（基础数学专业论文）关于算子乘积的一些不变性问题研究.pdf

关于算子乘积的一些不变性问题研究 陆建明 摘要设咒，瓦，c ，m 是复可分希尔伯特空间，廖( 何) ，舀( 尼，7 - ) 分别表示咒上 的和从庀到上的有界线性算子构成的b a n a c h 空间给定算子a 召，i c ) ，b 8 ( 何，c ) ，c b ( m ，c ) ，如果b 的值域n ( b ) 是闭的，则b 有m o o r e - p e n r o s e 逆， 即存在唯一的x b ( l ，? - i ) 满足下面四个方程 f 日x b = b ( 1 ) ， j x b x = x ( 2 ) ，。 憾b x 卜) * = x b x 1 设b i ，j ，后) 表示满足上面四个方程中的( i ) ，( j ) ，( 七) 的所有算子x 嚣( k ，咒) ，且被记为b ( 4 拈，扪当0 ，j ， 中含有l 时，则b ( 西，) 叫做算子b 的0 ，j ，七) 一广义逆一般情况下，算子的广义逆不唯一 近年来，包含广义逆的矩阵乘积不变性问题吸引了一大批学者的关注，例如， j k b a k s a l a r y , j i i r g e ng r o b ，y o n g g et i a n ，r k a l a ，t p u k k i l a 等，他们从不同 的角度对该问题进行了深入的研究( 参见文献 9 - 2 0 】) 本文主要研究了包含广义 逆的算子乘积不变性问题，推广了j f i r g e ng r o g 和y o n g g et i a n ( 2 0 0 6 ) 在【1 2 】中 的和j k b a k s a l a r y 和a m a r k i e w i c z ( 1 9 9 6 ) 在【1 0 】中的结果 本文共分为三章，各章的主要内容如下： 第一章我们用r i e s z 函数演算的方法给出了算子a b 和b a 的d r a z i n 可逆 性等价的不同于f 6 】中的一个证明，其中算子a ，b 舀) 作为应用，我们得到 了a o ( a b ) = a d ( b a ) 和a d ( a ) = a d ( a ) ，其中印( m ) 和m 分别表示一个算子 m 8 ) 的d r a i n 谱和算子m 的a l u t h g e 变换 第二章我们主要得到了当给定三个算子a b ( u ，i t ) ，b b ( 爿，c ) ，c b ( m ，c ) ，三个算子a x c 乘积和值域与x 的选取无关的一些充要条件，其中算 子b 的值域n ( b ) 是闭的，x 是算子b 的不同种类的广义逆这将j i i r g e ng r o f i 和y o n g g et i a n 在【1 2 中的主要结论推广到了无限维的情况这里需要指出的是 在证明中我们应用了算子分块矩阵技巧和解算子方程的方法，这与j i i r g e ng r o f l 和y o n g g et i a n 所用的思想是完全不同的 第三章我们利用算子矩阵分块技巧给出了 【ja ( a b ( ”g ) = c ( 2 ) b ( 1 ) e b i 成立的充分必要条件，其中算子a b ( h ，k ) ，b b ( h ，l ) ，c b ( k ，l ) 给定， 算子b 的值域冗( b ) 是闭的，o ( d ) 是算子d 8 ( 日) 的谱，b ( 1 ) 是算子b 的 1 一逆需要指出的是我们不仅给出了( 2 ) 式对于h i l b e r t 空间上的三个有界线 性算子成立的充分必要条件，而且我们进一步指出【1 0 】中定理b m 中给的充分 条件就是式( 2 ) 成立的充分必要条件这里我们所用的思想，方法和 1 0 】中的是 完全不同的 关键词：算子乘积d r a z i n 逆广义逆值域谱 i i r e s e a r c ho ns o m ei n v a r i a n c ep r o p e r t i e so fo p e r a t o rp r o d u c t l uj i a n - m i n g a b s t r a c tl e th ，尼，ca n dmb eh i l b e r ts p a c e s ，召( 爿) ，召( 疋，? - ) d e n o t et h e s e to fa l lb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r so n 爿a n df r o mh i n t o 咒，r e s p e c t i v e l y f o r g i v e na b ( 咒，咒) ，b b ( h ，c ) ，c b ( m ，) ，a n dl e tt h er a n g en ( b ) o fbb e c l o s e d t h e nbh a st h em o o r e - p e n r o s ei n v e r s e ，t h a ti s ，t h e r ei sau n i q u eo p e r a t o r x b ( l ，h ) s a t i s f i e dt h ef o l l o w i n ge q u a t i o n s i b x b = b ( 1 ) ， x 。踟b x + = ：x b x 熬 i ( b x ) + = ( 3 ) ， 一 【( x b ) + = x b ( 4 ) l e tb i ，j ，七) t h es e to fa l lo p e r a t o r sx b ( l ，7 - ) s a t i s f i e dt h e ( i ) ，( j ) ，( k ) e q u a t i o n s so ft h ea b o v ef o u re q u a t i o n sa n dw r i t t e nb yb ( ，扎，m w h e nt h es e t 囊，j ，耐c o n t a i n st h en u m b e r1 ，t h e nb ( 扎，) i sc a l l e da ( i ，j ，k ) g e n e r a l i z e d i n v e r s eo fb g e n e r a l l y , t h eg e n e r a l i z e di n v e r s eo fa no p e r a t o ra r en o tu n i q u e i nt h er e c e n ty e a r s ，t h ep r o b l e mo fi n v a r i a n c ep r o p e r t i e so fat r i p l em a t r i x p r o d u c ti n v o l v i n gg e n e r a l i z e di n v e r s e sh a sb e e no b s e r v e db ym a n ya u t h o r s ，s u c ha s j k b a k s a l a r y , j i i r g e ng r o b ，y o n g g et i a n ，r k a l a ，t p u k k i l aa n d s oo i l ( s e e 1 - 1 9 】) i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l ys t u d yt h ep r o b l e m so fi n v a r i a n c ep r o p e r t i e so fat r i p l e o p e r a t o rp r o d u c ti n v o l v i n gg e n e r a l i z e di n v e r s e s ，w h i c hg e n e r a l i z e ds o m er e s u l t so f j f i r g e ng r o ga n dy o n g g et i a n ( 2 0 0 6 ) o b t a i n e di n 【1 2 】a n dj k b a k s a l a r ya n da m a r k i e w i c z ( 1 9 9 6 ) o b t a i n e di n 1 0 t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i sa r t i c l e ，a n dt h em a i nc o n t e n to fe a c hc h a p t e r a sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p e r ，a na l t e r n a t i v ep r o o fo ft h e e q u i v a l e n c eo fd r a z i ni n v e r t i b i l i t y o fo p e r a t o r sa ba n db ai sg i v e nb yt h er i e s zf u n c t i o n a lc a l c u l u s a sa na p p l i c a t i o n ， w ew i l lp r o v et h a ta o ( a b ) = a o ( b a ) a n da n ( a ) = a d ( a ) ，w h e r ea o ( m ) a n dm d e n o t et h ed r a z i ns p e c t r u ma n dt h ea l u t h g et r a n s f o r mo fa no p e r a t o rm 召( m ) ， r e s p e c t i v e l y i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w em a i n l ys t u d yg i v e nt h r e eo p e r a t o r sa 召( h ，1 c ) ， b 召，c ) ，c b ( m ，c ) ，a n dt h er a n g en ( b ) o fb i sc l o s e d ，c e r t a i ni n v a r i a n c e i i i p r o p e r t i e so ft h et r i p l eo p e r a t o rp r o d u c ta x ew i t hr e s p e c tt ot h ec h o i c eo fx a l ei n v e s t i g a t e db yt h eo p e r m o rm a t r i xt e c h n i q u e ，w h e r exi sad i f f e r e n tt y p eo f g e n e r a h z e di n v e r s e so fb t h i sg e n e r a l i z e st h er e s u l t so b t a i n e db yj i i r g e ng r o $ a n d y o n g g et i a ni n 【1 2 】t ot h ei n f i n i t ed i m e n i o n a lh i l b e r ts p a c e s i ti sw o r t h i l yt op o i n t o u tt h a to u ru s i n gm e t h o d sa r ed i f f e r e n tf r o mt h a tb yj f i r g e ng r o f ia n dy o n g g e t i a n a n di nt h ec h a p t e rt h r e e ，w ee x p l o r ef o rt h r e eo p e r a t o r sa b ( h ，) ，b b ( h ，l ) ，c u ( k ，l ) ，i ft h er a n g en ( b ) o fbi sc l o s e d ，t h e nt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c l e n tc o n d i t i o n ss u c ht h a t t _ j a ( a b 1 c 、= c b ( 1 ) e b l l ( 4 ) h a sb e e no b t m n e db yu s i n gb l o c k - o p e r a t o rm a t r i xt e c h n i q u e ，w h e r eo l d ) i st h e s p e c t r u mo fa no p e r a t o rd 8 ( 咒) a n db ( 1 i st h e 1 ) 一i n v e r s eo fb i ti sw o r t h i l y t op o i n to u tt h a tn o to n l yw eg o tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n ss u c ht h a t ( 4 ) h o l d s ，b u ta l s ow ep o i n to u tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so b t a i n e di nt h et h e o r e m b m o f 【1 0 a r ej u s tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s h e r e ，o u ru s i n gm e t h o d s a r ed i f f e r e n tf r o mt h a tu s e di nf 1 0 k e y w o r d s ：0 p e r a t o rp r o d u c t d r a z i ni n v e r s e g e n e r a l i z e di n v e r s er a n g e s p e c t r u m i v c ： c m n ： 咒： b ( h ) ： 嚣( _ i c ，咒) a + ： n ( a ) ： n ( a ) ： r ( a ) ： n ( a ) ： t 3 ( a ) ： i n d ( a ) ： a + ： a d ： a d ( a ) ： o ( a ) ： o ： + 主要符号表 复数域 m 凡复矩阵 无穷维复可分h i l b e r t 空间 爿上全体有界线性算子空间 从瓦到h 全体有界线性算子空间 算子a 的共轭算子 算子a 的核空间 表示算子a 的值域 表示算子a 的值域的闭包 表示算子a 的升标 表示算子a 的降标 算子a 的d r a 。z i n 指标 算子a 的m o o r e - p e n r o s e 逆 算子a 的d r a z i n 逆 算子a 的d r a z i n 谱 算子a 的谱 拓扑直和 代数直和 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：隧当日期： 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：幽e t n ：丝! 幽 前言 算子理论发展到今天，已有近一百年的历史了长期以来，其在数学领域及 其他学科中有着广泛的应用，不仅深入到了矩阵论，微分方程，最优化理论，统 计学等众多分支，而且是量子力学，物理学等许多领域中一个不可缺少的重要工 具【见文献1 】算子的m o o r e - p e n r o s e 逆和d r a z i n 逆是近年来算子论研究的热点 问题之一本文主要研究了算子a b 和b a 的d r a z i n 可逆性的等价性以及包含 广义逆的算子乘积的一些不变性 矩阵的m o o r e - p e n r o s e 逆最早由e h m o o r e ( 1 8 6 2 1 9 3 2 ) 2 于上世纪2 0 年代 首先引入，在接下来3 0 年发展很少，直到1 9 5 5 年p e n r o s e 3 对m o o r e 的工作作 了重新研究，p e n r o s e 的工作复苏了广义逆的研究，之后m o o r e - p e n r o s e 逆的研 究得到了很大发展如今m o o r e 。p e n r o s e 逆在线性系统方程，多变量线性模型， 统计学，系统定性等领域起着重要作用同样，d r a z i n 逆作为另一种广义逆在 m a r k o v 链，链分方程，偏微分方程和逼近论中起着重要作用如果这些理论推广 到无限维空间中，可以用来解决无限维空间中的抽象橱西问题，无限维系统中的 线性微分方程和偏微分方程问题 算子t b ) 有d r a z i n 逆r 的充要条件是t 有有限的升标a s c ( t ) 和降标 d e s ( t ) ( 4 d b u o n i 和f a i r e s 【5 】研究了a i - a b 和a i b a 的升标和降标，并且证 明了：对于任何a 0 ，a s c ( a b - m ) = a s c ( b a - a i ) ，d e s ( a b - a i ) = d e s ( b a - a i ) ； 然而，a = 0 的情况却未能解决a d a j i c 和j j k o l i h a 在 6 】解决了这个问题， 证明了算子a b 和b a 的升标和降标是同时有限或无限的因此这相当于证明了 算子a b 和b a 的d r a z i n 可逆性是等价的第一章，我们利用r i e s z 函数演算给 出了算子a b 和b ad r a z i n 可逆性等价的不同于6 1 中的一个证明 矩阵b c 。的m o o r e - p e n r o s e 逆曰+ 是满足下面四个p e n r o s e 方程的唯 一矩阵x c 。： b x b = b ( 1 ) ，x b x = x ( 2 ) ，( b x ) + = b x ( 3 ) ，( x b ) + = x b ( 4 ) c f 3 】对于任何矩阵b c 。，设b i ，j ，七) 表示满足上面四个方程中的 托j ，) 个方程的所有的矩阵x c 。一个矩阵x b i ，j ，七) 被叫 做矩阵b 的托j ，七 一逆并被记为b ( ，n ，m 因此， b + = b ( 1 2 3 ，4 1 当集合 ( i ，j ，k ) 中含有数1 时，则b ( 拈，) 也被叫做矩阵b 的 i ，j ，) 一广义逆 对于a ，j ，七) 一逆的详细介绍可以参看 7 - 8 给出合适的维数的复矩阵a ，b 和 c ，与x 的选取无关的三个矩阵a x c 乘积的一些性质已被学多作者发现( 9 - 2 0 ) ， 其中x 是矩阵b 的不同种类的广义逆对于给定的矩阵a ，b 和g ，三个矩阵的 乘积a b ( 1 ) c 与b ( 1 b 1 ) 的选取无关标准在r a n 和m i t r a ( 1 9 7 1 ，p p 2 1 ，4 3 ) 8 】 提出，也在r a o ，m i t r a 和b h i m a s a n k a r a m ( 1 9 7 2 ，引理1 ) 【1 6 】，h a r t w i g ( 1 9 7 5 ，定 理) 17 】和c a r l s o n ( 1 9 8 7 ，p 8 1 ) 1 8 】得到，证明了a b ( 1 ) e = a b + c 对于任意的 b 1 b 1 成立当且仅当a 一0 ，或者c = 0 ，或者包含关系n ( a + ) n ( b + ) 和 n ( c ) 冗( b ) 同时成立随着发展，j k b a k s a l a r y ，k a l a ( 1 9 8 3 ，定理) 9 】和j k b a k s a l a r y ，m a t h e w ( 1 9 9 0 ，定理) 1 1 】得到了值域冗( a b ( 1 ) g ) 和秩r ( a b ( 1 ) c ) 与 b ( 1 ) b 1 ) 选取无关的不变性标准，到二十世纪9 0 年代b a k s a l a r y ，p u n t a n e n ( 1 9 9 0 ) 1 9 】和b a k s a l a r y , p u k k i l a ( 1 9 9 2 ) 2 0 】考虑了a b ( 1 ) g 的特征值，奇异值和范 数的不变性特别是最近，j f i r g e ng r o f l 和y o n g g et i a n 在【1 2 】中回忆了它们中 的一些结果并且给出了一些新的结果第二章，我们用算子分块矩阵技巧和解算 子方程的方法将a x c 的乘积不变性等价的延伸到了无限维的情况，同时得到了 包含广义逆的算子乘积的一些值域不变性，这也推广了f 1 2 】中的对应结论 第三章，我们考虑了包含广义逆的算子乘积的谱j k b a k s a l a r y 和a m a r k i e w i c z ( 1 9 9 6 ) 【l o 已经证明了 定理b m ( 见【1 0 】) 设a b g ，。且c g ，。如果 n ( a + c + ) gu ( b + ) 或n ( c a ) g 冗( b ) ， 则对于任意a c ，存在b ( 1 ) b 1 ) ，使得a 是a b ( 1 ) g 的一个特征植 事实上，定理b m 给出了，对于三个矩阵a ，b ，c ， a ( a b ( 1 ) c ) = c ( 5 ) 日( 1 ) 口 1 成立的充分条件 在这篇短文中，我们给出了( 5 ) 式对于h i l b e r t 空间上的三个有界线性算子成 立的充分必要条件进一步，我们指出定理b m 中的条件就是式( 5 ) 成立的充分 必要条件 2 预备知识 设“和咒是复可分h i l b e r t 空间，定义召( 尼，爿) 是从到咒上的全体有 界线性算子构成的b a n a c h 空间，通常情况下把8 ( 爿，咒) 简记为8 ( h ) 对算子 a 8 ( “) ，我们一般用a + ，r ( a ) ，r ) ，( a ) ，a ( a ) 及i s o a ( a ) 来分别表示算子 a 的共轭算子，值域空间，值域空间的闭包，核空间，谱及谱的孤立点一般地， 我们用巩表示h i l b e r t 空间m 上的单位算子，如果不引起混淆，可以简记为j 对于h i l b e r t 空间“中的闭子空间m ，我们用m 上表示闭子空间m 的正交补， p ，表示到闭子空间m 上的正交投影在本文中，o 表示拓扑直和，阜表示代 数直和 定义0 1 设a 8 ( h ) 如果存在最小的非负整数n 满足( 个) = ( a ”1 ) ， 则n 称为a 的升标，记作a ( a ) 如果这样的整数不存在，则记a ( a ) = 。o 定义o 2 设a 舀( h ) 如果存在最小的非负整数礼满足n ( a ”) = n ( a 1 ) ， 则n 称为a 的降标，记作卢( a ) 如果这样的整数不存在，则记f l ( a ) = o 。 如果算子a 召) 的升标和降标均有限，则升标和降标相等，a ( a ) = 卢( a ) ( 见文献【2 1 】) 定义0 3 【2 2 】设t 8 ( “) 如果对于某个非负的整数k 0 ，存在一个y 舀( h ) 使得 f y t y = y ， t y = y l ( 6 ) lt a + l y = t k ， 则t 称为是d r a z i n 可逆的，y 称作是t 的d r a z i n 逆，记作产使式子( 6 ) 成 立的最小的自然数k 称为算子t 的d r a z i n 指标，记作i n d ( t ) 对于一个算子a b ( h ) ，如果a 是d r a z i n 可逆的，那么a 的d r a z i n 逆 a d 是唯一的一个算子a 是d r a z i n 可逆的当且仅当算子a 的升标和降标都 是有限的，等价的，0 是豫解算子取( a ) = ( a ，一a ) - 1 的有限阶极点此时， a ( a ) = f l ( a ) = i n d ( a ) 且。不是a ( a ) 的聚点( 4 ) 显然，一个可逆算子a 是一 个d r a z i n 可逆算子且a d = a ，d r a z i n 指标i n d ( a ) = 0 一个礼阶幂零算子b 是d r a z i n 可逆的且d r a z i n 逆b d = 0 ，d r a z i n 指标i n d ( a ) = 竹 类似于8 ( 何) 中的一个算子谱的定义，我们可以定义一个a 8 ) 的d r a z i n 3 谱c r d ( a ) 为以下复子集 定义0 4 设a 8 ( 咒) ，a 的d r a z i n 谱是复子集： a d ( a ) = a c ：a a i 不是d r a z i n 可逆的) 定义0 5 设a 侈( ，i c ) ，如果存在一个算子x 召，7 - 1 ) 满足下面四个方程 i a x a = a ( 1 ) ， 淼a x ) a x 黑 i ( k ( 3 ) ， 【( x a ) = x a ( 4 ) 那么算子x 称作算子a 的m o o r e - p e n r o s e 逆，并记作a + ( 见 2 3 】) 众所周知，算子a 存在m o o r e p e n r o s e 逆a + 当且仅当算子a 的值域n ( a ) 是闭的，而且算子a 的m o o r e - p e n r o s e 逆a + 是唯一的 对于一个算子a 8 ，l c ) ，设a i ，j ，”表示满足上面四个方程中的 ( i ) ，( j ) ，( k ) 的所有算子x b ( 1 c ，h ) 因此 fa 1 = x 舀( 瓦，? - i ) ：a x a = a ； j a 1 ，2 ) = x 召，爿) ：a x a = a ，x a x = x ) ； r r l ia 1 ，3 ) = x 层( 瓦，爿) ：a x a = a ，( a x ) + = a x ) ； 一 【a 1 ，4 ) = x 召( 咒，? - i ) ：a x a = a ，( x a ) + = x a 算子x a i ，j ，耐叫做算子a 的托j ，七) 一逆且被记为以( j 一。一因此 a + = a ( 1 ，2 ，3 ，4 1 当0 ，j ，七) 中含有1 时，则a ( j 一，。) 叫做算子a 的亿j ，七) 一 广义逆 引理0 6 ( 【2 4 】) 设a 和b 舀( “) 则盯( a b ) o ) = 盯( b a ) o ) 引理0 7 ( 【2 1 ，2 5 ) 设a b ) 则下面的命题等价。 ( 1 ) a 是d r a z i n 可逆的且d r a z i n 指标i n d ( a ) = ( 2 ) 如果0 口( a ) ，则0 是谱o ( a ) 的孤立点且a i s ( o ) n 是k 阶幂零的，即 ( a i e ( o ) 爿) = 0 ，e ( 0 ) 是在 o ) 的谱投影，被定义为 即) = 熹z ( m - a ) - 1 氓 其中r 是一条使得 o ) i n s f 且口( a ) o ) o u t f 的正定向曲线，t i m 是算子 t 召( h ) 在子空间mch 上的限制 4 引理0 8 ( d o u g l a s 值域包含定理，见 2 6 ) 设a n t - h ，7 - h ) ，b b ( 7 - t 3 ，7 - t 2 ) ， 其中7 - 1 ，i = 1 ，2 ，3 ，是希尔伯特空间，则下面的命题等价； ( 1 ) n ( b ) 冗( a ) ( 2 ) 存在a 0 使得b b a a a + ( 3 ) 存在一个算子d t 3 ( 7 - t 3 ，7 - 1 1 ) 使得b = a d 引理0 9 ( 极分解定理，见【2 4 】) 设a n t - t ) ，则存在唯一的一个部分等距w 使得a = w i aj 和n ( a ) = ( w ) ，其中1 a i = ( a + a ) 引理o 1 0 设算子a 日( 7 - t ，赶) ，x 舀( c ，h ) ，b 召( m ，c ) ，则a x b = 0 对 于任意算子x e ( c ，h ) 成立当且仅当a = 0 或者b = 0 证明假设a 0 且b 0 ，则至少存在非零向量茁h ，y m 使得a x 0 和b y 0 ，因为x t 3 ( l ，7 - 1 ) 是任意的，则可定义一个算子x oe 舀( c ，7 - 1 ) 为 一 ： z = b y ； ze ( v 励) ) 上 因此可以验算得a x o b y 0 ，这与a x b = 0 对于任意算子x t 3 ( f ，7 - 1 ) 成立矛 盾，所以假设错误，即a x b = 0 对于任意算子x t 3 ( z ，7 - 1 ) 成立当且仅当a = 0 或者b = 0 引理o 1 1 ( 2 7 1 ) 设a b ( 7 - t ) ，则算子a 的值域是r ( a ) 闭的当且仅当下面的 一种情况成立： ( 1 ) 存在一个算子x t 3 ( n ) 使得等式a x a = a 成立 ( 2 ) 算子小的值域r ( a + ) 是闭的 5 第一章算子a b 和b a 的d r a z i n 可逆性 1 1 引言 设算子a ，b 8 ( h ) ，众所周知，a b 是可逆的并不一定能推出b a 是可逆 的 例1 1 1 设s 是h i l b e r t 空间h 上的单侧移位算子则s s = i 是可逆的， 但是s s 是不单的，所以也是不可逆的 类似的，a b 是m o o r e p e n r o s e 可逆的并不一定能推出b a 是m o o r e p e n r o s e 可逆的 例1 - 1 2 设 a = i ：) ，b = ( 吕：) 关于空间分解7 - i = m o m 上，其中c 作为从m 到m 上的算子，值域r ( c ) 是不 闭的则 a b 一0 0 0i , b a = ( 吕：) 由此可以发现r ( a b ) = o ) 是闭的，而r ( b a ) = r ( c ) o o ) 是不闭的回忆一 个算子t 召) 是m o o r e - p e n r o s e 可逆的当且仅当t 的值域r ( t ) 是闭的所 以a b 是m o o r e - p e n r o s e 可逆的，但是b a 不是 上面两个例子自然启发我们去发现a b 是d r a z i n 可逆的能否推导出b a 是 d r a i n 可逆的事实上，a d a j i c 和j j k o l i h a 在 6 j 里给出了算子a b 和b a 是d r a i n 可逆性是等价的一个证明这里，我们利用r i e s z 函数演算给出了算子 a b 和b ad r a z m 可逆性等价的另外一个证明，这与【6 】中的证明是不同的 对于算子a b 和b a 的谱，我们有盯( a b ) o ) = 盯( b a ) o ) ，但是一般情况 a ( a b ) a ( b a ) 然而，这里我们将指出a d ( a b ) = a d ( b a ) 对于a ，b b ( “) 作为应用，我们将证明一个算子a 是d r a z i n 可逆的当且仅当它的a l u t h g e 变换 a 是d r a z i n 可逆的如果a = v i a i 是a 的一个极分解，其中i a = ( a + a ) ，v 是起始空间瓦两到终止空间t i ( a ) 的部分等矩算子a 的a l u t h g e 变换彳被 定义为a = i a i v i a i ( 见【2 8 】) 1 2 算子a b 和b a 的d r a z i n 可逆性 这部分的主要结果如下 定理1 2 1 设a ，b 8 ( 咒) 则下面的命题成立： ( 1 ) a b 是d r a z i n 可逆的当且仅当b a 是d r a z i n 可逆的 ( 2 ) 如果a b 是d r a z i n 可逆的，则l i n d ( a b ) 一i n d ( b a ) is1 证明( 1 ) 由于对称性，只要证明a b 是d r a z i n 可逆的能推出b a 是d r a i n 可逆的 为了方便，我们将此证明分成两部分 步骤1 假设0 岳a ( a b ) ，即a b 是可逆的，则a b 是d r a i n 可逆的且 i n d ( a b ) = 0 此时，如果0 岳a ( b a ) ，即b a 是可逆的，则b a 是d r a z i n 可逆的 且d r a z i n 指标i n d ( b a ) = o ；如果0 a ( b a ) ，则由引理0 6 和假设0 岳a ( a b ) ， 0 i s o a ( b a ) 算子a b 在。点的r i e s z 投影p a b ( o ) 被定义为 n 日( o ) 2 壶厶( a a b ) d a ， 其中r 是一条使得 o ) i n s f 且盯( a ) o o u t f 的正定向曲线因为a b 是 可逆的，所以p a 茸( o ) = 0 为了证明b a 是d r a z i n 可逆的，只要证明b a i p b ( o m 是幂零的这里，我们将证明p b a ( o ) b a p b a ( o ) = 0 p b a ( o ) b a p b a ( o ) = = = = = p b a ( o ) b a ( 赫1 异( a b a ) - 1 d a ) b a b ( 葡1 矗( a a b ) 以d a ) a b p a b ( o ) a 0 ， 其中f 口a ( o ) 是b a 在0 点的r i e s z 投影由引理o 7 ，这就证明了b a 是d r a i n 可逆的且d r z i n 指标i n d ( b a ) 1 步骤2 假设0 o ( a b ) 因为a b 是d r a z i n 可逆的，由引理0 7 ，我们有 0 i s o a ( a b ) 此时，如果0 隹a ( b a ) ，即b a 是可逆的，则b a 是d r a z i n 可 逆的且i n d ( b a ) = 0 ，由步骤l ，我们有i n d ( a b ) s1 如果0 a ( b a ) ，则由 假设0 i s o a ( a b ) 和引理0 6 ，0 i s o a ( b a ) 进一步，假设i n d ( a b ) = ，则 8 ( a b l f _ 。( o m ) b = 0 ，即( p a b ( o ) a b p a b ( o ) ) b = 0 ，所以p a b ( o ) ( a b ) 钿= 0 为了 证明b a 是d r a i n 可逆的，只要证明b a i p 。( o ) 咒是幂零的这里，我们将证明 f p b a ( o ) b a p b a ( o ) ) k n + 1 = 0 f p b a ( o ) b a p a a ( o ) ) o + 1 = p b a ( o ) ( b a ) k o + 1 = b 只日( 0 ) ( a b ) k o a = 0 其中p b a ( o ) 是b a 在0 点r i e s z 投影这就证明了b a 是d r a z i n 可逆的且 i n d ( b a ) 茎k o + 1 ( 2 ) 由( 1 ) 的证明，如果a b 是d r a z i n 可逆的，显然f i n d ( a b ) 一i n d ( b a ) f i 证明完成 注记1 2 2 事实上，如果a b 是d r a z i n 可逆的，则( a b ) d = ，尼a 一1 ( a ，一 a b ) 一d a ，其中r 是一条使得 o ) i n s f 且口( a ) o o u t f 的正定向曲线，且 ( a b ) d a = a ( b a ) d 由此我们可以清晰的看到r e c l i n e ( 1 9 6 5 ) 在 2 9 】中得到的 式( a b ) d = a ( b a ) d 】2 b 成立 注记1 2 3 我们将给出一个例子说明存在算子a 和b 使得a b 是d r a z i n 可 逆的且i i n d ( a b ) 一i n d ( b a ) i = 1 设 a = ( ：“b = ( ：) 为2 2 矩阵则 ab=0 1)，ba=00 0 0 。0 ) ) 。厂 显然a b 和b a 都是d r a z i n 可逆的。此时，i n d ( a b ) = 2 和i n d ( b a ) = i 1 3 应用 在【5 5j j b u o n i 和j d f a i r e s 证明了对于任何a 0 ，算子a i b a 和 a i a b 的d r a z i n 可逆性是等价的，所以结合定理1 3 和算子的d r a z i n 谱的定 义，我们得到下面的推论 9 推论1 3 1 设a ，b 口( 咒) 则o d ( a b ) = a d ( b a ) 回忆一个算子a 和它的a l u t h g e 变换a 拥有许多共同性质( 3 0 ) 进一步， 由推论1 6 和算子a l u t h g e 变换的定义，我们可以得到下面的推论 推论1 3 2 设a 8 ( “) 则算子a 是d r a z i n 可逆的当且仅当a 是d r a z i n 可逆的且a o ( a ) = a d ( a ) 1 0 第二章包含广义逆的算子乘积的一些不变性 2 1 引言 近年来，给出合适的维数的复矩阵a ，b 和c ，与x 的选取无关的三个矩阵 a x c 乘积的性质已被学多作者发现( 见 9 - 1 5 ) ，其中x 是矩阵b 的不同种类的 广义逆特别是最近，j i i r g e ng r 0 6 和y o n g g et i a n 在 1 2 中回忆了它们中的一 些结果并且给出了一些新的结果在这里，我们用算子分块矩阵技巧将部分结果 延伸到了8 ( h ，厄) 上 首先，我们给出了一些对于后面有用的引理 引理2 1 1 ( 见【2 7 】) 设a b ( 爿，j c ) ，b b ( l ，7 - ) 是一个可逆算子，则 冗) = n ( a b ) 引理2 1 2 设b t 3 ( u ，c ) ，且假设b 的值域r e ( b ) 是闭的如果b 作为从 爿= n ( b ) o ( b ) 到c = n ( b ) o ( 护) 的算子有算子矩阵形式 肚( 言：) ， 则b - 是一个从n ( b + ) 到n ( b ) 的可逆算子且b + 作为从c = n ( b ) o ( b + ) 到 冗= n ( b + ) o ( b ) 的算子有算子矩阵形式 肚( i 1 ：) ， 此时，我们得到 ( 1 ) b ( 1 ) 的通解作为从f - = 冗( b ) o ( 矽) 到h = n ( b 4 ) o ( b ) 的算子有 算子矩阵形式 b ( 1 ) ：f ，即墨。1 恐1x 2 2 ( 1 1 ) 其中x 1 2 b ( x ( b + ) ，t e ( b ) ) ，恐l 8 ( 冗( b ) ，( b ) ) 和恐2 b 厂( 矽) ，( b ) ) ( 2