（概率论与数理统计专业论文）线性模型中统一有偏估计的进一步研究.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 回归系数的最小二乘估计有许多优良性质，它在线性统计模型估计理论与实 际应用中占有重要的地位。但当设计阵z 存在复共线性时，最d x - 乘估计存在着 明显的缺陷，线性有偏估计则是改进最小二乘估计最直接的方法。统计学家已经 提出了各种各样的有偏估计，其中，统一有偏估计将文献中常见的、影响较大的 一些有偏估计概括在内，它包含了岭估计、主成分估计、l i u 估计等等。由于统 一有偏估计的高度概括性，可以避免重复研究，近年来已得到广泛关注。本文主 要作了一些进一步研究和完善统一有偏估计的工作，有以下几个方面的内容： 1 ) 考虑到生长曲线模型有很重要的实际应用背景，针对该模型存在的复共线 性问题，本文将统一有偏估计推广到生长曲线模型下，提出多元统一有偏估计。 并讨论了它的可容许性，找到了它一致优于最小二乘估计的椭球范围。另外取适 当的参数，本文在生长曲线模型下得到的这些结果与一元统一有偏估计的结论是 一致的。同样，在实际应用中，还会经常遇到带约束的生长曲线模型，针对这种 模型存在着的复共线性问题，本文提出了约束多元统一有偏估计，并讨论了它的 可容许性，找到了它一致优于约束最小二乘估计的椭球范围。 2 ) 在均方误差准则下，满足一定约束条件的有偏估计优于最d x - - 乘估计的研 究相当多，在p i t m a n 准则下的类似研究存在比较大的困难。本文正是在p i t m a n 准则下，讨论了最有代表性的统一有偏估计以及约束统一有偏估计的优良性，给 出了p i t m a n 意义下各种有偏估计优于传统最小二乘估计的充分条件。 3 ) 根据已建立的基于统一有偏估计的假设检验理论，本文将其应用于基于统 一有偏估计的回归方程，分别得到了回归方程显著性的检验公式，和回归系数显 著性的检验公式。 4 ) 为了在实际中应用我们的方法，我们尝试处理金融数据中存在的复共线性， 尚没有很好的结果，仅仅针对我国证券市场收益率分布所表现出来的尖峰厚尾特 性，采用l a p l a c e 分布来刻画收益率分布，提出了一种新的计算c v a r 的方法， 这方面的应用将在今后的研究中作出努力。 关键词：统一有偏估计，生长曲线模型，约束统一有偏估计，p i t m a n 准则 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t w ek n o wt h a tt h eo r d i n a r yl e a s ts q u a r e se s t i m a t i o nh a sg o o dp e r f o r m a n c ei nt h e l i n e a rr e g r e s s i o nm o d e l ，i t sv e r yi m p o r t a n ti ne s t i m a t i o nt h e o r ya n dp r a c t i c a l a p p l i c a t i o no f l i n e a rs t a t i s t i c a lm o d e l s b u tw h e nt h ed e s i g nm a t r i xx h a st h e p r o b l e m o fm u l t i c o l l i n e a r i t y , t h e o r d i n a r yl e a s ts q u a r e se s t i m a t i o ns h o w sa p p a r e n t l y d i s a d v a n t a g e , t h el i n e a rb i a s e de s t i m a t i o ni st h em o s td i r e c tm e t h o di na m e l i o r a t i n gt h e o r d i n a r yl e a s ts q u a r e se s t i m a t i o n t h e n , s t a t i s t i c i a n sp r o p o s e dm a n yk i n d so fl i n e a r b i a s e de s t i m a t i o n ，l i k er i d g ee s t i m a t i o n ，p r i n c i p a lc o m p o n e n t se s t i m a t i o n ，l i u e s t i m a t i o na n ds oo n ，a n dt h eu n i t e db i a s e de s t i m a t i o ni n c l u d e st h eb i a s e de s t i m a t i o n w h i c hw ec o l t l m o nu s e d d u et oi t sa d v a n t a g ei ni n c l u d i n gs om a n yb i a s e de s t i m a t i o n s a n dc a na v o i dr e p e a t e ds t u d y , t h eu n i t e db i a s e de s t i m a t i o nh a sb e e ns t u d i e dw i d e l y i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，w ef a t h e r l ys t u d yt h eu n i t e db i a s e de s t i m a t i o na n dt h e s et a s k sw i l l b ed o n e ： 1 ) g i v e nt ot h ei m p o r t a n tp r a c t i c a la n da p p l i c a t i o nb a c k g r o u n do fg r o w t h - c u r v e m o d e l ，a n dt h ep r o b l e mo fm u l t i c o l l i n e a r i t yw h i c hl i e si nt h i sm o d e l ，w es t u d yt h e u n i t e db i a s e de s t i m a t i o no fg r o w t h - c u r v em o d e l ，a n dp r o p o s et h em u l t i v a r i a t eu n i t e d b i a s e de s t i m a t i o n ，t h e nw ed i s c u s si t sa d m i s s i b i l i t y , a n dd e d u c et h ee l l i p t i c a lr a n g ei n w h i c ht h em u l t i v a r i a t eu n i t e db i a s e de s t i m a t i o np r o p o s e di ss u r e l ys u p e r i o rt ot h e o r d i n a r yl e a s ts q u a r e se s t i m a t i o n l i k e w i s e ，w eo f t e nm e e tt h er e s t r i c t e dg r o w t h c h i v e m o d e li np r a c t i c a la p p l i c a t i o no fl i n e a rm o d e l ，w h e nt h em u l t i c o l l i n e a r i t yh a p p e n si n t h i sm o d e l ，w ep r o p o s ean e we s t i m a t i o n r e s t r i c t e dm u l t i v a r i a t eu n i t e db i a s e d e s t i m a t i o n a l s o ，w ed i s c u s si t sa d m i s s i b i l i t ya n dd e d u c et h ee l l i p t i c a lr a n g ei nw h i c h t h er e s t r i c t e dm u l t i v a r i a t eu n i t e db i a s e de s t i m a t i o np r o p o s e di ss u r e l ys u p e r i o rt ot h e r e s t r i c t e do r d i n a r yl e a s ts q u a r e se s t i m a t i o n 2 ) t h e r ee x i s tm a n yl i t e r a t u r e sc o n c e r n i n gt h er e s e a r c ht h a tt h eb i a s e de s t i m a t o r s w i t hc e r t a i nr e s t r i c t e dc o n d i t i o n so u t p e r f o r mt h el e a s t s q u a r e se s t i m a t o ru n d e rt h e c r i t e r i o no ft h em e a n - s q u a r ee r r o r h o w e v e r , i t sm u c hh a r d e rt od ot h es i m i l a rr e s e a r c h u n d e rt h ep i t m a nc r i t e r i o n i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ep e r f o r m a n c e so fb o t ht h eu b e a n dt h er e s t r i c t e du b eu n d e rt h ep i t m a nc r i t e r i o n ，a n dt h e ng i v et h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h ev a r i o u sb i a s e de s t i m a t o r so u t p e r f o r mt h et r a d i t i o n a ll s e u n d e rt h ep i t m a nc r i t e f l o n 3 ) b a s e do nh y p o t h e s i st e s t so f t h eu n i t e db i a s e de s t i m a t i o no b t a i n e di nd o c u m e n t ， 儿 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 w ea p p l yi tt or e g r e s s i o nf u n c t i o n ，a n dw eo b t a i nr e s p e c t i v e l yt h et e s tf o r m u l a so f r e g r e s s i o nf u n c t i o na n dr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n c - 4 、t 0t h e p r a c t i c a la p p l i c a t i o no fo u ra p p r o a c h , w et r yt o d e a lw i t ht h e m u l t i c o l l i n e a r i t yf i n a n c i a ld a t a t h e r ei sn og o o do u t c o m e o n l yt h ed i s t r i b u t i o no f i n c o n l ei nc h i n a ss e c u r i t i e sm a r k e th a ss h o w nas h a r pk u r t o s i sa n df a t - t a i l l a p l a c e d i s t r i b u t i o nt oc h a r a c t e r i z et h ed i s t r i b u t i o no fi n c o m e , c v a rp r o p o s e dan e wm e t h o d o fc a l c u l a t i o n t h a ta b o u tt h ea p p l i c a t i o nw i l lb em a d ei nf u t u r er e s e a r c he f f o r t s k e y w o r d s ：u n i t e db i a s e de s t i m a t i o n , g r o w t h - c u r v em o d e l ，r e s t r i c t e du n i t e db i a s e d e s t i m a t o r s ，p i t m a nc r i t e t i o n 1 1 i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重庞太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 关于彰q 签字日期： 州年，胡哆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重庞盍堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重庞太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( v ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 学位论文作者签名：敢鸦以 导师签名：弩戛乏 签字日期：撕年f 月日签字日期：b 6 年f 蝴八日 重庆大学硕士学位论文1 绪论 1 绪论 线性模型是现代统计学中应用最为广泛的模型之一，它在许多个领域，如生 物、医学、经济、管理、工业、农业、地质、气象、工程技术、国防科技等等， 都有应用，这些领域的一些现象均可用线性模型来描述，尤其是随着计算机的日 益普及与数字计算能力的不断提高，线性模型也越来越发挥出重要的作用。 线性模型是一类统计模型的总称，它包括了通常的线性回归模型、方差分析 模型、协方差分析模型和方差分量模型等等。本文主要涉及到的是线性回归模型， 它是指用一个数学模型来确定所研究的自变量和因变量之间的线性关系。在人们 所见的大量实际问题中，线性回归模型的设计阵总是列满秩的，基于这一点，我 们在讨论线性回归模型时，总是假设设计阵是列满秩的。 近几十年来，统计学家们已经对线性回归模型进行了深入而细致的研究，出 现了不少研究分支，而自上个世纪二十年代，英国著名统计学家r a f i s h e r 奠定 了参数估计的理论基础之后，参数估计一直是统计学中的一个非常活跃的分支。 并且，最小二乘法在参数估计理论中占有中心的基础地位，最小二乘估计( l s ) 也是最经典的一个估计。但是，随着回归分析研究的深入，统计学家们渐渐发现 在理论分析和实际应用中l s 估计的性质不够理想。于是，统计学家们提出了很 多新的估计试图改进l s 估计，其中有许多著名的有偏估计，如j a m e s s t e i n 压缩 估计、岭估计、主成份估计、l i u 估计等等，而统一有偏理论则是将我们这些常 用的有偏估计概括在内，是一个统一的表达形式，本文的主要研究方向就是进一 步讨论统一有偏估计的性质。 1 1 有偏估计的发展历史及研究现状 我们知道，最小二乘估计( l s ) 有许多优良的性质，它在线性统计模型的参 数估计理论中占有十分重要的地位，特别是1 9 0 0 年a a m a r k o v 证明了著名 g a u s s m a r k o v 定理，保证了最小二乘估计在线性无偏估计类中的方差最小性，更 加使之成为最经典的一个估计。然而，随着电子计算机的飞速发展，人们越来越 多的使用计算机来处理大型回归问题。这时，由于处理的自变量很多，有时难免 会出现复共线性问题，这往往导致l s 估计的性质不理想，甚至很坏，这具体表 现在l s 估计的均方误差会变得很大，且其平均模会过长，此时，尽管l s 估计是 线性最佳无偏估计，但却不再是个好的估计。于是，近几十年来，许多统计学者 致力于改进l s 估计，提出了许多新的估计，其中很重要的一类估计就是有偏估 计。 重庆大学硕士学位论文1 绪论 1 9 5 5 年s t e i n 证明了最4 , - - 乘估计在平方损失下的不可容许性之后，紧接着 j a m e s 和s t e i n t l l 提出了著名的j a m e s s t e i n 压缩估计( j a n l e s s t e i ns h r i n k a g e e s t i m a t i o n ) 。这是改进l s 估计的一项开创性工作，开辟了参数估计的一个崭新 的研究领域。1 9 6 5 年，w f m a s s 严1 针对设计矩阵的病态提出了一种有偏估计 主成分估计( p r i n c i p a lc o m p o n e n t se s t i m a t i o n ) 。它的本质是先把回归自变量变换 到它们的主成分，然后选择其中一部分重要的主成分作为新的自变量，对它们应 用最小二乘法作出l s 估计，然后再转换到原来参数的估计。主成分估计是一种 压缩型的有偏估计。1 9 7 0 年，h o e r l 和k e n n a r d 3 - 4 1 提出了另外一种压缩型有偏估 计一岭估计( r i d g ee s t i m a t i o n ) 。其基本思想是在设计阵的计算中引入个偏参数， 通过对此参数的合理取值来消除复共线性带来的估计误差。后来统计学家又将这 种估计方法中的单变量的偏参数扩展到了偏参数矩阵，称为广义岭估计( g e n e r a l r i d g ee s t i m a f i o n ) 。实践表明岭估计确实改进了l s 估计，它是目前使用最为广泛 的一种非最d - - 乘估计。 以上几种估计都是早期比较有影响的几类估计，之后围绕这些思想，统计学 者们提出了许多新的估计对其进行扩展和补充。贾忠贞【习于1 9 8 7 年提出了组合主 成分估计，杨虎1 6 于1 9 8 9 年提出了单参数主成分估计，归庆明 7 1 于1 9 9 4 年提出 了多元广义主成分估计类，徐文莉和林举干i s 于1 9 9 5 年提出了岭型组合主成分估 计，黄养新【9 】于1 9 9 5 年提出了增长曲线模型回归系数的广义岭估计，s i n g h 和 c h a u b e y 【1 于1 9 8 6 年提出了几乎无偏的岭估计，l i u ，k e j i a ni l l ，1 刁于1 9 9 3 年提出 的“u 估计，1 9 9 1 年杨蒯1 3 1 提出了泛岭估计类，并于2 0 0 4 年h u y a n g ，l i x i n g z h u 1 4 1 将其改为统一有偏估计类( u n i f i e db i a s e de s t i m a t i o n ，简称u b e ) 。统一有偏估 计将上述的比较有影响的如s t e i n 压缩估计、岭估计、主成份估计、l i u 估计等等 都概括其中，是个统一的表达形式。 由于u b e 的概括性，可以避免重复研究，近年来己得到了人们的关注。1 9 9 4 年腾素珍和王志福【坫1 给出了统一有偏估计最优准则的讨论，2 0 0 6 年刘彬o s l 提出 了回归系数的几乎无偏统一有偏估计类，钟震( 17 】于2 0 0 5 年把统一有偏估计推广 到了约束情形下，提出了约束统一有偏估计( r u b e ) 。尤进红【1 8 1 1 9 9 8 年研究了 生长曲线模型下的泛岭估计类，概括了多种多元线性有偏估计。 1 2p i t m a n 准则的发展历史及研究现状 在数理统计参数估计理论中，评价估计优劣的个很重要的标准就是风险函 数。设曰为p l 未知参数向量，舀为它的一个估计，l ( o ，口1 为损失函数，那么风 险函数定义为r ( o ) = e l ( 百，0 l ，它度量了用百去估计0 时的平均损失。若特别取 l ( o ，目) = 归一口f ，则风险函数r ( 口) = e 忙一o l l 2 就是我们所熟知的均方误差。由于 2 重庆大学硕士学位论文1 绪论 数学上容易处理，风险函数特别是均方误差受到了人们的青睐，被广泛用于比较 估计的优劣。但是近二十余年来，许多学者注意到了风险函数准则存在着一些缺 陷，这主要表现在：( 1 ) 风险函数准则关于损失函数的选择很敏感，例如个估 计在均方误差准则下优于另一个估计，但它不必在平均绝对误差准则下也优于另 一个估计。( 2 ) 著名统计学家r a o 的1 9 8 0 和1 9 8 1 年的两篇论文 1 吼驯证明了，在 统计参数估计中经常采用的均方误差准则，过分强调了与参数真值偏离较大的那 些样本。 另外一种评价估计的标准是p i t m a n 准则，它是由p i t m a n t z l 于1 9 3 7 年提出来 的，但是该准则在其提出来后的三十余年里被统计学家们所忽略了，并没有引起 重视，这主要是由于以下原因 2 2 】：( 1 ) p i t m a n 准则不具备传递性，即在p i t m a n 准则下，巨优于龟，幺优于反，我们并不能断言，在p i t m a n 准则下，巨优于最； ( 2 ) 计算上比较困难，用p i t m a n 准则比较两个估计，需要计算一个很复杂事件 的概率，这使很多人望而却步；( 3 ) 人们还没有认识到p i t m a n 准则本身的合理性 及其关于损失函数选择的一定程度的稳健性，这种稳健性的意义是指，一个估计真 在损失函数三( ，) 下，p i t m a n 优于另一个估计睫，那么对任一单调函数，反在 损失函数庐( 动下，仍p i t m a n 优于幺。 但是，近二十余年来，情况发生了很大的变化，特别是以r a o 的两篇文章为 起点，关于p i t m a n 准则的研究引起了许多统计学家的极大兴趣。如k e a t i n g 和 m e a s o n 2 3 1 ，r a o 、k e a t i n g 和m e a s o n 2 4 】等深入研究了p i t m a n 准则，s e n 、k u b o k a w a 和s a l e h l 2 5 】和r o b e r t 2 6 1 等讨论了s t e i n 估计在p i t m a n 准则下的优良性。在1 9 9 0 年， k e a t i n g 、m a s o n 、s e n 和r a o 等组织了关于p i t m a n 准则的专题学术会议，并于1 9 9 1 年在统计刊物“c o m m u n i c a t i o ni ns t a t i s t i c s ”上发表了有关p i t m a n 准则的专辑 2 7 1 ， k e a t i n g 、m a s o n 和s e n 于1 9 9 3 年出版了专著m 】。近年来围绕p i t m a n 准则的研究 使得p i t m a n 准则成为目前统计参数估计理论研究的热门课题之一。国内也有一些 作者研究了这方面的工作，王松桂f 2 9 】于1 9 9 4 年利用尾部概率的估计导出了p i t m a n 准则下一个估计优于另一个估计的充分条件；王松桂，杨剧3 0 】于1 9 9 4 年讨论了 一个线性估计在p i t m a n 意义下优于另一线性估计的参数集合：王松桂，杨振海【3 ” 于1 9 9 5 年研究了协方差改进估计在p i t m a n 意义下的优良性；徐文莉，林举干【8 1 于1 9 9 5 年证明了当满足一定条件时，岭型组合主成分估计在p i t m a n 准则下优于 最d x - - 乘估计和岭估计；韦来生，杨亚宁【3 2 】于1 9 9 7 年证明了在适当条件下，满 足某种形式的一类线性估计在p i t m a n 准则下优于最小二乘估计，并将该结果应用 于回归系数的岭估计、广义岭估计、压缩估计和b a y e s 估计；张日权f 3 3 】于2 0 0 0 年讨论了生长曲线模型下，岭估计在p c 准则下优于最小二乘估计的条件；张日 权，李有琴【3 4 】于2 0 0 2 年给出了p c 准则下生长曲线模型回归参数阵广义岭估计优 3 重庆大学硕士学位论文1 绪论 于最小二乘估计的条件；陆赳3 5 】于2 0 0 5 年证明了生长曲线模型回归系数阵的一 类线性估计在p c 准则下优于最小二乘估计；林明，韦来生【3 6 】于2 0 0 2 年比较了 p c 准则下s t e i n 估计相对于最小二乘估计的优良性；马铁丰，杨虎【37 】于2 0 0 5 年 给出了一种新的关于j a m e s s t e i n 估计在p i t m a n 准则下优于最小二乘估计的简短 证明：马铁丰，杨彪3 8 1 于2 0 0 6 年讨论了b a y e s 估计的p i t m a n 优良性，证明了在 p i t m a n 意义下，b a y e s 估计一致优于最b - 乘估计，并将其推广到了生长曲线模 型中去。 1 3 本文的研究目的和内容 1 3 1 研究目的 本文主要是对统一有偏理论的进一步探讨，对其性质的进一步完善，我们试 图达到以下几个目的： ( 1 ) 统一有偏理论在一元线性模型下和带约束的一元线性模型下均有了较好 的结果。针对多元线性模型表现出的复共线性，本文试图将统一有偏理论推广到 多元线性模型下。于是，在第四章，我们试图提出一种包含多种多元有偏估计的 多元统一有偏估计( m u l t i v a r i a t eu n i t e db i a s e de s t i m a t i o n ，简记为m u b e ) ，该估 计不仅有较好的性质，还可以避免对多元岭估计、多元主成分估计、多元压缩估 计等等的重复研究，具有重要的理论研究意义。同时，考虑到在实际应用中，经 常会遇到带约束的情形，我们还欲将此结果进一步推广到了带约束的多元线性模 型下，提出一种带约束的多元统一有偏估计( r e s t r i c t e dm u l t i v a r i a t eu n i t e db i a s e d e s t i m a t i o n ，简记为r m u b e ) 。 ( 2 ) 在均方误差准则下，满足一定约束条件的有偏估计优于最小二乘估计的 研究相当多，在p i t m a n 准则下的类似研究存在比较大的困难。本文试图在p i t m a n 准则下，讨论了最有代表性的统一有偏估计以及约束统一有偏估计的优良性，给 出了p i t m a n 意义下各种有偏估计优于传统最小二乘估计的充分条件。 ( 3 ) 线性模型中，假设检验是回归分析的前提和基础，文 1 7 】首次提出检验 效果在设计阵具有共线性时往往由于估计参数的不稳定而导致检验出错误的结 论。于是，他利用有偏估计的思想来进行检验改进，并提出了统一有偏估计的f 检验公式。受此启发，本文试图根据已有的统一有偏估计的，检验公式，建立统 一有偏估计的回归方程，并作出回归分析。 ( 4 ) 当处理金融数据，特别是遇到大型的线性回归问题时，经常会出现复共 线性，本文试图对这类金融数据运用统一有偏理论来处理，但目前还没有得到理 想的结果。本文仅针对我国证券市场收益率分布所表现出来的尖峰厚尾特性，试 图提出一种有效的方法来度量其风险。 4 重庆大学硕士学位论文1 绪论 1 3 2 研究内容 ( 1 ) 本文在第三章将统一有偏估计推广到生长曲线模型 y = 髓z + e ( ( s ) ) = o c d v ( 玩c ( f ) ) = 0 2 i p 圆 下，提出了多元统一有偏估计 屯；( j i z + k 彬巧。v , s , v , x v z v ；s y ：( z z + 隅砭) 。 并讨论了该估计的可容许性，以及在均方误差意义下，旬优于最小二乘估计雪的 椭球范围。针对带等式约束的生长曲线模型 y = z + e ( 您c ( s ) ) = o c o v ( 阮( f ) ) = 盯2 lo l l b = 0 本文提出了约束多元统一有偏估计 缸= 骁( q 石曼，q 。+ k 嵋巧一v , s y , 觋石 z 隅圪( z z + 喁坞) 。1 同样讨论了该估计的可容许性，以及在均方误差意义下，扈。优于约束最小二乘 估计成的椭球范围。 ( 2 ) 本文在第四章考虑统一有偏估计的p i t m a n 优良性，分别找到了统一有 偏估计优于最小二乘估计，约束统一有偏估计优于约束最4 , - 乘估计的椭球范围。 并将结果应用到各种具体的有偏估计下，得到了一系列有偏估计p i t m a n 优于最小 二乘估计的椭球范围。 ( 3 ) 本文在第五章讨论了根据统一有偏估计得到的回归方程，提出了该回归 方程的显著性检验统计量，以及回归系数的显著性检验统计量。 ( 4 ) 风险值( v a r ) 是目前金融机构广泛采用的一种风险度量指标，条件风 险值( c v a r ) 度量方法是对其的改进方法，它比v a r 具有更好的性质。本文在 第六章提出了种新的计算c v a r 值的方法，并用来模拟我国金融市场，作出了 实证分析。 重庆大学硕七学位论文2 预备知识 2 预备知识 这里将本文中需要用到的一些定义及结论，简单的介绍一下，具体的证明过 程请参考文献m 柏4 1 4 2 1 。 2 1 数学符号 下面是本文中所用到的一些数学符号所表示的意思： 1 1 1 行n 列的矩阵4 记为彳或缸。；当m = 门时，称a 为 阶方阵；n x ? l 单位阵记 为k 。或l ； 矩阵爿的转置，记为4 。： 矩阵4 的共轭转置，记为彳+ ； 如果h 阶方阵a 可逆，其逆记为4 一； 矩阵a 的广义逆记为a 一 玎阶方阵4 的迹，记为t r ( a 1 ； 矩阵a 的秩，记为扁( 爿) ； 如果彳一b 0 ，记为a b ； 如果爿一b 0 ，记为a b ； 用c “和彤分别表示全体n 维复向量和实向量组成的线性空间； 用0 表示全体参数空间； p 石墨x 表示概率； u ( e ，盯2 1 表示服从参数为0 ，方差为盯2 的正态分布； n 维向量口写为a = ( 岛，6 2 ，) ，其中包，i = 1 ，n 为口的元素； o 表示k r o n e e k e r 乘积； v e c ( a 1 表示将矩阵a 向量化； 如果n 阶方阵a 为对角矩阵，其对角元素依次为q 。，n 。，记为 d i a g ( a i l ，a 2 2 ，a m ) ； 2 2 矩阵论的预备知识 2 2 1 奇异值分解和同时对角化 设a 为研x 盯秩为t 的复矩阵，则存在两个酉阵玑。和吒。，使得 ( 矿+ 6 重庆大学硕士学位论文2 预备知识 称之为矩阵a 的奇异值分解，其中= 讲昭( q ，o - = ，q ) ，q 0 ，i = 1 ，t ， = 砰，4 = 砰为a * a 的非零特征值。 对两个矩阵同时对角化是指，设彳，占为两个刀阶h e r m i t e 阵，则存在酉阵u ， 使得u * a u 和u * b u 同时为对角阵，当且仅当a b = b a 。 2 2 2 广义逆 定义设a 为r a x n 矩阵，任意丹m 矩阵x ，若满足 a x a = a 则称x 为矩阵4 的广义逆，记为爿一。 设彳为m x n 矩阵，任意，l m 矩阵x ，若同时满足 a x a = a x a x = x ( 艘) = a x ( j 钳) + 。x a 则称石为矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆，记为。 2 2 3c a u c h y - - s c h w a r z 不等式 设x ，y c “，贝0 ( 1 ) b + y 1 2 x + x y + y 等号成立当且仅当y 与工线性相关； ( 2 ) 设a 为甩n h e r m i t e 阵且a 0 ，则 b + 砂1 2sx a x y * a y等号成立当且仅当y 与石线性相关； ( 3 ) 设a 为n x n h e r m i t e 阵且a 0 ，则 k + y 1 2 0 为未知参数。 其最小二乘估计为 雪= ( x x ) 。1 x i z ( z z ) 1 ( 3 3 ) 它是存在且唯一的，它的均方误差为 嬲( 云) 删胁哪 = e ( v e c ( j 奇) 一( 叫( 胁( 雪) _ ( 曰) ) = t r c o vv e c ( 雪) ) = t r c o v ( ( z z 厂z 。( 艘) 。x 慨( 】，) ) = 盯2 伊( ( z z ) 。固( x x ) 。1 ) = 盯2 1 ，如 ( 3 4 ) 其中，凡是艘的特征根，五是z z 的特征根，f = 1 ，七，= 1 ，g ，不 妨设 。砧缸，毛乞五。不难看出，当设计阵x 或者z 或者x ， 1 2 重庆大学硕士学位论文 3 生长曲线模型下的统一有偏估计 z 接近奇异时，雪不再是b 的一个良好估计，尤进红 1 s 1 1 9 9 8 年研究了生长曲线模 型下的泛岭估计类，概括了多种多元线性有偏估计。本文在3 2 节从更加完善的 统一有偏估计出发，研究了生长曲线模型下的多元统一有偏估计，得到的性质更 是能够包括一元的情况。 在实际应用中，我们还会经常碰到参数阵b 带约束的情形( 如配方回归) ， 文【4 2 1 讨论了线性等式约束下生长曲线模型参数阵的b l u 估计。同样，带约束的 生长曲线模型也存在复共线性问题，本文针对这种情况，在3 3 节讨论了带约束 的生长曲线模型下的约束多元统一有偏估计。 3 2 生长曲线模型下的统一有偏估计 定义3 1 对于生长曲线模型( 3 5 ) ，我们称 岛= ( 嬲+ k 暇k ，) - 1 k s 巧x z k ：( z z + k 刀) - 1 ( 3 5 ) 为多元统一有偏估计( m u l t i v a r i a t e u n i t e d b i a s e d e s t i m a t i o n ) 。其中， = d i a g ( w ，i ，- w l 。) ，= d i a g ( w ：j , - w 2 ，) s l = d i a g ( s i i ，w 。) ，是= 硪昭( ，s ：。) ， k 是k 阶正交阵，使k x 奶= a 】= d i a g ( aj ，一，缸) 成立。 是q 阶正交阵，使k z z 曙= a ：= d i a g ( 五l ，一，五。) 成立。 接下来讨论色的性质，首先给出两个引理。 7 1 理3 1 对一般的线性模型( ) ，z 卢，盯2 j ) ，设夕为的最小二乘估计， 矽= 矽，则矽为的可容许估计的充要条件为 a ( x x ) 1 爿彳( x z ) 1 ( 3 6 ) 引理3 2 设h 为半负定阵，为对角阵，当m 。筇盯2 时，形如 仃2 h + a f l f l a 为半负定阵。 证明：盯2 日+ a y f l r 为半负定阵 对一切向量u ，有盯2 u h u + u f l a h - 1 a f l u s 0 ( 3 7 ) 由c a u c h y - s c h w a r z 不等式有 u h u f l a h 4 a f t ( u a f l ) 2 1 3 重庆大学硕士学位论文3 生长曲线模型下的统一有偏估计 即有 o 2 u h u + ( u a p ) 2 “! 日i ( 盯2 + f l a h 。) 由f l , a r 。a f t _ c r 2 ，且h 为半负定，故( 3 7 ) 成立，证毕。 下面定理3 1 给出了多元统一有偏估计的期望和方差。 定理3 1 e ( 阮( 屯) ) = ( 脚+ 巧巧广g , s , k x x g z z 7 v ；s y ：( z z 7 + 职砭) 。 c o v ( 胁( 色) ) = a 2 ( 咿：匕) 。( 隅哟 ( 3 8 ) 其中，f 1 = ( a i + w j _ 1 墨a 。s , o 。+ 形) 一，f 2 = ( a ：+ ) _ 1 最a ：最( a ：+ ) 1 证明： 由屯= ( 鼢+ k 巧，_ 1 巧墨k x ，】z v ；s ：v ：( z z + k ，吃圪) 。有 p 幻( 句) z z v ；s ：v ：( z z + p 识k ) 。 圆 ( x x + k k ，) _ 1 k s 巧x v e c ( y ) 故 占( ( 如) ) = z 啦k ( z z + 峨盯 。 似十巧彤k 墨k 舅e v e c ( 】，) = 胁 ( 艘+ 巧一v , s y , x i 物z z v ；s , v ：( z z 7 + 暇匕) 1 c o vv e c ( 毛) ) = z v ；s v ：( z z + 班 ( 肖x + 巧彬v , s y ；x p 2 圆 z v ；s , v , ( z z + 喁 。 ( 艘+ 巧彤k 墨k x 】 = 盯2 ( z z + 哦g s ：g z z7 v ；s v ：( z z + 哦 固 ( x x + 巧碱k 一1 巧s 巧x l 彤s k ( x x + k 巧。 = 仃2 巧( a ：+ ) - 1s ：a ：是( a ：+ ) - 1 。 k ( a 。+ 彤) 。s 。a 。s ( a 。+ 彤) - 1 k 2 = o r 2 ( 巧_ r ：k ) ( k r 。k ， 证毕。 在讨论可容许性之前，这里需要先对多元模型的可容许估计作一下说明。假 定线性函数舭可估，即常数阵k 。和x ，满足( 定7 ) ( 石) 且仁) ( z ) ， 其中( 彳) 表示矩阵a 的列向量张成的线性空间。为判别参数阵b 的估计量 d ( y ) 。的优劣，考虑矩阵损失函数： 1 4 重庆大学硕士学位论文 3 生长曲线模型下的统一有偏估计 三( d ( y ) ，k b l ) = ( d ( y ) 一r ( b e ) ( d ( 】，) 一k 乩) 。 目的在于在该损失函数下，给出估计d y f 在整个齐次线性估计类 g = d y f ：口。和乃。为常数阵 中是可估函数k b l 的可容许估计的充要条件。在上述损失函数下，风险函数记为 月( d ( y ) ，k b l ，盯2 ) = e ( d ( y ) 一f - ( 日上) ( d ( y ) 一j t ：目三) 由于风险函数是矩阵，有关矩阵大小的比较有很多种不同的标准，下面是常见的 5 种不同形式的比较标准： 设面( 】，) 和如( y ) 是k 砚的两个估计，如果对一切( b ，c r 2 ) o ，分别有下列5 个不等式成立，则称吐( y ) 分别在( 1 ) ( 5 ) 意义下一致的优于以( 】，) ，其中参 数空间为。= ( 四，盯2 ) ：盯2 o ，占是后g 实矩阵 。 ( 1 ) 月( 一( y ) ，k b l ，盯2 ) r ( 畋( 】r ) ，k b l ，盯2 ) ，且存在( 岛，g r 0 2 ) ，使 r ( 如( y ) ，k b o l ，爵) 一r ( 吐( y ) ，k b o l ，靠) o 。 ( 2 ) 护卜( 4 ( y ) ，k b l ，盯2 ) 护p ( 如( y ) ，k b l ，盯2 ) ，且存在( 岛，a r 0 2 ) ，使严格 不等号成立。 ( 3 ) r ( 4 ( y ) ，k b l ，c r 2 ) a 卜( 如( y ) ，k b l ，盯2 ) ，且存在( 岛，2 ) ，使 p ( 吐( 】r ) ，k b o l ，爵) 一丑卜( 吐( y ) ，弛厶爵) 0 ，其中 ( 彳) 为矩阵4 的最大 特征根。 ( 4 ) 乃 r ( d 。( 1 ，) ，k b l ，盯2 ) s 勺 r ( d ：( y ) ，k b l ，盯2 ) ，1 ，f ，且存在( ，c r 0 2 ) 使严