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北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期数学物理方程期末试题（A卷）（参考答案）学院 专业 学号 姓名 题号一二三四五六七总分分值10151520151510100得分阅卷人1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：其中是圆锥体的杨氏模量，是质量密度，是圆锥的高（如下图所示）：【提示：已知振动过程中，在处受力大小为，为处截面面积。】【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是和，如图所示。于是，我们有上式化简后可写成从而有或成其中，证明完毕。2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边处于较高温度，其它三边，和则处于冷却介质中，因而保持较低的温度。试求该截面上的稳定温度分布，即求解以下定解问题：【提示：可以令，然后再用分离变量方法求解。】【解】令，则原定解问题变为分离变量：代入方程得到关于和的常微分方程以及关于的定解条件：可以判定，特征值特征函数利用特征值可以求得于是求得特征解形式解为由边界条件，有得到解得最后得到原定解问题的解是3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题【解】方程两端对求积分，得也即对求积分，得也即由初始条件得也即再取，于是又有从而得于是将这里的和代入的表达式中，即得4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题：【提示：可利用逆Fourier积分变换公式：】【解】对变元作Fourier变换，令则有方程的通解是由初始条件得可得方程的解从而查表可得从而注意到最后得到原问题的解即这就是dAlembert公式。5、 （20分）对于平面上的调和函数1）试证明Dirichlet边值问题解的唯一性，即：方程只有零解； 2）用Green函数法，试求解边值界为的上半平面调和函数的Poisson表达式。6、 （20分）半径为的球形区域内部没有电荷，球面上的电位为，为常数，求球形区域内部的电位分布。即求解以下定解问题（球坐标形式）：【解答】由于球面上边界条件中不含有变量，故只考虑轴对称解，可以用分离变量法求解该问题。为此令代入方程，得改写成令，可将上面两个方程改写成上面第二个方程是一个勒让德方程，其通解为。而第一个方程是一个欧拉方程，它的通解是再根据的有界性，应有，从而于是，原问题的解是边界条件为或写成即有根据已有的结果或从而于是有比较两端的系数，可知从而7、 （10分）用Ritz-Galerkin方法求下列问题的近似解： 其中区域，为常数。【提示：取近似解为】【解】取基函数组，
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