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1 第2章数制和编码 销售信 2 主要内容 计算机中的常用计数制 编码及其相互间的转换 二进制数的算术运算和逻辑运算 符号数的表示及补码运算 二进制数运算中的溢出问题 基本逻辑门及译码器 定点数与浮点数的表示方法 3 2 1计算机中的数制 了解 各种计数制的特点及表示方法 掌握 各种计数制之间的相互转换 4 一 常用计数制 十进制 符合人们的习惯二进制 便于物理实现十六进制 便于识别 书写 5 十进制 特点 以十为底 逢十进一 共有0 9十个数字符号 表示 权表达式 n 整数位数m 小数位数 6 二进制 特点 以2为底 逢2进位 只有0和1两个符号 数后面加B 表示 n 整数位数m 小数位数 7 十六进制 特点 有0 9及A F共16个数字符号 逢16进位 数后面加H 表示 n 整数位数m 小数位数 8 任意K进制数的表示 一般地 对任意一个K进制数S都可表示为 其中 Si S的第i位数码 可以是K个符号中任何一个 n m 整数和小数的位数 K 基数 Ki K进制数的权 9 例 234 98或 234 98 101101 11B或 1101 11 2ABCD BFH或 ABCD BF 16 10 二 各数制间的转换 非十进制数 十进制数 按相应的权表达式展开 再按十进制求和 例 24 AH 2 161 4 160 A 16 1 36 625注 A F分别用10 15代入 11 十进制 非十进制数 十进制 二进制 整数 除2取余 小数 乘2取整 十进制 十六进制 整数 除16取余 小数 乘16取整 以小数点为起点求得整数和小数的每一位 注 十进制转换成任意K进制数与上类似 整 除K取余 小数 乘K取整 12 十进制到十六进制转换例 400 25 H400 16 25 余数 0 个位 25 16 1 余数 9 十位 1 16 0 余数 1 百位 0 25 16 4 0 整数 4 1 10 即 400 25 190 4H 13 二进制与十六进制间的转换 用4位二进制数表示1位十六进制数0000 0H 1001 9H1010 AH1011 BH1100 CH1101 DH1110 EH1111 FH 14 二进制与十六进制间的转换 例 10110001001 110 H010110001001 1100589 C注意 位数不够时要补0 15 2 2无符号二进制数的运算 二进制数 算术运算逻辑运算 无符号数有符号数 算术运算 16 一 无符号数的算术运算 加法运算减法运算乘法运算除法运算 17 注意点 对加法 1 1 0 有进位 对减法 0 1 1 有借位 对乘法 仅有1 1 1 其余皆为0 乘以2相当于左移一位 对除法 除以2则相当于右移1位 18 例 00001011 0100 00101100B00001011 0100 00000010B即 商 00000010B余数 11B 19 二 无符号数的表示范围 一个n位的无符号二进制数X 其表示范围为 0 X 2n 1若运算结果超出这个范围 则产生溢出 溢出的判别方法 运算时 当最高位向更高位有进位 或借位 时则产生溢出 20 例 最高位向前有进位 产生溢出 本例中 运算结果为256 超出 位二进制数所能表示的范围255 21 三 逻辑运算 与 或 非 异或 掌握 逻辑关系 真值表 和逻辑门 特点 按位运算 无进位 借位 22 与 或 运算 任何数和 0 相 与 结果为0任何数和 1 相 或 结果为1 B A C A B C 1 A B C A B C 23 非 异或 运算 非 运算即按位求反两个二进制数相 异或 相同则为0 相异则为1 A A B C 1 B A AB C B 24 与非 或非 运算 A B CA B C B A C A B C 1 25 四 译码器 74LS138译码器 G1 G2A G2B C B A Y0 Y7 3 8译码器原理 译码使能端 译码输入端 译码输出端 26 74LS138真值表 27 2 3符号数的表示及运算 计算机中的符号数的表示方法 把二进制数的最高位定义为符号位 符号位 0 表示正 1 表示负 把符号也数值化了的数 称为机器数 机器数所表示的真实的数值 称为真值 注 后面的讲述均以8位二进制数为例 28 例 52 0110100 00110100符号位数值位 52 0110100 10110100 真值 机器数 29 一 符号数的表示 对于符号数 机器数常用的表示方法有原码 反码和补码三种 数X的原码记作 X 原 反码记作 X 反 补码记作 X 补 注意 对正数 三种表示法均相同 它们的差别在于对负数的表示 30 原码 X 原 最高位为符号位 用 0 表示正 用 1 表示负 数值部分照原样写出即可 优点 真值和其原码表示之间的对应关系简单 容易理解 缺点 计算机中用原码进行加减运算比较困难 0的表示不唯一 正式定义为 31 数0的原码 0 00000000 0 10000000即 数0的原码不唯一 32 原码的例子 真值 X 18 0010010 X 18 0010010 原码 X 原 00010010 X 原 10010010 符号 符号位 n位原码表示数值的范围是 对应的原码是111 1 011 1 33 反码 X 反 对一个数X 若X 0 则 X 反 X 原若X 0 则 X 反 对应原码的符号位不变 数值部分按位求反 正式定义为 34 反码例 X 52 0110100 X 原 10110100 X 反 11001011 35 0的反码 0 反 00000000 0 反 11111111即 数0的反码也不是唯一的 n位反码表示数值的范围是对应的反码是100 0 011 1 36 补 补码 X 补 定义 若X 0 则 X 补 X 反 X 原若X 0 则 X 补 X 反 1正式定义为 37 例 X 52 0110100 X 原 10110100 X 反 11001011 X 补 X 反 1 11001100 38 0的补码 0 补 0 原 00000000 0 补 0 反 1 11111111 1 100000000 n位补码表示数值的范围是对应的补码是100 0 011 1 对8位字长 进位被舍掉 39 特殊数10000000 该数在原码中定义为 0在反码中定义为 127在补码中定义为 128对无符号数 10000000 B 128 40 8 16位符号数的表示范围 对8位二进制数 原码 127 127反码 127 127补码 128 127对16位二进制数 原码 32767 32767反码 32767 32767补码 32768 32767 41 符号二进制数与十进制的转换 对用补码表示的二进制数 1 求出真值2 进行转换 42 例 将一个用补码表示的二进制数转换为十进制数 X 补 00101110B真值为 0101110B正数所以 X 46 X 补 11010010B真值不等于 1010010B负数而是 X X 补 补 11010010 补 0101110 46 43 二 符号数的算术运算 通过引进补码 可将减法运算转换为加法运算 即 X Y 补 X 补 Y 补 X Y 补 X Y 补 X 补 Y 补其中X Y为正负数均可 符号位参与运算 44 补码的运算是基于模的运算 模 module 就是一个计数系统的最大容量 例如钟表的模为12 8位二进制数的模为28 等等 凡是用器件进行的运算都是有模运算 运算结果超过模的部分会被运算器自动丢弃 因此 当器件为n位时 有X 2n X mod2n 根据定义 X 补 2n X mod2n 因此可得 X Y 补 2n 2n X Y mod2n 2n X 2n Y mod2n X 补 Y 补 45 例 X 0110100 Y 1110100 求X Y X 原 10110100 X 补 X 反 1 11001100 Y 补 Y 原 01110100所以 X Y 补 X 补 Y 补 11001100 01110100 01000000X Y 1000000 46 符号数运算中的溢出问题 两个8位带符号二进制数相加或相减时 若C7 C6 1则结果产生溢出 其中 C7为最高位的进 借 位 C6为次高位的进 借 位 对16位或32位的运算 也有类似结论 47 观察以下四种情况哪个溢出 10110101 10001111101000100 01000010 0110001110100101 01000010 11001101100001111 CASE1 CASE2 CASE3 假定以下运算都是有符号数的运算 00100010 1100110111101111 CASE4 48 例 若 X 01111000 Y 01101001则 X Y 即 次高位向最高位有进位 而最高位向前无进位 产生溢出 事实上 两正数相加得出负数 结果出错 49 2 4定点数与浮点数 定点数 小数点位置固定不变的数 小数点的位置 纯小数纯整数 符号 X1 X2 Xn 小数点位置 符号 X1 X2 Xn 小数点位置 50 浮点数 浮点数来源于科学记数法例如 123 5 0 123 103 0 001235 0 123 10 2浮点数 用阶码和尾数表示的数 尾数通常为纯小数 2E F 数符 阶E 阶符 尾数F 小数点位置 阶码 51 80 x86中使用的IEEE标准浮点数 单精度浮点数 阶码偏移7FH 双精度浮点数 阶码偏移3FFH 数符 阶E 11位 尾数F 52位 整数部分默认为1 小数点位置 数符 阶E 8位 尾数F 23位 整数部分默认为1 小数点位置 313023220 636252510 52 例 将1011 10101用8位阶码 15位尾数的规格化浮点数形式表示 解 因为1011 10101 0 101110101 24所以要求的浮点数为 0 0000100 101110101000000 0 阶码 阶符 数符 尾数 后补0到15位 用IEEE标准单精度浮点数重做上题 因为1011 10101 1 01110101 23 阶为7FH 3 82H 10000010B所以要求的浮点数为 0 10000010 01110101000000000000000 53 2 4计算机中的编码 用于表示非数值型数据 常用的二种 BCD码用二进制编码的十进制数ASCII码美国标准信息交换代码 54 BCD码 压缩BCD码用4位二进制码表示一位十进制数 一个字节可放2位十进制数 非压缩BCD码用8位二进制码表示一位十进制数 高4位总为0 55 BCD码与二进制数之间的转换 先转换为十进制数 再转换二进制数 反之同样 例 00010001 00100101 BCD 11 25 1011 01B 56 ASCII码 字符的编码 一般用7位二进制码表示 见教材附录A用8位二进制数表示时 最高位总为0 因此最高位 D7位 可作为奇偶校验位 熟悉16进制数0 F的ASCII码 30H 39H 41H 46H 57 ASCII码的校验 奇校验加上校验