大学课件 稳态渗流理论

第三章 稳态渗流理论用Euler方法描述流体渗流时可以把渗流分为两大类稳态渗流和不稳态渗流两大类。稳态渗流是一种特殊的渗流阶段，指的是渗流运动要素（P、v、T）只是空间坐标的函数，与时间无关，反之则是不稳定渗流。当渗流系统有稳定的能量补给存在时，便可以发生稳态渗流。对于渗流场，流线和等压线可以直观描绘了流体的流向和能量损失规律，而刻画流场图时规定：相邻流线间的流量差必须相等，相邻等势线间的势差相等。本章讨论三种经典系统稳态渗流理论旨在阐明渗流方式及其渗流场特征，并给出稳态渗流平均地层压力和流量计算公式。另外，简要阐述了直线边界系统、等值渗流阻力法以及底水锥进等典型的稳态渗流问题。3-1典型渗流系统平均地层压力典型渗流系统包括线性渗流系统、径向渗流系统及球形渗流系统。线性系统：流体在狭长的介质中发生渗流，流线在平面上是相互平行的，则称这样一种流动为平面线性渗流，这样的渗流系统为线性渗流系统。选取直角坐标来建立数学模型是有利的，其渗流控制方程为：(3-1-1)径向系统：流体在具有对称泄流面积的等厚均质地层中发生渗流，流线在平面上向一个汇点聚集，称这样一种流动为平面径向渗流，这样的渗流系统为平面径向渗流系统。选择极坐标系来建立数学模型显然是有利的，其渗流控制方程为：(3-1-2)球形系统：流体在厚层、部分出流情形下发生渗流，流线在空间上向一个汇点聚集，称这样一种流动为空间球形渗流。选取球坐标来建立数学模型是有利的，其渗流控制方程为：(3-1-3)在稳定渗流条件下，方程（13）的右端为零，通过直接积分可以得到地层压力分布通解，由此能够查明流场特征。若给出相应的边界条件，可得到平均压力公式和流量公式。平均地层压力：在渗流系统中，平均地层压力是指定泄流体积内压力分布的算术平均值：xhwLPePwPxPePwLPavg图3-1 平面线性渗流系统 (3-1-4)平均地层压力标志着泄流体积内的能量水平，对不同的渗流方式，这一公式有更具体的表达形式。3-1-1 平面线性渗流平面线性渗流是第一种基本的渗流方式。如图所示，考虑有一水平、等厚、条带状、均质地层，长为L，宽为W，高为h；地层左端存在稳定直线供给边缘，右端存在直线排液道，粘度为的单相均质微可压缩牛顿液体发生Darcy线性渗流，渗流控制方程为：直接积分得压力分布通式：(3-1-5)式中，C1、C2为待定常数。xP图3-2 平面线性渗流流场由压力分布方程可以看出，平面线性渗流的等压线方程和流线方程为：，地层发生稳定线性渗流时，地层压力沿流线线性分布、在液流方向上，压力梯度、渗流速度、流量皆为常值，地层平均压力为井底压力和边界压力的算术平均值。若供给边缘压力为Pe，排液道压力为Pwf，则：压力分布公式：确定压力分布通式中的常数后有流量公式：结合运动方程有(3-1-6)平均压力：线平均积分结果质点运动规律：根据D-F关系式有，hrerwPePw图3-3 平面径向渗流系统r上式中，vr代表质点平均速度，t表示时间。3-1-2 平面径向渗流平面径向渗流是第二种基本的渗流方式。考虑半径为re、厚度为h的圆形等厚、水平、均质地层中心有一口半径为rw的完善直井，边部供给充足，粘度为的单相均质微可压缩牛顿液体发生稳态Darcy径向渗流。如图所示，显然，该问题具有轴对称性。渗流控制方程为：直接积分得到压力分布方程通式：(3-1-7)由压力分布通式可以看出，平面径向流的流场特点：图3-4 平面径向渗流流场等压线方程：等压线为圆线，在井底附近密集，压力梯度和渗流速度在井底附近急剧增高，流体渗流速度渐大，在井壁处达到最大，表明地层压降主要集中在近井地层。流线方程：流线为平面射线簇，指向生产井或由注入井发散开去。问题一：若供给边界压力为Pe，渗透率为k，井底流压为Pwf，讨论其稳定渗流问题。求解：确定压力分布通式中的常数后有压力分布公式：(3-3-3)根据上式，在r = re处压力分布曲线并不和水平线相切，而是相交，其表现如图3-3所示。流量公式：Darcy制；SI制(3-1-8)这一公式为Dupuit公式（J. Dupuit 1863），分析表明：当re/rw的值较大时，由于对数项的关系，流量与供给半径关系不大。对于平面径向，平均压力流公式为：(3-1-9)代入压力分布公式有：在re rw的条件下，得到：，问题二：若供给边界压力为Pe，介质渗透率为k，井底流量为Q，讨论其稳定渗流问题。求解：依题意，井筒内边界条件为：(3-1-10)确定压力分布通式中的常数后得到压力分布：(3-1-11)平均压力：，(3-1-12)流量公式：Darcy制；SI制(3-1-13)质点运移规律：由r0运移至r处上式是质点运动方程。3-1-3 空间球形渗流rerw图3-5 空间球形渗流系统空间球形渗流是第三种基本的渗流方式。考虑半径为h的半球形均匀介质地层，顶部为一圆形平面，顶部中心被部分钻开，钻开部分为半径为rw的出流球面，外部为同心半球面供给边界，单相不可压缩液体遵从Darcy线性定律稳定渗流。该问题具有轴对称性，在球坐标系中控制方程为：直接积分可以得到压力分布方程通式由压力分布通式可以看出，空间球形渗流流场的特点：等压线方程：等压线为球面，在井底附近密集。流线方程：球坐标系如图1-13所示，流线为空间一簇射线，在井底附近密集，指向生产井或由注入井发散开去。如果给定供给边界压力为Pe，井的流量为Q，内边界条件方程依律写为：(3-1-14)确定压力通式中的系数后得到压力分布公式：(3-1-15)流量公式：(3-1-16)当然，按照平均压力的定义，也可以得到平均地层压力及其对应的流量公式。3-1-4 分维渗流将空间球坐标系中的连续点源表示为一个半径为r的小球，首先在v维空间给出对小球点源的几何描述，其表面积、体积分别为（Barker，1988）：，rhhrwo图3-1一维体源示意图rhrw图3-2 二维体源示意图r图3-3三维体源示意图这里，v是单位半径小球的表面积，h是某一特征长度对于整数维，分析Vs可以得到直观的几何描述。分维稳态Darcy渗流的控制方程组为（王晓冬，1999）：，； 其稳态渗流的井底压差公式为：(3-1-17)显然上式为通式，当 v = 1时上式为平面线形渗流方程，v = 2时为平面径向渗流方程，v = 3时上式为空间球形渗流方程，1 v 3时可以代表分维渗流方程。例如当v = 2时根据LHospital极限法则可以得到如下形式：这正是平面径向稳态渗流压力分布公式。3-1-5 表皮因子有效井径模型表皮因子从起用到目前，历时半个多世纪。最初表皮因子出现在地下水力学领域，Jacob（1946）在考虑非Darcy流动影响时，曾经使用过类似的定义。在油藏工程领域，井附近的地层渗透率在钻井、完井以及生产过程中有可能发生变化，井筒中流体或流固混合物的超压侵入、储层中固体颗粒的运移将可能使油井附近的地层渗透率受到损害。当然，通过合理的措施可以一定程度地消除地层损害，致使地层渗透率将再次发生变化。另外，射孔层段有时只是有效储层的一部分，而射孔和射孔层段的汇聚流动也常常会引起附加压力降。由于以上等几方面的原因，测量压力通常低于理论计算值。van Everdingen & Hurst（1953）首先建议使用“薄表皮（thin-skin）模型”校正井底压力。可是，当近井储层得到改善时，薄表皮模型不能从渗流理论上合理地给出合理的理论解释，Hawkins（1956）就此给出“厚表皮（thick-skin）模型”，这一概念后来被油藏工程师们广泛接受。从渗流理论上说，表皮因子的数学表达式主要决定于近井地层的渗流方式或流场。本节就典型的渗流方式给出表皮因子的具体表达式。表皮因子效应理想和实际流动的井底流压之差PS = Pwnormal Pwdamage代表着由于近井地层产生非理想流动而带来的附加压力损失。通常将这种现象称为表皮效应，将这个附加压力损失称为表皮附加压力降，而定义表皮因子S为正比于这个压力降的阻力因子，即为：(3-1-18)理想流动的解式经用表皮因子修正后可近似代表实际流动：(3-1-19)由定义式可以看出，表皮因子是一个无量纲量。一般情况下，使流线偏离理想方向或限制流量的任何现象（如部分射开、不合理的射孔数目、近井地带相变以及湍流等）都会导致表皮因子，表示有流动阻力或地层损害存在，而负表皮因子表示降低了流阻或增加了流入面积。表皮因子公式根据表皮因子的定义，对地层损害前后分别应用（3-1-17），我们可以得到：这里，k=knormal，ks=kdamage，分维渗流表皮因子的数学表达式为(3-1-20)显然，上式是一个通式，它形式上包含了平面线性渗流、平面径向渗流及空间球形渗流情形。有效井径模型根据（3-1-19），对于平面径向渗流情形，当存在表皮效应时可以将井壁压力公式变形：这里(3-1-21)称上式为有效井径模型，由此在考虑近井地层表皮效应时，可以直接应用这一模型而避免再增加边界条件方程，从而导致数学上的简化。3-2非均质地层稳态渗流理论真实地层一般都是不均质的。孔隙度、渗透率等参数是位置的函数，根据具体地层沉积特征，可以将地层物性按平面或纵向简化为区域均质函数。3-2-1 多层复合线性渗流在纵向上，可以将非均质地层按层划分，结果构成多层介质渗流问题。whLPePwx图3-6多层渗流示意图考虑有一水平地层，总厚度为h，宽度为w，由n个独立薄层构成，层间无窜流，厚度分别为h1，h2hn，渗透率为k1，k2kn，孔隙度为1, 2n；不可压缩流体发生平面平行流动，供给边界压力为Pe，供给边界到排液道距离为L，排液道压力为Pwf；稳态渗流方程组为：，；求解后，每层压力分布都一样：每层压力梯度、平均压力都一样，渗流速度却每层各有自己的值：； 总流量等于各层累加：质点运移方程每层各有自己表达式：；平均渗透率：；(3-2-1)上式表明层状油藏平面线性流平均渗透率计算公式。3-2-2 区域复合线性渗流在平面上，可以将非均质地层按区域划分，结果构成区域复合渗流问题。平面非均匀介质线性稳定渗流控制方程为：hxwLPePwl1l2Px图3-7 多区渗流系统直接积分可得压力分布通式： (3-2-2)今有一水平地层，固定厚度为h，宽度为w，由n个区域构成，长度分别为l1，l2ln，区域间连续，渗透率分别为k1，k2kn，孔隙度为1, 2n，不可压缩流体发生平面线性流动，供给边界压力为Pe，排液道压力为Pwf，讨论稳态渗流问题。解法：用数学语言描述地层物性为：，首先利用边界条件确定压力分布通式中的积分常数，得到压力分布公式：平均压力公式：根据物性方程，具体有：，平均渗透率等效关系：，(3-2-2)如果仅考虑二区油藏，则平均压力：以上是非均质线性渗流的主要问题，当然也可以详细给出压力梯度、渗流速度等公式。3-3-3 多层复合径向渗流多层复合稳态渗流问题的描述参见3-2-1节，平面径向稳态渗流控制方程组为：，；压力分布每区压力按对数规律分布： 平均压力每层与单层类似流量： 平均渗透率：根据非均质多层与均质单层流量等效原则得到(3-2-3)这一公式与平面线性多层复合情形一致。3-3-4 区域复合径向渗流平面区域复合径向稳态渗流控制方程及压力分布通式为：问题一：今有一厚度恒为h的水平均质地层，由n个区域组成，其渗透率和孔隙度分别为ki和i，半径为ri，半径为re处的外边界上保持供给压力为Pe；以常压力Pw生产的单一完善生产井的半径为rw，地层中不可压缩液体遵从Darcy定律发生稳定平面径向渗流；讨论其稳态渗流问题。解法：物性参数描述为：，代入压力分布通式，得到其特解为：对于n区复合油藏，压力分布公式：平均压力：流量公式：利用Darcy定律得对于j = 2，即二区复合油藏：，式中，S是平面渗流表皮因子（Hawkins，1956），上式变形后可以得到有效井径模型：利用rw rw这一条件：若k1 = k2= k，则上式正是对应的均质封闭油藏平均压力计算公式。流量方程：若已知井底压力为Pwf，则利用re rw这一条件，有：3-3直线边界问题在特殊情况下的直线边界（特指直线断层或直线定压边界）问题，可以通过镜像反演方法来解决，镜像反演方法实质上是叠加原理的一种特殊应用（Bear，1972.）。镜像反演方法的使用是有条件的。镜像反演规则是：对于直线定压边界，进行等强度异号反演，反演前后真实流场不变，边界线是等压线；对于直线断层，进行等强度同号反演，反演前后真实流场不变，断层线是分流线；如果虚像井落到了实空间区域，则反演失败，这是判断通则。3-3-1 两平行断层系统中的镜像反演问题如果地层中存在单一直线断层，流体将沿着断层流动而不能穿越断层，断层相当于一条分流线，其流场相当于等流量两汇生产时流场的一半。解题时以直线断层为镜面，另一侧反映出对称位置的像井，将问题转化为无限大地层中存在两汇情形来求解，这其实是流场等分分割。dLxy图3-8 平面平行断层系统如图所示，厚度为h的在均质地层中，两平行断层系统中的镜像反演结果为平面无穷井列。稳态压力分布为：上式右端级数并不收敛，必须进行调整：注意到恒等式：应用结果有：可以证明，上式满足Laplace方程及井点处条件，常数C可以根据其他定解条件确定。其流场特点为：等压线方程：分析上述方程可以知道等压线的几何特征：（1）在近井地带，|y-L|和|x|充分小，利用级数展开：，等势线方程可以化简为：，由此知在井点附近等势线是圆。（2）在远井地带，|y-L|和|x|充分大，在等势线方程中：，即等势线是一条平行于横轴的直线。利用流线和等压线的关系当然也可推知流线的几何特征。3-3-2 五点井网问题五点井网是常用的面积布井矩形井网，具有较强的灵活性。如果发现开发过程中采油井水淹较快，说明注采井之间存在高渗透带或天然裂缝带，应及把原来四角的注水井关闭，把中心采油井转注，与相邻的四口采油井构成新的五点系统，转化后井网注水方向与裂缝走向成45。这种转化的实质是将小五点变成大五点，井距增大2倍，可增大波及系数，但井网水驱控制程度有所降低。图3-9 五点井网及其调整示意图xyd本节讨论五点井网所引起的稳态渗流问题。如图所示，五点井网的横排和每一纵列均是注水井和生产井相间布局。取坐标原点位于一口生产井中心而坐标轴通过代表性单元的对角线，井网单元是的边长为2d的正方形。设n为列数，以y轴为0列，向右n 0，m为排数。显然有：；为了使级数收敛，取关于x轴对称的井排成对运算，将交错的生产井和注水井联合，再进行叠加，参考上节的结果，压力分布公式为：为求得井网内生产井和注水井间的压差，取：注意到rw L，L h。这一公式虽然比较简单，但能够反应出水平井产能的主要影响因素，对理解水平井增产机理大有好处（进一步参考SPE 35713）。3-5底水锥进问题有些油层具有活跃的底水，为避免底水过早锥进，开采时通常只射开油层上部。油井投产后，在井底附近会发生油水界面呈锥形上升，这种现象叫做底水锥进。井产量增加，水锥持续上升，锥顶升至井底时油井开始出水。水锥未达到井底时的产量称为无水产油量，这个时期称为无水采油期。本节利用稳态渗流理论，阐述水锥形成的机理、稳定条件等问题。3-5-1水锥物理过程hCCbMDz图3-17 底水锥进现象zdsdzreD最初，油水分界面为一相对稳定的水平面，油井投产后，井底压力下降，油水界面上升到CDC位置，如图311所示。如果油井采液速度恰当，油水界面可以稳定在CDC位置，水锥边缘半径是re，初始压力等于Pe，压力按静水力学规律分布。今在界面上任取一点M，距原始CC面的距离是z，该点压力为PM，如果油水重度分别为o和w，则水锥前后，在油水界面稳定条件下，M点压力服从静水压力分布规律，为： ，从而求出水锥前后在M点产生的压力差：(3-5-1)由于o w，水锥前后M点压力从PMb降到PMa，在PM作用下，水质点面从CC上升到CDC，从而形成水锥，在水锥顶部D点的压力差最大。显然，如果采液速度增加，井底压力下降，井底压差增大，水锥降将持续上升，当zh-b时，锥顶升到井底，水侵入油井，油井开始出水，产油量开始下降。底水油藏油井出水后，如降低采液速度或关井，使井底压力回升，水锥又会降落，从而可能再次进入无水采油阶段。由于天然油层是非均质的，垂向渗透率一般小于水平渗透率，使水锥难于上升。如果在井底有一不渗透的透镜体状夹层，则使水锥的形成复杂化，减少水锥对采油的影响，如果不渗透夹层连续分布，就排除了水锥的形成。因而，如果能在油井底部置一不透水隔板，也能延缓油井出水。对于较均质的油层，最好是控制合适的采油速度，使水锥保持相对稳定状态，以延长无水采油时间。3-5-2水锥稳定条件究竟采用多大的采油速度能使水锥稳定，以期得到最长的无水采油期，这是底水油藏开发的关键问题，可以通过稳态渗流理论解答。在锥内顶部（沿井轴线）取出单位面积为ds，高为dz的单元柱体，分析其受力情况。顶面上作用压力为P，单位高度的压力梯度为P/z，顶、底面上的作用力分别为Pfds、(P+P/z)f ds，单元体中水质点向上运动的作用力为P/zf ds。由于重力又使水质点向下运动，作用力为wf dsdz，在受力平衡时水质点稳定，得到水锥稳定判据：为方便考虑重力，把压力用势函数表示，即式中，正号表示z轴垂直向上，今取z轴向下，故而有：由上式得到：这样，水锥稳定条件可写为： or 由此可知，水锥是否上升取决于纵向势梯度与水油重度差的对比，当纵向势梯度不大于水油重度差时，水锥能保持相对稳定状态，否则水锥上升。如果水锥相对稳定，可以进一步分析从井壁到油水界面处势的分布规律。3-5-3临界产量水锥稳定判据是 P/z w，对应的产量称为最大无水产量，对应的生产压差称为极限生产压差。精确确定极限产量时比较复杂的问题，因此本节介绍在均质地层中确定极限产量的近似方法。根据Darcy定律，平面径向流时的产油量为：利用（3-5-1）式求得：分离变量并积分(3-5-2)从而求得极限产油量Qoc为(3-5-3)通过上述公式，可以知道：（1）极限产量与油相流动系数ko/o成正比，渗透率越高，粘度越小，极限产量就越大。（2）水油重率差（w -o）越大，极限产量也越大。（3）含油层厚度h与射开厚度b对极限产量影响最大，含油层厚度越小，极限产量越小，而钻开厚度b越小，极限产量越大；因而，在不影响油井产量的前提下，为延长无水采油期，钻开厚度b越小约好。显然，开发底水油藏时，必须要严格控制产量，以避免水锥迅速上升，应力求油水界面能比较均匀的上升。3-5-4水锥形状方程在井产量Qo不大于极限产量Qoc的情况下，若改变（3-5-2）的积分条件，积分式写为：积分后整理为：(3-5-4)hrebz上式是水锥形状方程。3-5-5轴对称二维定常渗流研究部分射开地层稳态渗流数学模型，无量纲量，；，定义有限Hankel变换对；控制方程可以变为：注释页 41参考文献Bear J.: Dynamics of Fluids in Porous Media, American Elseviser Publishing Co., Inc. (1972).Chaperon I.: “Theoretical Study of Coning Toward Horizontal and Vertical Wells in an-isotr