（计算数学专业论文）广义中心对称矩阵平方根的计算.pdf

摘要 在控制论和偏微分方程边值问题中经常涉及矩阵平方根的求解矩阵平方根 的存在性问题很复杂一个矩阵可能不存在平方根，可能存在有限个平方根，甚 至可能存在无穷多个平方根本文主要研究了两类特殊的结构矩阵的平方根问 题，即广义中心对称矩阵和广义中心h e r m i t i a n 矩阵的平方根问题 本文结构如下： 第一章为引言主要介绍了本文研究问题的主要背景、研究内容和创新 第二章主要介绍了一些在本文中要用到的基本概念和符号表示 第三章讨论了非奇异的广义中心对称矩阵和广义中心h e r m i t i a n 矩阵平方根 的一些性质 第四章给出了求矩阵平方根的传统算法，并针对广义中心对称矩阵以及广义 中心h e r m i t i a n 矩阵的特殊结构，设计了快速算法，提高了计算速度 关键词：广义中心对称矩阵；广义中心h e r m i tia n 矩阵；s c h u r 分解；平方根 a b s t r a c t t h ep r o b l e mf o rs o l v i n gs q u a r er o o t so fm a t r i c e so f t e na p p e a ri nt h es o l u t i o no f c o n t r o ls y s t e ma n dt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e e x i s t e n c eo fs q u a r er o o t so fm a t r i c e si sn o n t r i v i a l f o ram a t r i x ，t h e r em a ye x i tn o n e , f i n i t eo ri n f i n i t es q u a r er o o t s i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mf o rt h es q u a r e r o o t so ft w oc l a s s e so fs t r u c t u r e dm a t r i c e s ，i e ，t h ep r o b l e mf o rt h es q u a r er o o t so f g e n e r a l i z e dc e n t r o s y m m e t r i cm a t r i c e sa n dg e n e r a l i z e dc e n t r o h e r m i t i a nm a t r i c e s t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d ，t h em a i nc o n t e n t sa n d t h eo r i g i n a l i t i e so ft h et h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eb r i e f l yr e v i e ws o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n w h i c hw i l lb eu s e di nt h et h e s i s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so ft h es q u a r er o o t so f n o n s i n g u l a rg e n e r a l i z e dc e n t r o s y m m e t r i e m a t r i c e sa n dn o n s i n g u l a rg e n e r a l i z e d c e n t r o h e r m i t i a nm a t r i c e s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ef i r s tr e v i e wt h e c o n v e n t i o n a la l g o r i t h m sf o rc o m p u t i n g t h es q u a r er o o t so fm a t r i c e s b ye x p l o i t i n gt h es p e c i a ls t r u c t u r eo fg e n e r a l i z e d c e n t r o s y m m e t r i cm a t r i c e s a n dg e n e r a l i z e dc e n t r o h e r m i t i a nm a t r i c e s ，w et h e n p r o p o s ef a s ta l g o r i t h m s ，w h i c he n s u r et h ei m p r o v e m e n t o fc o m p u t a t i o n a ls p e e d k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e dc e n t r o s y m m e t r i cm a t r i c e s ；g e n e r a l i z e dc e n t r o h e r m i t i a n m a t r i c e s ；s c h u r - d e c o m p o s i t i o n ；s q u a r er o o t s i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 名者躲多蹇虹吼叫年期五日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囤。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：惫避 k 一 导师姥自q f 之 日 日 呢名 月 月 箩 厂 年 年 1 汐 期 期 r r t 了 第一章引言弟一早jl西 在引言中，主要介绍的是本文的研究背景、内容及意义 1 1 背景 在当代的科学和工程课题中有很多问题最后都归结为大规模的矩阵计算问 题，而且有很多的应用中需要计算的矩阵是一些具有特殊结构的矩阵比如说在 计算信号复原问题时，离散的方程所表现的大多是一个大规模的线性方程组，而 目前许多的信号复原问题，大多是在对原问题的边界加以一些特殊的限制后进行 研究这些限制使得离散问题表现为具有某种特殊结构和某些特殊性质的线性方 程组，例如，应用反卷积技术处理复原问题时，就会出现循环矩阵、t o e p l i t z 矩 阵、t o e p l i t z + h a n k e l 矩阵等结构矩阵，参见文献 1 7 1 9 ；应用小波技术处理信 号复原问题时，就会出现诸如中心对称矩阵、中心h e r m i t i a n 矩阵等结构矩阵， 参见文献e 1 ，1 9 我们知道，在处理与结构矩阵有关的矩阵计算问题时( 例如，求矩阵的平方 根等) ，如果矩阵的阶数较小，通常的传统算法是可行的然而，在许多实际应用 当中，矩阵的阶数是非常大的，此时这些经典的算法由于未充分利用这些矩阵的 结构，计算花费代价太大而失去了实际意义因此，针对这些结构矩阵的特点而 设计一些数值稳定的快速算法，具有非常重要的意义 到目前为止，经过国内外专家、学者的不断探讨，对结构矩阵的各类算法研 究已经取得了一系列丰硕的成果所涉及的内容包括性质、矩阵一向量乘法、矩 阵一矩阵乘法、求广义逆、特征值和特征向量、矩阵方程的解、矩阵平方根等方 面，参见文献 卜3 ， 2 0 一2 4 ， 2 8 ， 3 1 ， 4 1 ， 4 2 1 2 选题依据之研究内容和创新 本文主要研究了广义中心对称矩阵( 广义中心h e r m i t i a n 矩阵) 平方根的性质 和快速算法这类重要的结构矩阵有着广泛的应用背景，经常出现在下面的一些 领域中：1 ) 求微分方程数值解，见 3 0 ；2 ) 马尔可夫过程的研究，见 3 6 ；3 ) 数 字信号图像处理，见 3 0 ，3 2 ，3 5 ；4 ) 各种各样的物理和工程问题里面，见 14 ，2 6 ，2 7 一般求矩阵平方根的方法大致分为两类：迭代法和s c h u r 法所谓迭代法， 就是求解z ，+ = f ( x j ) ，这里f 为一个多项式或有理函数h i g h a m 在 6 中介绍 了n e w t o n 迭代，d b 迭代，改进的s c h u l z 迭代等方法对于特征值实部非负的 矩阵，n e w t o n 迭代 2 5 1 虽然具有很好的收敛性，但数值稳定性差，在实际计算中 是不可取的1 9 7 6 年，d e n m a n 和b e a v e a r s 在 1 5 3 中提出了d b 迭代法，相对于 n e w t o n 迭代法，d b 迭代在n 不大时是数值稳定的，但在实际的操作中n 不能太 大改进的s c h u l z 迭代克服了上述两个方法的弊端l i n 和l i u 在 1 6 中提出了 一种新的稳定的迭代算法，称为l l 迭代这种方法与s c h u l z 迭代的不同之处在 于s c h l z 迭代是二次收敛的，而l l 迭代是线性收敛的另一种方法s c h u r 法也 叫直接法，是由b j 6 r c k 和h a m m a r l i n g 首先提出的，见 8 ，这种方法在计算条 件好的平方根问题时很适用，但这种方法计算量大如果能利用广义中心对称矩 阵( 广义中心h e r m i t i a n 矩阵) 的结构和性质，设计相关的快速算法，将大大减少 它的计算量 论文中主要讨论两个问题：第一，关于广义k 一中心对称矩阵( 广义k 一中心 h e r m i t i a n 矩阵) 平方根的性质；第二，广义k 一中心对称矩阵( 广义k 一中心 h e r m i t i a n 矩阵) 平方根的快速算法 在论文的第三章中，针对这类矩阵平方根的存在性、个数、分类等进行了研 究，得出了一些相关的定理和推论；论文第四章是在第三章的引理和得出结论的 基础上，利用这些矩阵的特殊结构，设计了快速算法与传统算法相比，我们的 结构算法无论在内存，还是在计算量方面，都有相当的节省 2 第二章预备知识 在后面章节中单独出现的概念再另做介绍参考文献见【1 ，2 ，3 ，5 ，1 0 ，2 0 ，2 9 ，4 4 】 n m 复矩阵的集合；以表示次对角线上( 从左下角到右上角) 元素为1 而其 定义2 1 1 设a 为栉万的复矩阵，如果以以= 彳成立，则称a 为中心对称 - a n _ i + l ，卜，+ l ，a p 聊， 么= 2 鼢州“心j m b j m ) j f b j b 厶眠1 彳= i 口r 口 a t 厶i ，b ，c c ”。”，口，b c ”，口c m c b j 。b j m ) 定义2 1 3 设a 为，l 以的复矩阵，如果以以= 彳成立，则称a 为中心 么= ( 茎幺褂州酊“j m b j m ) 3 fb 厶6l c - j m1 彳= l 口r 口 a h 厶i ，b ，c c ”“，口，6 c ”，口r 1 x 1 i c b 厶眠j 定义2 1 4 设么为n n 的复矩阵，如果存在对称置换矩阵k c 脒4 使得 k a k = a ，则称彳为广义k 一中心对称矩阵 上面的定义也可等价为：一个矩阵a = ( a i ，) 为广义中心对称矩阵当且 仅当q ，= 以( j 删) ，f ，歹= 1 ，刀 定义2 1 5 设彳为，l 以的复矩阵，如果存在对称置换矩阵k c 雕”使得 k a k = a 一，则称4 为广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵 上面的定义也可等价为：一个矩阵a = ( q ，) c 硝4 为广义中心h e r m i t i a n 矩 阵当且仅当a j ，a x n 。( n ，f ，j f = 1 ，1 显然，当x ( i ) = ? - - i + 1 ，即k = 以时，广义中心对称矩阵a c 职4 就变成了中 心对称矩阵；广义中心h e r m i t i a n 矩阵就变成了中心h e r m i t i a n 矩阵 根据k 矩阵的不同，我们可以通过广义k 一中心对称矩阵把广义中心对称 矩阵分为不同的子类同理，通过广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵把广义中心 h e r m i t i a n 矩阵分为不同的子类本文主要是在相同子类的情况下，即广义k 一 中心对称矩阵和广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵的基础上进行讨论的 定义2 1 6 设彳为，l ，l 的复矩阵，如果存在矩阵x c 肼4 ，使得x 2 = a ，则 称x 为矩阵么的平方根 4 第三章广义k 一中心对称( h e r m i t i a n ) 矩阵平方根性质 在本章中，我们主要讨论了非奇异广义k 一中心对称矩阵和广义k 一中心 h e r m i t i a n 矩阵平方根的存在性、个数，并根据平方根的特点进行了分类 3 1 几个引理 设a 为n 的复矩阵，并令4 的j o r d a n 标准型为 其中 z 一1 么z = - ，= 以= 以( 五) = 以 以 五 10 1 o 1 五 c 仉。r n k( 2 ) 如果a 有j p 个相异的特征值，不失一般性，我们设为a ，五，以， 最小多项式，也就是唯一的使得p ( a ) = o 的次数最低的首一多项式为 y ( 五) = 兀( 允一五) i = 1 那么彳的 ( 3 ) 其中啊是关于丑的最大j o r d a n 的维数 用厂力( 以) 表示在彳的谱上的矩阵函数的值，其中0 ，吩一1 ，l f s 如 果这些值存在，那么我们就称厂是定义在a 的谱上【1 定义3 1 1 【1 1 】令厂为定义在a c 棚的谱上的矩阵函数，那么有 f ( a ) = r ( a ) ， 其中，为唯一的次数小于 n i = d e g v 且满足插值条件 ，7 ( 丑) = 厂7 ( 以) ，o j 吩- 1 ，1 f s 5 的h e r m i t e 插值多项式 三 注：在本文中，我们主要是针对定义在4 的谱上的矩阵函数厂( 允) = 五： 引理3 1 2 t 1 1 】如果a c 删是非奇异的，并且具有j o r d a n 标准型( 1 ) ，那么 4 的所有平方根x 都有如下形式 附 l x ：z u l l 厶厶 l ； - 1 z q ( 4 ) 其中五为1 或2 ，u 为任意的和，交换的非奇异矩阵 引理3 1 3 【1 1 】如果非奇异矩阵a c 棚具有j o r d a n 标准型( 1 ) ，并令s 为矩 阵彳的相异特征值的个数 如果ssp ，那么4 正好有z 个平方根，它们都是a 的矩阵函数它们具有 下面的形式 x ，= z ， 厶 厶如 l z - 1 ，1 丁 ( 5 ) 对于石，丘( 五= 1 或2 ) 所有可能的选择，当 = 五时z = 五 如果j p ，那么a 存在一些平方根，它们不是么的矩阵函数，这些平方根 形成了参数族 删膨u 卜。矿 u _ z ，2 5 + l j 2 p ( 6 ) 其中 为1 或2 ，u 为任意的和j 交换的非奇异矩阵，对于每个，当z 五时， 存在依赖于的f 和k ，使得名= 五 引理3 1 4 【1 2 】如果a c ，那么存在个酉矩阵尸使得： 其中r 为上三角矩阵 p ha p = r = 吒i2 嘞 o 6 c ”， ； 引理3 1 5 【4 1 任何非奇异矩阵至少有一个平方根 在给出下面的两个引理前，我们先给出矩阵q 的一种构造【3 1 设k 为对应 于不相交对换的固定积k 的，l 阶置换矩阵，可以推知，k 2 = j 和k r = k 根据广义k 一中心对称矩阵的定义，我们设k = k ，k ，其中 岣矗是甩个 对象的，不相交对换，k 定义了一个变换，它交换了第z 个和第r ( 工) 个对象的 位置( 我们假设j i 五 工) 用乞一 ) 表示对应于变换酶的置换矩阵，记为 c o l u m nc o l u m n j t x ( j a 气，叱) = 0 r o w z ( 7 ) r o wr u ) 因此，对应于r 的置换矩阵k 就是( 7 ) 中巴，。u ) 的乘积，其中j = l , - - - , ，即 k = 乞，( ) 乞州 ) 不失一般性，我们假设z k “) ，f = 1 ，因为当u = r ( “) 时，( 7 ) 式中 ，f ( 。) = j 令 c o l u m l , lc o l u m n j tk u ) 包 r ( 鼻) = 压 2 压 2 7 r o w j l ( 8 ) r o w 鬈( j ；：f ) 鱼2 鱼2 我们可以看到，( 8 ) 中的g 州五) 为一个正交矩阵，并且对于f ，s = 1 ，有 定义 g 州五) 统 r ( ) = 缆，r ( 五) g r ( 胪 亘= 兀级圳 ( 9 ) 则生成了一个正交矩阵 我们定s l - - 个新正交矩阵q ，它由( 9 ) 中委列列交换而得到，特别地，正 交矩阵亘的r ( z ) ，r ( 五) 列为新矩阵的万一l + 1 ，z 列，也就是说，存在一个置换 矩阵户使得 q = 妒= ( q l ，q 2 ) ( 1 0 ) 其中q i 定义为q ( 1 ：n - 1 ) ，由q 的前- ty e j 组成；q 2 定义为q ( n l + 1 ：以) ，由q 的 最后，列组成 定义 k = 2 u + 鼽如= 圭( j k ) ) 容易验证，矩阵q l 和q 2 为( 1 1 ) 中矩阵k 和k 的最大秩分解，即q l q r = k ， q 2 q 2 r = k 利用上面构造的矩阵q ，可以得出下面的一些结论 引理3 1 6 1 3 】矩阵aec 棚为一个广义k 一中心对称矩阵当且仅当存在一 个满足方程( 1 0 ) 的正交矩阵q ，使得 幽q = ( bc m ， 其中b c ”一p “。，c c ，埘， j = r a n k ( i k ) 引理3 1 7 【3 1 设q 满足方程( 1 0 ) ，定义 u = ( q ，f q ) ( 1 3 ) 那么矩阵a c “为一个广义k 一中心h e r m i t a i n 矩阵当且仅当下面的方程 u 日彳u = b = ( 差：圣 r “” c 4 ， 成立，其中a ier p 州p n ，五2er p 删，五ler f ( 月- n ，互2er 州，l = r a n k ( 1 一k ) 为了方便起见，我们把( 1 2 ) 和( 1 4 ) 的右边称为a 的约化型 引理3 1 8 【1 1 1 令彳r 脚为非奇异矩阵，那么a 有实平方根当且仅当a 对 8 应于负实特征值的初等因子是偶数次的 引理3 1 9 t 1 1 】令aer 删为非奇异矩阵，如果4 有负实特征值，那么彳有 非实平方根，它们是么的函数 如果彳没有负实特征值，那么彳正好有2 什个实平方根，它们是么的函数， 其中s 为彳的相异实特征值的个数，t 为相异复共轭特征对的个数 3 2 广义k 一中心对称矩阵平方根的性质 关于广义中心对称矩阵类，除了中心对称矩阵外，我们还发现了一些其它 的矩阵类，它们出现在一些求解实的或者复的物理和工程系统分析中提出的问 题里面，其中每一个k 以是一个对称置换矩阵下面我们列举3 个例子，它 们都是广义中心对称矩阵的特殊子类： 例1 1 3 中出现的镜像对称矩阵，其中 墨_ r i ( 1 5 ) 例2 块中心对称矩阵( 块对称t o e p l i z 矩阵可以看成是一个块中心对称矩 阵的特殊例子) ，其中 k = ( 1 6 ) 例3 分块中心对称矩阵( 1 4 中的b l o c k c i r c u l a n t c i r c u l a n t b l o c k 矩阵为 一个特殊的分块转中心对称矩阵) ，其中 局= ( 17 ) 因为引理3 1 6 中正交矩阵q 是根据广义k 一中心对称矩阵的置换矩阵k 构造的，所以它们是相同的，并且逆命题也成立因此，在广义k 一中心对称 矩阵的前提下，我们可以得到下面的一些定理和推论 9 定理3 2 1 设矩阵a c 联8 为广义k 一中心对称矩阵那么，彳有广义k 一 中心对称平方根当且仅当彳的约化型( 1 2 ) 中的丑和c 都有平方根 证明：由假设，彳为广义足一中心对称矩阵那么根据引理3 1 6 ，我们首 先把么化简成约化型( 1 2 ) 一j 一假设么有广义k 一中心对称平方根，记为j 同样由引理3 1 6 可 得 矿翘一( 五五) 其中q 为( 1 0 ) 中所定义 注意到p = 彳，所以 q r j 2 q = ( 五2 五： = ( bc ) = q r 么q 即墨= b ，霹= c 这说明b 和c 都有平方根 ”仁 设么的约化型( 1 2 ) 中的b 和c 分别有平方根五和五 令 x = rdj = ( 曰c ， 显然彳是j 的平方根由引理3 1 6 可知，j = 掣咆r 是a 的广义k 一中心对称 平方根证毕 推论3 2 2 任意非奇异的广义k 一中心对称矩阵a c “8 一定有广义k 一中 心对称的平方根 证明：因为彳是非奇异的，由引理3 1 5 可知彳一定存在平方根把么化 简成约化型( 1 2 ) ，显然矩阵块b 和c 都是非奇异的，因此b 和c 也有平方根由 定理3 2 1 可知，矩阵彳一定有广义k 一中心对称的平方根证毕 定理3 2 3 如果a c ”是非奇异的广义k 一中心对称矩阵，那么所有是4 的函数的平方根都是广义k 一中心对称矩阵 证明：设j 是任意一个a 的函数的平方根，那么有贾2 = a 和贾= 厂( 彳) 又 由定义3 1 1 可得：f ( a ) = r ( a ) ，其中厂( 彳) 为关于彳的插值多项式根据广义 k 一中心对称矩阵的和与积还是广义k 一中心对称矩阵这一原理，我们可以马上 得出j = r ( a ) 是广义k 一中心对称矩阵证毕 定理3 2 4 令矩阵a c “”为一个广义k 一中心对称矩阵并化简成约化型 ( 1 2 ) 假设b 有s 个相异特征值，c 有t 个相异特征值，记 b = z b j b z ；1 ，c = z c 厶乏1 1 0 分别为b 和c 的j o r d a n 分解其中 j b = 以 3 t ，j c = o ) 如果a ( b ) n t r ( c ) = ，其中伊( 矿) 表示形的谱半径，那么a 有2 州个广义 k - e e 心对称平方根，它们是a 的函数且具有如下的形式 y c = q z 三z xq z l z - i q r( 18 ) ( 18 1 其中 z = ( 乙z c ) ，三= ( 厶乞) ：1 9 ， 这里，厶是以的函数的平方根，三c 是j c 的函数的平方根 另外，如果s + t l + r ，那么a 有2 “7 2 州个广义k 一中心对称平方根，它 们不是a 的函数这些平方根形成下面的参数族 j = 够( 肝1 z _ l 矿 ， 其中z 和三就是( 1 9 ) 中所定义的，u cg2 个任意的分别和厶，厶交换的 非奇异矩阵 ( i i ) 如果b 和c 有口个相同的特征值，那么a 有2 什卜口个广义k 一中心对称 平方根，它们是a 的函数且具有( 1 8 ) 的形式；有2 “7 2 什个不是a 的函数的广 义k 一中心对称平方根，它们形成了( 2 0 ) 式中同样的参数族 另外，么还有2 一2 什卜口个既不是a 的函数，又不是广义中心对称的平方根， 它们形成了下面的参数族 j ( u ) = q z u l u 一1 z 一1 q r ( 21 ) 其中u 为任意的和 ，= ( 厶厶) 交换的非奇异矩阵，但是【厂不具有 ( ) 的分块形式 证明：( i ) 我们只需应用引理3 1 2 和3 1 3 即可证明根据假设，则a 有 j + f 个相异特征值和l + r 个j o r d a n 块对彳约化型( 1 2 ) 中的矩阵块召和c 使用 引理3 1 3 ，即可得出彳有2 州个形如( 1 8 ) 的广义k 一中心对称平方根，它们是彳 的函数 对于形如( 2 0 ) 的不是彳的函数的平方根，我们注意到是2 x2 的块对角矩 阵，而且z z 一- 和 z ( ) ( _ l z 。1 也都是2 2 的块对角矩阵，由引理3 1 6 可知，这些平方根都是广义k 一中心 对称矩阵 如果b 和c 有口个相同的特征值，那么彳有s + t 一口个相异特征值再 次使用引理3 1 3 ，可得么有z w 叫个形如( 1 8 ) 的平方根，它们是么的函数由 引理3 1 6 可知，这些平方根都是广义k 一中心对称矩阵另外，彳有2 一2 州叫 个不是4 的函数的平方根，它们可以表示成下面的参数族 j ( y ) = q z 龙y - 1 z 1 q r 其中y 为任意的和，交换的非奇异矩阵 这些平方根可以分为两类：一类是广义k 一中心对称的；另一类是非广义 中心对称的由引理3 1 6 和定理3 2 1 ，也就是( i ) 中证明的，这些平方根有 2 “7 一z 个是广义k 一中心对称的，它们产生了形如( 2 0 ) 的参数族 剩下的就是2 抖一2 州吨个既不是么的函数，又不是广义中心对称的平方根， 它们可以表示成下面的形式 2 ( t o = q z 皖u _ z q r 其中u 为任意的和，交换但不具有 ( 分块形式的非奇异矩阵证毕 3 3 广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵平方根的性质 和广义k 一中心对称矩阵相似，对于广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵，使它们满 足引理3 1 7 的酉矩阵u 是相同的，而且其逆命题也成立由此，我们得到了 下面的一些结论 1 2 定理3 3 1 设矩阵a c 联4 为广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵那么，么有广 义k 一中心h e r m i t i a n 平方根当且仅当4 的约化型( 1 4 ) 有实平方根 证明：”什假设彳为广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵且有广义k 一中心 h e r m i t i a n 平方根】，也就是y 2 = a 那么由引理3 1 7 有风= u 日阿和 色= u h a u 都是实的，而且霹= e ，其中u 为( 1 3 ) 中定义的这说明矩阵见有 实平方根 ”乍”如果矩阵r 。有实平方根d ，也就是r = d 2 由引理3 1 7 ，我们有 a = u r a u 和y = u d u 都是广义中心h e r m i t i a n 矩阵显然彳和y 还是广义k 一 中心h e r m i t i a n 的，而且a = y 2 是成立的这说明y 是彳的广义k 一中心h e r m i t i a n 平方根证毕 在定理3 2 3 中，我们证明了非奇异的广义k 一中心对称矩阵彳的所有么的 函数的平方根都是广义k 一中心对称的但是，对于广义k 一中心h e r m i t i a n 矩 阵来说，这个结论就不是成立的了不过，如果非奇异广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵4 的平方根是4 的函数且系数为实数的话，那么结论就是成立的 推论3 3 2 如果a c 职4 是广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵那么所有彳的实 系数多项式的平方根都是广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵 证明：假设】，是任意一个么的实系数多项式的平方根，那么有】，2 = 4 和 】，= ，( 彳) ，其中，( 彳) 是关于4 的插值多项式且所有系数都是实的根据广义k 一 中心h e r m i t i a n 矩阵的和与积还是广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵这一原理，我们 可以马上得出y = r ( 是广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵证毕 推论3 3 3 令a 期为非奇异的广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵，那么彳有 广义k 一中心h e r m i t i a n 平方根当且仅当么对应于负实特征值的初等因子是偶 数次的 证明：显然，4 是否有广义k 一中心h e r m i t i a n 平方根等价于矩阵r 是否有 实平方根我们由i ；t i - a i = 恤，一心i 可知，该证明就是引理3 1 8 的直接推广 接下来我们讨论非奇异广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵平方根的分类假设 a c “为非奇异的广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵，五是么的一个特征值，x 是对 应于五的特征向量，也就是有出= 允x 因为k a k = a 一，我们有a k x = y k x ，这 说明彳的复特征值是成共轭对出现的 假设a 有下面的j o r d a n 分解 其中 脚卜五卜 厶= 以 ，厶= r 五 ( 2 2 ) 这里以表示对应于实特征值以( k = 1 ，) 的实j o r d a n 块，五表示对应于复特征 值乃( k = 1 ，厂) 的j o r d a n 块 定理3 3 4 令非奇异的广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵a c 雕4 有j o r d a n 分解 ( 2 2 ) ，假设s z 为j 。的相异实特征值的个数，t r 为相异复共轭特征对的个数 如果s ，且t ，那么彳有z + 2 个么的函数的平方根 如果s + t f 步3 ：还原为彳的平方根， x = p t p h 4 2 广义k 一中心对称矩阵平方根的算法 对于非奇异的广义k 一中心对称矩阵，我们根据它的性质，先对其进行约化， 得到了新的算法 算法4 2 1 步1 ：构造第三章中方程( 1o ) 所定义的正交矩阵q ，对a 进行约化，由引理 3 1 6 ，有： 咖= ( bc ) 步2 ：对瓦= 醒b 和乏= u f f c u c 分别进行s c h u r 分解，其中五和乏都是 1 5 k ； 上二角矩阵 步3 - 计算上三角矩阵乙和巧的平方根( 参看文献 9 ) ： 品= f ( t n ) ，& = f ( t c ) 其中= 名；是定义在允( 乙乏 谱上的矩阵函数 步4 - 试算x b = u b s b u 基蕊x c = u c s 一琶 步5 - 计算 删( 墨丘p 下面分析一下分别用算法4 1 1 和算法4 2 1 来计算广义k 一中心对称矩阵 平方根所需要的计算量如果用算法4 1 1 来处理：第一步对彳进行s c h u r 分 解所需的计算量为2 5 n 3 次复浮点数运算，见 2 ，7 第二步计算拟上三角矩阵 的平方根所需要的计算量为三2 刀3 次复浮点数运算，见 1 2 第三步还原为彳的 平方根需要的计算量为3 n 3 次复浮点数运算，见 7 故用传统算法所需要的计 、u 算量为；疗3 次复浮点数运算如果用算法4 2 1 来计算：第一步对彳进行约化 和第五步对a 的约化型( 1 2 ) 的平方根进行还原所需的计算量是o ( n 2 ) 次复浮点 数运算，这与第二步到第四步所需的计算量o ( n 3 ) 次复浮点数运算相比，可以 忽略不计而在改进的s c h u r 算法中，第二步需要的计算量为2 5 ( n - 1 ) 3 + 2 5 1 3 次 复浮点数运算，第三步所需的计算量为三3 ( 刀一z ) 3 + 三2z 3 次孕浮点数运算，第四步 所需的计算量为3 ( n 一，) 3 + 3 1 3 次复浮点数运算在许多实际应用的广义中心对称 矩阵中，f 通常为n 的一半，见 3 如果z j 1 ，则算法4 2 1 的计算量近似 为詈甩3 次复浮点数运算与传统的算法相比，新算法的计算量只有前者的四分 之一在内存方面，算法4 2 1 只需存储对角块b 和c ，故当，丢以时，新算法 1 6 占用的内存只有传统算法的一半当，l 很大时，节省的计算量和内存是相当大 的 4 3 广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵平方根的算法 对于非奇异的广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵，我们以算法4 2 1 中的正交矩 阵q 为基础，构造新的交换矩阵，也可以得到相似的新算法 算法4 3 1 步1 ：构造第三章中方程( 1 0 ) 所定义的正交矩阵q ，并定义 u = ( 鸟，f q 2 ) 由引理3 1 7 ，有： r = u 胃a u r 步2 ：计算实s c h u r 分解 t = v r r a v ， 其中r 为拟上三角矩阵 步3 ：计算拟上三角矩阵r 的平方根【9 】 s = 厂( d ， 其中r 为具有相异特征值的拟上三角矩阵，f = 2 , 2 是定义在五( d 谱上的矩阵函 数 步4 ：计算j = v s v r 步5 ：计算j = 晒u 圩 接下来我们讨论分别用算法4 3 1 和算法4 1 1 来处理广义k 一中心 h e r m i t a i n 矩阵所花费的计算量算法4 3 1 的第一步和第五步所需的计算量 是o ( n 2 ) 次复浮点数运算，这与第二步到第四步所需的计算量o ( n 3 ) 次实浮点数 运算相比，可以忽略不计在算法4 3 1 中，第二步计算实s c h u r 分解需要2 5 n 3 次实浮点数运算，第三步计算拟上三角矩阵r 的平方根需要主, 3 次实浮点数运 算，第四步矩阵乘法需花费3 咒3 次实浮点数运算故一共需要等n 3 次实浮点数 1 7 运算，而传统算法需要詈次复浮点数运算( 其中复加法运算约为i 5 9 以3 次， 气o 复乘法运算约为孚，1 3 次) 众所周知，一个复加法运算等价于两个实加法运算； 一个复乘法运算等价于四个实乘法运算加上两个实加法运算故算法4 1 1 等 价的需要1 1 8 n 3 次实浮点数运算因此，改进的算法4 3 1 节省的计算量约为 半以3 次实浮点数运算在内存方面，算法4 3 1 只需存储实矩阵q ，而算法 4 1 1 存储复矩阵等价于存储两个同样大小的实矩阵，故新算法占用的内存只 有传统算法的一半当n 很大时节省的计算量和内存县相当大的 结论 本文主要研究了广义k 一中心对称矩阵( 广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵) 平方 根的结构和性质，以及求这类矩阵平方根的结构算法 。 首先，我们对这类矩阵平方根的性质进行探讨，证明了广义k 一中心对称 矩阵( 广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵) 存在广义足一中心对称( 广义k 一中心 h e r m i t i a n 矩阵) 平方根的充要条件以及相关的结论，然后根据广义k 一中心对 称矩阵( 广义k 一中心h e r m i t i a n 矩阵) 特征值情况的不同，分析了这类矩阵平方 根的个数、种类，最后，在给出的引理和得到的结论的基础之上，利用这些矩 阵的特殊结构，设计了快速算法与传统算法相比，我们的结构算法无论在内 存，还是在计算量方面，都有相当的节省 1 9 【2 】 3 】 4 】 5 】 6 】 【7 】 8 】 【9 】 【1 0 】 【13 】 参考文献 z y l i u s o m ep r o p e r t i e so fc e n t r o s y m m t r i cm a t r i c e s a p p l i e dm a t h e m a t i c s a n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 3 ，1 4 1 ：2 9 7 3 0 6 z y l i u ，y l z h a n g ，r r a l h a c o m p u t i n gt h es q u a r er o o t so fm a t r i c e sw i t hc 一e n t r a ls y m m e t r y a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 7 ，18 6 ：715 - 7 2 6 z y l i u ，h d c a o ，h j c h e n an o t eo nc o m p u t i n gm a t r i x v e c t o rp r o d u c t sw i 一 一t hg e n e r a l i z e dc e n t r o s y m m e t r i c ( c e n t r o h e r i t i a n ) m a t r i e e s a p p l i e dm a t h e m a 一 - t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 5 ，16 9 ：13 3 2 13 4 5 g w c r o s s ，p l a n c a s t e r s q u a r er o o t so fc o m p l e xm a t r i c e s l i n e a ra n dm u l t i l 一i n e a ra l g e b r a ，19 7 4 ，1 ：2 8 9 - 2 9 3 z y l i u ，h f a l 3 b e n d e r s o m ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dk - c e n t r o s y m m e t r i e 肌 m a t r i c e s j o u r n a lc o m p u t a t i o n a la n d a p p l i e dm a t h e m a t i c s ，2 0 0 7 n j h i g h a m s t a b l ei t e r a t i o n sf o rt h em a t r i xs q u a r er o o t n u m e r i c a la l g o r i t h - m s ，1 9 9 7 ，1 5 ：2 2 7 2 4 2 m i s m i t h as c h u ra l g o r i t h mf o rc o m p u t i n gm a t r i xp t hr o o t s s l a mj m a t r - i xa n a l y s i sa p p l i e d ，2 0 0 3 ：9 7 1 9 8 9 a b j 6 r c k ，s h a m m a r l i n g as c h u rm e t h o df o r t h es q u a r er o o to fm a t r i x l i n e 一a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ，1 9 8 3 ，5 2 5 3 ：1 2 7 - 1 4 0 p l d a v i e s ，n j h i g h a m as c h u r p a r l e t ta l g o r i t h mf o rc o m p u t i n gm a t r i xf u n - - c t i o n s s i a mj m a t r i xa n a l y s i sa p p l i e d ，2 0 0 3 ：4 6 4 - 4 8 5 z y l i u ，h j c h e n ，h d c a o t h ec o m p u t a t i o no ft h ep r i n c i p a l