（电路与系统专业论文）小波域图像对称性检测及其应用于人脸定位.pdf

摘要 图像对称性检测是计算机视觉和图像处理领域的一个重要课题，小波交换是近年发展 起来的一种有效的信号分析工具。本文在系统研究小波变换理论特别是反对称双正交小波 的微分特性的基础上，深入研究了小波域图像对称性检测方法及其在人脸检测中的应用。 主要内容如下： 提出了一种基于多尺度梯度矢量的图像旋转对称性检测方法。陔方法由于采用了由粗 至精的多尺度检测策略，有效地提高了算法效率，并且抑制了噪声的影响。应用于人 脸特征点定位的实验表明，其性能优于现有类似方法。寸 提出了基于多尺度梯度相角的镜像对称性检测方法。( 该方法除对光照变化具有稳定性 以外，由于引入了一些先验知识的指导，进一步提高了对称性检测性能。使用m i t 图 像库的人脸对称性检测与定位实验表明，其性能优于现有类似方法，获得了10 0 的正 确率a 吱 提出了一种通过对图像多分辨率边缘点集进行主元分析来实现镜像对称性检测的方 法。吡方法能快速实现图像对象镜像对称轴的粗检测，并同时实现对图像尺度的估计， 因此能应用于图像的几何归一化。通过对人脸图像进行定位与几何归一化的实验，证 明了这一方法的有效性。杖 关键词：对称性检测y 小波变换_ 反对称双正交小波，多分辨率梯度矢量y 人脸检测_ 特征点定位，主元分析。 a b s t r a c t s y m m e t r yd e t e c t i o ni si m p o r t a n ti nt h ef i e l d so fc o m p n t e rv i s i o na n di m a g ep r o c e s s i n gt h a t i n t e r e s t e dm a n yr e s e a r c h e r s w a v e l e tt r a n s f o r mi sa n 哪s i g n a la n a l y s i st h e o r yd e v e l o p e di np a s t t w od e c a d e s i m a g es y m m e t r yd e t e c t i o ni nw a v e l e td o m a i na n di t sa p p l i c a t i o nt of a c i a ll o c a t i o n a l e i n v e s t i g a t e di nt h i st h e s i s t h ee s s e n t i a lc o n t e n t sc a n b el i s t e da sf o l l o w s ： am e t h o dt oi m p l e m e n tm u l t i s c a l es y m m e t r yt r a n s f o r mi nt h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t sd o m a i n d e c o m p o s e du s i n ga n t i s y m m e t r i c a lb i o r t h o g o n a lw a v e l e t s ( a s b w ) i sp r e s e n t e dw i t ha p p l i c a t i o n t ol o c a t i o no ff e a t u r e p o i n t so nh u m a nf a c ei m a g e c o m p a r e dt o t h eg e n e r a l i z e ds y m m e t r y t r a n s f o r m , w h i c hi sp e r f o r m e do nas i n g l er e s o l u t i o nl e v e l ，o u rm e t h o dc a ny i e l dr e s u l t sw i t h h i g h e rl o c a t i o na c c u r a c ya n d l e s sc o m p u t a t i o n a lb u r d e n an o v e la p p r o a c ht or e f l e c t i o n a l s y m m e t r yd e t e c t i o nw i t ha p p l i c a t i o nt of a c ed e t e c t i o ni s g i v e nu s i n gm u l t i - s c a l eg r a d i e n ta n g l eo b t a i n e df r o ma s b wd e c o m p o s i t i o nc o e f f i d e n t s t h e m e t h o di sr o b u s t n e s st od i f f e r e n ti l l u m i n a n tc o n d i t i o n s e x p e r i m e n t sw i t hm td a t a b a s es h o w t h a tt h i sm e t h o dc 舭y i e l dr e s u l t sw i t hh i g h e rd e t e c t i o na c c u r a c ya n dd e c r e a s i n gc o m p u t a t i o n a l c o s t c o m p a r e d t ot h es i m i l a rm e t h o d i na d d i t i o n , am e t h o dt oi m a g er e f l e c t i o n a ls y m m e t r yd e t e c t i o na n dn o r m a l i z a t i o nb a s e do n p r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s ( p c m i sp r e s e n t e d e x p e r i m e n tr e s u l t sw i t hf a c i a li m a g e sa l eg i v e n k e y w o r d s ：s y m m e t r yd e t e c t i o n , w a v e l e tt r a n s f o r m ，a n t i - s y m m e t r i c a lb i o r t h o g o n a lw a v e l e t s ， m u l t i - s c a l eg r a d i e n tv e c t o r , f a c ed e t e c t i o n ，f e a t u r ep o i n t sl o c a t i o n , p r i m ec o m p o n e n ta n a l y s i s 1 1 1 独创性声明 y 主2 9 8 i5 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西北大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 学位论文作者：李楠，李 日期：2 0 0 2 年4 月2 0 日 第一章绪论 第一章绪论 对称性既是物体的重要特征，也是人类视觉感知组织系统中的重要组成部 分。自然界和日常生活中的很多物体都具有某种形式的对称性。对称性是视觉 初期提取的特征，可以影响人的注意机制，从而指导后期视觉的物体检测、特 征提取与识别过程。因此，各种对称性检测成了计算机视觉和模式识别中的一 个重要研究课题，引起了众多研究者的关注。本章介绍对称性的数学定义，综 述对称性检测方法以及简介本文的主要工作。 1 1 对称性的数学定义 根据几何变换理论，对称性主要可分为镜像对称、旋转对称和平移对称。 依据物体的内部几何关系又可分为斜对称、平行对称和光滑局部对称1 2 1 。 1 1 1 镜像对称 假设图像中心在原点，图像用极坐标，p ，曰) 表示，如果存在一条过原点并 与z 轴夹角为矿的直线，使得对某一角g ，有，( ，妒+ 口) = f ( r ，一口) ，则称图像 关于直线，镜像对称，其中，称为对称轴( 如图1 1 ( a ) 所示) 。这种对称在自然 界普遍存在，如人脸，蝴蝶等。 1 1 2 旋转对称 对于一图像，其数学表达式为f ( r ，口) ，如果有： ，( 口) ：，( r ，0 + 皇之骂，j - l ，2 ，k ，日 o ，2 厅) 再 则称该图像为七次旋转对称图像，过原点和x 轴夹角为一+ ( i - 1 ) 2 r r 、 i ：1 , 2 ，j | ) 的 k 直线称为旋转对称轴( 如图1 1 ( b ) 所示) 。我们知道圆是一个最为特殊的旋转 对称图像，它有无数条对称轴，而椭圆只有两条旋转对称轴。 西北大学硬士学位论文 1 1 3 斜对称 给定一方向0 ( 与图像x 轴夹角) ，在图像f ( x ，y ) 上任取一点p ，过p 沿口方 向做直线交于图像另一点口，设线段p g 中点为，如果所有的，都在一条直线 ，2 上，则称该图像为斜对称，直线厶为斜对称轴( 如图1 k c ) 所示) 。事实上， 斜对称图形可由一个镜像对称图形经过正投影变换获得。研究表明。人类视觉 系统很容易把斜对称理解成一个实际的镜像对称，而这在物体识别中有重要应 用。 1 1 4 光滑局部对称 光滑局部对称是寻找平面曲线的对称性，其对称轴是一条光滑曲线。假设 曲线的参数方程为c ( s ) = ( x ，y 0 ) ) ，取曲线上两点c ( s ，) ，c 0 ：) ，在此两点的曲 线单位切矢量分别记为i ：o ，) 和t ( j ：) 。“s 。) ，c 0 ：) 的连线记为矢量尹o 。p ：) ( 如 图1 1 ( d ) 所示) 。如果有尹o ，p ：) 瓴( j ：) 一五( ) ) = 0 ，则称c “) 和c ( s ：) 是局部对称 的，所有局部对称点的连线中点形成一条光滑曲线，则称该图像曲线为光滑局 部对称。光滑局部对称在目标匹配、识别、图像压缩等领域都有重要应用，例 如利用图像的光滑局部对称轴实现匹配识别。 1 1 5 平行对称 令两条曲线的参数方程分别为c 。( 曲= ( x 。0 ) ，y ( s ) ) 和c ：0 ) = ( r ：( s ) ，y ：) ， 只0 ) 和以( 曲分别是此两条曲线的切线矢量函数( 如图1 1 ( e ) 所示) ，如果存在 一单调连续函数j r ( 0 ，使得o i ( 曲= 0 2 ( ，( s ) ) ，则称曲线c ，乜) 和c ：0 ) 是平行对称 的。 1 1 6 平移对称 给定一幅图像f ( x ，y ) ，一直线，将图像分为两部分工( tj ，) 和l ( x ，y ) ，如果 对图像z ( x ，) 上任一点( 气，y 。) ，即在图像工化j ，) 上存在一点( x ：，y ：) ，使 z ( t ，y 。) = l ( x ：+ m ，y ：+ 砷，则称图像，( x ，门为平移对称，其中埘- 盯为常系数 ( 如图1 1 ( 0 所示) 。 2 苎二兰堕丝 ( a ) 镜像对称 ( a ) r e f l e c t i o n a ls y m m e t r y i ： ( d ) 光滑局部对称 ( d ) s m o o t hp a r ts y m m e t r y ( b ) 旋转对称 ( b ) r o t a t i o n a ls y m m e t r y z ( ( c ) 斜对称 ( c ) s k e ws y m m e t r y ，j ，2 ) ( e ) 平行对称 ( f ) 平移对称 ( c ) p a r a l l e ls y m m e t r y ( f ) p a r a l l e lm o v es y m m e t r y 图1l 对称性示例 f i g 1 1e x a m p l e so fs y m m e t r y 1 2 图像对称性检测方法综述 近几十年来，国内外文献提出了大量的对称性检测方法【3 - 1 4 。当前图像对 称性检测的研究大多基于边缘、轮廓、特征点提取后的代表点集合。根据它们 所采用的数学思想，主要可分为模式匹配法，优化搜索法，统计方法，曲线微 分法【l i 。 1 2 1 模式匹配法 这种方法的思路是将平面图像的对称性检测转化为词的连接问题。a t a l l a h 在文献【3 仲提出的方法就是一种典型的用模式匹配法检测镜像对称性的问题。 假设图像由一组点n ，p ：，以组成，其中心坐标记为c ，坐标原点记为o ，则易 一 1 m 一 得c 的坐标矢量为，0 5 = 二印；而图像点的对称轴s p 必通过点c ，因而关于妒 肌百 的对对称点到中心点c 的距离口) 必是相等的。据此，首先将这些点分为k 组： 巨，巨，最使得每一组巨的点到点c 距离都是相等的，然后对每一组e ，寻找 妒，使其通过c 点且关于妒，成镜像对称，最后求得所有妒，的交集甲即为该组图 像点的对称轴。 试 、 西北大学硕士学位论文 这种模式匹配方法只能检测镜像对称，对精确对称的某些形状的几何体， 如点、圆、椭圆等组成的图像较为有效，但是对于灰度图像等大多数图像，由 于成像、数字化等产生误差，因而这种方法无法应用，而且其计算复杂度也较 高。 1 2 2 优化搜索方法 优化搜索方法是通过定义某种对称性度量，把对称问题转化为优化搜索问 题，如m a r o l a 用镜像对称系数来表征物体的对称强度f 4 1 ，并在实际的对称轴附 近采用极大化方法寻优。g i l a t 提出一种c h i r a lc o e f f i c i e n t 度量( 表示物体偏离 镜像对称的程度) 【5 1 ，结合误差最小化方法求解。这些方法只能检测对称性的 某一种类型，z a b r o d s k y 通过图像的对称性变换定义了对称距离f 6 ，然后最小 化对称距离以此检测物体的对称性，这种方法能同时检测镜像对称和旋转对 称。 假定给定有一个点扫，托，组成的图像，对这些图像点做m 次旋转对称变换， 其步骤为： 1 计算出点集伽。乜的中心点c ，然后绕点c 将p 。逆时针旋转2 m n 得歹，。 2 计算点组侈。跫，的平均得点成。 3 将点氟绕c 顺时针旋转2 m n 得点组舻，也，。 点组侈。硅。即是点组伽，也。的对称变换，计算对称距离s d = 圭慨一a 6 2 ， 调整一的大小，获得最小化s d 即可检测出图像的对称性及对称轴，显然当以= 2 时即为镜像对称。 k o v e s i 提出相位一致测度( p h a s ec o n g r u e n c y ) ，克服了以往对称性检测是 在目标被确定和分割以后进行对称度量的局限，为视觉算法的实用性提供了很 好的基础1 7 1 。 我们则提出了多尺度对称变换检测旋转对称性的方法【8 j 和基于多尺度梯 度相角的镜像对称性检测方法i ”。 优化搜索方法适用范围广泛，对大多数图像都可以检测出其对称性，但是 它要求对称点对的精度仍然很高，而且对称性能量函数的单峰性难以保证，需 要好的粗检测技术和复杂的全局寻优方法。 4 第一章绪论 1 2 3 统计方法 优化方法和模式匹配方法都要求对称图像点精确对称，而且它们对噪音敏 感，由于物体图像在成像、数字化以及边缘检测等处理过程中会产生很多误差， 显然，这些方法对一般图像的对称性检测并不能普遍适用。统计方法由于反映 图像的整体统计特征，因而能克服噪声等影响。卢春雨等提出了基于主元分析 的对称性检测方法1 1 0 l ，我们对这一方法作了迸一步发展【 】。 设图像点集扫，兜。，而这，1 个点形成一个n x 2 的矩阵，m = 【p 。，p 。，p 。】，计 算m 7 肘的最大特征值对应的特征向量，该向量方向即为图像的对称轴方向。 这种方法能较为简单地确定对称轴，但是必须进行对称性验证以确定该图像是 否是对称的，而且由于统计的特定，该方向并不一定很精确，需要在该方向附 近进行优化处理以精确定位对称轴。 d s h e n 等提出了广义复矩方法检测对称性【l ，其优点是将检测镜像对称 性和旋转对称性统一起来，广义复矩的定义为 g c 。= b ，珥 = 寺r 。f ，p ，讲p j e , “ e x 删口， 其中，p 是非负整数，q 为正整数，( ，为图像的函数表示，通过判断广义 复矩非零的第一、第二、第三阶复矩所对应的阶数，即可判断对称性，检测出 镜像对称轴和旋转对称轴，这种方法计算量较大，而且由于矩反映图像的整体 特征，对缺失部分物体信息的图像无法进行对称性检测。 1 2 4 曲线微分法 曲线的几何性质能较为直观地反映图像的形状特征，所以，基于曲线的微 分性质检测图像的对称性是一个较为有效的方法。温巍，袁保宗提出了一种曲 线微分性质的斜对称检测方法【l ”。 假设一图形由曲线组成，其参数方程形式为x ，j ，o ) ，f 为参数变量。直 线，是其中一条斜对称轴线，点p l k ( f ，) ，y ( t 。) 】与点p ：k ( f ：) ，( f ：) 】是关于直线，的一 对斜对称点，那么存在如下关系 七= f 学掣一学斟c 0 1 学掣一学掣 其中，c 。为常数。由此易得，如果曲线的二阶导数存在，则斜对称轴和曲线的 交点处有| 】 ：0 ，否则在该点将有一局部极值。对于离散的图形曲线点，用离散 西北大学硕士学位论文 点的一阶和二阶差分表示一二阶导数，显然这种方法对图像的噪声敏感。s a i n t 提出用二次b 样条曲线拟合图像曲线点来检测对称性h 3 ) ，这种方法在一定程 度上克服了噪音的影响，但是对缺失部分信息的图像仍然无法检测对称性。 f u c u s h u n a 用直线段逼近图形曲线【1 4 i ，然后用d e l a u n a y 三角化剖分，根据对偶 原理构成v o r o n o i 图，以此求取曲线的局部平滑对称轴。显然，线段的逼近受 拐角点选取的影响。 目前，对称性检测主要进展在于对称性度量s m ( s y m m e t r ym e a s u r e m e n t ) 的 选取。如何模仿人类视觉的特点，使一幅图像经过对称性度量s m 的检测，在 一定的分辨率上达到要求，即找到一个无量纲同时又能很好的描述图形对称性 的对称性度量s m 是今后对称性检测研究的主要方向。每一种对称性度量s m 都有一个数学模型，在此模型上找到一种准确、高效计算此s m 的方法，这是 一个相当困难的问题。本文在这一方面作了一些有益的探索。 1 3 对称性在计算机视觉中的应用 计算机视觉就是用各种成像系统代替视觉器官作为输入敏感手段，由计算 机来代替大脑完成处理和解释。在计算机视觉领域，对称性( 中心对称性和轴 对称性) 被认为是识别物体可利用的基本性质之一。图像对称性的检测在图像 分割，目标识别和进一步的图像理解上具有理论和实际意义。形状的对称性描 述和物体的对称性检测在机器人识别，检验，抓取和推理中有重要应用。根据 物体的对称性，可以迅速确定物体内部的相对位置关系，使被遮挡或丢失的部 分信息恢复出来，并且还可以获得物体在三维空间的位置、方位和姿态。物体 的对称性在图像压缩、形状匹配、目标识别和图像数据库检索等许多领域都有 重要应用。 图像对称性检测的一种重要应用是人脸检测与定位。人脸自动识别系统包 括两个主要技术环节：首先是人脸检测和定位，即从输入图像中找到人脸及人 脸存在的位置，并将人脸从背景中分割出来，然后才是对归一化的人脸图像进 行特征提取与识别。 人脸检测与定位的目标是检测输入图像中是否有人脸，若有，进一步给出 人脸的位置，大小。由于人脸是三维塑性物体，而检测定位是在其二维投影图 像上的匹配问题，导致人脸检测与定位十分复杂，众多的研究者投入到这一领 域，提出了基于统计和基于知识的两大类多种不同的人脸检测算法【l ”。例如神 经网络方法1 1 6 , 1 7 1 ，将人脸检测视为区分非人脸样本与人脸样本的两类模式分类 问题，通过对人脸样本集和非人脸样本集进行学习以产生分类器；特征眼，特 第一章绪论 征脸方法【i 8 ”】，将k l 变换引入了人脸检测，用待检测区域在次元子空间( 特 征脸空间的补空间) 上的投影能量，即待检测区域到特征脸子空间的距离做为 检测统计量，距离越小，表明越象人脸；通用模板法【2 “，设计一个人脸的通用 模板，用多尺度的方法在全图像中进行检索；对称变换方法 2 1 , 2 2 1 ，检测椭圆的 对称性判断其是否为人脸或者检测局部对称性强的点来进行人脸器官定位等。 其中基于对称性检测的人脸检测方法是一种十分有效的方法。因为人脸具 有明显的镜像对称性，眼、口等面部器官同时具有镜像对称性和旋转对称性， 利用这一点可以实现人脸检测与定位。在这一方面的主要工作有：b o w n s 和 m o r g a n 提出了一种利用方向信息寻找对称轴的方法1 2 3 1 。r e i s f e l d 等提出了一种 对称性算子( s y m m e t r yo p e r a t o r ) 来检测眼、嘴等感兴趣区域1 2 1 2 2 l ，并进一步 将其发展为广义对称变换( g e n e r a l i z e ds y m m e t r yt r a n s f o r m ) 。c l i n 和w l i n 提出了双模板算子( d u a l - m a s ko p e r a t o r ) 【2 4 1 ，并在抑制机制的作用下，检测 图像中那些灰度的梯度方向分布具有镜像对称性的亮块( b r i g h tb l o b s ) 和暗块 ( d a r kb l o b s ) ，从而获得面部器官的位置。s a b e r 和t e k a l p 利用一种基于对称 性的代价函数在人脸区域内搜索确定各主要器官的位置1 2 5 。我们利用多尺度对 称变换在图像中检测眼、口面部器官的位置【8 】；通过对人脸对称轴线的检测实 现人脸定位 9 1 。 人脸检测与定位是近年来一个热门的研究课题，新方法、新思路层出不穷。 其中利用对称性检测定位人脸的方法，在低层视觉阶段就引入了知识的指导， 较好地模仿了人类视觉原理，是一种有效的方法。 1 4 本文的主要工作 1 4 1 课题的背景与意义 图像对称性检测方法中的一个重要问题是对称性检测的有效性与检测算 法的复杂度之间的矛盾。例如，【6 】提出的对称性检测算法是一种十分有效的方 法，具有能同时检铡镜像对称性和旋转对称性的优点。但是，这一方法与许多 其他方法【4 5j 一样需要在原图像空间逐点计算各点的对称强度，其计算量巨大。 另一个问题是受噪声影响较大，鲁棒性不强。 反对称双正交小波具有微分算子功能，可以利用图像反对称双正交小波分 解系数直接计算在不同分辨率上的梯度矢量，而不需重构图像f 2 “。利用不同分 辨率级别上的梯度矢量可以实现图像的多尺度对称性检测，这是本文立论的基 7 西北大学硕士学位论文 础- 其基本思想是先在低分辨率上进行对称性粗检测，然后在高分辨率上进行 局部求精。由于首先以较低分辨率级别上计算图像对称性，从而使计算量大量 减少，同时由于在低分辨率图像保留的是图像的结构信息，能有效地克服噪声 的影响。将这些方法应用于正面人脸图像的人脸检测及特征点的定位，取得了 理想的结果。并且由于它是基于反对称双正交小波分解系数进行对称性检测， 而小波分解系数又可用于图像压缩，因而本文提出的方法可望实现压缩域中的 图像对称性检测，进而为压缩域中的图像识别提供基础。 1 4 2 本文的主要内容 本文的主要工作是利用小波分解系数进行图像的对称性检测。本文根据反 对称双正交小波的微分特性，利用小波分解系数获取图像的多尺度梯度矢量， 以此为基础，深入研究图像对称性的多尺度检测方法，作为对我们提出的方法 的有效性测试，将其应用于人脸图像的检测定位。各章的主要内容安排如下： 第一章介绍对称性的数学定义，对对称性检测方法进行综述，并简要介绍 了本文的主要内容。 第二章首先回顾了小波分析发展简史，然后讨论小波变换基础理论和基于 小波变换的边缘检测方法，最后重点论述由反对称双正交小波分解系数计算图 像的多尺度梯度的理论和方法，这是本文后续工作的基础。 第三章提出一种基于图像多分辨率梯度矢量的旋转对称性检测方法。该方 法在不同分辨率级别上进行多尺度对称变换，以实现多分辨率上图像中心对称 性检测。由于利用了低分辨率上的粗检测结果指导高分辨率局部求精，因此有 效地提高了算法效率。作为对方法有效性的检验，将其应用于人脸器官的定位， 取得了理想的定位结果。 第四章提出一种图像镜像对称性的多尺度检测方法，并对对称性度量 ( s m ) 做了进一步的研究。该方法利用不同分辨率上的梯度相角信息，计算 图像的镜像对称强度，实现在光照不均匀条件下多分辨率对称轴的准确检测。 将其应用于光照不均匀情况下的正面人脸定位的实验表明，这种方法是有效 的。 第五章提出了基于主元分析的图像镜像对称性检测方法。根据该方法的统 计特性，提出同时实现图像尺度估计的方法。结合前两章的检测方法，针对简 单背景单人脸图像的检测定位问题，提出了一种快速实现人脸检测与归一化算 法，得到了理想的仿真实验结果。 第六章总结本文的全部工作，并提出进一步研究的方向。 第二章小波变换与图像的多尺度边缘检测 第二章小波变换与图像的多分辨率边缘检测 傅立叶变换使用正弦曲线波作为它的正交基函数。其基函数都在两个方向无限扩展， 在压缩和分析包含瞬态或局部化成分的信号和图像时得不到最佳表示。为了克服其缺陷， 数学家和工程师们已经开发出了若干种使用有限宽度的基函数进行变换的方法。这些基 函数不仅在频率上而且在位置上是变化的，他们是有限宽度的波并被称为小波 ( w a v e l e t ) ，基于它们的变换被称为小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m s ) 1 2 们。 在这一章中，我们首先回顾小波分析发展历程，介绍小波变换的基础理论，然后重 点论述由反对称双正交小波分解系数进行图像的多分辨率边缘检测的理论和方法，这是 本文后续章节的基础。 2 1 小波分析发展简史 虽然与小波分析的基本概念有着密切联系的数学工作可以追溯到2 0 世纪初期【2 s , 2 9 1 ， 例如1 9 1 0 年h a a r 提出的正交规范基1 3 0 1 。其后有1 9 3 8 年p a l e yl i 杜l e w o o d 的按二进制频 率成分分组的理论，1 9 6 5 年，c a l d e r o n 的再生公式1 3 ”，及其1 9 8 1 年s t r o m b e r g 对h a a r 系的改进p 2 1 等。但小波分析成为科学技术中的热门话题之一是从2 0 世纪8 0 年代的后期 开始的。这段时期的重大进展有1 9 8 6 年m e y e r 3 3 】首先构造了具有一定衰减性质的光滑函 数“砷，它的二进伸缩平移系 i ，( x ) = 2 “。p ( 2 7x k ) l j ，k z 构成r 僻) 的正交规范系，这在数学界引起震动。因为在此之前人们只知道有h a a r 系那 样在时域上局域性非常好但光滑性非常差的正交基，或者像s i n x ，o o s x 那样在时域毫无 局域性但非常光滑的基从而误认为同时具有局域性和光滑性的上2 僻) 正交规范基是不存 在的1 3 4 i 。 继m e y e r 之后，b a t t l e 35 】和l e m a r i e 3 6 1 分别于1 9 8 7 和1 9 8 8 独立地给出了具有指数衰 减的小波函数。 与此同时m a l l a t 将通信中的镜像滤波器组的概念、数字图像中塔式分解的概念以及 正交小波基的概念巧妙的结合起来形成了多分辨分析( m u l t ig e s o l u s i o na n a l y s i s , m r a ) 概念并提出了小波分解和重构的快速算法现被称为m a l l a t 算法1 3 t 3 ”。 此后小波分析进入了蓬勃发展的阶段，其中特别应提及的是d a n b e c h i e s l 3 8 i 提出了构 造紧支撑线性相位的双正交小波的方法；c o h e n 、d a u b e c h i e s 和f e a u v a n l 3 9 】提出的构造紧 支撑线性相位的双正交小波的方法；c o i f m a n 等人1 4 0 l 提出的小波包( w a v e l e t p a c k e t ) 理 9 西北大学硕士学位论文 论；以及g o o d m a n i “】，l e b m n 等人【4 2 】提出的多小波理论等。 目前小波分析在实际应用方面的也正在蓬勃发展。图像压缩中的j p e g 2 0 0 0 标准， c d 唱盘的m u s i c a m 标准都己采用小波变换取代传统的离散余弦变换( d c t ) 【4 3 掣l 。 可以预期小波变换在视频处理及多媒体信息系统中也将发挥核心作用。 2 2 1 连续小波变换 2 2 小波变换 如果函数p ( x ) 满足以下容许性条件 c ，= 俜- g 国v 屹 m 则称 ( w ，力砸，6 ) = h ，( x ) 似型a 溉 ，l 2 ( r ) 为，以矿为基的积分小波变换。引入符号 曲= 一y 单 则( 2 2 ) 式可改写为 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( w ，) 0 ，b ) = ( 2 4 ) 此式表明，j f ) 0 ，6 ) 是f ( x ) 在基矢量饥，。( x ) 上的投影。基矢量虬。( 功有两个参数，其中 a 是对“x ) 的尺度伸缩，而6 是平移量。( 2 2 ) 式中口僻) 表示平方可积空间，其中每一 个元素，r ( 尺) 满足 i i x l l 2 = 缈( 刮2 威 0 ，这时重构公式为 1 0 第二章小波变换与图像的多尺度边缘检测 坤) 2 古f ( 吖，啪州6 】警 ( 2 6 ) 式峨：2 f 掣如。 2 2 2 离散小波变换 上节导出的积分小波变换难以应用于信号分析的实践。只有当对尺度因子盯和平移 量6 散离化，并且能从离散值( ，) ( q ，t ) 完全重构，0 ) 时，小波变换才可能成为实际 可行的分析工具。事实上，我们可以以二进方式 a j5 2 1 j z 对尺度因子a 进行离散化；取 = 告6 0 _ ，七z 对平移量6 进行离散化。这里的，称为分辨率级别， 子愈小，i i i b o 是一个常数。 这样一来，( 2 3 ) 式可改写为 ( 2 7 ) ( 2 8 ) - ，愈大，表示分辨率愈高，即尺度因 盯t ( 砷= 2 m y ( 2 7 x 一肋o ) ，j , k z 而小波变换可表示为 w ，f ( j ，k ) = ( f ，矿，。)j , k z 即f 口职) 小波变换系数成为一个二维数组。 此时的重构公式为 ，= x w ，u ，丘) 【2 m 矿( 2 , i x - - k b o ) j j ，k z 如果函数矿l 2 ( r ) 具有如下性质 1 它所生成的函数族( y 肿：，k z ) 的线性组合在r ( 尺) 中是稠密的。 2 对于所有( c j , kk z ) ，2 ，存在正常数和b ( o a b = 匠 = 瓦口m 2 胁 ( 2 3 7 ) = a j “。瓦一 = a 岫( 2 i i ) 式中 ；= 正。( 2 3 8 ) 同理可得 a i = a 川+ g ( 2 七) ( 2 3 9 ) 式中 g ：= 雪_ - ，( 2 4 0 ) 由( 2 - 3 8 ) g l ( 2 - 4 0 ) 式，我们看到系数序列 a j ， ) 和( 嘭，。 可分别由序列 口。) 通过数字滤 波器h 和g 的输出作偶数点抽样得到。这一过程可用图2 1 表达。图中的分解低通滤 波器和分解高通滤波器分别是由序列 惋 和 反) 作镜向反射并取共轭得到。 a - j 互书 q 至 川一 图2 1 分解算法 v i a 2 1d e c o m p o s i t i o na l g o r i t h m s a 卜l d , i l 重构算法 当序列 口肘) 和 t ，t 为己知时，重构信号，( x ) 在_ + ，空间中的分量+ 。似) 的问题就 西北大学硬士学位论文 是利用这两个序列计算序列( 口。 的问题。由( 2 7 ) 式可得 a y “。= k ，+ 嘭，g k - 2 ， ( 2 4 1 ) 为了更清楚的了解这一重构算法，我们可引入两个新的序列 口厶) 和 彰，) ，它们分别定 义为 。= 协胆：萼 = p 2：孚 这就是说序列扣0 ) 和 彰。) 分别是由 口) 和 t ， 每两点之间补个零所形成的。利用 扣0 ) 和 ，。) ，( 2 1 3 ) 式可改写为 町。，= ，。k + 蟛，。 mm 【z 4 z j = a h ( d + d ，g ( o 于是重构过程可用图2 2 所示的滤波器完成，图中n 和g 分别称为重构低通滤波器和重 构高通滤波器，它们的脉冲响应分别由序列 k 和幢。 确定。 图2 2 重构算法 f i g 2 2r e c o n s t r u c t i o na l g o f i t h r a 采用滤波器级连的方法可以实现多级小波分解和重构。这样如果从_ ，= o 级开始经过 ，级分解，最后得到的是( 口吐。) ， d 一。) ， d - 1 ，。) ，共j + 1 个序列，其中每一级“细节” ( d e t a i l ) 序列较之比它低一级“细节”长一倍，而所有序列的长度总和仍与原始数据的 长度n 相同，因而m a l l a t 算法也常被称为塔式算法( p y r a m i d a l g o r i t h m ) 。 2 2 3 4 二维m a i i a t 算法 为了将小波变换应用于图像处理，我们需要有二维的小波函数和尺度函数。采用可 分离变量方法可以由一维小波函数和尺度函数构造所需要的二维函数，它们是 第二章小波变换与图像的多尺度边缘检测 中扛，力= 烈z ) 妒0 0 甲1 o ，y ) = 妒( 曲矿0 ，) 甲2 ( t = 矿( 砷p 0 ，) 甲以力= 矿( 力以力 ( 2 4 3 ) 由于它们的分离变量性质，二维分解与重构的过程可以通过两步完成，即首先将信号 ，( x ，y ) 的每一行( y 取定值) 看成是一维信号进行分解，然后将这一中间结果的每一列 看成是以y 为自变量的一维函数再作一次分解，这样最后的结果就是二维小波分解。这 一过程可以用图2 3 表示。 拧处理 刊蛙理 8 j - l f p q ) 删j - i 幻，q ) d ：l p 。q ) 图2 3 二维分解 f i g 2 3t w o _ d i m e n s i o n a ld e c o m p o s i f i ( m 当然如果需要还可以4 j - 1 ( ，女) 再进行下一级的二维小波分解。类似的重构过程也可 以分离为行处理和列处理两个步骤。如图2 4 所示。 由此可见对二维数组q ，功作一次小波分解将得到4 个二维数组即口川( 1 ，j | ) ， ( f ，后) ，d - t ( t ，j i )