生成元 的算子。本文结合物理中有意义的b e r r y sp h a s e 1 6 1 的具体例子，求出 外磁场下两自旋耦合系统的b e r r y 相和其拓扑相因子态问的跃迁算 子，从而实现不同相因子念问的跃迁关系。 本文所研究的系统的哈密顿量中含有y a n g i a n 产生算子，因为一方 面，这样的系统为我们提供了最简单的模型去探究量子系统的性质，尤其是 自旋系统在外磁场和外电场中的性质，另一方面，因为这种模型在自旋系统、 凝聚态物质理论以及高能物理中有广泛的应用。 通过这些运算，使我们对物理中的一些具体模型有了更深的了解，同时 也可以掌握y a n 西a n 代数在物理中的实现，即y a n g i a n 可以以一种特定的 方式将不同权之间的态联系起来，它正是量子力学中跃迁算子的推广。 关键词： y a n g i a n 代数两自旋耦合系统跃迁算子b e r r y 相因子 a b s t r a c t c n y a n g 1 】a n dr j b a x t e r 2 s e p a r a t e l y e s t a b l i s h e d q u a n t u m y a n g b a x t e re q u a t i o n ( f o rs h o r t ，q y b e ) 3 【4 1 1 5 i n1 9 6 0 s s i n c et h e nt h e i n v e s t i g a t i o n so nq u a n t u mi n t e g r a b l em o d e l s 6 1 1 7 8 1 1 9 】h a v eb e e ng r e a t l y p r o m o t e d w o r t h yo fm e n t i o ne s p e c i a l l yi st h a tt h ey a n g i a na n dq u a n t u m a l g e b r aw a se s t a b l i s h e db yv g d r i n f e l d 1 0 1 1 1 2 i n1 9 8 5t h a to f f e r e da c o g e n tm a t h e m a t i cm e t h o df o rt h es t u d i e sa b o u tt h es y m m e t r yo fq u a n t u m i n t e g r a b l em o d e l si np h 3 7 s i c s a f t e rs e v e r a ld e c a d e s ，p e o p l eh a v em a d e g r e a tp r o g r e s sb o t hi nd i f f e r e n tk i n d so f r e a l i z a t i o n so f y a n g i a na n di nt h e i n v e s t i g a t i o n s o n q u a n t u mi n t e g r a b l em o d e l s ，g i v i n g n e w p h y s i c a l u n d e r s t a n d i n ga n dt h e o r e t i c a lr e s u l t s f o re x a m p l e ，t h ey a n g i a ns y m m e t r y a n dr t ti n t e g r a b i l i t yo f h y d r o g e na t o m 1 3 h a d b e e n r e p o r t e d a t l e n g t h 14 t 1 5 】， f o rt h es i m p l e s ti n t e r a c t i v es y s t e mo ft w o p a r t i c l e sw i t hs p i n1 2 ，t h e o p e r a t o ro fl i ea l g e b r ac a no n l yr e a l i z et h et r a n s i t i o na m o n gt h et r i p l e t s ， h o w e v e r , i no r d e rt or e a l i z et h et r a n s i t i o nb e t w e e nt h et r i p l e t sa n dt h e s i n g l e t ，t h eo p e r a t o r so fy a n g i a nm u s tb ei n v o l v e d ，t h a ti s ，y a n g i a ng o e s b e y o n dl i ea l g e b r ai nq u a n t u mm e c h a n i c s i nt h i sp a p e r , w em a i n l ya p p l y y a n g i a nt ot h eb e r r y sp h a s e 1 6 】w h i c hi ss i g n i f i c a t i v ei np h y s i c s ，a n d f i n dt h eb e r r y sp h a s eo ft h et w os p i nc o u p l i n gs y s t e ma n dt h et r a n s i t i n g o p e r a t o r s b e t w e e ni t s t o p o l o g i c a ls t a t e s ，s o w er e a l i z et h et r a n s i t i o n b e t w e e nt h es t a t e sw i t hd i f f e r e n tw e i g h t s i nt h i sp a p e r , w et a k et h ee x a m p l eo ft h es y s t e mw h o s eh a m i l t o n i a n c o n c l u d e st h e g e n e r a t o r s o fy a n g i a n o no n es i d e ，s u c h s p i ns y s t e m p r o v i d e s u sw i t l lt h e s i m p l e s t m o d e lt o i n v e s t i g a t e t h e p r o p e r t i e s o f q u a n t u ms y s t e m ，e s p e c i a l l yw h e nt h e ya r ep u ti n t ot h et i m e d e p e n d e n t m a g n e t i cf i e l da n de l e c t r o n i cf i e l d o nt h eo t h e r , s u c hm o d e l sh a v eaw i d e r a n g eo fa p p l i c a t i o n st os p i ns y s t e m s ，c o n d e n s em a t t e rp h y s i c sa n dh i 曲 i i e n e r g yp h y s i c s t h r o u g h t h ec a l c u l a t i o no f t h e q u e s t i o n sa b o v e ，w em a y h a v eaf l l r t h e r u n d e r s t a n d i n go f t h em o d e l si np h y s i c s ，m e a n w h i l e ，w ec a r lb e t t e rm a s t e r t h er e a l i z a t i o no fy a n g i a na l g e b r ai n p h y s i c s y a n g i a n c a r lc o n n e c tt h e s t a t e sw i t hd i f f e r e n tw e i g h tf a c t o r s ，i ti st h ee x t e n s i o no f t h eo p e r a t o r si n q u a n t u m m e c h a n i c s k e y w o r d s y a n g i a na l g e b r a t w os p i nc o u p l i n gs y s t e m s h i f t i n go p e r a t o r sb e r r y sp h a s e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得东：l v , t j 币范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：奄荤窖一日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东：i l ! j o 范大学有关保留、使用学位论文 的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：醢指导教师签名：j 疆 f t 期：纽啦盘pe l期：进! 竺 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话： 邮编： 第一章 l 一1 绪论 引言 物理中存在着许多经典可积模型，目前常遇到的有十几种。人们 长时间研究它们的孤子解【1 7 1 8 1 9 。但是，再复杂的具体经典解的 发现也无助于力学系统的量子化。对于非线性问题的求解，我们常可 以在求解量子力学中的单体问题的基础上，使用微扰方法来求出修正 部分，然而，当相互作用比较强的时候，则要寻求问题的严格解。这 不仅是求解的技术问题，更重要的是严格解的性质和微扰论各阶叠加 的结果常常有本质的不同，许多经典孤子解就提供了这方面的例证。 f d d e e v 学派在实现从经典到量子的研究方面做出了重要的贡献。而以 y a n g b a x t e r 方程( 简称y b e ) 为中心的有关理论，是比较系统的处理 某些非线性模型的成功理论，是解决非线性问题理论发展的一个巨大 飞跃，它的研究对象是多体系统。 q u a n t u my a n g - b a x t e r 方程( 简称q y b e ) 的建立起源于两个方面 的研究：一是一维量子多体问题，二是统计力学中的二维精确可解问 题。最早引入有实在物理意义的q y b e 的是杨振宁，1 9 6 7 年他在处理 具有6 一函数作用势的一维问题时，为保证多体散射的自洽条件而引入 了q y b e 的原始形式。，1 9 7 2 年，澳大利亚学者r j b a x t e r 在研究统计 力学中的二维精确模型时，为了对角化他所定义的转移矩阵，从另一 角度独立的得到了称之为t r i a n g l e - - s t a r 的关系。当时这两种形式并未 很好的结合起来。直到以l d f a d d e e v 为首的前苏联列宁格勒学派进一 步发展了量子反散射方法 2 0 1 ，发现杨振宁与r j b a x t e r 引入的这类 关系可以写成一般形式，这对一大类低维量子可积模型有巨大的用途， 定名为y a n g b a x t e r 方程。随着各方面研究成果的积累 2 1 2 2 2 3 1 ， 人们发现q y b e 普遍存在于量子可积问题中，并且起着核心作用。近 三十年来，有关q y b e 的研究取得了长足进展，作为处理一大类非线 性量子可积模型的普遍理论，它已成为理论物理研究中一个蓬勃发展 的分支。 在力学中，只要知道系统所有的运动积分，这个系统就是完全可 积的。显然，完全可积性给系统一种限制。最理想的情况是构造一个 理论框架，从它出发，原则上可以进一步用物理算符实现这些关系， 从而可以将h a m i l t o n 量具体化。l d f a d d e e v 在统一杨振宁和r j b a x t e r 理论时，建立二次量子化逆散射方法理论并同时提出了r t t 关系。r t t 关系就是我们所寻求的理论框架。它是y b e 系统理论中的基本关系 式，也是联系物理中模型的出发点。r 丁丁关系的重要性是它不仅给出 对易关系，还给出量子系统的守恒量，包括h a m i l t o n 量，因为它规定 了动力学，这正是物理性质的要点。q y b e 的解的重要意义在于确定 了局域量子算符( 格点上) 之间的交换关系，也决定了整体量子转移矩阵 的交换关系。由r t t 关系出发，给定q y b e 的解矩阵足他) 时，可以得 到量子整体转移矩阵n ( a ) 的矩阵元之间的交换关系和h a m i l t o n 量， 之后，用具体的物理算符柬实现这些关系，从而可以将h a m i l t o n 量具 体化，因此，r t t 关系能够构造出h a m i l t o n 量，在更深的层次上建立了 新型代数关系与h a m i l t o n 量守恒系统的联系，此外，满足r 丁丁关系的 系统一定是量子可积系统。 我4 f i n n 道r 乃1 关系规定了作为量子算符的乙 ) 代数关系，给定y b e 的一个解g ( u ) 矩阵时，通过r 刀关系可以得到辅助空间中矩阵元 乙 ) 之间的代数关系。如果取定r ( u ) 为u 的多项式形式，则称为y b e 的有理解。对于有理解的情况，此时矩阵元k ( “) 所构成的代数并不 等同于李代数，它是由有限个生成元所决定的不封闭的无穷维代数。 而“1 与拼。2 阶的算符间的对易关系是最基本的，只要满足这两阶所有 的关系，那么所有高阶关系将由它们所决定，这种代数称为y a n g i a n 。 y a n g i a n 代数是比李代数更大的无穷维代数，李代数是y a n g i a n 代数的 子代数。它是由数学家v g d r i n f e l d 在1 9 8 5 年首先引入的，在y a n g 后 面加i a n 是为了纪念杨振宁教授在该研究领域的重大贡献。y a n g i a n 属 于数学上霍普夫( h o p f ) 代数。从物理角度看，它描述了完全量子可 积问题中一类非线性相互作用模型所特有的新型对称性。 y a n g i a n 以其具有超出李代数范围的一种无穷维代数的结构特点， 给出有关物理中的量子完全可积模型的对称性新的物理理解和理论结 果，为研究非线性相互作用系统的新型对称性提供了强有力的工具。 如果体系的h a m i l t o n 量与y a n g i a n 的生成元对易，我们就说该体系具 有y a n g i a n 对称性。值得指出的是，杨一巴克斯特系统保证了量子可积 性质，但并不保证其h a m i l t o n 量与y a n g i a n 对易，相反，如果h a m i l t o n 量与y a n g i a n 对易，也不一定是量子可积的。这些性质依赖于具体的实 现。以一维h u b b a r d 模型为例，y a n g i a n 正是无穷长链h u b b a r d 模型的 对称性，并由此带来了新型简并度，正是7 的作用引起不同格点间自 旋的耦合，y a n g i a n 的引入大大简化了这种新型对称性的描述。 除了描述物理体系的对称性之外，y a n g i a n 的另一个重要作用是它 可以组成超出李代数范围之外，在不同量子态之间的升降算符。李代 数算子只能在同一个权内变动，而馏妇理却可以以一种特定的方式将 不同权之间的态联系起来，它正是量子力学中跃迁算子的推广。以h 原子为例，对于每个能量本征值，均有y a n g i a n称性，对应着角动量 的简并，由y a n g i a n 算子组成的角动量移动算子，将第n 个能级的角动 量从，跃迁到，+ 1 。最初由y a n g i a n 得到的不同量子态之问的平移算子 3 均是由不含时间因子的算子所给出的，近年来，对于含时情况下， y a n g i a n 的实现和随时间演化的平移算子的性质方面的研究也有很大 进展，同时，也拓展了y a n g i a n 在物理中的进一步应用。 另外，我们知道掌握了系统的全部对称性意味着可以得到能谱的 重要信息，因此y a n g i a n 对称性还可以应用于能谱结构的研究。y a n g i a n 包含了极为丰富的物理内容，它早己存在于量子力学之中，从量子力 学的角度理解y a n g i a n 是最直观而有效的途径。 杨一巴克斯特方程包含了极为丰富的物理内容，近年来，越来越 多的研究表明它是处理一大类非线性量子可积模型的普遍理论。 1 2论文的选题背景及意义 y a n g i a n 的作用是描述物理体系的对称陛，除此之外，它还有另种直 观的物理含义：它可以组成量子力学中能谱的升降算符( s h i t t o p e r a t o r s ) 。这个 方面的研究刚刚起步。并目从量子力学、多体问题、链模型等角度理解y a n g i a n 的物理实质仍是发展中的研究课题。 y a n g i a n 属于数学上的霍普夫( h o p f ) 代数。从物理角度看，它描述了 完全量子可积问题中的一类非线形相互作用模型的所特有的新型的严格对称 性。同时，y a n g i a n 的引入大大简化了这种新型对称洼的描述。而知道了系统 的全部对称眭意味着可以得到能谱的重要信息。 y a n g i a n 对称性重涝研究能 谱结构，是个刚刚旋展的课题。值得提到的是，x x x 模型谱的实验研究已经 获得相当的成功。因而，y a n g i a n 算符在跃迁行为中的作用是值得研究的。 本文主要是结合物理中有意义的b e i t y 拓扑相因子的具体例子，求 得含时外磁场情况下两自旋耦合系统的b e r r y 相和其拓扑相因子态，利 用y a n g i a n 算子，实现在任意时刻不同量子态问的具体跃迁关系。量 子系统在外磁场中运动的问题一直引起物理学家的广泛关注，自从 b e r r y 展示一个量子态系统在缓慢变化并最终回到它的初始形式时， 除了获得通常的动力学相，还将获得一个纯粹的几何特征，量子理论 中的几何相就吸引了巨大兴趣。b e r r y j ( h 已经被广泛地研究 2 4 - 2 6 ，并 在很多方向上被观测和总结 2 7 3 1 ，例如混合态方面 2 8 】，丌放系统 方面 3 0 】，量子化场的控制方面【3 l 】。最近的研究【1 表明，有可能在超 导的纳米结构中观测到b e _ y 相，并把它用于量子态的演化 3 3 ，3 4 。a b 效应和l b e r r y 相的出现在物理实验的实际观测和理论理解上都产生了 深远的影响。 本文所研究的系统是在原有工作的基础上，在系统的哈密顿量里含有 y a n g i a n 4 2 数超出李代数生成元部分时的隋况。在理想情况下，自旋哈密顿量 算符里只含有自旋算符的点积项，但如果要考虑自旋与轨道耦合，在哈密顿 量算符里必须加进自旋算子的直积项【4 0 】，例如， 胁2 j ( ，) s i s 2 + a ( f ) 】， 月= 剐( s t s 2 ) + 7 ( t x b ( t ) s i x b ( t ) 鼢鳓是自旋与轨道耦合场。 将y a n 4 ；i a n 理论应用到具体的物理模型之中，研究其在跃迁行为中的作 用，进一步明确和了解了y a n g i a n 代数的物理实质和意义。 l 一3论文的主要研究内容 本文主要研究y a n g i a n 代数理论在b e r r y 拓扑相因子态上的应用问 题。在第二章中，莸们首先给出比较系统的b e r r y 拓扑相因子的基本理论， 然后把两自旋1 2 耦合系统放于含时外磁场中，根据给出的基本理论，首先 利用李代数和y a n g i a n 算予对独立基，即自旋单态和三重态的作用，寻求该 系统的瞬时本征态，再求出系统在绝热近似下的波函数。在第三章里，首先 我们简要给出y a n g i a n 的普遍实现，然后给出两自旋l 2 耦合系统的y a n # a n 实现和y a n # a n 算子对自旋单态和三重态的跃迁关系，最后对y a n g m n 算子 进行组合，实现不同的拓扑相因子7 态l t a j 的跃迁。 第二章b e r r y 拓扑相理论及其拓扑相因子态 2 1对b e r r y 拓扑相因子的认识 考虑一个无限长的磁通管，全部磁通都局限在管内，因此外面的 场强b 为零。电子在管外运动，它们会感到磁通管的存在吗? 对这个 问题的第一反应可能是“不会”。如仔细想一下，进入薛定谔方程的是 势( a 0 ) 而不是场强( ，b ) ，可能会改变想法。虽然在通量管外 ， 但矢量, a 势a 却不为零。对e 这个问题的研究导致著名的b o h m 效应。结果是，局域电子态感不到磁通管的存在，因为局域的场强为 零，而在通量管附近波函数为有限的电子延展念能感受它的整体效应。 这个结论在当时引起不少物理学家的惊讶。这个研究也导致著名的结 论，即带电粒子的经典电动力学中，物理是由场强决定，但对服从量 子力学薛定谔方程的粒子在电磁场中的运动是由杨振宁和吴大峻 3 5 引入的不可积相因子决定的，而场强是不足以决定物理，它们是欠定 的，电磁势是超定的。 上 幽2 1 电子在磁场中运动的哈密顿量是 。日= = l i 矗v 一旦a ( x ) 】2 + e a o ( x ) ( 2 1 ) z mc 令o ( x ) 代表t i o = _ 1 ( - i hv ) 2 + e a o ( x ) 的本征函数，则它和h 的本 z m 征函数| f ，( x ) 之间存在以下关系： ( x ) = l ；f ，。( x ) e x p ( - i e h c ) j a ( x ) d x ( 2 ，2 ) 从参考点x 。到x 的线积分在一般情况下是和路径有关的。图2 1 画出有磁通中穿过平面情况下从x o 到x 的两条路径l 和2 。取沿不同 路径的线积分之差，有 jj ，2 x 0 fa ( x ) d x 一a ( x ) d x _ ( f + f ) a ( x ) d x 1 品2 南1 盎 ，d = g a ( x ) d x ( 2 3 ) 用s t o k e s 定理，它是 da ( x ) d x _ iv a d s = i b ed s = t 9( 2 4 ) 此处s 是闭合路径所围的面积，面积元d s 的方向垂直于平面，b 是矢 量势a 所决定的场强。由于对a 的积分与路径有关，式( 2 2 ) 的相因 子就不可能写成一个单值函数，这个相因子成为不可积相因子。 a h a r o n o v b o h m 效应完全是从量子力学基本原理出发的，并未引 入新的原理或假设，但同时又是出乎很多物理学家意料的。f e y n m a n 在他的物理讲座【3 6 中写道：“像这样的东西就在我们周围3 0 年之久，却一直被忽视，是一件有趣的事。之所以被忽视，是由于存 在一些定见，究竟什么是重要的，什么是不重要的。”在薛定谔方程中 出现的是电磁势( a o a ) 。在经典力学的拉格朗日和哈密顿描述中 ( a o - a ) 同样出现，但在写出运动方程时它们就被e 和b 取代了。在 量子力学发展过程中企图以e 和b 完全取代( a o ) 的尝试一直没有 成功，这里原来蕴藏了深刻的原因。, a 量子力学 3 7 3 9 1 中波函数的相位是个微妙的概念。考虑与时间有 关的薛定谔方程的解。方程中的势按事先确定好的时间的周期函数演 化。当势经过一个周期回到初始的形式时，波函数并不回到它初始的 形式，而出现了与时间有关的相位。而这个相因子也不能通过重新定 义波函数被其吸收，由此而产生了b e r r y 相及其相关问题。 b e r r y 拓扑相位是a b 相的一种延展的情况，对于b e r r y 拓扑相 位的完全了解，是在1 9 8 4 年m i c h a e lb e r r y 完整的阐明了对于拓扑相 的理解。他阐述了对于依赖于外参数的哈密顿量在绝热近似下，如果 t 。时系统处在此时刻的瞬时本征态，则在参数空间中，沿着封闭路径 的绝热过程中的每一时刻，系统均处于非简并的瞬时本征态中，运行 一周后，所得的波函数将多了一项相因子，这便是b e r r y 拓扑相位。 b e v y 拓扑相位在物理中的意义是非常大的，由于其中包含了不 可积相因子及它在几何中的拓扑性质，使得它在物理实验及理论物理 中验证和预言了许多的可观测效应，典型的这些实验包括光子b e r r y 相的量子干涉现象，螺旋磁场中中子自旋旋转的b e v y 相实验，自旋 绝热旋转造成的核四级共振频率分裂等。在下部分中我们给出有关 b e r r y 拓扑相位的最为基础的理论。 2 - 2b e r r y 拓扑相位的基本理论 设体系的哈密顿量是h ，随参数r 变化，r 随t 慢变化。设h 的能 量本征值问题已经解决： h im ；r ) = 占。( r ) im ；r ) ( 2 5 ) lm ；r ) 是h 的一个本征态，量子数是m ，r 作为参数进入本征矢及本 征值。lm ；r ) ( 不同的m ) 组成分立、非简并态的正交归一完备集。 波函数随时间演化的薛定谔方程是 i h o _ z = h y ( 2 6 ) 硎 下面说明t = 0 时位于定态n 的体系仍会保持在这个定念上。 将y 用lm ；r ) 展开： 2 a m ( t ) e x p 一i h c 占。( t ) d t 】im ；r ) ( 2 7 ) 指数因子是动力学相因子，s 。随时间的变化是由参数r 随时间的慢 变化造成的。将式( 2 7 ) 代入( 2 6 ) ，并利用( 2 5 ) ，将结果从左方 乘以( k ；r l ，就得到展开系数a 。( t ) 的时间微商 粕一莓a m ( k ；r i 昙im ；r ) o o e x p 一i hj c m ( e ) 一sk ( t ) d t ( 2 8 ) 此处a m 与t 无关，是定态薛定谔方程的展丌系数。鲁f m ；r ) 可以用 式( 2 5 ) 通过丝8 t 表示：将式( 2 5 ) 对t 微商，并从左方乘以( k ；r j ， l 对k m 情况就得到 ( k r f 昙 m ；r ) = 圭( k r f 鲁fm ；r ) ，k m ( 2 ，) 对k = m ，则从归一化条件( k ；r fk ；r ) = l 得 ( k ；r j 杀k ；r ) + ( 昙k ；r jk ；r ) = 。 ( z 加) 即 ( 昙k ；r f k ；r ) 2 ( t ) ( 2 上式右边为纯虚数。设体系在t = o 时位于某定态jn ；r ( o ) ) ，即a 。( o ) 2 6 m n 下面来求有限时间体系在不同状态上的几率振幅。设对k n 各 态，式( 2 8 ) 右方随时间缓变的各本征值为常数，用式( 2 9 ) 和a m = j 。 得 二k ( t ) 2 去( k ；r i 警l m ；r o x “寺( 讣t ，k n ( 2 舵) 积分后有 删e 瓣1 ( k - r f 鲁f n ；r ) e x p i h ( sk 一占n ) 】一1 )k r l( 2 1 3 ) 绝热理论要求志( k ；r j 百o h in ；r ) 远小于l 。对k n 的 各念几率振幅都随时问振荡，并不显出长时间稳定增长的趋势。原位 于一个定态的体系，现在仍然位于时1 4t 的那个状态。 下面给出这个态如何演化。m v , b e r r y 在1 9 8 4 年写出 妒( t ) = e x p 。寺f 占n ( t ) d t 】e x p i r n ( t ) 1 in ；r ( t ) ) ( 2 1 4 ) in ；r ( t ) ) 是能量本征念。第一个因子是动力学相因子。如果这个态是 完全的定态，则动力学相因子就是e x p ( - i l n t ) , 5 6 j 当f i * t l 慢变化r ( t ) ， e x p 。寺j n ( t ) d t 】l n ；r ( t ) ) 并不满足薛定谔方程( 2 6 ) 。m v b e r r y 从满足薛定谔方程的要求出发，加进去相因子e x p i ? 。( t ) ，从而得到 ，。( t ) 所应具有的性质。将( 2 1 4 ) 代入( 2 6 ) ，就得到；。( t ) 的方程： y ( t ) = i ( n ；s l 西0 n ；r - - i i ( t ) ( n ；r lv n n ；r ) ( 2 1 5 ) 正如式( 2 1 1 ) 所示，( n ；s l 鲁n ；r ) 是纯虚数，因而；。实数，即 只要，。初始值为实数，它就一直保持为实数，它是个相角。 令 a ( r ( t ) ) - - - i ( n ；r l v r n ；r ) ( 2 1 6 ) 式( 2 1 5 ) 变为 ；。( t ) = i ( t ) a ( r ) ( 2 1 7 ) 令r ( t ) 随时间慢变化从r ( o ) 变到r ( t ) = r ( 0 ) ，即经一周期回到初始值， 即算一下7 n ( t ) 有 厂n ( t ) 一y n ( o ) = rd t ；。( t ) = ri ( t ) a ( r ) = d r a ( r ) ( 2 1 8 ) 此处c 是r ( t ) 从0 到t 回到初始值所描出的封闭路径。用s t o k e s 定理， 并记沿c 的这个封闭积分为“( c ) ，有 y 。( c ) = fd s v r a ( 2 1 9 ) s 为c 所围出的平面。一般情况a 不是无旋的，因此封闭积分不为0 ， 最i 即“( t ) 儿( o ) ，或j 。d r a ( r ) 与路径有关。( t ) 是不可积的， 它不能表示为r 的函数。由于in ；r ) 只通过r 和t 有关，因此它不 能把相因子e x p i 7 。( t ) 】吸收进去。如果要求绝热定念满足薛定谔方程， b e r r y 相因子在一般情况下是必要的。式( 2 1 9 ) “( c ) 的值不依赖r 完成封闭路径所需的时间( 只要满足绝热近似) ，b e r r y 称之为“几何 相”，这是和动力学相e x p 一寺r 占n ( t ) d t 】对照的。 2 3两自旋1 ，2 耦合系统在含时外磁场中的拓扑相因子态 下面我们来考虑一两自旋1 2 耦合系统，将其放入一选定的随时 间变化的特殊外磁场中，其磁场分量为 b ( t ) = b l e “，b 1 = b o h 曰，b 3 = b o c o s o ( 2 2 0 ) b o 为磁场强度，b j 为x o y 平面内的磁场强度，第三分量为岛，0 为外 磁场矢量方向与牙轴的夹角，国。为旋转外磁场的角频率。系统的哈密 顿量选为 h ( t ) = 昙s 1 s 2 ，b ( t ) s g b ( 0 j ( 2 2 1 ) 其中s = s l + s 2 = i j = s 1 - 8 2 - 罢s s 2 ( 2 2 2 ) 在两自旋1 2 的耦合系统中，自旋的三重态( t r i p l e t ) 和单态( s i n g l e t ) 分别 1 1 h ) ： ) ) ：去t 。) + ) 一扣卜) ) ：毒0 t 上) 一) 2 2 3 i j 算符对这些态的作用关系为 r 帆) = 铜， ，m 。) = 铜， r l 】5 f ，。) ：拒l | i f ，。，) ， ，+ l y 。，) = 压i y ”) ， - ，机扣一以h ； i ，协。) = 一q 一铷小 ，l 妒加) = ( + ；1 。) - ，3 l p 叫) = ( 一号) 加) ， j 协一扣压( + 加 m 。) = 扛( p 一加一，) 眩2 4 下面我们来计算含时哈密顿量h ( t ) 的瞬时本征态，设其为1 e ( f ) ) ， 1 e ( ，) ) = ( t ) l 叭) 2 2 5 对于两自旋1 2 的耦合体系，它的独立基为1 帅) ，所以本征函数是 按i b ) 展开的。式中( t ) 是本征函数在自旋单态和三重态这些基上 的展开系数。 为了计算方便，我们将h ( t ) 写成下面的形式： h ( t ) - - 丢( 旷蛐少y 【圭( b 十( t ) s _ + b - ( t ) s + ) + b s s s g 【；( b + ( t ) j - 十b _ ( t ) j + ) + b 3 j 3 】 ( 2 2 6 ) 则h ( t ) i e ( ，) ) - 【( - y b s ) 鼢譬y b - ( t ) ”譬敷+ i h ) b _ ( t ) 严锄】i 叭、) + - 孚心 m m 譬 ly ”) yb 一( t ) ，。_ ( 1 ) g ( + 鲁) b 3 尸。( t ) 】 + - 孚心c 扣睁孚s c h h m 伽i + 雩s ( - _ ) hb - ( t 泸_ g ( 和孚s ( - _ ) h b _ ( t ) 卅( 1 ) + ；m 】i 帅) = e i e ( f ) ) ( 2 2 7 ) 将式( 2 2 5 ) 代入上式等号右侧，比较独立基前的系数，我们可以建 立下列方程组： ( - - 7 8 3 ) ( 1 ) - 譬皿( t ) ( t ) + 孚卿+ - ) h ( t ) = e ) 鱼2 肛协；a d a 。) ( t ) - t 压阻( t ) 尸 - 0 ( t ) - g ( 2 + 4 h - - ) b 3 ( f ) = 酽) 延2m + ( ；+ m 扩，j ( t ) 孚g ( + 百h ) b + = e j ) 譬s ( 7 h 州纳) - 烈- 净严睁譬s h 似1 ) + ；纳) = 尸9 ( t )( 2 2 8 ) 为了计算方便，消去方程组中的时间因子，设定 ，i , o ( t ) = e x p ( i w d ) 扩| 3 旧 l , m ( t ) = e x p ( 一i w o t ) g a - z ) ( t ) 尸倒( t ) = g a 印( t ) f o 】9 t 炉扩9 3 则方程组变为 c - y b 3 - e ) ( t ) - t 压m 热) + 孚舭_ ) b h 。熟) _ 0 孚偈舳母澎，譬心烈t ) _ g c + 等酽：。 譬7 8 1g ( 1 。j ( t ) + ( - ；+ y b 3 - e 枞。每c h 峨舭：。 孚s ( 7 hb 。( i ) 和o u 、。丁4 5s ( - _ ) h b 1 9 似 + ( i 3 e j g 9 r 。( t ) = 。( 2 2 9 ) 设i y ( f ) ) = g ( 矿” g ( 矿叩 g ( 矿。1 g ( 矿 则由式( 2 2 9 ) 解久期方程 i h e l = 0 l h - e l k 肛e 一孚廊 ：j 一孚归te i o - - 争- - f u l i 知忙争一驴硅， 0 一鱼佑，2 ， 一扣一e 一孚酬h ) 1 4 r 2 3 0 ) 譬咖q h 蜀 一g ( + 兰) b 。 一半咖q h 口 一g ( + 了) 口 三一e q = e 2 + 去卧去z 2b 2 ，c 醉丢e 一云9 2 8 2 2 玺2 刀 = 0 ( 2 3 1 ) 从而求得e 的解为 e 一；，b 。，；m ，( m = j 去+ 9 2 8 2 ( f ) ( 2 一等) ) c z ，z ， 将式( 2 3 2 ) 中不同的本征值e 分别代入式( 2 2 9 ) ，并将所有系数g ( 6 ( t ) 都用一个系数g 1 1 ( t ) 表示，可以得到各系数问的关系： 当e 1 = - i 1 - y b o 时，得到 g ( i 1 - 1 ) ( t ) = 篇g ：l l 】( t ) ( t ) = x 2 丽- ( 1 - 万c o s o ) ( t ) ( t ) = 0 ( 2 3 3 ) e 2 = 一i + y b o 时，得到 g y ( t ) 2 芒篙g t ) ( t ) = - q r 2 面( 1 - c _ o s o ) ( t ) ( t ) = 0 ( 2 3 4 ) 当e + = ；+ m 时，得到 g ：】广”( t ) - g ( t ) ( t ) = 飞- 4 2 - 矿c o s o ( , ( t ) 矿o ( 炉瓮矿”g l 弘+ _ ) 廿t 当e 一2 ；- m 时，得到 g 1 ，一1 ( t ) = 一g 1 ”( t )一( t ) 一一( t ) g - t ) _ 鲁g - t ) ( 2 3 5 ) 矿舻筹矿l 】( 。 泣，s ， 现在利用正交归一条件( e 。( ，) j l ( o ) = 6 匕，它等价于 j g 1 1 u ) j2 + j g 1 一1 ( ，) i2 + g 1 1 。( 0 f2 + f g 。，。( r ) fz = - 这样可以得到不同本征值下不同的g ( 砷( t ) 的值： 馘”p ) f = _ l + c 厂o s o ， 妙g i f _ _ 1 - c 厂o s 0 ， 矽叫= 从而得到系统的本征态： ( 2 3 7 ) e ，( ) ) 堡竽唧c 阮) + 孚s i n 护帆) + l - f c o s 0e x p ( - i o t ) j 。，) 生笋唧( t 刮t 压s t n 曰帆) + 半e 州删帆，) e ) ) 2 9 0 t ) 【e x p ( i 删阮) 一, f i c o s _ _ _ _ o e 邶) +凳卜，、-exp(-icoot)h yo o 阮，) ， g ( + i ) b i 卜1 j e _ ( f ) ) = g ! 1 1 1 ) ( t ) e x p ( i 国o t ) i y ) _ - f 2 i - c 忑o s 广8l y 。，。) + 筹k 一衍t ， 根据式( 2 1 5 ) ，我们可求出各本征态对应的b e r r y sp h a s e ： 厂。_ if 西( 晟( ，r ) 昙五：( ，) ) = o y l = if 讲( e ，( r ) i 丙0e 。( f ) ) = 国o t c 。s 口 y 2 = if 础( e ：( o i 昙e ：( f ) ) = 脚o i c o s 目 ( 2 3 9 ) 从而由式( 2 1 4 ) ，可求得各b e r r y 拓扑相因子态： j y 。( f ) ) 2 e x p i 8 + y b 0 + 。( 1 l c o s 口) 】t ) e ( f ) ) l y ：( f ) ) 2e x