（电机与电器专业论文）异步电动机系统转速持续振荡的hopf分岔本质及控制研究.pdf

r e s e a r c ho ne s s e n c ea n dc o n t r o lo fh o p fb i f u r c a t i o nf o r t h er o t o rs p e e d ss u s t a i n e do s c i l l a t i o ni na ni n d u c t i o n m o t o rs y s t e m a b s t r a c t s u s t a i n e do s c i l l a t i o np h e n o m e n o no fr o t o rs p e e di so f t e ne x p e r i e n c e di na n i n d u c t i o nm o t o r ( i m ) v a r i a b l ef r e q u e n c ya d j u s t a b l es p e e ds y s t e md u r i n gs o m el o w f r e q u e n c ya r e a sw i t hl i g h t l o a do rn ol o a d ，a n dt h e a p p e a r a n c eo fs u s t a i n e d o s c i l l a t i o ni n f l u e n c e ss y s t e m sr u n n i n gq u a l i t ya n dr e l i a b i l i t y t h es i m p l i f i e dm a t h e m a t i c a lm o d e lo fa ni md r i v es y s t e mi sf i r s td e r i v e d 。 m a k i n gu s eo fm a t l a bs o f t w a r ea n db a s e do nsf u n c t i o n ，s i m u l i n km o d e lo ft h ei m d r i v es y s t e mi ss e tu pa n ds i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h ee x i s t e n c eo fs u s t a i n e d o s c i l l a t i o np h e n o m e n o n b a s e do na b o v e m e n t i o n e dr e s e a r c ha n di n t r o d u c i n gt h eb i f u r c a t i o nt h e o r y , h o p fb i f u r c a t i o nc r i t e r i o n so ft h en o n l i n e a rs y s t e mw i t ho n ev a r i a b l ep a r a m e t e ra n d t w ov a r i a b l ep a r a m e t e r sc h a n g i n ga r es t u d i e d ，a n dt h e nt w od i m e n s i o n a la n dt h r e e d i m e n s i o n a lh o p fb i f u r c a t i o ns e t sa r ed e t e r m i n e d t h e r e f o r e ，h o p fb i f u r c a t i o n e s s e n c eo fs u s t a i n e do s c i l l a t i o ni sd i s c l o s e d b ya i do fa c c u r a t e l yd e t e r m i n i n gh o p f b i f u r c a t i o np o i n t sa n ds h o w i n gh o p fb i f u r c a t i o nf i g u r e s ，t h es u s t a i n e do s c i l l a t i o n s i n h e r e n c ee s s e n c ei so p e n e do u tt h a tt h ee q u i l i b r i u mp o i n t sl o s e s t a b i l i t ya n d u n d e r g o e sh o p fb i f u r c a t i o nf o rt h ei md r i v es y s t e m a tl a s t ，t h et i m e - d e l a yf e e d b a c kc o n t r o lm e t h o di s i n t r o d u e e d a n dt h e m a t l a b s i m u l i n km o d e lo ft h ei ms y s t e mi ss e tu pw i t ht i m e d e l a yf e e d b a c k c o n t r o l l e r s i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h a tt h eu n s t a b l ee q u i l i b r i u mp o i n tc a nb e s t a b i l i z e db yt i m e - d e l a yf e e d b a c kc o n t r o lm e t h o da n dt h ep r e s e n t e dm e t h o dc a n e f f e c t i v e l yc o n t r o lt h ea p p e a r a n c eo fs u s t a i n e do s c i l l a t i o n k e y w o r d s ：i n d u c t i o nm o t o rsy s t e m ，m a t h e m a t i c sm o d e l ， r o t o rs p e e d ，e s s e n c eo fh o p fb i f u r c a t i o n ， c o n t r o l s u s t a i n e do s c i l l a t i o no f t i m e d e l a yf e e d b a c k 图表清单 图卜1 分岔的三种类型5 图2 1 三相异步电动机的物理模型9 图2 2d q 0 变换1 0 图2 3 异步电动机系统s 函数模型1 2 图2 4 异步电动机系统运行v f 曲线图1 3 图2 5 异步电动机系统动态仿真图1 3 图2 - 5 异步电动机系统动态仿真图1 4 图3 1 异步电动机系统的h o p f 分岔集1 8 图3 2a 点异步电动机系统的动态仿真曲线1 8 图3 3b 点异步电动机系统的动态仿真曲线1 9 图3 - 4 c 点异步电动机系统的动态仿真曲线1 9 图3 5 异步电动机系统在不同定子电阻时的h o p f 分岔集2 l 图3 - 6 异步电动机系统在不同转子电阻时的h o p f 分岔集2 2 图3 7 异步电动机系统在不同转动惯量时的h o p f 分岔集2 2 图3 8 异步电动机系统在a 点时的动态仿真曲线2 3 图3 - 9 异步电动机系统在b 点时的动态仿真曲线2 3 图3 1 0 异步电动机系统在c 点时的动态仿真曲线2 4 图4 - 1 异步电动机系统h o p f 分岔图3 0 图4 2 异步电动机系统负载变化时的h o p f 分岔图3 2 图5 - 1 异步电动机时滞反馈控制系统图3 8 图5 - 2 异步电动机时滞反馈控制系统的动态仿真( k = 0 5 ，f = o 0 1 ) 3 9 图5 3 异步电动机时滞反馈控制系统的动态仿真( k = o 5 ，f = o 2 5 ) 3 9 图5 - 4 异步电动机时滞反馈控制系统的动态仿真( k = 5 ，f = o 2 5 ) 4 0 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得金目曼王些太堂 或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：凄芬委 签字日期：口p 年月谚日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金目垦王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授 权盒目巴王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：枣芬菊 签字日期：p 年月玎日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期： 电话： 邮编： o 艿年占月i s 日 致谢 本论文的撰写是在导师李红梅教授的悉心指导和关心下完成的，从课题的 选择、方案制定、工作实施到论文的撰写与修改无不渗透着李老师的心血。在 近三年的研究生学习中，李老师以她渊博的知识、卓越的才智、严谨的治学精 神和求实创新的工作作风深深地影响了我，并在科研、学习以及生活中给予了 我莫大的关怀与帮助，导师的教诲、关怀和培养，学生将终身受益，铭记于心。 值此论文完成之际，谨向李老师致以崇高的敬意和诚挚的感谢! 在读硕士 期间，还得到了本实验室的李文生老师、王晓晨老师、张后来硕士、赵振硕士 等师兄弟们以及研究生和本科班级的同学们在学习和生活中的大力帮助，在此 一并表示深深的感谢。 最后感谢我敬爱的父母及亲人，他们用博大的胸怀、勤劳的双手和几十年 的心血把我培养成一名硕士，是他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我 的学业，谨以此论文向他们表示深深的敬意。 作者：李孝尊 2 0 0 8 年4 月15 日 第一章绪论 1 1 研究背景 由于直流调速能获得优良的动、静态调速特性，再加上交流调速技术一直 没有完善，因此长期以来在变速传动领域中，直流调速一直占据主导地位。由 于直流电动机除了在本身结构上存在机械式换向器和电刷的致命弱点，而且存 在下述的主要缺点，给直流调速系统的开发和利用带来一系列的限制。 ( 1 ) 直流电动机容易出现故障，维修困难： ( 2 ) 使用场合受到限制，在易燃易爆以及环境恶劣的地方不能采用； ( 3 ) 由于直流电动机的结构因素使单机容量及转速受到限制； ( 4 ) 直流电动机的价格高于交流电动机。 交流电动机，特别是鼠笼型异步电动机，由于它结构简单，制造方便，价 格低廉，且坚固耐用，惯量小，运行可靠，很少需要维护，可用于恶劣环境等 优点，因此在工农业生产、交通运输、国防工业及日常生活中的应用十分广泛。 从2 0 世纪3 0 年代开始，人们就致力于交流调速技术的研究，其中最活跃、 发展最快的就是变频调速技术。变频调速是交流调速的基础和主干，它既适用 于异步电动机，也适用于同步电动机。采用变频调速不但能实现无级调速，而 且根据负载特性的不同，通过适当调节电压和频率之间的关系，可使电动机始 终运行在高效区，并保证良好的动态特性。交流变频调速系统在调速时和直流 电动机变压调速系统相似，机械特性基本平行上下移动，而转差功率不变。同 时交流电动机采用变频起动更能显著改善交流电动机的起动性能，大幅度降低 电动机的起动电流，增加起动转矩。 异步电动机变频调速系统是变压变频系统( v v v f ) 的简称，它的工作原理 是通过整流器把工频的交流电转变为直流电，经直流滤波后，由逆变器将它变 换为幅值和频率可调的交流电。异步电动机调速传动时，变频器可以根据电动 机的特性对供电电压、电流、频率进行适当的控制，不同的控制方式所得到的 调速性能、特性及用途是不同的。变频调速的控制方式可分为两大种：开环控 制如v f j 空制方式，闭环控制如转差频率控制、矢量控制和直接转矩控制等方式。 随着科学技术的不断发展，变频调速的控制技术也在不断进步，现阶段的矢量 控制技术可实现与直流调速相媲美的性能，为变频调速技术的进一步推广奠定 了坚实的基础。 变频调速系统目前应用最广泛的是转速开环的恒压频比控制的调速系统， 也称为恒v 啦制，这种调速方法采用转速开环带低频电压补偿的控制方案，控 制系统结构简单、成本低，适用于风机、水泵等对调速系统动态性能要求不高 的场合。转速开环变频调速系统虽然可以满足一般的平滑调速要求，但其静态 和动态性能都有限，要提高其静、动态性能，需要有转速反馈实现闭环控制。 转差频率控制是从异步电动机稳态等效电路和转矩公式出发的，因此保持磁通 恒定也只在稳态情况下成立，它只适用于转速变化缓慢的场合。而在要求电动 机转速有快速响应的动态过程中，电动机除了稳态电流以外，还会出现相当大 的瞬态电流，由于它的影响，电动机的动态转矩和稳态运行时的静态转矩有很 大的不同，因此如何在动态过程中控制电动机的转矩，是影响系统动态性能的 关键。 2 0 实际7 0 年代西门子工程师b t a s c h k e 首先提出了异步电机矢量控制理论 来解决交流电机转矩控制问题，从而使交流调速系统获得了与直流调速系统同 样的动、静态性能。目前，矢量控制算法已被广泛地应用在变频器产品上。在 8 0 年代中期，d e p e n b r o c k 教授提出了直接转矩控制，免去了矢量变换的复杂计 算，控制结构简单。 自2 0 世纪5 0 年代末第一只晶闸管问世以来，电力电子技术开始登上现代 电气传动技术舞台，以此为基础开发的可控硅整流装置，是电气传动领域的一 次革命，使电能的变换和控制从旋转变流机组和静止离子变流器进入由电力电 子器件构成的变流器时代，这标志着电力电子的诞生。进入2 0 世纪7 0 年代晶 闸管开始形成由低电压小电流到高电压大电流的系列产品，普通晶闸管不能自 关断的半控型器件，被称为第一代电力电子器件。随着电力电子技术理论研究 和制造工艺水平的不断提高，电力电子器件在容易和类型等方面得到了很大发 展，是电力电子技术的又一次飞跃，先后研制出g t r 、g t o 和m o s f e t 等自 关断全控型第二代电力电子器件。而以绝缘栅双极晶体管( i g b t ) 为代表的第三 代电力电子器件，开始向大容易高频率、响应快、低损耗方向发展。而进入2 0 世纪9 0 年代电力电子器件正朝着复台化、标准模块化、智能化、功率集成的方 向发展，以此为基础形成一条以电力电子技术理论研究，器件开发研制，使得 电力电子技术在国际上是竞争最激烈的高新技术领域之一。 随着新型电力电子器件的不断涌现，采用脉宽调制( p w m ) 技术的交流调 速传动的研制成功，标志交流变频调速技术的应用进入了一个新的阶段。简单 的讲，所谓p w m 技术就是利用半导体器件的开通和关断把直流电压变成一定 形状的电压脉冲序列，以实现变频、变压并有效控制和消除谐波的一门技术， 目前已成为逆变的最主要控制方式，一直是变频技术的核心技术之一。 变频调速技术的出现、完善和发展，使电机调速领域发生了革命性的变化， 在不到2 0 年的时间里，已被国内外公认为是最理想、最有发展的一种调速方式。 p w m 变频调速技术主要优点如下： ( 1 ) 可靠性高： ( 2 ) 节约能源； ( 3 ) 调速范围广； ( 4 ) 工作特性好； 2 ( 5 ) 调速平滑性好。 p w m 技术的日益成熟使得异步电动机变频调速系统在最近的几十年里得 到了飞速的发展，在越来越多的领域内担当着重要的角色。其优越性主要表现 在：异步电机本身结构简单，坚固耐用，体积小，重量轻，没有机械换向，无 需多少维护，故障率很低，由电力电子器件组成的逆变器以及微电子器件对逆 变器的灵活控制，为取代机械换向器提供了条件，因此使异步电机变频调速动 驱动系统能达到甚至超过直流驱动系统的控制性能，从而在国民经济和日常生 活中的具有越来越重要的地位。 近二十年来，异步电动机变频调速技术快速发展与成熟并迅速普及，尤其 是p w m 逆变器供电异步电动机运行于v f 控制方式下的传动系统，已成为国内 外现今大多数变速驱动所采用的变频调速系统，在工农业生产、交通运输、国 防工业及人民日常生活中的应用十分广泛。但该系统在变频调速运行时常伴随 有电机运行的质量问题，主要表现为系统在某些频段运行时出现的转速持续振 荡现象，严重影响了系统的运行质量和可靠性。 1 2 异步电动机系统持续振荡的国内外研究现状 国外对异步电动机传动系统的转速持续振荡现象的起因研究较早，始于六 十年代，观点不一，尚未有一个公认或权威的理论。t a l i p o 提出了是由滤波 元件与电机磁场、转子之间的能量交换引起的观点。k k o g a 心1 等研究认为，v f 为常数控制的逆变器供电异步电动机系统，在某些频段和负载范围里出现的转 速持续振荡，是由异步电动机固有不稳定引起的观点。另一些学者认为系统的 转速持续振荡与逆变器死区时间有关，y m u r a i 1 认为当p w m 调制频率较高， 逆变器中死区时间的存在导致主电流畸变，引起电机转速的波动，m c a d e 。认 为在额定频率一半处出现的转速持续振荡现象，是由于死区时间的存在，使得 逆变器输出电压产生畸变所致。国内对该问题研究报道也不多，张德宽1 等认 为交流传动系统转速振荡的原因与电机定子供电的谐波及整流一逆变系统的结 构参数有关，过强的定子电流激励会引起系统转速持续振荡。对于异步电动机 传动系统这样一个多输入、多输出的强非线性系统，上述几种观点并未能揭示 出该系统转速持续振荡的非线性本质。 国内外相关异步电动机传动系统的转速持续振荡控制的文献报道较少， n o b u y o s h im u t o h 采用调节定子频率的方法，使系统的转速持续振荡得到了抑 制。但该方法不足之处在于实际应用时，对不同电机或一台电机不同负载，其 控制环需采用不同的参数。张德宽陋1 等采用软化的v f 控制特性使我国首台 i g b t 交流牵引装置的转速持续振荡现象明显减弱，然而这样做又带来新的问 题，即特性软化后电机带负载能力相应降低。m c a d e h l 采用断续空间电压矢量 3 ( d p w m l ) 调制策略有效抑制了系统在额定频率一半运行时出现的不稳定振 荡现象，但是应用d p w m l 调制策略于系统别的频段处时，并不能对系统的转 速持续振荡现象进行有效控制。 国内外研究现状及先前工作基础表明：仅仅从线性和确定性运动角度去分 析异步电动机传动系统的转速持续振荡现象，已不能满足异步电动机传动系统 控制系统日益提高的要求。对于异步电动机这样一个多输入、多输出的强非线 性系统，系统转速持续振荡所表现出来的转速极限环振荡的这种非线性系统动 力学特性，势必会引入非线性动力学理论中的分岔理论来对此进行研究和说明。 1 3 非线性分岔理论简介 非线性系统复杂性的发现是二十世纪基础科学的一项重大发现，近几十年 来，非线性理论在各学科领域的应用获得了突飞猛进的发展。非线性分岔理论 作为非线性科学的一个重要分支也获得了迅速发展，并被广泛的应用于许多学 科的研究分析工作。 1 3 1 分岔问题的由来和发展 非线性动力学系统常常由一组耦合的常微分方程组或偏微分方程组来描 述，方程组中包含一个或多个控制参数，当系统的控制参数变化时，新的定常 状态周期解，拟周期解或混沌解会分岔出来，也就是说当参数达到某临界值时， 系统的定性行为发生质的变化，这种现象称为分岔( b i f u r c a t i o n ) 。分岔是一类重 要的非线性现象，关于分岔问题的研究起源于1 8 世纪以来对弹性力学、天体力 学和非线性振动中的失稳问题。早在1 8 世纪中叶，伯努利和欧拉等人就已经研 究过杆件纵向压力作用下的屈曲问题；1 8 8 5 年，庞卡莱提出了旋转流体的星平 衡图形的演化过程的分岔理论；二十世纪3 0 年代，范德波、安德罗诺夫等在非 线性振动研究中发现大量的分岔现象，并研究了分岔和结构稳定性之间的关系。 直到二十世纪6 0 年代，现代数学理论、计算机技术、尤其是在不同领域中混沌 现象的发现促使了分岔理论的迅速发展，并在力学、物理学、生物学、生态学 等学科领域，甚至一些社会学领域内得到了广泛应用。分岔理论的研究不仅揭 示了系统的各运动状态之间的相互联系和转化，而且与混沌密切相关，成为非 线性动力学的重要组成部分。 近年来，国内外学者重视研究系统中存在的分岔现象，它不但导致混沌， 还与工程问题紧密相联，比如高速车辆的行驶稳定性，管道振动，人体神经网 络的分岔问题，超导问题中的分岔现象分析，微波的分岔，对称系统中的分岔 等等非线性动力学问题都是经典的非线性振动理论无法解决的。分岔问题也存 在于机器人动力学、飞行器动力学、结构动力学、控制理论、电子学、化学反 应动力学、甚至生态和经济学等学科领域，因此分岔理论有着广泛的应用背景。 4 1 3 2 分岔理论介绍及其研究方法 分岔理论是研究非线性方程( 代数方程、微分方程、积分方程等) 解的定性 行为的数学理论，它包括分岔点的位置、分岔解的方向与数目、分岔解的稳定 性、分岔的类型、分岔的过程与终态( 奇怪吸引子) 等。另外，从分岔过程来看， 失稳是发生分岔的物理前提，分岔以后，系统不同状态间便产生了不连续的过 渡，这就是突变，然后经过不断地分岔，最后系统所达到的终态就是混沌理论 的研究对象。 一般说来，在动力系统中，随着控制参数的改变，雅可比矩阵的全体特 征值丑( ) 将在r e 2 和i m 2 组成的复平面上运动，当控制参数达到某值风( 称为 分岔参数) 时，系统的稳定性将发生变化，系统出现分岔。 当参数变化时，根据雅可比矩阵特征值五的性质，可能出现的三种过程： ( 1 ) 特征值沿复平面( r e 2 ，i m 2 ) 的实轴穿过虚轴，旯为实数，且由负变正； ( 2 ) 特征值沿复平面( r e 2 ，i m 2 ) 的上方或下方穿过虚轴，兄为复数，且由 负变正； 3 ) 特征但沿复平面( r e 2 ，i m 2 ) 的实轴两边趋于虚轴，兄为实数，且由正负 两边趋于零。 实际上，当上述三种过程发生时都会引起r e 2 = 0 ，表明不管力按上述哪种 方式变化，当参数变化时，系统在r e 2 = 0 处前后的稳定性是不同的，其拓 扑结构形态也是不同的，即发生了分岔。图2 1 为分岔三种类型的示意图。由 于在第一、三种分岔中名为实数，故称为实分岔，而在第二种分岔中五为复数， 故称为复分岔，无论哪一种类型的分岔，它们在分岔点处都有 d r e 2 l u ) 0( 2 1 ) 咖 l m 丑 f 7 7 z7 7 帆 匕厶r 上掣 7 d l b 名 l m 丑jl 四审 l d 鼬j 皿冷 i m 名。 历7 俄k r 7 刀| 。 i “ z 掣而 d 图1 - 1 分岔的三种类型 ( a ) 叉型分岔 ( b ) h o p f 分岔 ( c ) 鞍结分岔 分岔分为局部分岔和全局分岔，也可分为静态分岔和动态分岔。当只考虑 在某个平衡点( 不动点) 附近动力系统拓扑结构的变化，即只研究在该平衡点邻 域范围内向量场的分岔情形，称为局部分岔分析。如果分岔分析涉及向量场的 大范围拓扑结构，则称为全局分岔分析。 静态分岔是指只有平衡点的数目和稳定性发生变化的分岔问题，即研究静 态方程： f ( x ，u ) = 0 ( 1 - 2 ) 解的数目和稳定性随参数u 变化而出现突然的改变。平衡点的鞍结分岔、跨临 界分岔和叉形分岔等都属于静态分岔研究的范围。 动态分岔是指那些除静态分岔以外的分岔问题，如h o p f 乡j 岔，闭轨分岔， 环面分岔，同宿或异宿分岔等。 分岔研究必须依赖于现代数学方法和计算手段，目前研究分岔问题的主要 理论和方法有： 1 ) 奇异性理论： 2 ) 摄动方法； 3 ) p b 范式； 4 )幂级数法： 5 ) 次谐m e l n i k o v 函数法； 6 ) 后继函数法和s h i l n i k o v 法。 此外，隐函数定理、变分方法、拓扑度方法和c o n l e y 指标法等都可用于分 岔研究。然而由于非线性问题的复杂性，理论分析往往难以进行，要得到定量 的结果更难，因此利用数值计算和模拟的方法进行分岔研究有十分重要的意义， 特别时确定分岔点的位置、追踪分岔解等，目前在分岔的数值研究方面已经出 现一批有效的算法，取得十分明显的成效。 1 3 3h o p f 分岔基本理论 考虑常微分方程系统： _ d u + ，( “，旯) = 0 ( 2 2 ) 口f 其中：，丁：r 4x r _ r ”，f = ( 石，五，z ) 1 ，u - - ( u l ，“2 ，u 。) 1 。 f ( u ，名) = 0 ( 2 - 3 ) 方程( 2 3 ) 为( 2 2 ) 的稳态问题，其解被称为稳态解。h o p f 分岔是指参数力变 化时，系统从其稳态解分岔出周期解的一种现象。 令“( 彳) 为( 2 - 2 ) 的稳态解，如果 ( 名) ，力) 满足( 2 3 ) ，对固定的厶，称“( 五) 为( 2 2 ) 的平衡点。设“( f ，五) 为初值问题 - d _ u ：f ( “，旯) ， “( 0 ，五) = 口( 彳) ( 2 4 ) 口f 的解，其中：a ( 2 ) r ”为名的光滑函数。 对于 ( 厶) 的每个邻域u ，有u 中“( 气) 的邻域u ，对u ( 0 ，九) u t ，u ( t ，厶) 有 6 意义，且对所有t 0 ，u ( t ，厶) 均在v 中，则称u ( 厶) 为稳定平衡点，否则称为不 稳定平衡点。若存在万 0 ，当l l 口( 厶) 一“( 五) 0 0 4 0 2 0 、 ， 3 氍 l 口1 0 0 2 0 03 0 0 w 图2 - 4 异步电动机系统运行v f 曲线图 分别在a ，b 时对异步电动机系统的s 函数模型进行仿真，动态仿真图分 别如图2 5 ，图2 - 6 所示。数字仿真结果证实了异步电动机系统运行于v f 控制 方式下转速持续振荡现象的存在。 图2 - 5 异步电动机系统动态仿真图 图2 6 异步电动机系统动态仿真图 2 3 结论 本章中充分利用了m a t l a b s i m u l i n k 软件的灵活性等，建立了异步电动机 在同步速旋转d q 坐标系下的s 函数模型，并模拟展示了异步电动机系统低频 轻载下转速持续振荡的现象，揭示出本论文的研究中心问题。 1 4 第三章异步电动机系统转速持续振荡现象的本质揭示 在许多实际问题的处理中，经常会遇到带有参数的动力系统。由于参数的 变化，系统的动力特性也将发生变化，系统的解会从解的一个分支转到另一个 分支上，即对应常微分方程的分岔问题。h o p f 分岔理论已经成为研究这类问题 的常用工具，广泛运用在动力学领域内。 鉴于异步电动机传动系统在在低频空载或轻载运行时转速持续振荡现象的 出现，本章首先研究h o p f 分岔判据，揭示该现象的h o p f 分岔本质，通过异步 电动机系统二维、三维分岔集的展示揭示系统参数对分岔集的影响并总结出规 律，指导系统的稳定运行。 3 1 二维h o p f 分岔集 3 1 1 单参数变化时的h o p f 分岔判据 考虑一般的非线性微分方程 石= f ( x ，s t ) x er “，r ( 3 - 1 ) 系统( 3 1 ) 的孤立平衡点为石= x 0 6 u ) ，即f ( x 。) ，) 。经过适当的变换， 总可以将系统( 3 1 ) 的平衡点石= x o l u ) 变换到坐标原点。不失一般性，以下假 设平衡点为坐标原点。设f ( x ，) 在点( 0 , 0 ) r 枷的某一邻域内关于x 和解析， 且当a 属于包含零在内的某一区间时，f ( x ，a ) 三0 。系统( 3 1 ) 在平衡点x = 0 的 雅克比矩阵为 彳) = d 。( 0 ，a ) ( 3 - 2 ) 根据经典的h o p f 分岔理论 ( 1 ) 么( ) = d ，( o ，) 有一对复根名和旯； 名( ) = 及 ) + i c a ( a ) ( 3 - 3 ) 其中：烈o ) = c o o 0 ，口o ) = 0 ，口。 o ) 0 ； ( 2 ) 么( 风) 的其余n 一2 个特征根具有负实部； ( 3 ) d r e ( 2 ( ) ) d 2 1 0 。 则系统( 3 1 ) 在参数= z o发生h o p f 分岔，即在= 1 0 附近存在周期运动解。 将雅克比矩阵彳( 风) 的特征方程d e t ( a ( g ) 一刀) = 0 展开得 刀+ q ( ) 刀_ 1 + + 口。一l ( ) 五+ 口。( ) = 0 ( 3 - 4 ) 将a i ( ) ，f ) 简记为口j ，a fo = 1 , 2 ，n ) ，构造以下h u r w i t z 行列式 1 5 。=l三al口三1：口主，口三；兰 ( m = 1 ，2 ，栉)( 3 5 ) 其中：如果f 聆，则口f = 0 。 + ，、孝至警登数方程( 3 4 ) 有一对纯虚根，且其余n 一2 个根均具有负实部的 充分必要条件是q o ，口2 0 ，口。 or 。- 12 0 ，a f o o = 刀一3 ，刀一5 ，) ( 3 - 6 ) 3 1 2 异步电动机系统的h o p f 分岔集 当异步电动机负载转矩互为零时，计算获取系统的稳态解和雅克比矩阵为： 力2 ( e 耳鼻2 ，q y 。2 巧( 2 b 。程吃2 ，i 2 易+ 磷吃4 ，i 2 + 彰舒+ 吒2 q 2 ，i 2 母：) ， 奶= 魄圪e 2 0 ( - 2 b 。吃2 ，；2 b r + 蜮2 吃4 ，i 2 + 群毋+ 忍2 ，i z 耳：) ， 乃= 魄2 吃圪( e 耳一吃2 ) ( - 2 b 。吒2 b 册2 ，i 2 b e + 或4 ，i 2 + g 毋+ 吒2 q 2 ，i 2 耳2 ) ， 朋2 魄圪e 吃( - 2 b 。吃2 ，i 2 d ，十2 吃4 巧2 + 乓2 2 + 畦置2 ，i z e 2 ) ， 乃= c o 0 6 i 魄耳 c o - - 国b r b 。0 j 一彩 绲吒b r 0 一魄1 以 ，2 i 一魄吃 o ，2 e 彩一魄y 5 i o 一吃吃 - m + ( 0 5 y 5魄眨e l i f o b m b m y 4 一( 0 6 m b m y 3 一a a b m b m y 2o ) o m b 。y 1 异步电动机负载转矩互不为零时，系统稳态解的获得相对复杂，尚须注意 方法和求解顺序。 乃2 魄2 ，i i m ：耳魄2 眨2 只2 一耳矗+ 2 耳魄儿一耳魄2 儿2 + 魄2 吃2 2 忍) ( 0 d 4 + 吒z q 。吃。，i ： 一2 魄3 b 仉2 吃，i 儿一2 魄4 忍哆吃2 恐2 ，i 2 + 毋2 巧2 耳2 2 0 x o b 3 儿，i 2 缉2 2 d 魄y 5 + 魄2 吃2 e 2 毋+ 4 乃2 ，i 2 耳2 + 毋魄2 飓2 + 2 魄2 吃_ 吃20 2 。4 。2 一，2 。2 母2 ) ， 耽2 ( ( 一 2 孕2 忍2 0 3 一d + 2 毋魄弘一f j o ( o b 2 y s 2 一魄2 巧吃2 + 魄3 吃z 呸吒儿) 魄圪) ( + 呸2 4 吃4 ，i 2 2 魄3 b m 2 r 2 r 1 y s o ) - 2 0 3 b 4 e 耳吃2 乞2 2 + 毋魄2 ，i 2 耳2 2 峨3 儿2 耳2 2 矗6 0 6 y 5 + 魄2 眨2 e 2 0 ) 2 + 魄4 儿2 ，i 2 耳2 + 砰2 儿2 + 2 鸭2 ，j 玩2 毋+ 魄4 吃2 乓2 嵋2 耳2 ) ， 乃= 魄2 乞吃圪( 一魄2 吃巧皿e + 心一o x 0 0 6 y 5 + 魄2 吃2 ) ( d + 吒2 魄4 吃4 ，i 2 2 魄3 吃2 乞，；乃一2 魄4 忍e 反2 吒2 ，i 2 + 毋2 ，i 2 耳2 2 0 x o b 3 儿，i 2 缉2 2 d 魄儿 + 鸭2 乞2 忍2 毋+ 4 弘2 ，i 2 e 2 + 砰魄2 乃2 + 2 魄2 吃，i 民2 , ) 2 。4 。2 一，2 。2 耳2 ) ，一 1 6 1，j 4 y o o彬o o o嘞吼。 儿= 魄3 吒吃圪( 一毗e 一螂e + ，i 耳魄弘) ( + r 2 2 味4 巩4 ，i 2 2 魄3 吃2 r 2 r l y s a o 一2 魄4 b b r b m 2 r 2 2 吒2 + 毋魄2 ，i 2 耳2 - 2 0 x o b 3 儿，i 2 耳2 2 d 鸭儿+ 魄2 2 忍2 毋 + 魄4 弘2 ，i 2 8 r 2 + 毋魄2 y 5 2 + 2 t d b 2 吃，i 玩2 毋+ 吨4 乞2 忍2 ，i 2 耳2 ) ， 儿= 丢( 一味3 吒吃2 圪2 + 2 魄2 ，i 2 耳2 乃+ 2 吃2 眨，i 正鸭2 + 2 t ，c 0 3 + s q r t ( 魄6 2 吃4 圪4 4 魄5 r 2 2 8 1 4 圪2 r 2 2 ，i 互一4 r 2 2 ，i 4 互2 母2 吃4 吨6 + 8 r 2 2 ，i 4 乃2 耳3 吃2 e 魄6 - 4 r 2 2 ，i 4 t 2 b r 4 e 2 魄6 - s t 2 2 吒2 乃2 耳2 e 2 魄4 砰+ 8 5 2 吒2 互2 耳吃2 e q 4 毋 - 4 r 2 2 互2 忍2 吨2 d ) ) ( ( ，i 2 互耳2 魄2 + 乃毋) 魄) j = 魄_ 耳 一国 一吃召。 o 功 a o o r l b r 0 一魄吒b 。 0 0 一_ b 。 o o c o b r 2 b ,国一魄y 5 一魄y 4 一魄吃b m一国+ y 5q 吃e 国b m b m y 4 一魄坳。y 3 一o ) b m b 。y 2 魄坳。y l 魄y 3 o 系统二维h o p f 分岔集如图3 1 ( a ) 、( b ) 所示，由图可知：当系统空载且在图 示v f 曲线下运行时存在h o p f 分岔区域，当异步电动机系统在h o p f 分岔区域 内运行时会出现转速持续振荡现象。 0 8 0 6 0 4 0 2 0 叩 漆 i + 卡 卡 尊 毒 害y 。 c+ 。蛳 采 j 毒 i ： ： 工。 i溯 2 ：i 鞭q ， ： 日 05 01 0 01 5 02 0 02 5 0 3 0 03 5 0 w ( a ) 乃= 0 1 7 ( b ) z 卜1 0 图3 1 异步电动机系统的h o p f 分岔集 3 2 系统数字仿真研究 为了验证理论分析的结果，在图3 1 ( a ) 中分别取a ( 1 2 0 ，0 3 2 ) 、b ( 1 2 0 ， o 1 5 ) 和c ( 1 2 0 ，o 6 ) 三点，异步电动机系统在上述三点运行时的动态仿真结 果如图3 2 图3 - 4 所示，数字仿真结果证实了理论分析的正确性。 图3 - 2a 点异步电动机系统的动态仿真曲线 1 8 图3 - 3b 点异步电动机系统的动态仿真曲线 图3 - 4 c 点异步电动机系统的动态仿真曲线 1 9 3 3 三维h o p f 分岔集， 3 3 1 双参数变化时的h o p f 分岔判据 假设系统数学模型为 j 【，= 厂( y ) ， 系统雅克比矩阵的特征多项式可表示为 尸( 名) = e c 。刀= 0 ， h o p f 分岔发生时，系统特征多项式氆现了一对纯虚根丑和丸，且 丸= 一九 当式( 3 - 9 ) 中九分别等于丑和五时，可得 尸( 五) = c 。以“= o ， = 0 尸( 允) = e c 。允”= o ， ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 将( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 两式分别相加减后得出 c 。( 1 + ( 一1 ) ”) 丑“= o ， ( 3 - 1 3 ) 一= o n c 。( 1 - ( - 1 ) ”) 丑“= o ， ( 3 1 4 ) n = 0 观察发现，式( 3 1 3 ) 中只含有偶次项的以，而式( 3 1 4 ) 中只含有奇次项的以， 假设友0 ，式( 3 - 1 4 ) 除以丑可得 c 。( 1 - ( - 1 ) “) 丑“= o ， ( 3 1 5 ) n = l 设z = 以2 ，带入式( 3 1 5 ) ，贝u - - f 对上式进行降阶，消去五。 n 是偶数时可得到等式 c o + c 2 z + + c ，z 坨= 0 ， ( 3 1 6 ) n 为奇数时可得到等式 c 1 + c 3 z + + c ，z - 1 他= 0 ， ( 3 1 7 ) 通过对系统特征多项式的降解处理获得了阶数为n 2 或( n 一1 ) 2 的等式。 对任意两个多项式g l ( x ) 和g ：( z ) ，当令其都等于零并将其联立，通过解方程组 r ( g 。，g ：) 得到它们的公共解。为方便起见，假设n 为奇数，则利用s y l v e s t e r 公 式将式( 3 16 ) 和( 3 1 7 ) 写出其h u r w i t z 矩阵 2 0 r = c 1c 0 c 3c 2 c nc - l 0o 00 0o ( 3 18 ) 当系统n 3 时，矩阵a ( ( n 2 ) x ( n 3 ) ) 可以通过删除矩阵r n ( n n ) 中的最后两列和最后一行得到；然后删除a ( ( n 2 ) x ( n 3 ) ) 中的任意一行 ( 如第j 行) 得到矩阵c ( ( n 。3 ) x ( n 一3 ) ) ；矩阵b ( ( n 3 ) x ( n 3 ) ) 可通 过对删除矩阵a ( ( n 2 ) ( n 3 ) ) 的第j + 1 行得到。式( 3 1 6 ) 和式( 3 1 7 ) 的公共根为 z ：一粤，( 3 - 1 9 ) | q 假定n = 6 维的系统，且令i - 1 时， c o 0 i i c 4c 3 i i c 6c 5 i c 2c 1 l c 4 c 3 l c 6c 5 i ( 3 - 2 0 ) 至此，系统双参数变化时的h o p f 分岔判据总结为：r n = 0 且z 为小于零的实数。 3 3 2 异步电动机系统的三维h o p f 分岔集 根据系统双参数变化时的h o p f 分岔判据，获得异步电动机系统在双参数 变化时的h o p f 分岔集如图3 5 图3 7 所示。 懿。 图3 - 5 异步电动机系统在不同定子电阻时的h o p f 分岔集 囝谨疆 剿黜糊0 粼 e 固戮0 黼剿经0 鲴 秘鹱。 燃懋。囝 燃隧翁一黼燃瞧 图3 6 异步电动机系统在不同转子电阻时的h o p f 分岔集 图3 7 异步电动机系统在不同转动惯量时的h o p f 分岔集 研究结果表明：异步电动机系统的h o p f 分岔集随定子电阻的增大而交大、 转子电阻的减小而增大，转动惯量的增大而变大。研究结果清楚地揭示了异步 电动机参数对h o p f 分岔集的影响，为后续的h o p f 分岔控制研究奠定了坚实的 理论基础。 3 4 系统数字仿真研究 在图3 - 5 图3 7 上各取一点，a 点坐标为( c o , r 1 ，吃) = ( 2 2 0 ，0 4 ，0 4 ) ，b 点坐 标为( c o , r 2 ，吃) = ( 2 0 0 ，0 0 1 ，0 8 ) ，c 点坐标为( 织日，圪) = ( 1 5 0 ，0 3 ，0 8 ) ，异步电动机 系统在对应三点处的动态仿真结果如图3 8 图3 1 0 所示，数字仿真结果证实 了理论分析的正确性。 2 2 父 如 2 ；0 2 0 哩2 图3 - 8 异步电动机系统在a 点时的动态仿真曲线 -d- -i - l o l l n 一一_ 一一n - 。n - i n 。一n nn i 一 一”。o 一一”。 i-i-i- - iiii 图：3 - 9 异步电动机系统在b 点时的动态仿真曲线 2 3 图3 - 1 0 异步电动机系统在c 点时的动态仿真曲线 3 5 结论 通过对单参数变化和双参数变化时非线性系统h o p f 分岔判据的研究和异 步电动机系统二维和三维h o p f 分岔集的预先确定，揭示了异步电动机系统转 速持续振荡现象的h o p f 分岔本质。 2 4 第四章异步电