凹模糊集与凸直觉模糊集.docx

凹模糊集与凸直觉模糊集沈正维( 辽宁师范大学数学系 大连 116029)徐国俊( 大连大学数学系 大连 116622)摘 要 给出了凹模糊集的定义, 讨论了凹模糊集的一些性质, 并用凸模糊集和凹模糊集的概念给出了凸直觉模糊集的概念和相应的性质 1关键词 凸模糊集, 凹模糊集, 直觉模糊集中图分类号 O 159自从模糊集理论创立以来, 很多学者对凸模糊集和直觉模糊集作了系统的讨论2, 3 . 本文给出凹模糊集的概念然后研究其性质, 最后利用凸模糊集和凹模糊集的概念给出凸直觉模糊 集的定义.定义 1设 X 为 n 维欧氏空间, X 的模糊子集A 被称为凹模糊集, 如果 0, 1 ,x , yX , 有A (x+ (1- ) y) A (x ) A , (y).显然, 我们有定理 1设 R 为实数域, R 的模糊子集A 为凹模糊集的充要条件为 x , y, zR , x zy,恒有A (z) A (x ) A (y).定理 2设A , B 为 X 的凹模糊集, 则A B 也为凹糊集.证设 0, 1 ,x , yX , 则 (A B ) (x +(1-) y) = A (x +(1-) y) B (x +(1-)y) (A (x ) A (y) ) (B (x ) B (y) ) =B ) (y).即A B 为凹模糊集.(A (x ) B (x ) ) (A (y) B (y) ) =(A B ) (x ) (A 定理 3设 f 为欧氏空间 X 到 Y 的可逆线性映射, 若A 为 X 的凹模糊子集, 则 f (A ) 为 Y的凹模糊子集.证设 y1 , y2 , Y , 0, 1 ,则 x 1 , x 2 X , 使 f (x 1 ) = y1 , f (x 2 ) = y2 且 f (A ) ( y1 +( 1-) y2 ) = f (A ) (f (x 1 ) +(1-) f (x 2 ) ) = f (A ) (f (x1 +(1-) x 2 ) ) =A (x )f (x ) = f (x 1+ (1- ) x 2)= A (x1 + (1- ) x 2 ) A (x 1 ) A (x 2 ).又 f (A ) (y1 ) = A (x ) = A (x 1 ) , f (A ) (y2 ) = A (x 2 ). 故 f (A ) ( y1 + ( 1 - ) y2 ) f (A )f (x ) = y1(y1 ) f (A ) (y2 ).定义 23设 X 是 n 维欧氏空间, X = x = (x 1 , x 2 , x n ) x iR , i= 1, 2, n . 超平面 H= x x i= 0, A 为 X 的一个模糊子集, A 在 H 上的外投影记作 PH (A ) , 其隶属函数定义为:3 辽宁省教委科研项目.收稿日期: 1996- 06- 03沈正维: 男, 1947 年生, 副教授.第 4 期沈正维: 凹模糊集与凸直觉模糊集279P H (A ) (x 1 , x 2 , x i- 1 , 0, x i+ 1 , x n ) = A (x 1 , x 2 , x n ) , 则 P H (A ) 为 H 的一个模糊子x iR集, 内投影记为Q H (A ) , 其隶属函数为 Q H (A ) (x 1 , x 2 , x n )., x i- 1 , 0, x i+ 1 , x n ) = A (x 1 , x 2 ,x iR定理 4设 X 是 n 维欧氏空间, A 为 X 上的凹模糊集, 则 P H (A ) 为 H 上的凹模糊集.设 x j = (x 1 , x 2 , x n X证j )jjx 31 2i- 1i+ 1, x j ) H , j = 1, 2, 则因An) x 2 ) A ( x 1 ) =( x j , x j , x j, 0, x j,( x 1 +( 1 -jA (x 2 ) , 0, 1 ,所以A (x 1 +(1-) x 2 ) (A(x 1 ) A (x 2 ) ) ( A(x 1 ) )x i + (1- ) x i Rx i , x i Rx i R1( A (x 2 ) ) , 即 P H (x 3 +2(1-1 21) x 3 P Hx 3x 3P H2 )( 1 )( 2 ).1x i2R又Q H (A ) (x 3x 3 A A则 0, x i , x i R , 使A1 )=()( ) ( 2 )x 1 , Q H A=()x 2 .()x 11 2x ii1Rx 2RQ H (A ) (x 3x 3. 又A x 2 Ax 1 A x 2 Q H A1 )+, A x 2 Q H()( ) ( 2 )+(x 1 +(1-)()()( )A( x 333331 ) Q H (A ) (x 2 ) + , 所以 Q H (A ) (x 1 +(1-) x 2 ) A (x 1 +(1-) x 2 ) 1, 则 P H (A ) ( x ) 1 -Q H (A ) ( x ) =1 - A (x ) = c x , 则存在 x i R , 使 A x 1 , x 2 ,A ( )(, x i- 1 , x i , x i+ 1 , x n A x 1 ,)(,0x iRx iRx iRx i- 1 , x i , x n ) , 则 A (x 1 , x i- 1 , x i , x i+ 1 , x n ) x 1 ,cA (, x i- 1 , x i , x n ) , 则 A (x 1 ,00x i- 1 , x ii+ 1n )1i- 1in )(, x 1, 这与 X , A , A 为直觉模糊集的定义相矛()0 , x, x+ A x , x, x 0 ,盾.参考文献A tana sso v K. In tu it io n ist ic fuzzy se t s. F uzzy Se t and Sy stem s, 1986, 20: 87 961辽宁师范大学学报 (自然科学版)第 20 卷2802 刘应明 1 不分明凸集的几个性质 1 数学物理学报, 1981, 1: 218 226CO NCA VE FUZZY SETSA ND CO NVEX INTU IT IO N IST IC FUZZY SETSS h en Zh en gw e i(M a th. D ep a r tm en t o f L iao n ing N o rm a l U n ive r sityX u G uoj unD a lian 116029)(M a th. D ep a r tm en t o f D a lian U n ive r sity D a lian 116622)T h is p ap e r def in e s th e co n cave fu zzy se t s, an d d iscu sse s som e p rop e r t ie s o f th eA b s t ra c tse t s, an d g ive s re levan t p rop e r t ie s o f co n vex in tu it io n ist ic fu zzy se t s w ith