数学物理教学PPT波动方程.ppt

第二章波动方程 1方程的导出及其定解条件 2一维波动方程的初值问题 3半无界弦的自由振动问题 4高维波动方程的初值问题 5混合问题的分离变量法 一 弦的自由振动方程的建立 问题 均匀柔软且拉紧的细弦 在平衡位置附近作微小横振动 求不同时刻弦线的形状 1 方程的导出及其定解条件 分析与假设 1 柔软的细弦 弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向 2 拉紧 指弦线在弹性范围内 服从虎克定律 3 横振动 指振动只有沿u轴方向的位移 可用u x t 表示 4 微小 指弦上各点位移与弦长相比很小 夹角很小 即 用微元法及牛顿运动定律推导 横向 纵向 其中 得 其中 由 得 弦线无伸长 t不随时间变化 即 一维弦振动方程或一维波动方程 令 非齐次方程 自由项 齐次方程 忽略重力和外力作用 若在平面上放一个框架 其上一块均匀的紧张的薄膜 离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动 则用类似的方法可导出其运动规律满足 称为二维波动方程或膜振动方程 对三维波动方程或声波方程可写出为 1 初始条件及柯西问题 边界条件是弦在两个端点的状态或受到的约束情况 一般有三种 2 边界条件及边值问题 其中函数分别表示弦振动的初始位置和初始速度 二 定解条件 主要有初始条件和边界条件 第一类边界条件 已知端点处弦的位移 运动规律 第二类边界条件 已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力 第三类边界条件 已知具有弹性支承的端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力 式中分别代表两端支撑的弹性系数 表示两端受到的外力 当外力为零时 表明弦固结在弹性支承上 有 3 混合问题 2 一维波动方程的初值问题 其特征方程为 得特征曲线 作变换 代入原方程可化为 从而 一 达朗贝尔公式 无界弦的自由振动问题 一维波动方程的达朗贝尔公式 代回原变量 利用初始条件 积分得 解 将初始条件代入达朗贝尔公式 例1 解定解问题 例2 求解cauchy问题 解 原方程的特征方程为 令 故两特征线是 原方程化为 其通解为 带回原变量得 利用初值条件得 积分得 联立求解得 即 带回u得 结论 达朗贝尔解表示沿x轴正 反向传播的两列波速为a波的叠加 故称为行波法 代表以速度a沿x轴正向传播的波 称为正行波代表以速度a沿x轴负向传播的波 称为反行波 二 解的物理意义 特征线 特征变换 行波法又叫特征线法 几个相关概念 一点的影响区域 三 非齐次问题的处理 利用叠加原理将问题进行分解 齐次化原理 若是满足下述定解问题的解 则 对u2可利用齐次化原理求解 是下述定解问题的解 从而原问题的解为 3 半无界弦的自由振动问题 一 一端固定 定解问题为 将边界条件代入达朗贝尔公式 得 由初速度和初始位移的独立性 得 故两函数应为奇函数 可作奇延拓如下 于是原定解问题变为一维波动方程的初值问题 由达朗贝尔公式得 所以得解 二 一端自由 定解问题为 类似的 将边界条件代入达朗贝尔公式 得 由初速度和初始位移的独立性 得 故两函数应为偶函数 可作偶延拓如下 于是原定解问题变为一维波动方程的初值问题 由达朗贝尔公式得 所以得解 4高维波动方程的初值问题 一 三维波动方程的球平均法 考虑柯西问题 改写一维达朗贝尔公式 上两式恰是两函数在以x为中心 以at为半径的区域上的算术平均值 在以p为中心 以at为半径的球面上作初始函数和的平均值 分别为 于是问题的形式解就应该是 其中s代表以p为中心 以r at为半径的球面 上式称为三维波动方程柯西问题的泊松公式 此法也称为球面平均法 为计算方便 可将公式化为球坐标下的累次积分 球面的方程为 设m为球面上的点 则有 例 求解三维波动方程 二 二维波动方程的求解 降维法 二维波动方程的初始问题 其解u x y t 可看成是三维柯西问题解u x y z t 与z无关的量 由三维公式得 由于初始函数是与z无关的柱函数 故在球面上的积分可化为球面在z 0平面上投影区域上的积分 由球面上的面积元素和其投影元素的关系 及两面积元素法线方向的夹角余玄 得 将上下球面上的曲面积分都化为同一圆域上的二重积分 得二维齐次波动方程柯西问题的poisson公式 使用时 可将其化为极坐标 依赖区域与影响区域 依赖区域 影响区域 三 poisson公式的物理意义 1 三维 huygens原理 无后效原理 对于空间任一点p 只有当t d a时 点p才受到影响 当t d a时 扰动尚未到达p点 当t d a时 扰动在p点的影响已消失 点扰动 当t dmin a时 扰动尚未到达p点 当dmin a t dmax a时 扰动到达并经过p点 当t dmax a时 扰动在p点的影响消失 当初始扰动限制在一个有界区域d0时 三维波有清晰的前阵面和后阵面 这个现象称为huygens原理 无后效原理 依赖区域 决定区域 影响区域 特征锥 依赖区域 影响区域 2 二维情况 波的弥散现象 对于空间任一点p 当t dmin a时 扰动尚未到达p点 当t dmin a时 扰动影响p点并永不消失 当初始扰动限制在一个有界区域d0时 二维波有清晰的前阵面 而无后阵面 此时huygens原理不成立 这种现象称为波的弥散现象 5混合问题的分离变量法 对两端固定的弦自由振动问题 对上述有界区域上求解偏微分方程定解问题的基本方法是分离变量法 理论基础是富里叶级数展开和叠加原理 一预备知识 1 富里叶展开 在适当条件下 一个函数可以按泰勒展开成为幂级数 也可以按富里叶展开成为三角级数 设f x 是以2l为周期的函数 在 l l 上满足狄利克莱条件 则可在 l l 上展开成富里叶三角级数 特别 当f x 是偶函数时 当f x 是奇函数时 2 二阶常系数常微分方程的通解 由根的取值可得相应的解为 令 带入方程 令 带入边界条件 考虑两端固定的弦自由振动问题 二 定解问题的求解 特征 固有 值问题 分情况讨论 1 2 3 令 为非零实数 由初始条件 相当于函数按奇函数展开 可得系数为 分离变量 求特征值和特征函数 求另一个函数 求通解 确定常数 解法小结 三 解的物理意义 x x0时 其中 驻波法 t t0时 在考察的弦上 各点以同样的角频率作简谐振动 各点的初相相同 振幅则随点的位置改变 在任一时刻弦的外形是一正弦曲线 并在下述点保持不动 四 非齐次方程及非齐次边界条件的情形 1 非齐次方程齐次边界条件的定解问题 利用齐次化原理可得解 其中是下述混合问题的解 从而原问题的解为 2