§21曲线与方程

冷世平之教案设计【高二下】 选修2-1第二章圆锥曲线与方程课题：2.1曲线与方程教学目标：1了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理;2在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法;3培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神;教学重点：理解曲线与方程的有关概念与相互联系;教学难点：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）.教材分析：曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础这正体现了几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃本节教材中把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法.由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径求曲线的方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一.针对第一课时概念强、思维量大、例题习题不多的特点，整节课以启发学生观察思考、分析讨论为主。当学生观察例题回答不出“为什么”时，可以举几个点的坐标作检验，这就是“从特殊到一般”的方法；或引导学生看图，这就是“从具体（直观）到抽象”的方法；或引导学生回到最简单的情形，这就是以简驭繁；或引导学生看（举）反例，这就是正反对比，总之，要使启发方法符合学生的认知规律.教学过程：一、复习引入： 【探究】求如图所示的的垂直平分线的方程；【分析】观察、思考，求得的方程为.画出方程和方程所表示的曲线.【理解】第题是从曲线到方程，曲线(即的垂直平分线)点的坐标方程;第题是从方程到曲线，即方程解(即点的坐标)曲线。【思考1】方程的解与曲线上的点的坐标，应具备怎样的关系，才叫方程的曲线，曲线的方程？二、讲解新课：由上面得出：“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”后，不急于抛物线定义，而是让学生判断辨别。【思考2】下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？;【分析】方程都不是表示曲线的方程。第题中曲线上的点不全都是方程的解，如点等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第题中，尽管“曲线上的坐标都是方程的解”，但以方程的解为坐标的点不全在曲线上，如点等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第题中，类似得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”。事实上，中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例子，又观察、分析了以上问题中所出现的方程和曲线间所建立的不完整的对应关系 【讨论】在下定义时，针对 中“曲线上有的点的坐标不是方程的解”以及中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？学生口答，老师顺其自然地给出定义。这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解，说明曲线上没有任何点的坐标不满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无任何例外，这就是轨迹的“纯粹性”； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，此即轨迹的“完备性”。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。只有满足了上面两个条件，才能称“方程是曲线的方程”和“曲线是方程的曲线”。曲线可以看作是由点组成的集合，记作；一个关于的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作。【思考3】如何用集合和点集间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义。关系指集合是点集的子集，关系(2)指点集是点集合的子集。这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：【说明】方程无实数解，则曲线不存在；若方程只有有限个实数解，则曲线是一些孤立的点；若方程可以分解成，则曲线是由表示的曲线全体构成的。 求简单的曲线方程的一般步骤：建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标；（建系）写出适合条件的点的集合；（列式）用坐标表示条件，列出方程;（代换）化方程为最简形式；（化简）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。（证明）【说明】求曲线方程时，一般可以省略；求曲线-9建立坐标系要适当，应遵从垂直性和对称性，常见的建系方法有： 以已知定点为原点； 以已知定直线为坐标轴； 以已知线段所在的直线为坐标轴，以已知线段的中点为原点； 以已知互相垂直的两定直线为坐标轴； 让尽量多的已知点在坐标轴上。总之一句话，要应遵从垂直性和对称性。 求动点轨迹的方法：直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的方法不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法。相关点法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不使用等式列出，但动点是随着另一动点（称为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法。 相关点法代入求轨迹方程的基本步骤：设点：设被动点坐标，主动点坐标；求关系式：用被动点的坐标表示出主动点的坐标，即得关系式；代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可。交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程，该法经常与参数法并用。定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量。待定系数法：根据条件能知道曲线方程的类型，可设出其方程形式，再根据条件确定待定的系数。【说明】坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同；一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是，而不要设成或；化简方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程化成的整式。如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点。求轨迹需要说明是什么曲线，求轨迹方程则不必说明，因为“轨迹方程”是坐标关系式，是一个方程，有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围，而“轨迹”是点的集合，是曲线，是几何图形。三、讲解范例：u 基础自测【例1】 已知方程为的圆过点，则。【例2】 如果曲线上的点满足方程，则以下说法正确的是（ ）曲线的方程是方程的曲线是坐标满足方程的点在曲线上坐标不满足方程的点不在曲线上【分析】判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程和曲线。【解析】由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性.故选。【例3】 方程的曲线经过中的 个。【分析】方程表示的两条直线和，但应注意对数的真数大于，。【解析】由对数的真数大于，得不合要求；将代入方程检验，合要求；将代入方程检验，合乎要求。【例4】 判断下列结论的正误，并说明理由.过点且垂直于轴的直线的方程为;到轴距离为的点的直线方程为;到两坐标轴的距离乘积等于的点的轨迹方程为;的顶点为中点，则中线的方程为。【分析】判断所给问题的正误，主要依据是曲线的方程及方程的曲线的定义，即考查曲线上的点的纯粹性和完备性.【解析】满足曲线方程的定义，结论正确；因到轴距离为的点的直线方程还有一个，即不具备完备性，结论错误；到两坐标轴的距离的乘积等于的点的轨迹方程应为,即，所给问题不具备完备性，结论错误。中线是一条线段，而不是直线，所给问题不具备纯粹性，结论错误。【例5】 如果两条曲线的方程和，它们的交点，求证：方程表示的曲线也经过点。（为任意常数）【分析】只要将点的坐标代入方程。，看点的坐标是否满足方程即可。【证明】是曲线和的交点，在方程所表示的曲线上。【点评】方程也称为过曲线和的交点的曲线系方程。【例6】 设两点的坐标是,若，求动点的轨迹方程【解析】设的坐标为，属于集合，由斜率公式，点所适合的条件可表示为，整理后得。下面证明是点的轨迹方程。由求方程的过程可知，的坐标都是方程的解；设点的坐标是方程的解，即，由上述证明可知，方程是点的轨迹方程。【例7】 点到两条互相垂直的直线的距离相等，求点的轨迹方程.【解析】取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示，设点的坐标为，点的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合，其中分别是点到轴、轴的垂线的垂足。因为点到轴、轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件可写成即。【例8】 已知，为直线上的一个动点，求的重心的轨迹方程。【相关点法】【例9】 过点的直线分别与轴，轴交于两点，求的中点的轨迹方程。【参数法】【例10】【例11】 1u 课后作业1. 命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，下列命题中正确的是（ ）【】（考虑逆否命题）方程的曲线是； 方程的曲线不一定是；方程是曲线的方程； 以方程的解为坐标的点都在曲线上。2. 设方程的解集非空，如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”是不正确的，则下列命题正确的命题是（ ）【】（考虑逆命题）坐标满足方程的点都不在曲线上； 曲线上的点的坐标都不满足方程；坐标满足方程的点有些在曲线上，有些不在曲线上； 一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程。【解析】“不都在”包括有的在，有的不在；都不在。3. 已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（ ）【】曲线上的点的坐标都适合方程； 凡坐标不适合的点都不在上；不在上的点的坐标必不适合； 不在曲线上的点的坐标有些适合方程，有些不适合。4. 下列命题正确的是（ ）【】方程表示斜率为，在轴上截距为的直线方程； 的三个顶点是，则中线（为坐标原点）的方程是；到轴距离为的轨迹方程为； 方程表示两条射线。5. 下面四个点，在曲线上的是（ ）【】 6. 若曲线通过点，则的取值范围是 7. “点在曲线上”是“点到两坐标轴距离相等”的 条件。充分不必要“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”是“曲线的方程是”的 条件。必要不充分8. 已知为任意实数，若点在曲线上，且点也在曲线上，则的几何特征是（ ）【】关于轴对称； 关于轴对称； 关于原点对称； 关于直线对称9. 曲线关于直线对称的曲线方程为（ ）【】 10. 方程表示的曲线是（ ）【】一个点； 一条直线； 两条直线； 一个点和一条直线。方程表示（ ）【】两条线段； 两条直线； 两条射线； 一条射线和一条线段。求方程所表示的曲线。【解析】依题设或，即射线和直线。方程表示的图形是（ ）【】直线； 直线； 直线和直线； 直线和直线。方程表示的曲线是（ ）【】一条直线和一条双曲线； 两个点； 两条双曲线； 以上都不对11. 已知，点在曲线上，则或12. 一条线段的长等于，两端点分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，则点的轨迹方程是 平面内有两定点，且，动点满足，则点的轨迹是（ ）【】线段； 椭圆； 圆； 直线。13. 已知是过原点且与向量垂直的直线，是过定点且与向量平行的直线，则与交点的轨迹方程是 ，轨迹是 。【答案】，以为圆心，为半径的圆（不包括原点）14. 方程表示的曲线所围成的图形的面积是 ；方程表示的曲线所围成的图形的面积是 ；方程表示的曲线所围成的图形的面积是 。15. 已知，且，则的轨迹方程是 16. 与点和点连线的斜率之和为的动点的轨迹方程是 17. 已知，且，则动点的轨迹方程为 。【直接法】18. 动点到点的距离比到轴的距离多一个单位长度，则动点的轨迹方程为 19. 已知点到轴的距离与到点的距离相等，则点的轨迹方程为 20. 已知中，第三个顶点在曲线上移动，求的重心的轨迹方程。【相关点法】【解析】21. 求点到点的距离比它到直线的距离小的点的轨迹方程。【解析】设为所求轨迹上任意一点，点到的距离比它到直线的距离小，故点到的距离与点到直线的距离相等，22. 过点作互相垂直的直线,若交轴于，交轴于，求线段中点的轨迹方程。【法一】设为所求轨迹上任一点，为中点，且过点， ，即。当时，,此时中点的坐标为，它也满足方程，所求点M的轨迹方程为。【法二】连结，设,则为直角三角形，即，化简：，所求点的轨