函数的基本性质 教学课件PPT.ppt

1 3函数的基本性质 1 3 1单调性与最大 小 值 1 观察函数y x2的图象可见 当x 0时 图象是上升的 称此函数在 0 上为增函数 当x 0时 图象是下降的 称此函数在 0 上为函数 2 一般地 设f x 的定义域为i 如果对于属于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说f x 在这个区间d上是增函数 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说f x 在这个区间d上为减函数 减 f x1 f x2 f x1 f x2 如果函数y f x 在某个区间d上是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在区间d上具有 区间d叫做函数f x 的单调区间 1 如图 已知函数y f x y g x 的图象 包括端点 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一个区间上 函数是增函数还是减函数 单调性 解析 函数f x 的单调区间有 2 1 1 0 0 1 1 2 在区间 2 1 0 1 上是减函数 在区间 1 0 1 2 上是增函数 函数g x 的单调区间有 3 1 5 1 5 1 5 1 5 3 在区间 3 1 5 1 5 3 上是减函数 在区间 1 5 1 5 上是增函数 2 我们已知反比例函数y 的图象如图 它在区间 0 和 0 都是减函数 能否说它在定义域上是减函数 为什么 解析 不能 显然x1 1 x2 1时 满足x1y2不成立 3 用单调性定义证明 1 f x 2x 1在r上为增函数 2 f x 在 0 上为减函数 并概括用定义证明函数单调性的步骤 1 设x1 x2 r 且x1 x2 则f x1 f x2 2x1 1 2x2 1 2 x1 x2 0 f x1 f x2 f x 在r上为增函数 本节重点 函数单调性的概念及证明 本节难点 用定义证明函数的单调性和求函数的单调区间 1 函数的单调性是对某个区间而言的 对于闭区间上的连续函数来说 只要在开区间上单调 它在闭区间上也就单调 因此 在考虑它的单调区间时 包括不包括端点都可以 写单调区间时 一般写成闭区间 但必须注意 对于在某些点上不连续的函数 单调区间不包括不连续点 2 若f x 的定义域为d a d b d f x 在a和b上都单调递减 未必有f x 在a b上单调递减 例1 据下列函数图象 指出函数的单调增区间和单调减区间 解析 由图象 1 知此函数的增区间为 2 4 减区间为 2 4 由图象 2 知 此函数的增区间为 1 1 减区间为 1 0 0 1 例2 求证函数f x x3 1在 上是减函数 分析 通过对f x1 f x2 符号的判定而得结论 例3 已知y f x 与y g x 在区间a上均为增函数 判断下列函数在区间a上的增减性 1 y 2f x 2 y f x g x 分析 利用函数单调性的定义判断 解析 1 对任意x1 x2 a 设x1 x2 f x 为增函数 f x1 f x2 0 2f x2 2f x1 2f x1 2f x2 2 f x1 f x2 0 2f x2 2f x1 y 2f x 是减函数 2 在区间a内任取两个值x1 x2 设x1 x2 y f x y g x 为增函数 f x2 f x1 0g x2 g x1 0 f x2 g x2 f x1 g x1 f x2 f x1 g x2 g x1 0 f x2 g x2 f x1 g x1 y f x g x 是增函数 分析 由定义作差f x1 f x2 通过a的不同取值对差的符号的影响进行讨论 已知函数f x x2 3a 1 x 1 2a在区间 4 上是增函数 求实数a的取值范围 分析 二次函数的二次项系数小于0 其图象开口向下 因而只要区间 4 在对称轴的左侧 即可满足题设要求 点评 解决此类问题 首先搞清二次项系数的正负 确定开口方向 然后 考虑单调区间应在对称轴左侧还是右侧 例5 画出函数y x2 2 x 3的图象 并指出函数的单调区间 分析 函数解析式中含有绝对值号 因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式 然后 逐段画图 根据图象指出单调区间 解析 y x2 2 x 3函数图象如图所示 函数在 1 0 1 上是增函数 函数在 1 0 1 上是减函数 所以函数的单调增区间是 1 和 0 1 单调减区间是 1 0 和 1 画出下列函数的图象 并指出它们的单调区间 1 y x 1 2 y x2 1 解析 1 如图 1 函数的单调减区间是 0 单调增区间是 0 函数的图象如图 2 所示 函数y x2 1 在 1 0 1 上都是减函数 在 1 0 1 上都是增函数 例6 若函数f x x2 2 a 1 x 2的单调递减区间是 4 则实数a的取值范围是 错解 函数f x 图象的对称轴为x 1 a 由于函数在区间 4 上单调递减 因此1 a 4 即a 3 辨析 函数f x 在区间a上单调减和函数f x 的单调减区间是a不同 正解 因为函数的单调递减区间为 4 所以有1 a 4 即a 3 答案 b 解析 f x 3a 1 x b为增函数 应满足3a 1 0 即a 故选b 2 已知函数f x 8 2x x2 那么下列结论正确的是 a f x 在 1 上是减函数b f x 在 1 上是增函数c f x 在 1 上是减函数d f x 在 1 上是增函数 答案 b 解析 由二次函数f x 8 2x x2 x 1 2 9的图象知b对 故选b 3 函数f x 在区间 2 3 上是增函数 则y f x 5 的一个递增区间是 a 3 8 b 7 2 c 2 3 d 0 5 答案 b 解析 由 2 x 5 3得 7 x 2 选b 点评 y f x 5 可看作函数y f x 的图象向左平移5个单位得到的 故选b 4 函数f