数码相机定位问题的研究.doc

数码相机定位问题的研究摘 要本文从计算机视觉系统出发，对数码相机的定位问题进行了深入研究，并建立了相应的数学模型。对于问题一，先运用光学成像的相关知识，建立了针孔模型，然后又考虑了摄像机的畸变问题，对上述模型进行改进，建立了非线性模型，并给出了相应的算法。对于问题二，基于问题一中建立的模型，运用最小二乘法的思想，利用软件进行求解，得到靶标上圆的圆心在该相机像平面上的像坐标为：（单位：mm）坐 标-53.5761-25.033635.989319.7455-64.6248-55.4880-52.2181-47.780132.595433.7029对于问题三，运用蒙特卡罗模拟数据的方法，借助软件，对问题一中的模型进行了检验，并对该方法的精度和稳定性进行了讨论。对于问题四，运用几何学的相关知识，建立了双目定位系统中两部相机之间的关系式，从而确定了它们在空间中的相对位置关系，并给出了相应的算法。本文综合考虑多方面因素，公式、表格、图形表达相结合，建立的模型结构严密，具有较强的逻辑推理性，最后并对结果进行分析与检验，符合实际情况，具有一定的参考价值。关键词：数码相机 针孔模型 靶 标 蒙特卡罗一、问题重述1.1基本情况数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如附件图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图1所示。用一位置固定的数码相机摄得其像，如图2所示。 图1 靶标示意图 图2 靶标的像1.2需解决的问题 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；对由图1、图2分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024768；设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、基本假设1）不考虑外界环境对摄像效果的影响；2）数码相机完好无损，所得到的图像质量较好；3）物平面与像平面之间存在着一定的关系；4）双目系统中两部相机存在一定的几何相对关系；有些假设在将题中给出。三、符号说明：以像素为单位的图像面上的横坐标；：以像素为单位的图像面上的纵坐标；：以毫米为单位的图像面上的横坐标；：以毫米为单位的图像面上的纵坐标；：每一个像素在轴方向上的物理尺寸；：每一个像素在轴方向上的物理尺寸；：视平面与基准平面之间的夹角；：一阶径向畸变参数；：数码相机的焦距；：三维平移向量；：投影矩阵；：旋转矩阵；：比例系数；四、模型建立及求解模型准备：(1)定义一：由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对应变换称为二维射影变换。图3 二维摄影变换上图3中，间为中心射影，间为射影变换。(2)定理一：射影变换保持点列的交比不变。上述定理表示，若存在射影变换将直线变换到，为直线上任意四点，为它们在上对应点，则。(3)定义二：维射影空间的点变换若满足，其中，为标量，与分别为变换前后空间点的齐次坐标，为满秩的矩阵。以二维为例，有：上式可以写成：消去并标记得到非齐次坐标的交换形式： (4)物距：拍摄物体到透镜中心的距离；(5)像距：成像到透镜中心的距离；(6)焦距：焦点到透镜中心的距离；4.1问题一4.1.1问题分析题目中要求建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，要解决这个问题，需要在像平面上和物平面上分别建立对应坐标系，确定物平面上给定圆心的坐标，然后通过相机成像原理，计算像平面上该圆心的坐标。这样就可以比较好的解决这个问题了。也就是说，问题一中的关键是如何在物平面上建立坐标系。4.1.2模型建立模型线性数码相机模型（针孔模型）数码相机采集的图像为数组，行列的图像中的每一个元素（称为像素）的数值即是图像点的亮度。图像上每一点的亮度反映了空间物体表面某点反射光的强度，而该点在图像上的位置则与空间物体表面相应点的几何位置有关。这些点的位置的相互关系，由数码相机成像几何模型所决定。该几何模型的参数称为数码相机参数。如图4所示在图像上定义直角坐标系，每一像素的坐标分别是该像素在数组中的列数和行数，所以是以像素为单位的图像坐标系的坐标。由于只表示像素位于数组中的列数和行数，并没有用物理单位表示出该像素在图像中的位置，因而，需要在建立以物理单位（例如毫米）表示的图像坐标系。该坐标系以图像内某一点为原点，轴与轴分别与轴平行，如图4所示。即表示以像素为单位的图像坐标系的坐标，表示以毫米为单位的图像坐标系的坐标。在坐标系中，原点定义在数码相机光轴与图像平面的交点，该点一般位于图像中心处，但是由于数码相机制作的原因，也会有些偏移，若在坐标系中的坐标为，每一个像素在轴与轴方向上的物理尺寸为，则图像中任意一个像素在两个坐标系下的坐标有如下关系：图4 图像坐标系在空间坐标系下，为了以后使用的方便，引入射影变换，根据射影变换的定义，用齐次坐标与矩阵形式将上式表示为： （4.1）通过高等代数的知识可以得到（4.1）逆关系可表示为： （4.2） 数码相机成像的几何关系可由下图5表示。其中点称为数码相机光心，轴和轴与图像的轴与轴平行，轴为数码相机的光轴，它与图像平面的交点即为图兆欧表系的原点，由点与，轴组成的直角坐标系称为数码相机坐标系。为数码相机焦距。图5 相机坐标系与世界坐标系由于数码相机可安放在环境中任何位置，在环境中应该选择一个基准坐标来描述数码相机的位置，并用它描述环境中任何物体的位置，该坐标线之间的关系可以用旋转矩阵与平移向量来描述。因此，空间某一点在世界坐标系与数码相机坐标系下的齐次坐标如果分别是与,于是存在下列关系： （4.3）其中，为正交单位矩阵，为三维平移向量，为矩阵。对于空间任何一点在图像上的成像位置可以用针孔模型近似表示。由凸透镜成像的原理可以得到空间任何点在图像上的投影位置，为光心与点的连线与图像平面（指的是在凸透镜成像原理中将像平面对称在光学中心位置）的交点。这种关系也称为中心摄影或透视投影，由比例关系有如下关系式： （4.4）其中，为点的图像坐标，为空间点在数码相机坐标系下的坐标。用齐次坐标与矩阵表示上述透视投影关系： （4.5）将式（5.2）与（5.3）代入上式，得到以世界坐标系表示的点坐标与其投影点的坐标的关系表达式： （4.6）其中，为矩阵，称之为投影矩阵，完全由决定，由于只与数码相机内部结构有关，称这些参数为数码相机内部参数，完全由数码相机相对于世界坐标系的方位决定，称为数码相机外部参数，确定某一数码相机的内外参数，称之为数码相机定标。对任何空间点，如果知道投影矩阵和的坐标，就可以求出它的图像点的位置，这是因为在已知与时，式（4.6）给出了三个方程中消去就可以求出。相反，如果已知空间某点的图像的位置，即使已知数码相机内外参数，也是不能唯一确定的。事实上，在式（4.6）中是不可逆矩阵，当已知与时，由式（4.6）给出的三个方程中消去，只能够得到关于的两个线性方程，由这两个线性方程组成的方程组即为射线的方程，也就是说，投影点为的所有点均在该射线上，其物理意义可由图5看出，当已知图像点时，由针孔模型，在任何位于射线上的空间点的图像点就是点，因此，该空间点是不能唯一确定的。数码相机定标一般都需要一个放在数码相机前的标定参照物（见图6），数码相机获取该物体的图像，并由此计算数码相机的内外参数。标定参照物上的每一个特征点（图6物体上每一个小方块的顶点）相对于世界坐标系的位置在制作时应精确测定，世界坐标系课选为参照物的物体坐标系。在得到这些点在图像上的投影位置之后，可由下列式子计算出数码相机的内外参数：图6 标定参考物首先由参照物图像求投影矩阵的算法。将式（4. 6）写成： （4. 7）其中，为空间第个点的坐标，为第点的图像坐标，为投影矩阵的第行列元素，上式包括三个方程： （4. 8）将上式中的第一式除第三式，第二式除第三式分别消去后，可得到如下两个关于的线性方程： （4. 9）上式表示，如果标定块上有个已知点，并已知它们的空间坐标与它们的图像点坐标，则有个关于矩阵元素的线性方程，用矩阵形式写出这些方程如下： （4. 10）由式（4.6）可见矩阵乘以任意不为0的常数并不影响与的关系，因此上式中可以指定，从而得到关于矩阵其他元素的个线性方程。这些未知元素的个数为11个，记为11维向量，将式（4.10）简写成： （4.11）其中，为式（4.10）左边矩阵，为未知的11维向量，为式（4.10）右边的维向量，为已知向量，当时，可以用最小二乘法求出上述线性方程的解为： （4.12）向量与构成了所求解的矩阵。在一般的定标工作中，都使标定块上有数十个已知点，使方程的个数大大超过未知数的个数，从而用最小二乘法求解以降低误差造成的影响。求出矩阵后，可由公式（4.6）表示的关系算出数码相机的全部内外参数。但是要注意一点，所求得的矩阵与式（4.6）所表示的矩阵相差一个常数因子，这一点可以从解方程（4.10）时指定中看出。虽然已指出，指定并不影响投影关系，但在分解矩阵时必须考虑。将式（4.6）中矩阵与数码相机内外参数的关系写成： （4.13）其中为由式（4.10）求得的矩阵的第行的前三个元素组成的行向量，为矩阵第行第四列元素，为旋转矩阵的第行，分别为平移向量的单个分量。由式（4.13）可得： （4.14）比较上式两边可知，由于是正交单位矩阵的第三行，因此，可以从求出。再由以下式子可求得： （4.15） （4.16） （4.17） （4.18） （4.19）其中表示向量积运算符。由以上求出的参数可进一步求出以下参数： （4.20） （4.21） （4.22） （4.23） （4.24）综上所述，由空间6个以上已知点以及它们的图像点坐标，可以求出矩阵，并可按式（4.15）至（4.24）的次序求出全部内外参数。模型非线性数码相机模型在实际生活中，由于存在着广角拍摄（广角镜头是一种焦距短于标准镜头、视角大于标准镜头、距长于鱼眼镜头、视角小于鱼眼镜头的摄影镜头），使得拍摄出来的图片会产生畸变，然而线性数码相机模型并不能够解决这一个问题，因而很自然的引入了非线性数码相机模型。描述非线性畸变可以用以下公式表示： （4.25）其中为由小孔线性模型计算出来的图像点坐标的理想值，是实际的图像点的坐标，与是非线性畸变值，它与图像点在图像中的位置有关，可用下列的表达式表示： （4.26）其中，的第一项称为径向畸变，第二项称为离心畸变，第三项称为薄棱镜畸变，称为非线性畸变参数。一般情况下，上式的第一项径向畸变已经能够足够描述非线性畸变。如果只考虑径向畸变，式（4.25）和式（4.26）可以写成： （4.27）其中，该式子表明，方向与方向的畸变相对值（）与径向半径的平方成正比，即在图像边缘处的畸变较大。4.1.3模型的求解算法设计：从实际出发，将光学成像几何关系进行简化，采用整体观测的思想，对靶标上圆心在像平面上的具体位置进行了深入的研究，研究是，采用两步走的策略设计算法，即从线性和非线性两个角度分别进行研究。第一步，运用边境抽取的方法，对所给图像进行处理，求得实物体上的特殊点在像平面上的坐标，再根据这些已知的对应点，用光学知识和最小二乘法的思想得到数码相机的内外参数所表示的矩阵即为投影矩阵。最后根据相识原理粗略的得到结果。第二步，在第一步的基础上考虑数码相机摄像径向畸变的结果的影响，计算出径向畸变系数，再运用迭代的方法得到比较精确的结果。子算法：投影矩阵的算法Step1：输入空间中已知的某一点的坐标（即世界坐标）以及对应的像坐标；Step2：判断输入是否正确，正确继续，否则转至Step1；Step3：根据模型得到矩阵关系式；Step4：通过仿射变换将Step3中的矩阵转化为线性方程组，并记录其个数表示为；Step5：若转至Step1，否则继续；Step6：联立Step4中所有方程组，将其用矩阵表示出；Step7：运用最小二乘法进行计算；Step8：任意输入空间一点的坐标；Step9：根据计算的结果运用相识原理，计算像平面的坐标；Step10：输出结果。4.2问题二对于此问，题目中要求计算出靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标，可以利用问题一中的模型对问题二进行求解。问题一已经建立了该靶标上圆的圆心在像平面上坐标的模型，应用相应的数据和已知的像素与毫米之间的关系便可以解决问题。在对题目作深入分析过后，理解数码相机的定标是确定数码相机内外参数的一个过程，也就是确定数码相机内部几何与光学参数（内部参数）和确定数码相机坐标相对于世界坐标系的三维位置和方向关系（外部参数）。需要对数码相机的内外部参数作很好的了解。外部参数用来把目标的世界坐标系转换成数码相机坐标系，数码相机坐标系与世界坐标系之间的关系可以用旋转矩阵与平移向量来描述。矩阵和平移向量就被称为数码相机的外部参数。而数码相机的的内部参数主要有数码相机参数主点坐标，纵横比，一阶径向畸变系数，有效焦距。最开始时运用模型一对问题进行求解需要知道世界坐标和6个以上的已知点，然而在此问中物体的世界坐标难以确定，而且所知道已知点的个数也仅仅只有5个，虽然知道了各个坐标系之间的关系，但还是不能进行求解。于是，想到对靶标的像进行处理，将靶标的像导入中，以图像的左上角为坐标原点建立直角坐标系，利用编程（程序见附件2），求出像中椭圆的每一个像素点在该坐标系中的坐标。然后取所有像素点的横坐标和纵坐标的平均值，得到的就是椭圆形心的坐标，也就是靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。然而，这样的和是以图像左上角为坐标原点而求出的，因将其转换为坐标原点在光轴上的坐标，即：但和是以像素为单位的坐标，为此运用问题一中的转换关系将其转换成以毫米为单位的坐标和。其转换关系可表示为：经过编程计算得到的结果(以毫米为单位的像平面坐标)为：由于上面的坐标是用线性模型求得到的，并没有考虑到畸变这一情况，因此是不精确的。因此，需要利用非线性模型来求得更加精确的结果，这样才能够更好的满足题目中的要求。要得到精确的结果，必须求得非线性模型中的一阶径向畸变参数。现在来考虑世界坐标系中的坐标。由于对物体拍照时并不是垂直于物平面的，必然存在一定的夹角，也就是说在某一方向上会变扁，成为椭圆。想到在这个过程中（世界坐标系中）已知点到该坐标系原点（假设世界坐标系中的原点已假设出且轴方向上的坐标为零，图像坐标系已知）的距离到图像坐标系中对应点到原点的距离的变化是一致的，并且图1给出了五个点的关系，假设出其中一点的坐标，便可以用该点的坐标得到其它点的坐标，便可利用距离变化一致的关系，计算得到世界坐标系中点的坐标。利用题中告诉的已知数据，通过计算得到世界坐标系中各点的坐标,。下面便列取一些比较关键的表达式： 世界坐标系与数码相机坐标系的变换，可以用旋转矩阵与平移向量来描述。 线性模型下的理想透视投影变换，即从数码相机坐标系到理想图像坐标系的变换： 理想图像坐标系与实际坐标系的转换，考虑一阶径向畸变，建立畸变模型： 实际图像坐标系到计算机图像坐标系的转换： ， 为了便于观察，将用表格形式列出图像坐标系上的点的坐标和世界坐标系上的坐标：表1 世界坐标系中各点的坐标（单位：毫米）坐标-1.528.598.598.5-1.5-48.8-48.8-48.851.251.2表2 图像坐标系中各点的坐标（单位：毫米） 坐标-49.7586-23.648233.938918.9993-60.0643-51.5343-49.3281-45.058031.363631.4217 对投影矩阵的求解：通过式子（5.1.7）至式子（5.1.11）中可以求得：注意：由于将世界坐标系中的轴方向的坐标定为零，因此在式（4.7）中的的值将无法确定，因此可以任意给其赋值。关于旋转矩阵和平移向量的计算：通过式子（4.13）至式子（4.24）的相关计算，得到旋转矩阵的值为：平移向量为：关于一阶径向畸变参数的相关计算：通过以上式子的计算得到：即该数码相机的一阶径向畸变参数为-0.0033。于是，得到这些参数后，利用式（4.13）便可以求得在非线性模型中考虑数码相机畸变的精确坐标为：（单位：mm）表3 考虑数码相机畸变的精确坐标坐标-53.5761-25.033635.989319.7455-64.6248-55.4880-52.2181-47.780132.595433.70294.3问题三 对于第一问所建立的模型涉及到了三个坐标系，即世界坐标系、数码相机坐标系和图像坐标系，三者存在着一定的关系且数码相机坐标系和图像坐标系的Z轴相同。为了便于说明，定义数码相机垂直拍摄物体时所看到的面为基准面。用数码相机进行拍摄，看到的平面都与基准面有一定的夹角，如下图： 图7 摄像平面与基准平面图中的平面表示基准面（正面看到的平面），物体的形状没有发生变化，但在实际生活中摄像所看到的平面通常是平面，平面和平面之间的夹角为，也即是我们的视线与平面法线的夹角；夹角的变化范围是物体上的点在世界坐标中的坐标设为，世界坐标系的坐标原点为；图像坐标系的原点为。世界坐标中的相对应的点为，若世界坐标系中任意两点的坐标已知，并且该两天所对应的图像坐标系中点的坐标也已知，那么它们与相应坐标原点存在着如下的关系：其中，为在世界坐标系中到坐标原点的距离，为在像平面中到坐标原点的距离，为放大或者缩小的比率。此时，可以运用蒙特卡罗思想来进行模拟，随机产生一组满足以上约束的像平面上的坐标，此产生出来的坐标与问题一中的得到的坐标进行对比，这样就可以检验问题一中的模型了。模拟的详细过程：1、编制清单。通过对实物体与像图之间物理位置的分析，把已明确的影响坐标变化的因素构造成一份标准化的清单。在这份清单中能充分反映出世界坐标变换到像坐标过程；2、过程模拟。在计算机上产生满足特定规律（清单所示变化规律）的随机数，由此可得到得到点的像坐标；3、对比分析。对模拟试验的结果与问题一中求出的结果进行对比分析；得出结论。对于蒙特卡罗模拟的精度，在次题中只要迭代次数达到了相当的次数，精度都相当高，一般情况下，迭代的次数都应大于等于10000，而在此处迭代次数高达20000，所以此方法在精度方面能很好的检验模型一。对于蒙特卡罗的稳定性，在此题中建立起来的关系所运用的大都是基础物理学和几何方面的知识，对解决实际问题有很好的实用性，当然也具有较好的稳定性。4.4问题四4.4.1问题分析在现实生活中，知道两部固定相对位置以及相机的内部参数，利用所得到的图片资料，通过三维重建的方法原理，来模拟观测到的实物。但本题是在已知实物的世界坐标以及其在两个数码相机上的图像坐标，来确定数码相机之间的相对位置。将其考虑成实物与两部相机间的几何关系。为了确定这之间的关系，需要从以下方面进行考虑：两部相机的内部参数和外部参数；需要测量在同一个世界坐标中目标的相关数据（世界坐标系中的坐标值，以及在两部相机、像平面中坐标的值）；分别计算出相机的参数，；用几何学的知识如何描述两部相机之间的几何位置关系；4.4.2建立模型通过以上的分析，首先建立一个三维的直角坐标系，如下图所示：图8 双数码相机几何关系用两部数码相机同时观察周围环境，在定标中，可以运用但数码相机标定方法分别得到两个数码相机各自的内外参数矩阵。在模型中，可以由参照物图像求投影矩阵的算法。通过问题一中式（4.7）到式（4.24）所述，由空间6个以上已知点以及它们的图像点坐标，可以求出矩阵。按式（4.15）至（4.24）的次序求出全部内外参数，得到旋转矩阵和平移向量。得到的内外参数为，的内外参数为。对给定目标，它在世界坐标系、坐标系和坐标系的非齐次坐标分别为：则有如下关系式：将上式中消去后可以得到如下关系式：两个数码相机之间的几何关系可以用以下的和表示：模型算法设计：在三维欧式空间中确立两个物体相机之间的相对位置关系，采用相对论的知识，建立起各个相机与观测目标的射影关系。通过相似变换的思想，模拟映射为二维坐标下二元关系。 第一步，根据像平面上的坐标和物平面的坐标，用射影变换几何知识和线性变换以及最小二乘法的思想得到数码相机的内外参数所表示的矩阵即为投影矩阵。第二步，分解所得到的投影矩阵，得到旋转矩阵(内部参数）和平移向量(外部参数)。第三步，用立体视觉摄像机原理通过线性变换得到相机和相机的关于参数的关系式，确定出和之间的相对位置关系。 在上述模型中，我们知道，根据模型的基本建模思想可以得到数码相机的投影矩阵为。然后，再对进行分解，得到数码相机的内参数和外参数。根据和，可以确定数码相机之间的几何位置关系式为根据算法，可以知道，用矩阵去求解。参数和时，对矩阵中的元素为任意不为零的常数并且不影响到与的关系，但在求解其参数时对内参数和外参数有影响，造成系统误差。为此，引入另一种确定数码相机定位系统中相机的几何位置关系。对模型进行改进。4.4.3改进后的模型：由模型中，得到数码相机在定标中计算出的摄像系统参数矩阵，就结合极线（epipolar line）描述的双数码相机相对几何位置。如上述模型中图8所示，知道对任意在上的点在图像平面上的投影为点，而在平面上投影在直线上，将上任意一点投影在平面上都落在上，则称为在图像平面上的对应于的极线。同理，为在图像平面上对应于的极线。由于空间与两个数码相机光心组成的三角形在平面上，由于，也在平面上。从上述的讨论中也可以知道，对于上的任意点，它在的对应点不能完全由极线约束唯一确定，只知道对应点位于决定的极线上，但其具体的位置还得借助于空间点在直线上的位置有关。根具极线给出的对应的约束条件，希望从数码相机的坐标定参数中，可以有所给的条件求出极线的方程。现在已知与投影矩阵（前面的模型已经求出）的条件。得到一种有效的求解极线的方法。将两个数码相机的投影方程写出其中，为空间中点在世界坐标系下的其次坐标；分别是点与点的图像齐次坐标，将与矩阵中左面的部分记作，右边的部分记作，所以为矩阵，为三维向量。、如果将记作，其中，则上面两式可展开为：将上式子消去得：上式的两边是三维向量，故可以确定出三个等式，可以利用三个等式的关系，消去与。就将得到一个关于与的关系。这样就确立两个数码相机之间的相对位置。改进后的模型算法设计：在三维欧式空间中确立两个物体相机之间的相对位置关系，采用相对论的知识，建立起各个相机与观测目标的射影关系。通过相似变换的思想，模拟映射为二维坐标下二元关系。 第一步，根据像平面上的坐标和物平面的坐标，用射影变换几何知识和线性变换以及最小二乘法的思想得到数码相机的内外参数所表示的矩阵即为投影矩阵；第二步，根据极线重要的约束条件，建立极线的方程。第三步，通过对第二步的方程进行化解，最终可以求出关于像素坐标下的关系式，确定两部数码相机的几何相对位置关系。五、结果分析与检验通过问题一，建立了数码相机的定标的模型。用问题二中给定的相关数据对模型进行检验。经过模型计算得到的结果为：（单位：mm）；根据算法用同一组数据在模型得到考虑数码相机畸变的精确坐标为：（单位：mm）,经过对比得到它们的相对应的坐标误差在（2，4）mm的范围内。其误差的来源:第一，由于运用Matlab软件进行对图像处理，得到图像的几何中心坐标时产生的误差；第二，运用像平面中相坐标去确定对应的世界坐标时，计算产生的误差；第三，在运用模型求解其射影矩阵时，由于原理需要的坐标点不足，造成的误差；第四，模型径向畸变的系数对结果的影响；第五，未考虑离心畸变和薄棱镜畸变。六、模型评价及推广模型的优缺点：模型针孔模型优点：可以假设数码相机的光学成像模型非常复杂，包括成像过程中各种因素。方法简单易懂，在不要求精度很高的时候可以采用这种方法得到满意的结果。缺点：相机标定的结果取决于数码相机的初始给定值，如果初始值给得不恰当，很难通过优化程序得到正确的定标结果；优化非常费时，无法实时的得到定标结果。模型非线性模型优点：与线性模型相比，这个模型在线性的基础上，引进畸变量得到很高的精度； 在非线性模型中，只加入径向畸变的因素，可以得到很高精度的结果。缺点：计算量较大。模型建立的模型是为了确定空间中的两个目标的相对位置。这个模型巧妙的运用相似变换的思想，模拟映射为二维坐标下二元关系。这个模型在构造是很新颖，而且在很难在三维空间中用标准的坐标和角度确立时，可以选择相对的参考系找出其关于参考系的相对关系，同时建立其在同一个参考基准下的相互关系。具有很强的科学依据和推广性。并进行分析，确定了更容易理解模型来阐述两个相机的相对关系。总的来说，本文的各个模型都有很强的实用性，易于普遍的推广。建立的模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提的问题进行求解，有很强的说服力。模型的推广 对于本文所建立的一系列模型，现实生活中类似的问题相当普遍，比如用在交通方面用做电子眼来监测违规车辆、GPS定位系统、三维重建等问题。七、参考文献1马颂德，张正友，计算机视觉，北京：科学技术出版社，1998年，3776。2黄丽俐，徐红梅，顾小超，杨志文，积分球式威光源的蒙特卡罗模拟，长春理工大学学报，第31卷第2期，12，2008年。3李琳，王以忠，基于共面靶标双目立体视觉传感器标定，传感器世界，23，2007年。附录附件1： 图1 靶标上圆的像附件2：问题二程序：Clear%将图像以JPG的格式放入D:盘中A=imread(d:tuxiang.JPG);imshow(A) %显示所读入的图像%圆A在向平面上的坐标Q=1 1 370 300;P,r=bad(A,Q);x1=sum(P(:,1)/r);y1=sum(P(:,2)/r);%圆B在向平面上的坐标Q=371 1 500 300;P,r=bad(A,Q);x2=sum(P(:,1)/r);y2=sum(P(:,2)/r);%圆C在向平面上的坐标Q=501 1 1024 300;P,r=bad(A,Q);x3=sum(P(:,1)/r);y3=sum(P(:,2)/r);%圆E在向平面上的坐标Q=1 301 370 768;P,r=bad(A,Q);x4=sum(P(:,1)/r);y4=sum(P(:,2)/r);%圆D在向平面上的坐标Q=501 301 1024 768;P,r=bad(A,Q);x5=sum(P(:,1)/r);y5=sum(P(:,2)/r);W=x1 y1;x2 y2;x3 y3;x4 y4;x5 y5%计算真实坐标u0=512;v0=384;M=zeros(5,2);for i=1:5 M(i,1)=W(i)-u0;endfor i=6:10 M(i-5,2)=W(i)-v0;enddx=1/3.78;dy=1/3.78;N1=dx 0 -u0*dx;0 dy -v0*dy;0 0 1;N2=W;ones(1,5);O1=N1*N2;O1(3,:)=;O1;O=O1xw1=-1.5298;yw1=-48.7527;xw2=xw1+30;yw2=yw1;xw3=xw1+100;yw3=yw1;xw4=xw1;yw4=yw1+100;xw5=xw1+100;yw5=yw1+100;% 计算像素坐标u1=W(1)-512;v1=W(6)-384;u2=W(2)-512;v2=W(7)-384;u3=W(3)-512;v3=W(8)-384;u4=W(4)-512;v4=W(9)-384;u5=W(5)-512;v5=W(10)-384;K= xw1 yw1 1 0 0 0 -u1*xw1 -u1*yw1;0 0 0 xw1 yw1 1 -v1*xw1 -v1*yw1 xw2 yw2 1 0 0 0 -u2*xw2 -u2*yw2;0 0 0 xw2 yw2 1 -v2*xw2 -v2*yw2 xw3 yw3 1 0 0 0 -u3*xw3 -u3*yw3;0 0 0 xw3 yw3 1 -v1*xw3 -v3*yw3 xw4 yw4 1 0 0 0 -u4*xw4 -u4*yw4;0 0 0 xw4 yw4 1 -v4*xw4 -v4*yw4 xw5 yw5 1 0 0 0 -u5*xw5 -u1*yw5;0 0 0 xw5 yw5 1 -v1*xw5 -v2*yw5;U=u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5;M1=inv(K*K)*K*U;M=zeros(3,4);M(1,1)=M1(1);M(1,2)=M1(2);M(1,3)=-2;M(1,4)=M1(3);M(2,1)=M1(4);M(2,2)=M1(5);M(2,3)=-0.5;M(2,4)=M1(6);M(3,1)=M1(7);M(3,2)=M1(8);M(3,3)=-1.9;m34=sqrt(M(3,1)2+M(3,2)2+M(3,3)2);M(3,4)=m34;m1t=M(1,1) M(1,2) M(1,3);m1=m1t;m2t=M(2,1) M(2,2) M(2,3);m2=m2t;m3t=M(3,1) M(3,2) M(3,3);m3=m3t;m14=M(1,4);m24=M(2,4);r3=m34*m3;u0=m342*m1t*m3;v0=m342*m2t*m3;cc=cross(m1,m3);dd=cross(m2,m3);for i=1:3 c1(i)=cc(i)2; d1(i)=dd(i)2;endc0=sqrt(sum(c1.2);d0=sqrt(sum(d1.2);ax=m342*d0;ay=m342*d0;r1=(m34/ax)*(m1-u0*m3);r2=(m34/ay)*(m2-v0*m3);%tz=m34;tx=m24/ax*(m14-u0);ty=m34/ay*(m24-v0);tz=m34;R=r1 r2 r3T=tx ty tz%运用最小二乘法求畸变参数L1= R(1,1)*xw1+R(1,2)*yw1+tx (R(1,1)*xw1+R(1,2)*yw1+tx)*O(1,1)2 -O(1,1) R(2,1)*yw1+R(2,2)*yw1+ty (R(2,1)*yw1+R(2,2)*yw1+ty)*O(1,2)2 -O(1,2) R(1,1)*xw2+R(1,2)*yw2+tx (R(1,1)*xw2+R(1,2)*yw2+tx)*O(2,1)2 -O(2,1) R(2,1)*yw2+R(2,2)*yw2+ty (R(2,1)*yw2+R(2,2)*yw2+