（理论物理专业论文）yangian在spin12自旋和轨道耦合系统拓扑相因子的应用.pdf

摘要 自从杨振宁和r j b a x t e r 口1 分别于1 9 6 7 年与1 9 7 2 年创建了量子杨一巴克斯特方程口卅 以来，量子可积模型砸刮方面的研究取得了很大进展，特别是v g d r i n f e l d 口叶1 2 1 在1 9 9 5 年所建 立的y a n g i a n 和量子群理论对物理中的量子完全可积模型的对称性研究提供了强有力的数学 工具。自从1 9 9 2 年以来，人们在y a n g i a n 各种物理实验和量子完全可积模型的研究方面取 得了重要的进展，并给出新的物理理解和理论结果。例如我们所熟悉的氢原子n 3 1 问题中就存 在y a n g i a n 对称性及r t t 意义下的量子完全可积性n 1 5 1 。 本论文主要将y a n g i a n 理论应用于两个s p i n 一1 2 原子的耦合系统，利用y a n g i a n 代数方 法来研究各相因子态之间的跃迁。李代数生成元只能实现其自旋三重态之间的跃迁，而要实 现三重态和单态之间的跃迁，必须由y a n g i a n 代数中的j 算子所引起，即j 成为量子力学 中超越李代数生成元的算子。本文结合物理中有意义的b e 仃y sp h a s e n 6 1 的具体例子，求出 s p i n 一1 2 原子自旋和轨道耦合系统的b e r r y 相和其拓扑相因子态间的跃迁算子，从而实现 不同相因子态问的跃迁关系。 本文所研究的系统的哈密顿量中含有y a n g i a n 产生算子。因为一方面，这样的系统为我 们提供了最简单的模型去探究量子系统的性质，尤其是s p i n 一1 2 原子自旋和轨道耦合的性 质；另一方面，因为这种模型在自旋系统、凝聚态物质理论以及高能物理中有广泛的应用。 通过这些运算，使我们对物理中的一些具体模型有了更深的了解，同时也可以掌握 y a n g i a n 代数在物理中的实现，即y a n g i a n 可以以一种特定的方式将不同权之间的态联系起 来，它正是量子力学中跃迁算子的推广。 关键词：y a n g i a n 代数；两自旋耦合系统；跃迁算子；b e r r y 相因子 a b s t r a c t c n y a n 一1 】a n dr j b a x t e r 【2 】s 印a r a t e l ye s t a b l i s h e dq u a n t u m y a n 争b a x t e re q u a t i o n ( f 0 rs h o r t ， q y b e ) 【3 - 5 1i n19 6 0 sa 1 1 di n19 7 2 s s i n c et h e nm ei n v e s t i g a t i o n so nq u a l l t l l mi n t e g r a b l em o d e l s 【6 _ 9 】 h a v eb e e n 伊e a t l yp r o m o t e d w b r t h yo fm e n t i o ne s p e c i a l l yi sm a tt h ey a n g i a l la n dq u a n m ma l g e b r a w a se s t a b l i s h e db yv g d r i n f e l d 【1 0 1 2 1 i n1 9 8 5t t l a _ to 毹r e dac o g e n tm a t h e m a t i cm e t h o df o rt l l e s t u d i e sa ：b o u tm es y m m e t r yo fq u a n t u mi n t e 卿b l em o d e l si np h y s i c s s i n c e19 9 2 s ，p e o p l eh a v e m a d eg r e a tp r o 笋e s sb o t hi nd i 虢r e n tk i n d so fr e a l i z a t i o i l so f m g i a i la n di i lt h ei n v e s t i g a t i o n so n q u a i l t u mi m e 伊a b l em o d e l s ，西v i n gn e wp h y s i c a lu r l d e r s 切n d i n ga i l dt h e o r e t i c a l r e s u l t s f o re x a n 叩l e ， t h ey 抽百a z ls ) ，1 1 1 芏i l e t 叫a n di 玎ti n t e g r a b i l i t yo f h y d r o g e na _ t o m 1 3 】h a db e e nr 印o n e da l r e a d y 【1 4 - 15 1 i nt m sp 印e r ，w em a i l l l ya p p l ym et h e o r yo fy 抽百a nt oi n t e r a c t i v es y s t e mo ft 、) l ，op a r t i c l e sw i m s p i n 一1 2 a t o m ，s t u d i n gm eq u a n t i l m 咖l s i t i o no ft h et o p o t o 百c a ls t a t e sw i t ht h e r yo fy a n 百a na l g e b r a t h eo p e r a t o ro fl i ea l g e b r ac a n0 1 1 1 yr e a l i z et h et r a n s i t i o n 锄o n gt h et r i p l e t s ，h o w e v e r ，i i lo r d e rt o r e “z et h et r a n s i t i o nb e t 、 ，e e nt h et r i p l e t s 趾dt h es i n g l e t ，m eo p e r a t o r so fy 抽百a nm u s tb ei n v o l v e d ， t h a ti s ，y 撕g i a i lg o e sb e y o n dl i ea l g e b r ai i lq 啪t u mm e c h a m c s i i lt h i sp 印e r w em a i l l l y 印p l y y m 百a nt 0t h eb e n y sp h a s e 【1 刨w 1 1 i c hi ss i 鲥f i c a t i v ei np h y s i c s ，a i l df i n dt h eb e q sp h a s eo ft h e s p i n - 1 2a t o m so ft h es p i n o r b i tc o u p l i n gs y s t e ma n dt h et r a n s i t i n go p e r a t o r sb e 觚e e ni t s t o p o l o 百c a ls t a t e s ，s ow er e a l i z et h et r a n s i t i o nb e t w e e n t h es t a t e sw i t hd i 仃e r e n tw e i 曲t s h 1m i sp a p e r ，w e 组k et h ee x a n l p l eo ft l l es y s t e mw h o s eh a 商1 t o 血a nc o n c l u d e st h eg e n e r a l c o r s o fy a n 西a n o no n es i d e ，s u c hs p i ns y s t e mp r o v i d e su sw i t ht h es i m p l e s tm o d e lt oi r e s t 培a t et h e p r o p e r t i e so fq u 习1 1 1 t u ms y s t e m ，e s p e c i a l l yw h e nt l l e ya r ep u ti n t ot h es p i n 1 2a t o m so fm e s p i n - o r b i tc o u p l i n gs y s t e m o nt h eo t h e r ，s u c hm o d e l sh a v eaw i d e l yr a n g eo f 印p l i c a t i o n st os p i n s y s t e m s ，c o n d e n s em a t t e rp h y s i c sa n dm 曲e n e 理秒p h y s i c s t h r o u 曲t 1 1 ec a l c u l a t i o no ft h eq u e s t i o n sa b o v e ，w en 7h a v ea 舢胁e ru n d e r s 诅n d i n go ft h e m o d e l si np h y s i c s ，m e a l l w l l i l e ，w ec a l lb e t t e rm a s t e rt h er e a l i z a t i o no fy a n g i a na l g e b r ai np h y s i c s y 抽g i a nc a i lc o 衄e c tt 1 1 es t a t e sw i t hd i 仃e r e n tw e i 曲tf a c t o r s ， i ti st h ee x t e n s i o no ft h eo p e r a t o r si n q u 龇l t u mm e c h a n i c s k e yw o r d s ：y 撕g i a na l g e b m ；t w os p i nc o u p l i n gs y s t e m ； s h j r i n go p e r a t o r s ；b e 仃y sp h a s e 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的成 果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。 本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：j 已丕扯日期：j 幻驻二一 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师 范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编本学位 论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中， 并以电子出版物形式出版发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：幽 日期：迎盈。厶r 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 物理中存在着许多经典可积模型，目前常遇到的有十几种。人们长时间研究它们的孤子 解n 7 19 1 。但是，再复杂的具体经典解的发现也无助于力学系统的量子化。对于非线性问题的 求解，我们常可以在求解量子力学中的单体问题的基础上，使用微扰方法来求出修正部分。 然而，当相互作用比较强的时候，则要寻求问题的严格解。这不仅是求解的技术问题，更重 要的是严格解的性质和微扰论各阶叠加的结果常常有本质的不同，许多经典孤子解就提供了 这方面的例证。f d d e e v 学派在实现从经典到量子的研究方面做出了重要的贡献。而以 y a n g b a x t e r 方程( 简称y b e ) 为中心的有关理论，是比较系统的处理某些非线性模型的成 功理论，是解决非线性问题理论发展的一个巨大飞跃，它的研究对象是多体系统。 q u a n t u my a n g b a x t e r 方程( 简称q y b e ) 的建立起源于两个方面的研究：一是一维量子 多体问题，二是统计力学中的二维精确可解问题。最早引入有实在物理意义的q y b e 的是杨 振宁，1 9 6 7 年他在处理具有6 一函数作用势的一维问题时，为保证多体散射的自洽条件而引 入了q y b e 的原始形式。1 9 7 2 年，澳大利亚学者r j b a x t e r 在研究统计力学中的二维精确 模型时，为了对角化他所定义的转移矩阵，从另一角度独立的得到了称之t r i a n g l e s t a r 的 关系。当时这两种形式并未很好的结合起来，直到以l d f a d d e e v 为首的前苏联列宁格勒学 派进一步发展了量子反散射方法跚3 ，发现杨振宁与r j b a x t e r 引入的这类关系可以写成一 般形式，这对一大类低维量子可积模型有巨大的用途，定名为y a n g b a x t e r 方程。随着各方 面研究成果的积累乜卜2 副，人们发现q y b e 普遍存在于量子可积问题中，并且起着核心作用。 近三十年来，有关q y b e 的研究取得了长足进展，作为处理一大类非线性量子可积模型的普 遍理论，它己成为理论物理研究中一个蓬勃发展的分支。 在力学中，只要知道系统所有的运动积分，这个系统就是完全可积的。显然，完全可积 性给系统一种限制。最理想的情况是构造一个理论框架，从它出发，原则上可以进一步用物 理算符实现这些关系，从而可以将h 硼订t o n 量具体化。q y b e 的解的重要意义在于确定了局 域量子算符( 格点上) 之间的交换关系，也决定了整体量子转移矩阵的交换关系。由r t t 关系 出发，给定q y b e 的解矩阵r i “) 时，可以得到量子整体转移矩阵t 。b ( 兄) 的矩阵元之间的交换 关系和h 锄i l t o n 量，之后，用具体的物理算符来实现这些关系，从而可以将h 锄i l t o n 量 具体化，因此，r t t 关系能够构造出h a m i l t o n 量，在更深的层次上建立了新型代数关系与 h 硼i l t o n 量守恒系统的联系，此外，满足r t t 关系的系统一定是量子可积系统。 我们知道r t t 关系规定了作为量子算符的t a b ( u ) 代数关系，给定y b e 的一个解尺以) 矩阵 时，通过r t t 关系可以得到辅助空间中矩阵元t a b ( u ) 之间的代数关系。如果取定尺以) 为u 的多项式形式，则称为y b e 的有理解。对于有理解的情况，此时矩阵元t 。( u ) 所构成的代数 东北师范大学硕士学位论文 并不等同于李代数，它是由有限个生成元所决定的不封闭的无穷维代数。而u 。与u 。2 阶的算 符间的对易关系是最基本的，只要满足这两阶所有的关系，那么所有高阶关系将由它们所决 定，这种代数称为y a n g i a n 。y a n g i a n 代数是比李代数更大的无穷维代数，李代数是y a n g i a n 代数的子代数。它是由数学家v g d r i n f e l d 在1 9 8 5 年首先引入的，在y a n g 后面加i a n 是为了纪念杨振宁教授在该研究领域的重大贡献。y a n g i a n 属于数学上霍普夫( h o p f ) 代数。 从物理角度看，它描述了完全量子可积问题中一类非线性相互作用模型所特有的新型对称性。 y a n g i a n 以其具有超出李代数范围的一种无穷维代数的结构特点，给出有关物理中的量 子完全可积模型的对称性新的物理理解和理论结果，为研究非线性相互作用系统的新型对称 性提供了强有力的工具。如果体系的h 硼i l t o n 量与y a n g i a n 的生成元对易，我们就说该体 系具有y a n g i a n 对称性。值得指出的是，杨一巴克斯特系统保证了量子可积性质，但并不保证 其h a m i l t o n 量与y a n g i a n 对易，相反，如果h 锄i l t o n 量与y a n g i a n 对易，也不一定是量 子可积的。这些性质依赖于具体的实现。以一维h u b b a r d 模型为例，y a n g i a n 正是无穷长链 h u b b a r d 模型的对称性，并由此带来了新型简并度，正是，的作用引起不同格点间自旋的耦 合，y a n g i a n 的引入大大简化了这种新型对称性的描述。除了描述物理体系的对称性之外， y a n g i a n 的另一个重要作用是它可以组成超出李代数范围之外，在不同量子态之间的升降算 符。李代数算子只能在同一个权内变动，而y a n g i a n 却可以以一种特定的方式将不同权之间 的态联系起来，它正是量子力学中跃迁算子的推广。以h 原子为例，对于每个能量本征值， 均有y a n g i a n 对称性，对应着角动量的简并，由y a n g i a n 算子组成的角动量移动算子，将第n 个能级的角动量从，跃迁到，+ 1 。最初由y a n g i a n 得到的不同量子态之间的平移算子均是由 不含时间因子的算子所给出的。近年来，对于含时情况下，y a n g i a n 的实现和随时间演化的 平移算子的性质方面的研究也有很大进展，同时，也拓展了y a n g i a n 在物理中的进一步应用。 另外，我们知道掌握了系统的全部对称性意味着可以得到能谱的重要信息，因此y a n g i a n 对称性还可以应用于能谱结构的研究。y a n g i a n 包含了极为丰富的物理内容，它早已存在于 量子力学之中，从量子力学的角度理解y a n g i a n 是最直观而有效的途径。 杨一巴克斯特方程包含了极为丰富的物理内容，近年来，越来越多的研究表明它是处理 一大类非线性量子可积模型的普遍理论。 1 2 论文的选题背景及意义 y a n g i a n 的作用是描述物理体系的对称性，除此之外，它还有另一种直观的物理含义： 它可以组成量子力学中能谱的升降算符( s h i f t o p e r a t o r s ) 。这个方面的研究刚刚起步。并且 从量子力学、多体问题、链模型等角度理解y a n g i a n 的物理实质仍是发展中的研究课题。 y a n g i a n 属于数学上的霍普夫( h o p f ) 代数。从物理角度看，它描述了完全量子可积问 题中的一类非线形相互作用模型的所特有的新型的严格对称性。同时，y a n g i a n 的引入大大 简化了这种新型对称性的描述。而知道了系统的全部对称性意味着可以得到能谱的重要信息。 用y a n g i a n 对称性重新研究能谱结构，是个刚刚发展的课题。值得提到的是，x x x 模型谱的 实验研究已经获得相当的成功。因而，y a n g i a n 算符在跃迁行为中的作用是值得研究的。 2 东北师范大学硕士学位论文 本文主要谈论单一光场作用下s p i n 一1 2 原子自旋和轨道耦合系统的b e r r y 相和其拓扑相 因子态，利用y a n g i a n 算子，实现量子系统在自旋和轨道耦合系统不同量子态间的具体跃迁 关系。自从b e r r y 展示一个量子态系统在缓慢变化并最终回到它的初始形式时，除了获得通 常的动力学相，还将获得一个纯粹的几何特征，量子理论中的几何相就吸引了巨大兴趣。b e r r y 相已经被广泛地研究乜卜删，并在很多方向上被观测和总结盟7 q ，例如混合态方面乜8 | ，开放系 统方面口0 | ，量子化场的控制方面。最近的研究表明，有可能在超导的纳米结构中观测到b e r r y 相，并把它用于量子态的演化口3 。3 4 3 。a b 效应和b e r r y 相的出现在物理实验的实际观测和理 论理解上都产生了深远的影响。 本文所研究的系统是在原有工作的基础上哺1 ，在系统的哈密顿量里含有y a n g i a n 代数超 出李代数生成元部分时的情况。考虑自旋与轨道耦合，在哈密顿量算符里必须加进自旋和轨 道算子。 例如，日= 詈( 嘎2 + 吒。) + 阳+ 口+ 力( q + 口+ q 一口十) + 旭2 吼。+ 乒】2 吼2 z 其中：仞为s p i n 一1 2 系统本征态跃迁频率，为产生算符口+ 和湮灭算符口表示的光场频率， 见代表原子和光场耦合常数，善是s p i n 一1 2 原子自旋和轨道耦合常数，j 为两个原子自旋和 自旋耦合常数。 将y a n g i a n 理论应用到具体的物理模型之中，研究其在跃迁行为中的作用，进一步明确 和了解了y a n g i a n 代数的物理实质和意义。 1 3 论文的主要研究内容 本文主要研究y a n g i a n 代数理论在单一光场作用下s p i n 一1 2 原子自旋和轨道耦合系统拓 扑相因子态上的应用问题。在第二章中，我们首先给出比较系统的b e r r y 拓扑相因子的基本 理论，研究在光场作用下s p i n 一1 2 原子自旋和轨道耦合系统，根据给出的基本理论，首先利 用李代数和y a n g i a n 算子对独立基，即白旋单态和三重态的作用，寻求该系统的瞬时本征态， 再求出系统在绝热近似下的波函数。在第三章里，首先我们简要给出y a n g i a n 的普遍实现， 然后给出在单一光场作用下s p i n 一1 2 原子自旋和自旋及自旋和轨道耦合系统的y a n g i a n 实现 和y a n g i a n 算子对白旋单态和三重态的跃迁关系，最后对y a n g i a n 算子进行组合，实现不 同的拓扑相因子态间的跃迁。 东北师范大学硕士学位论文 第二章b e rr y 拓扑相理论及其拓扑相因子态 2 1 对b e r r y 拓扑相因子的认识 考虑一个无限长的磁通管，全部磁通都局限在管内，因此外面的场强b 为零。电子在管 外运动，它们会感到磁通管的存在吗? 对这个问题的第一反应可能是“不会”。如仔细想一下， 进入薛定谔方程的是势( 舢，a ) 而不是场强( e ，b ) ，可能会改变想法。虽然在通量管外b = o ， 但矢量势a 却不为零。对这个问题的研究导致著名的a h a r o n o v b o h m 效应。结果是，局域 电子态感不到磁通管的存在，因为局域的场强为零，而在通量管附近波函数为有限的电子延 展态能感受它的整体效应。这个结论在当时引起不少物理学家的惊讶。这个研究也导致著名 的结论，即带电粒子的经典电动力学中，物理是由场强决定，但对服从量子力学薛定谔方程 的粒子在电磁场中的运动是由杨振宁和吴大峻副引入的不可积相因子决定的，而场强是不足 以决定物理，它们是欠定的，电磁势是超定的。 1 - - - - - - - - - - - - x 图2 1 电子在磁场中运动的哈密顿量是 日= 二l 一刃一旦彳( x ) 2 + 别。( y ) ( 2 1 ) 令( x ) 代表h o = 圭( 一f v ) 2 + 利o ( x ) 的本征函数，则它和h 的本征函数1 l r ( x ) 之间存 在以下关系： 妖x ) = 甄( 移e x p 卜耙托) p ( x ) 出 ( 2 2 ) 而 从参考点x 。到x 的线积分在一般情况下是和路径有关的。图2 1 画出有磁通穿过平 面情况下从x 。到x 的两条路径1 和2 。取沿不同路径的线积分之差，有 p ( x ) 出一p ( x ) 出= ( 卜，) 彳( x ) 出= 叮彳( x ) 出( 2 3 ) l 工0 2 j ol 工02 j 0 东北师范大学硕士学位论文 用s t o k e s 定理，它是 _ 彳( z 。) 出= i v 么搬= i b 嬲= ( 2 4 ) v， js 此处s 是闭合路径所围的面积，面积元d s 的方向垂直于平面，b 是矢量势a 所决定的场 强。由于对a 的积分与路径有关，式( 2 2 ) 的相因子就不可能写成一个单值函数，这个相 因子成为不可积相因子。 a h a r o n o v b o h i n 效应完全是从量子力学基本原理出发的，并未引入新的原理或假设，但 同时又是出乎很多物理学家意料的。f e y n i n a n 在他的物理讲座啪3 中写道：“像这样的东 西就在我们周围3 0 年之久，却一直被忽视，是一件有趣的事。之所以被忽视，是由于存在 一些定见，究竟什么是重要的，什么是不重要的。 在薛定谔方程中出现的是电磁势( a o ，a ) 。 在经典力学的拉格朗日和哈密顿描述中( 知，a ) 同样出现，但在写出运动方程时它们就被e 和b 取代了。在量子力学发展过程中企图以e 和b 完全取代( 舢，a ) 的尝试一直没有成 功，这里原来蕴藏了深刻的原因。 量子力学口7 1 钔中波函数的相位是个微妙的概念。考虑与时间有关的薛定谔方程的解。方 程中的势按事先确定好的时间的周期函数演化。当势经过一个周期回到初始的形式时，波函 数并不回到它初始的形式，而出现了与时间有关的相位。而这个相因子也不能通过重新定义 波函数被其吸收，由此而产生了b e r r y 相及其相关问题。 b e r r y 拓扑相位是a b 相的一种延展的情况，对于b e r r y 拓扑相位的完全了解，是在 1 9 8 4 年m i c h a e lb e r r y 完整的阐明了对于拓扑相的理解。他阐述了对于依赖于外参数的哈 密顿量在绝热近似下，如果t 。时系统处在此时刻的瞬时本征态，则在参数空间中，沿着封闭 路径的绝热过程中的每一时刻，系统均处于非简并的瞬时本征态中，运行一周后，所得的波 函数将多了一项相因子，这便是b e r r y 拓扑相位。 b e r r y 拓扑相位在物理中的意义是非常大的，由于其中包含了不可积相因子及它在几何 中的拓扑性质，使得它在物理实验及理论物理中验证和预言了许多的可观测效应，典型的这 些实验包括光子b e r r y 相的量子干涉现象，螺旋磁场中中子自旋旋转的b e r r y 相实验，自 旋绝热旋转造成的核四级共振频率分裂等。在下部分中我们给出有关b e r r y 拓扑相位的最为 基础的理论。 2 2b e rr y 拓扑相位的基本理论 设体系的哈密顿量是h 随参数r 变化，r 随t 慢变化。设h 的能量本征值问题已经 解决：日i 聊；尺) = 厶( 尺) l 珑；r ) ( 2 5 ) l 聊；尺) 是h 的一个本征态，量子数是m ，r 作为参数进入本征矢及本征值。l 所；r ) ( 不同的m ) 组成分立、非简并态的正交归一完备集。波函数随时间演化的薛定谔方程是 f 壳掣= h ly d f 。 ( 2 6 ) 东北师范大学硕士学位论文 下面说明t = o 时位于定态l 疗) 的体系仍会保持在这个定态上。 将1 l r 用i 所；r ) 展开： = ( f ) e x p h 壳p 所( f ) 冼 l ，z ；r ) ( 2 7 ) 指数因子是动力学相因子，m 随时间的变化是由参数r 随时间的慢变化造成的。将式( 2 7 ) 代入( 2 6 ) ，并利用( 2 5 ) ，将结果从左方乘以l 豇；尺) ，就得到展开系数a t n ( t ) 的时间微商 瓯( f ) = 一莓( 尼；尺l 未l 聊；r ) e x p 一f 壳乒岛( f ) 一幺( f ) 衍) ( 2 8 ) 此处与t 无关，是定态薛定谔方程的展开系数。未i 聊；r ) 可以用式( 2 5 ) 通过警表示：将 式( 2 5 ) 对t 微商，并从左方乘以i 尼；r ) ，对k m 情况就得到 ( 啪咖r ) = 去( 啪尝碑 ( 2 9 ) 对可k ：m ，则从归一化条件( 尼；r 露；月) = 1 得 ( 后；欠f 言七；r + = f 天 ( 2 1 5 ) 正如式( 2 1 1 ) 所示，( ，z ；r 虽刀；尺 是纯虚数，因而丸实数，即只要圪( f ) 初始值为实数，它 就一直保持为实数，它是个相角。 令彳( 尺( f ) ) 三f 式( 2 1 5 ) 变为九o ) = 尺o ) 彳( 尺) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 令r ( t ) 随时间慢变化从r ( 0 ) 变到r ( t ) = r ( 0 ) ，即经一周期回到初始值，即算一下( t ) ，有 兀( 丁) 一圪( o ) = p t 丸( t ) = 皿( t ) a ( r ) = 扣r a ( r ) 此处c 是r ( t ) 从。到t 回到初始值 所描出的封闭路径。用s t o k e s 定理，并记沿c 的这个封闭积分为圪( c ) ，有 虼( c ) = f d s v r a ( 2 1 8 ) s 为c 所围出的平面。一般情况a 不是无旋的，因此封闭积分不为o ，即圪( t ) 虼( o ) ，或 2 d r a ( r ) 与路径有关。兀( t ) 是不可积的，它不能表示为r 的函数。由于i n ；r ) 只通过r 和t 有关，因此它不能把相因子e x p f 形( f ) 】吸收进去。如果要求绝热定态满足薛定谔方程， b e r r y 相因子在一般情况下是必要的。式( 2 1 8 ) 以( c ) 的值不依赖r 完成封闭路径所需的 东北师范大学硕士学位论文 时间只要满足绝热近似九b e r r y 称之为“几何相”，这是和动力学相e x p 一寺j 一( f ) 】对 照的。 2 3 在单一光场作用下一个s pin 一1 2 原子 目旋和轨遁稍合系统几1 司相求法 1 我们考虑一个量子系统哈密顿量口6 。3 们模型b e r r y 相求解。该系统的哈密顿量为： h = 一弘db 其中b = 玩( s i l l 秒c o s 矽，s i i l 驴s i l l 秒，c o s 秒) o 护乃 o 矽刀 ( 2 1 9 ) 设其本征态为l ”，本征值为e 。 泡利矩阵为： 矿= ( ? ：) )仃，= ( ? i 仃。= ( ：， 仃+ = ( 三： 盯一= ( ? 三 c 2 2 。， 把哈密顿量h 作用在i 计上，我们可以得到： 日：一胆瓯一肛瓯一脚盯，：一肛fc o 蚶s i n 铯一尹1 ( 2 2 1 ) 日= 删暖一胪q 一胪吒2 棚【s i l l 良印二：秒j 2 d 。日i y ) = e i ”，既有： ( 2 2 2 ) 悖妇_ e 艘o s i 舭一妒i = o i 卢哦s i n 铯彻 一口oc o s 秒一e l 一( 肛b oc o s 口一e ) ( 芦8 0c o s 口+ e ) 一( 8 0 ) 2s i n 2 伊= o ( 2 2 3 ) 可得：e = b o ( 2 2 4 ) 由薛定谔方程脯詈f y ) = 日j 力，可知 当t = 俄时，i 沙) + = 8 ( 2 2 5 ) p 秒一2秒一2 s 卜 出 东北师范大学硕士学位论文 当罡= 吖哦时，j 力一= p s 1 n 一 2 一c o s 旦p 卅 2 ( 2 2 6 ) 由几何相定义形= z f 出( 彬l 言i ) = f r 石( 彬j 未i ”) d y ，可知： 以= ( 1 一c o s 口沙丘= ( 1 + c o s 印万 ( 2 2 7 ) 2 下面进一步研究在单一光场作用下个s p i n 一1 2 原子轨道和自旋耦合系统b e r r y 相的求 解。该系统哈密顿量为： 日= 。+ 阳+ 口+ 五( 万+ 口+ 仃一口+ ) + 善于仃z ( 2 2 8 ) 其中：翻为s p i n l 2 系统本征态跃迁频率，v 为产生算符口+ 和湮灭算符口表示的光场频率， 五代表原子和光场耦合常数，善是s p i n 一1 2 原子自旋和轨道耦合常数。 该系统的本征基为：i 砌) 1 个) k ) ，i 砌) 卜) k + 1 ) 。设该系统的本征态为i ”，本征值为e 。 由下面关系式： 仃2 1 1 、) = 1 个)仃。1 个) = ij ，)仃7 i ，r ) = f | j ，) 仃。上= 一l 、l )万。i 、l ) = 1 个)仃y i 上) = 一f 1 个) 矿1 个) = o旷1 个) = i 上)矿i 上) = 1 个)仃一l 上) = o k ，州= 1 口i 刀) = 钥，z 一1 ) 口+ 口i 甩) = 玎i ，z ) 口+ i ，z ) = 鬲 1 ) 口口+ i ，z ) = ( 以+ 1 ) i 玎) r i 砌) = 聊i 砌) 取壳= 1 ，下同 可知： 日_ ( 焉跏一0 嚣一跏 l 五n + 1一w + ( n + 1 ) 1 ，一亭，竹j 日i y ) = e i ” 卜v 竺川 名而 f ：o i 见而一w + v ( 刀+ 1 ) 一善m e i u w + v 咒+ 孝，卵一e 】【一w + ( ，z + 1 ) v 一善，卵一e 卜名2 ( ，2 + 1 ) = o 从上式可得该系统的本征值为： ：坚业型坐墼竽业堂型 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 东北师范大学硕士学位论文 设：c o s 口= 7 兰丝竺垒二 4 旯2 ( 狞+ 1 ) + ( v 一2 善m 一2 计2 设：日= 日0 5 + v 。 其中：凰。= 1 ，口+ 口1 ，。= 孵2 + 名( 仃+ 口+ 仃一口+ ) + 善r 仃2 令州，= e x p 一知) 觚 既得：。( 缈) = p 一矿口+ 4 o 十劬) = p 叩4 。其中：矽= 2 删f 由公式：一晚爿= b + 【么，j 6 f 】+ 击 么，【么，b 】 + 击 么， 4 【4 ，艿】 - 】+ 可得；v ) = v 5 = 纱 嬲2 + 五( 嘎+ 口+ q 一日+ ) + 弘矿 在相互作用下薛定谔方程疏杀眵) ) = v 7 ( f ) i 缈m ) ) 可得： 愀砩。= c 。s 等i 砌) m 刀) “n 等i 砌) m 玎+ ，) i y 7 ( r ) ) ：= 一s i n 导l 砌) 1 个) i 胛) + c 。s 譬i 砌) 卜) h + 1 ) 由薛定谔绘景和相互作用绘景相互转化关系：i 矿( 谚= ( 妒) 陟7 ( 砩， 可得该系统的本征态为： i 矿( r ) ) 。= c 。s 等2 一却l 砌) | 个) i 挖) + s i n 导p _ f c 肿聊i 砌) 卜) k + 1 ) i 矿( ，) ) 。= 一s i n 詈e 嘞一i 锄) l 下) h ) + c 。s 等p c 肘聊i 砌) 卜) i 托+ 1 ) 由几何相定义：形2 ，( l 蚤i ) d y ，求出该系统的b e r r y 相为： m = 2 砌+ 万( 1 一c o s 叻 托= 2 石( ，z + 1 ) 一万( 1 一c o s 功 2 4 在单一光场作用下s pin 一1 2 双原子自旋 和轨道耦合系统拓扑相因子态 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 本节主要介绍双原子s p i n 一1 2 自旋和自旋耦合系统“1 基础上，我们进一步研究在单一 1 0 一 东北师范大学硕士学位论文 _ = = i _ = = = _ 二= = 二一二二二二二= l 一一 光场作用下s p i n l 2 双原子自旋和轨道耦合系统拓扑相因子态求解。该系统哈密顽戛f 日= 詈( q 2 + 吒2 ) + v 口+ 口+ 彳( q + 口+ q 一口+ ) + 地2 吒7 + 豇l ：q 5 ( 2 4 4 ) 其中：彩为s p i n l 2 系统本征态跃迁频率，v 为产生算符口+ 和湮灭算符口表示的光场频率， 力代表原子和光场耦合常数，乎是s p i n 一1 2 原子自旋和轨道耦合常数，j 为两个原子自旋和 自旋耦合常数。 该系统的基为： i ，铂) 1 个个) i ，z ) ，f ，l ，铂) 卜个) k + 1 ) ；i ，l ，聊。) 1 1 、上) k ) ，f f l ，) 卜上) k + 1 ) 设：该系统的本征能量为e ，本征态为j ”。 由( 2 3 1 2 3 3 ) 关系式可得： 日= w + 埘+ + 甄名鬲 。 名雨 1 ，( ，z + 1 ) 一，一铷。o o 0 埘一歹+ 乎 o o力鬲 日i ”= e i 咖袅鼽卜 01 名鬲 i ”一“ 一w + 1 ，( 刀+ 1 ) + ，一手码，j ( 2 4 6 ) w + 惭+ ，+ 孝悦一e砺+ 1 o o j 州：“岍d 中：讲品一e熹i = 。 汜4 7 ， o o 惭一，+ 善，托一e州珂+ il 。 、。1 7 o o 州鬲。w + 卅( ，z + 1 ) + 一孝m 一剧 【( w + 仰+ + 善，一e 】【v ( 玎+ 1 ) 一，一手聊l e 卜名2 ( 玎+ 1 ) = o 【聊一，+ 孝一e 】卜彬+ 陋+ 1 ) + 7 一善确一e 卜名2 ( 刀+ 1 ) ：o 从上式可得： 互2 = b 。= w + ( 2 玎+ 1 ) 1 ，孝4 名2 ( 门+ 1 ) + ( w + 2 ，+ 2 孝m l 一1 ，) 2 2 兰兰! 兰竺! ! ：二生主型向j 了石i f 巧：i ：j f f 三丽 2 c 。s = 下守竺丝型坠二 4 x 2 ( 门+ 1 ) + ( w 一2 + 2 孝嘲一v ) 2 ( 2 5 0 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 东北师范大学硕士学位论文 设：日= 日0 5 + v 5 ( 2 5 1 ) 爿o 。2 阳 旷= 詈( q 2 + 吒。) + 兄( 矿口+ 矿一矿) + ，q 2 吒。+ 善葺q 2 ( 2 5 2 ) 铆以 ) = e x p w ( 川。) 刖。u = 1 陆：1 】 ( 2 5 3 ) 可有，o ( 眇) = e xp 一矿矿口 + ( 缈) = e x p 伊口+ 口其中：缈：2 删f ( 2 5 4 ) 由公式：一b p j = b + 彳，b 】+ 击 彳， 爿，b 】 + 去 彳， 彳，【彳，b + ( 2 5 5 ) 可知： v 沁) 2 风+ v 。2 p 妒l 詈( 听+ ) + 力( 旺+ 口+ 呒一口+ ) + 听+ 善彳听j 2 5 6 ) 在相互作用下薛定谔方程旃杀渺亿) ) = v 沁) i y 亿) ) 可得： f y 7 ( ，) ) ，= c 。s 詈l 聊，) l t t ) l ，z ) + s i n 詈i ，l ，) ij ，个) l ，z + 1 ) l 少7 ( ，) ) ：= 一s i n 等l ，l 聊。) l t 个) i 以) + c 。s 等i ) l 上个) i 胛+ 1 ) i 矿7 ( ，) ) ，= c 。s 等f 嘲) 卜上) k ) + s i n 譬i 铂) ij ，上) h + 1 ) i y 7 ( ；) ) 。= 一s i n 譬k 聊。) 1 个上) i 玎) 十c 。s 譬k 秭) 卜上) k + 1 ) ( 2 5 7 ) 在薛定谔绘景和相互作用绘景相互转化关系是为i 矿( 啦2 ( 咖i y 7 ( f ) ) ， 可得该系统的本征态为： l 旷( ，) ) 。= c 。s 导p 咖矿i ，l 啊) j t 个) i ，z ) + s i n 等p ( 川) 矿i ，l 聊。) i 上个) i ，z + 1 ) i 矿( ，) ) ：= 一s i n 等口一折p i ，l 码) j 个个) j 刀) + c 。s 詈p - f ( 州) 矿i ，l ，z 。) i 上个) i 刀+ 1 ) i 旷( ，) ) ，= c 。s 譬p 却) 1 个上) i 甩) “n 譬p 叫川，矿) i 上上) ”1 ) i 旷( ，) ) 。= 一s i n 譬p 一却i 砚) 卜上) k ) + c 。s 譬p 叫槲，矿i ，l 聊。) 卜上) k + 1 ) ”2z ( 彬5l 詈i 孵。) d y 。乃= 2 砌+ 万( 1 一c o s 功 ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) 东北师范大学硕士学位论文 兄= 2 积疗+ 1 ) 一积1 一c o s 功 乃= 2 砌+ 万( 1 一c o s ) 托= 2 万【咒+ 1 ) 一万【l c o s ) 系统的拓扑相因子态为：i 矽c r ) ) f = e x p 一丢i e 。c r ，d r e x p z 九c r ，】l 沙5 c ，) ， 由于：日= 詈( q 。+ 吼2 ) + + 口+ 名( 吒+ 口+ q 一口+ ) + q 2 呸。+ 乳2 q 2 该系统的本征值为： 日：兰坚坐生