数列通项公式解法总结及习题(附详解答案).doc

数列通项公式解法总结及习题训练 附答案 1 定义法定义法 等差数列通项公式 等比数列通项公式 2 公式法公式法 已知 即 求 用作差法 n S 12 n aaaf n n a 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 3 3 作商法 作商法 已知求 用作商法 12 n a aaf n A A A n a 1 1 2 1 n fn f na n f n 4 4 累加法累加法 若求 1 nn aaf n n a 11221 nnnnn aaaaaaa 1 a 2 n 5 5 累乘法 累乘法 已知求 用累乘法 1 n n a f n a n a 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa 2 n 6 6 已知递推关系求已知递推关系求 用构造法 构造等差 等比数列 n a 1 递推公式为 其中 p q 均为常数 nnn qapaa 12 先把原递推公式转化为 112nnnn saatsaa 其中 s t 满足 qst pts 2 2 形如 形如的递推数列都可以用倒数法求通项 1 1 n n n a a kab 7 7 数学归纳法数学归纳法 先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想 然后证明 8 8 换元法换元法 换元的目的是简化形式 以便于求解 9 不动点法不动点法 对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求 1010 定系数法定系数法 适用于 1 nn aqaf n 解题基本步骤 1 确定 2 设等比数列 公比为 f n 1 n af n 3 列出关系式4 比较系数求 1 1211 nfanfa nn 1 2 5 解得数列的通项公式 6 解得数列的通项公式 1 n af n n a 习题 1 1 20102010 全国卷全国卷 2 2 6 如果等差数列 n a中 3 a 4 a 5 a 12 那么 1 a 2 a 7 a A 14 B 21 C 28 D 35 2 2 20102010 安徽 安徽 5 设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn 则 8 a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 3 2011 2011 年高考四川年高考四川 数列 n a的首项为3 n b 为等差数列且 1 nnn baa nN 若则 3 2b 10 12b 则 8 a A 0 B 3 C 8 D 11 4 2011 年高考全国卷年高考全国卷设为等差数列的前项和 若 公差 n S n an 1 1a 2d 则 A 8 B 7 C 6 D 5 2 24 An SS k 5 2009 广东卷 理 已知等比数列 n a满足0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当1n 时 2123221 logloglog n aaa A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 6 2009 陕西卷 设等差数列 n a的前 n 项和为 n s 若 63 12as 则 n a 7 7 2011 2011 广东卷广东卷 等差数列前 9 项的和等于前 4 项的和 若 则 n a 14 1 0 k aaa k 8 则其通项为1 13 1 1 1 a a a a n n n 9 2009 宁夏海南卷理 等差数列 n a 前 n 项和为 n S 已知 1m a 1m a 2 m a 0 21m S 38 则 m 10 重庆卷理 设 1 2a 1 2 1 n n a a 2 1 n n n a b a nN 则数列 n b的通项公式 n b 1111 等差数列是递增数列 前 n 项和为 且成等比数列 n a n S 931 aaa 求数列的通项公式 2 55 aS n a 1212 已知数列的前项和满足 求数列的通项 n an n S1 1 2 naS n nn n a 公式 13 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 14 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 15 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 23 56 n nn aaa n a 16 知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 22 8 1 8 21 23 9 nn n aaa nn n a 17 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 1 14124 1 16 nnn aaaa n a 18 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 72 2 23 n n n a aa a n a 答案及详解答案及详解 1 答案 C C 解析解析 本题考查了数列的基础知识 本题考查了数列的基础知识 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaa 2 答案 A 解析 887 644915aSS 方法技巧 直接根据 1 2 nnn aSSn 即可得出结论 3 答案 B 解析 由已知知由叠加法 1 28 28 nnn bnaan 21328781 642024603aaaaaaaa 4 答案 D 解析 22111 2 1 1 1 kkkk SSaaakdakd 故选 D 1 2 21 akd 2 1 21 244245kkk 5 解析 由 2 525 2 3 n n aan 得 n n a 22 2 0 n a 则 n n a2 3212 loglogaa 2 122 12 31lognna n 选 C 6解析 由 63 12as 可得 n a的公差 d 2 首项 1 a 2 故易得 n a 2n 答案 2n 7 答案 10 解析解析 由题得由题得10 6 1 031 1 1 2 34 4 2 89 9 kd ddk dd 8 8 解解 取倒数 11 1 1 3 131 nn n n aa a a 是等差数列 n a 1 3 1 11 1 n aan 3 1 1 n 23 1 n an 9 9 解析由 1m a 1m a 2 m a 0 得到 1212 21 21 20 0 2213810 2 m mmmmm maa aaaSmam 又 答案 10 1010 解析 由条件得 11 1 1 1 2 2 22 22 2 11 1 nnn nn nn n aaa bb aa a 且 1 4b 所以数列 n b是 首项为 4 公比为 2 的等比数列 则 11 4 22 nn n b 1111 解解 设数列公差为 n a 0 dd 成等比数列 931 aaa 91 2 3 aaa 即 8 2 11 2 1 daada dad 1 2 0 dda 1 2 55 aS 2 11 4 2 45 5dada 由 得 5 3 1 a 5 3 d nnan 5 3 5 3 1 5 3 点评点评 利用定义法求数列通项时要注意不用错定义 设法求出首项与公差 公比 后再写出通项 1212 解解 由112 1111 aaSa 当 2 n 时 有 1 2 2 11 n nnnnn aaSSa 1 1 22 1 n nn aa 1 22 2 21 n nn aa 22 12 aa 11221 1 22 1 2 1 2 1 nnnn n aa 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 12 1 1 211 nn n nn nnnn 经验证也满足上式 所以1 1 a 1 2 3 2 12 nn n a 1313 解 由得则 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 11232211 1221 1221 1 2 31 2 31 2 31 2 31 3 2 3333 1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 331 3 31 nnnnn nn nn n n n aaaaaaaaaa n n n n 所以31 n n an 14 解 因为 所以 则 故 11 2 1 53 n nn anaa 0 n a 1 2 1 5n n n a n a 132 1 1221 1221 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 5 2 2 1 5 2 2 1 5 2 1 1 5 3 2 1 3 2 53 3 25 nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n a 1 1 2 3 25 n n n n an 15 解 设 1 1 52 5 nn nn axax 将代入 式 得 等式两边消去 1 23 5n nn aa 1 23 55225 nnn nn axax 得 两边除以 得代入 式得2 n a 1 3 5525 nnn xx 5n352 1 xxx 则 1 1 52 5 nn nn aa 由及 式得 则 则数列是以 1 1 56510a 50 n n a 1 1 5 2 5 n n n n a a 5 n n a 为首项 以 2 为公比的等比数列 则 故 1 1 51a 1 52 nn n a 1 25 nn n a 16 解 由及 得 1 22 8 1 21 23 nn n aa nn 1 8 9 a 21 22 32 22 43 22 8 1 1 88 224 2 1 1 2 1 3 99 2525 8 2 1 248 348 2 2 1 2 23 2525 4949 8 3 1 488 480 2 3 1 2 33 4949 8181 aa aa aa 由此可猜测 往下用数学归纳法证明这个结论 2 2 21 1 21 n n a n 1 当时 所以等式成立 1n 2 1 2 2 1 1 18 2 1 1 9 a 2 假设当时等式成立 即 则当时 nk 2 2 21 1 21 k k a k 1nk 1 22 8 1 21 23 kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 21 18 1 21 21 23 21 1 23 8 1 21 23 21 23 23 8 1 21 23 21 23 21 21 23 23 1 23 2 1 1 1 2 1 1 kk kkk kkk kk kkkk kk kkk kk k k k k 2 由此可知 当时等式也成立 1nk 根据 1 2 可知 等式对任何都成立 nN 17 解 令 则124 nn ba 2 1 1 24 nn ab 故 代入得 2 11 1 1 24 nn ab 1 1 14124 16 nnn aaa 22 1 111 1 14 1 241624 nnn bbb 即 22 1 4 3 nn bb 因为 故1240 nn ba 11 1240 nn ba 则 即 1 23 nn bb 1 13 22 nn bb 可化为 1 1 3 3 2 nn bb 所以是以为首项 以为公比的等比数 3 n b 11 31243124 132ba 2 1 列 因此 则 即 得 12 11 32 22 nn n b 2 1 3 2 n n b 2 1 124 3 2 n n a 2 111