（交通运输工程专业论文）船舶浅水区域航行时下沉量的数值计算方法研究.pdf

中文摘要 摘要 本文研究船舶在浅水中航行时下沉量的计算方法。根据柏努利方程，船舶在 浅水中航行时，船与水的相对速度增加，水肘船体表面的压力下降，船舶需要增 加一定吃水，使浮力增加，和重力平衡。船舶下沉昔的汁算，对于确定富余水深 至关重要。相对船舶大型化的进程，港口和航道的建设明姥滞后，导致近年大型 船舶搁浅事故增多，航道通航不畅。 其中，对船舶在浅水航行的下沉量估算不准确，以及合理航行速度的确定方 法不尽合理，都是造成这种局面的主要原因。 本文论述丫船舶在浅水中航行时产生下沉量的现象，分析了船舶下沉量的生 成原因，列举了常用的船舶下沉量估算公式。以及实测船舶浅水下沉量的原理和 方法。 研究表明，船舶在浅水水域航行时的f 沉量与以下几个方血关系密切： 船舶航速： 船舶位置； 船体形状( 船长，船宽，吃水，方形系数等) ； 航道水深。 本文介绍j 7 计算流体力学的基本理论和方法，并对船舶在浅水区域航行时的 流场状态进行了适当的简化。用计算流体力学的方法，给卅计算船舶在浅水中航 行时f 沉量的计算模型。利用数学模型对v i 。c c 在浅水水域航行的船舶下沉量进行 计算，并根据模犁试验结果进行验证，两者基本相符。i 司时也将计算结果和其他计 算船f j f j 下沉鼍的方法得出的结果进行比较，提出适用于大型油轮适用的船舶下沉 量计算公式。 关键字：浅水；下沉量；计算 英文摘要 r e s e a r c ho i l n u m er i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o do f s h i ps q u a ti ns h a l l o ww a t e r a b s t m c t t h i st h e s i sd e a l sw i t ht h es q u a to f am o v i n gs h i p ，t h a ti s ，t h ed o w n w a r d d i s p l a c e m e n ta n da n g l eo f t r i mc a u s e db yf o r w a r dm o t i o n i nt h i st h e s i s ，t h es h i pi s c o n s i d e r e di n t ob em o v i n gi nw a t e ro f c o n s t a n t d e p t h s i n c es q u a ti se s s e n t i a l l ya b e r m u l l ie f f e c t , v i s c o s i t yi sm g l e c t e dt h r o u g h o u tr r d s to f w o r kw h i c hr e s u l ti na b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi n v o l v i n gl a p l a c e se q u a t i o n f o ra s h i pm o v i n gi ns h a l l o ww a t e ro f c o n s t a n td e p t h , t h ew a t e rd e p t hr m y a l s ob e s n - n l lc o m p a r e dt ot h el e n g t ho f t h e s h i p i nt h i sc a s e ，t h ef l o wb e c o n ：1 e se s s e n t i a l l y t w o - d i r m n s i o m l ，w i t hh o r i z o n t a lf l o wv e l o c i t i e sd o m i n a t i n go v e rv e r t i c a lf l o w v e l o c i t i e s a l lr e c e n tr e s e a r c h e si n d i c a t et h a tp r e d i c a t i o no f s q u a td e p e n d so nt h ef o l l o w i n g p a r a m e t e r s ： s h i ps p e e d ； s h i pp o s i t i o n ； s h i pg e o m e t r y ； c h a n n e lg e o m e t r y t h e p r o b l e mo fs h i ps q u a ti so n ea m o n gt h ec r u c i a lf a c t o ra f f e c t i n gt h em v i g a t i o n o fs h i p si nr e s t r i c t e dw a t e r s t h es q u a tc a nb ee s t i m a t e du s i n ge i t h e re m p i r i c a lo r a m l y t i c a lm o d e l s i tm a y b ei m p l e m e n t i n gt h er e a ls c a l et e s t so rc o m p u t a t i o nf l u i d d y n a m i c st e c h n o l o g ya sw e l l t h es t a r t i n gp o i n to f a n y n a v i g a t i o m lo rd e s i g na m l y s i sl i e si nt h ea c e t a t e d e t e r m i n a t i o no f h y d r o d y n a m i cf o r c eg e n e r a t e do nt h es h i ph u l lm o v i n gi nc o n f i n e d w a t e r s t h ea n a l y s i so f s u c hr m t i o ns h o u l di n c l u d et h ee f f e c t so f s h a l l o ww a t e r , s h i p s q u a t , s h i pt os h i pi n t e r a c t i o n se t c i ti sn a t u r a lt ou s ec o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s 英文摘要 m e t h o d sf o rc a l c u h t i c i no fs h j ps q u a ti ns h a l l o ww a t e r t h ec o m p a r i s o no f t h ec a l c u l a t e dr e s u l ta n dm e a s u r e dr e s u l to f r e a ls c a l et e s t s h o w st h a tt h e ya r ew e l la g r e ew i t he a c ho t h e r a n dt h ec o m p u t a t i o n a lfl u i dd y m m i c s m e t h o d sc a nu s ef o rp r e d i c t i o no f s h i ps q u a ti l ls h a l l o ww a t e r k e yw o r d s ：s h a l l o ww a t e r ；s h i ps q u a t ；c a l c u l a t e 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研宄工作所取得的成果， 撰写成硕十学位论文 ：篮曲遣丞医燮埴在盟：e 速量丝数值过簋左选丛壅：。除论 文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体己经 公开发表或未公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留、使用研究生学 位论文的规定，即：大连海事大学有关保留并向国家有关部fj 或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。同意将本学位论文收录到中同优秀博硕士 学位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电了杂志社) 、中国学位论文全 文数据库( 中同科学技术信息、研究所) 等数据库中，并以电子f 版物形式 h 版发 行和提供信息服务。保密的论文在解密后遵守此规定。 ：叶忑喜吲 赢劫d f 年6 月撕 船舶浅水区域航行时下沉量的数值计算研究 第1 章绪论 1 1 船舶浅水区域航行时的下沉现象 随着船舶的吨位的不断增大，船舶吃水也不断的加深，对航道和港口的要求 越来越高。近年来，大型船舶在港口浅水区域搁浅和触底等各种海上事故常有发 生，其中一个重要的原因就是对大型船舶在浅水区域航行时的下沉量( s q u a t ) 估 计不准，不能在事先准确的定量确定适合安全航行的富余水深( u n d e rk e e l c l e a r a n c e ) 条件。 比如，1 9 9 2 年8 月7 日，英国皇家邮船伊丽莎白二号，从o a kb l u f 毽到纽约的 途中，在v i n e y a r ds o u n d 的出口处，由于船长和引航员对船舶高速航行时的下沉 量和富余水深计算错误等原因，造成船舶在c u t t y h u n k 岛以南2 5 海里处搁浅，损 失惨重。 据s h i p - s q u a t c o m 网站统计，近些年因船舶下沉量估算错误导致搁浅的船舶 案例有： 0 i 0 2 0 8 - r i v e r d a n c e - r o - r ov e s s e l - s h e l lf l a t , b l a c k p o o l 0 2 0 i 0 8 一l tc o r t e s i a - c o n t a i n e rs h 呐一v a r n eb a n k ，d o v e r 2 9 12 0 6 一e m s l a n d c a r g os h 币m o n t r o s e 0 4 0 i 0 6 - d e s hr a k s h a k - o i lt a n k e r p o r tp h i l l i pb a y , m e l b o u r n e 15 12 0 5 - k e n t u c k yh i g h w a y r o - r ov e s s e l p a r a n ar i v e r 2 7 0 7 0 3 一e a s t e r nh o n o u r10 0 ，0 0 0 td w tt a n k e r - m a r s d e np t , n z 3i 0 3 ol - d o nr a u lb u l kc a r r i e r p u l l u c h ec a r i a l 0 5 0 2 9 9 n a p o l e o nb o n a p a r t ep a s s e n g e rl i n e r m a r s e i l l e s 第i 章绪论 0 2 0 7 9 7 d i a m o n dg r a c e2 6 0 ，0 0 0 td w tv l c c t o k y oh a r b o u r 15 0 2 9 6 s e ae m p r e s ssu p e r t a n k e r m i l f o r dh a v e n 0 7 0 8 9 2 q e 2p a s s e n g e rl i n e r m a s s a c h u s e t t s 0 6 0 3 8 7 一h e r a l do f f r e ee n t e r p r i s er o r ov e s s e l z e e b r u g g e 船舶在浅水区域航行时会出现如下现象： 1 )由于浅水效应使得船体下沉，并且伴随一定程度的纵倾； 2 ) 船舶受到的水阻力增大，使得船速下降； 3 ) 船体的兴波变得更加显著，从而使得船舶的摇荡变大，通常观察到的 船舶的纵摇和横摇幅度变大； 4 ) 舵效下降，使得船舶的操纵难度增大。 1 2 船舶产生下沉量的原因 如图1 1 所示，船与水相对静止时的水线为w l 。当船与水有相对运动时，由 于船体周围水流速度的变化，导致船体周围水压力的变化，使船体产生下沉和纵 倾。其船首、船中和船尾的下沉量分别表示为a d f 、和a d a 。 d a a d a d f i 1ll ：， 厂 少 图1 1 航行中船舶吃水的变化 f 螗1 1t h ev a r i a t i o no fs h i pd r a t ti ns h a l l o ww a t e r 根据阿基米德定律，船舶的重力由水压力在垂直方向上的分力所组成的浮力 来支持。当船速较低时，单位面积上的水压力随着船速的增加而降低，这时通过 增加船体吃水来补偿支持力的不足，即船舶吃水将会增加。 船舶浅水区域航行时一f 沉量的数值计算研究 船舶在浅水中航行时，由于水流从三元流变成主要是二元流，船体周围的相 对速度快速增加。根据柏努利方程，此时水对船体的压力降低，船舶下沉量比深 水增大，并且水深越浅，下沉量越大。对于船底剩余水深( h - d ) 很小的船，则会因 为下沉而导致船底与水底相摩擦。因此，需要减速或者调整吃水才能驶过浅水区。 也就是要准确的确定船舶的富余水深。 卜一一一+ 一一一，_ 卜- - 卜- 一卜- - - - - 卜- - - 一- - - - - - - 一卜- - - - - - 卜- - - 一 图1 2 船舶在浅水中航行时，船体周围水流相对速度增加 f i 9 1 2s h i pi ns h a l l o ww a t e r , r e l a t i v es p e e dt ow a t e rr i s eu p 富余水深是指船舶龙骨线以下到航道底部的实际水深，对于保证船舶在浅水 区域航行安全具有指标性的意义。它具体定义为： 富余水深= 海图水深+ 即时基准潮高一航船的下沉量 海图水深长期的水文资料得到的平均水深； 及时基准潮高周期性的水面升高； 航船的下沉量一由浅水效应产生，主要与航道地理形状、航道水深、船体 外形及船速等因素有关。 由此，可以知道确定航行船舶的下沉量对于富余水深是关键。 在实际生产中，国际上通常以欧洲引航协会( e m p a ) 的标准作为参考，确 定适合各港口情况的船舶富余水深的标准。例如：欧洲的安特卫普、鹿特丹港等 水深受限制的港口的富余水深的标准为：海外水道：船舶吃水的2 0 ：港外水道： 船舶吃水的1 5 ；港内水道：船舶吃水的1 0 。随着大型船舶进出港口的数量不 断的增加，按上述标准确定的富余水深，实际上对航道水深条件提出了更高的要 求，因为大型或超大型船舶自身吃水都比较大。在总结经验的基础上，欧洲引航 协会对上述标准均按减少5 处理。这说明，科学确定富余水深既能保准船舶航 行的安全，又能提高航道的使用和经济效率。 第1 苹绪论 1 3 研究船舶下沉量的方法 确定航行船舶的富余水深的方法可以分为两类：理论计算方法、由模型和实 船试验结果经归纳出来的估算公式计算方法。这两种方法各有优点和缺点。理论 计算方法采用计算船舶流体力学的理论，在大型电子计算机上对船舶在有限水深 航道内航行进行模拟，它不受船舶形状、航速、水深等条件的限制，可以计算出 船舶的下沉量，但是由于整个计算过程复杂，不能直接用到生产中，并且其计算 的结果需要经过实测的验证。经验公式计算方法，简便实用通常直接在生产中使 用，但是经验公式数量较多，在实际使用时需要有所选择。由此看来，无论那种 方法都不是十全十美的。 计算船舶流体力学理论是目前唯一能够揭示浅水中航行船舶下沉现象机理的 理论，是对船舶在有限水深航道内的操纵性进行研究的有力工具。本研究论文的 重点是探讨利用理想流体的势流理论，对船舶在浅水航道中下沉量进行理论计算 的方法。通过把理论计算的结果与经验公式计算结果进行比较，研究在生产中应 用理论计算方法的适用性。 船舶浅水区域航行时下沉量的数值计算研究 第2 章船舶浅水下沉量估算公式和实测方法 由于事先有效的估算船舶在浅水航道中的下沉量对于确定安全航行的富余 水深十分重要，各航运管理当局都推荐使用船舶下沉量的经验计算公式，但由 于选择的对象不同，研究的方法不同等原因，现在还没有一个得到普遍公认的 估算公式。在实际使用中，都需要根据具体港口的情况，选择一个适合具体情 况和条件的估算公式。 船舶下沉量实船测量是研究船舶下沉现象和检验各种计算公式的基础，一 直受到科技界、航运界和管理部门的重视，随着现在各种高科技手段的应用， 实测的方法和精度都有了很大程度的改进和提高。 2 1 船舶下沉量的估算公式 在以下的估算公式中，各个字母分别表示： e 船长； 吕一船宽； 扛船舶吃水； 胁一船舶排水量； 昝航道水深； 卜船舶航速； c 6 船舶方形系数； 卜船舶纵向吃水差； 卜船体下沉量； f r h 水深傅汝德数，定义为矿g 日。 ( 1 ) t u c k 估算公式 詈- c s 哪瓜 t 。_ c t f 五肛 ( 2 1 ) 第2 章船舶下沉量估算公式和实测方法 t 五厩 ( 3 ) s o u k h o m e l - z a s s 估算公式 一2 舶h 砺( o z 5 ) s = 1 2 9 6 k v 2 ( d h 0 2 5 ) k = 0 0 1 4 3 ( l ) 一1 1 1 ( 4 ) e r y u z l u - h a u s s e r 估算公式 $ m a x = 0 1 1 3 b ( 圹( v 厕埔 ( 5 ) m i l l w a r d 估算公式 南= i j 3 8 o c bf r 2 hd l ( 6 ) 芳村估算公式 s l = 1 5 ( d l ) 铙溉 t l = 3 0 ( d l ) 忱c b 、3f 五 ( 2 6 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 警 = dh ，一， 船舶浅水区域航行时下沉量的数值计算研究 ( 7 ) 英国t e d d i n g t o n 水池估算首尾下沉量图谱【1 】 1 ，j ， 。仍 ， ， ，一 一一一 ，名：0荔 十， 勿多夕夕 一r c ?：坳多 1 ? 协 警 物妙。郸 么缈。毪 垆 f 00481 2a1 6 蕊心。 淤 o 5 心 l ，心 、岁 、 、 、 小j 2 2 5 y 图2 1 英国t e d d i n g t o n 水池估算首尾下沉量图谱 7 第2 章船舶下沉量估算公式和实测方法 ( 8 ) 中国港口工程技术规范船体下沉量估算图【4 i 1 4 船 繁他 讥 值 磊1 0 ( m ) l ，i 制l 1 2 慨襁葡 i 、 卜_ + w - l上 一| | | 一 _ 一 ，一 ， 1 0 _ 一 一 一一 一一 8 一 ，6 一 一 r 4 一一 一， r ，一- 船舶浅水区域航行时下沉量的数值计算研究 系数和航速。方形系数大的船舶下沉量较大，但是与航速比较，航速对船舶下 沉量的影响更为明显，航速大，船舶的下沉量大。从船舶驾驶的角度来看，控 制好船舶的航速是保证船舶在浅水水域或浅滩安全航行的关键。 利用t e d d i l l g t o n 图谱求船体下沉量的计算实例【1 】： 己知某丰满型船v s = 1 4 k n ，水深l f 2 0 m ，静态为正浮，船长l 一3 0 0 m ，满载 吃水d - 1 6 5 m 。可利用t e d d i i l g t o n 水池图谱得出首位下沉量。过程如下： 根据v s = 1 4 k n ，在图左自a 点向上作垂线，交h = 2 0 m 曲线于b 点； 过b 点向右作水平线， 交首的静态正浮于c 点； 过c 点向下作垂线，交l = 3 0 0 m 于d 点； 过d 点向右作水平线，交首尾下沉量坐标轴于e 点，得到首吃水该表 量d f = 1 9 5 m ： 同理可求的尾下沉量d a = 1 5 m 2 2 船舶下沉量的实测【6 】 2 2 1 测量使用的仪器 测量中使用的仪器【4 】可以分为两类：一类是测量船舶位置用的；另一类测 量水面位置用的。 ( 1 ) 船舶位置传感器 l e i c a9 4 0 0 n 型d g p s 接收机是目前我国市场上唯一能接收p 码的d g p s 接收机。由于采用了l e i c a 公司的d m g c o d e 刑专利跟踪技术，其定位精度 是普通g p s 接收机根本无法比拟的，其标称差分定位精度达o 3 米。用此接收 机作为测试实验船舶位置传感器是非常理想的，完全克服了以往定位装置精度 低的缺陷。l e i c a9 4 0 0 n 型d g p s 接收机获得的精确三维位置，经过数学方法 处理后，可以得到精确的船舶速度。 ( 2 ) 雷达式水面位置传感器 选用的水面位置传感器是德国：g a 公司生产的v e g a p l u s 雷达式水面 第2 章船舶下沉量估算公式和实测方法 位置传感器。雷达式水面位置传感器连续，非接触测量探头到介质表面的距离， 不同的距离对一个不同的输出电流，从而确定出探头到介质的距离。 2 2 2测量原理 船舶在浅水区航行时不但有船体的平行下沉而且还伴随着船体的纵向倾斜， 所以船舶下沉量的测量一般情况下应该分别测量船首和船尾的下沉量。从航行 的安全性的要求出发，一般仅需要知道船舶的最大下沉量，对于大型运输船舶 来讲，船舶的最大下沉量通常发生在船首。 船首下沉量的测量可以通过测量船首到水面的垂直距离的变化来求得，图 2 3 表示了测量的原理和设备的安装。船首下沉引起的首部吃水的变化与船舶的 航速和船舶的尺度( 主尺度比和船型系数) 有关。 随着航道水深的增大，船舶下沉量减小。在研究船舶下沉量时，一般假定 水深和船舶的吃水的比例为1 1 ：l ，也就是说在船舶龙骨线以下富有1 0 船舶吃 水的水深。然后，不断改变船舶的航速，得到在不同航速条件下，船舶下沉量 的变化。 图2 3 测量船舶下沉量的原理和设备 f i 9 2 3t h ep r i n c i p l ea n de q u i p m e n tf o rm e a s u r es q u a t 图2 4 是试验得到的船舶下沉量和船舶速度的关系图，从图中可以看出船舶 下沉量随船速的增大而增大。 船舶浅水区域航行时下沉量的数值计算研究 ”o ，0 7 一 oa o1 2 1 4 s p e e dj nk n o t s 图2 4 感应器距离水面的高度与船舶速度关系 f i 9 2 4t h eh e i g h to f i n d u c t i o nm e t e ra b o v ew a t e ra n ds h i ps p e e d 5 o 5 d 5 矩 矩 峙 恼 饥 叱山卜=z一叫uz、|，1一o 船舶浅水区域航行时下沉量的数值计算研究 第3 章船舶下沉量计算的数学模型 在本章中，将分析和探讨计算船舶下沉量的数学方法。由于实测船舶下沉量 在人力、物力以及财力的投入方面十分巨大，现在各国都在寻找一种能够针对各 种不同的船舶，在不同航速条件下进行下沉量计算的理论方法，并作为将来能够 进行计算机模拟的基础。在这方面比较成功，并取得较为广泛认可的方法是采用 基于三维势流理论的计算流体力学方法，能够在现在普通p c 机上完成相关的计 算任务，获得被业界接受的有实际参考价值的数据。 在势流理论中，水体被假设为理想流体，即无粘性的流体。当船舶在水深十 分有限区域航行时，船速一般都是很慢的，在这种情况下，水的粘性对船舶航行 的影响是可以忽略的。同时，由于船速很慢，船舶兴起的船波很小可以不计，这 时可以将水面看成是一个平静的平面。 在三维势流计算中的著名h e s s s m i t h 方法是在上世纪6 0 年代由道格拉斯公 司的两位科学家在计算飞机周围空气流动中建立起来的一种理论方法，后来被广 泛用于航空、航天、航海、海洋石油开发等各种工程领域。这个方法的优点在于 能够适用于各种不同形状的三维物体，能够计算出流体( 空气或水) 在流经物体 表面时的周围的速度分布，根据流体力学中的柏努利定理从而可以计算出物体表 面的流体压力分布，结果可以计算出流体作用在物体上的力。由于这种力是流动 的流体作用在物体上的力，一般称为流体动力。它不同于物体在静水中受到的浮 力。 在将h e s s s m i t h 方法应用于船舶在浅水区航行时，需要提出一个假设，即平 静水面的镜面效应。通过镜面的映射作用，形成一个以水面为对称面的带状水域。 但这还不够，还需要将镜面效应用于水底面，使这个带状水域不断地向空间的上 下两个方向映射，形成一个三维的无界流域。 在经过上述特殊处理后，用h e s s s m i t h 方法可以计算出船舶在浅水区域航行 时船体受到的流体动力和纵倾力矩。在探讨的计算数学模型中，船舶所在水域的 水底简化为与水面平行的平面。 1 3 - 第3 章船舶下沉量计算的数学模型 3 1 数学模型中运用到的数学知识 3 1 1 矢量和矢量运算 a b 2 q 坟+ 哆岛+ 嘿6 ： ( 3 2 ) a b = 窆考丢l = c 嘭吃一吼巩，t + c 呸瓯一q 也，+ c q 一哆以，k 。3 3 ， 3 1 2 场和场的运算 在势流理论中，流体就是一个场。场在数学中定义就是存在于在空间中的一 个函数，函数可以是标量函数，也可以是矢量函数。势流理论中的速度势就是一 个在空间中的标量场，流体运动的速度分布是一个空间中的矢量场。 1 场的运算主要有梯度、散度和旋度 g r a d c p ：娑i + 挈j + 譬k ( 3 4 ) a x a y 睨 ( 梯度的方向与等值面妒= c 垂直，并指向妒增加的方向) 对于矢量场r ：m + 巧+ z k ，它的散度为 船舶浅水区域航行时下沉量的数值计算研究 棚= 芸擘a y 出化 对于矢量场r = 粥+ 巧+ z k ，它的旋度为 加t r = i a 缸 x j a 砂 】， k a 0 z z ：( 豢一笋i + ( 娑一豢) j + ( 娑一o 刍a r ，k o z o z。x o x曲 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 围绕船体周围流动的流体的速度是一个矢量场，根据势流理论这个速度场是 一个无旋场，它的旋度为0 。所以存在一个速度势0 ，它的梯度就是流体的速度 分布。 3 1 3 曲线积分和曲面积分 使用伯努利定理求取船体表面压力分布，需要用到曲线积分和曲面积分的相 关数学知识。 1 矢量场r ( r ) 沿曲线c 的积分定义为 i v r ( r ) d r = c ( x d x + r + z a z ) ( 3 7 ) 其中d r = 崩+ 砌+ 出k 在流体的势流场中如果c 是一条封闭曲线，则沿曲线c 的积分成为0 。 2 矢量场r ( r ) 沿曲面s 的积分定义为 设曲面s 为有方向曲面，其法线方向定义为 1 1 1 = c o s c r i + c o s f l j + c o s 肚，面积矢量元素a s = n d s r 诱= j 撇+ i i y d z d x + z 苏砂 s ( 3 8 ) 式中，s v z 、s 孙s ，( y 分别表示曲面s 在垆平面，0 2 x 平面、掣平 面上的投影。 1 孓 第3 章船舶下沉量计算的数学模型 3 矢量的积分定理 高斯定理： ，j - p , rd ：g 降s i c _ - 搏 vs s 斯托克斯定理： ，j ro r s = ，一础n 酬r ss c ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 格林公式： ( 神一y 鲫咖 杏= 似y 一心妒杪 ( 3 1 1 ) 其中= 导+ 等+ 等，称为拉普拉斯算子。 3 1 4 拉普拉斯方程及其边界条件下的解 拉普拉斯方程一般表不为： 垂+ 垒+ 垂：0 或写为血：0 ( 函数在域q 内连续) a x 2a a z 2 拉普拉斯方程只有在给定边界条件下，才有确定的解。拉普拉斯方程的边界 问题的解分为两类，称为狄利克莱问题和诺伊曼问题。 1 狄利克莱问题 血= 0 u l s2 e ( m s ) ( 3 1 2 ) 式中，m s 为域q 边界s 上的点，、i ，为边界s 上的连续函数。 狄利克莱问题的解可以表示为面积分 州户，型笋叠辨 s 。删 ( 3 1 3 ) 式中，盯( 尸) 称为面密度，r p m 为尸点到m 点的矢量，印肼为p 点到m 点的距离， l i p 为边界表面s 在p 点处的外法线单位矢量。 船舶浅水区域航行时下沉量的数值计算研究 对于内边值问题，有 2 砸( 鸠) ：，盯( 尸) 竺掣p 一少( 坞) s 。删s ( 3 1 4 ) 对于外边值问题，有 2 砸( 鸠) ：一j 盯( 即竺掣，+ ( 坻) s 。删s ( 3 1 5 ) 2 诺伊曼问题 址。孙毗， n 式中，o u a , , 为边界s 上的外法向导数。 诺伊曼问题的解可以表示为面积分 叫) = 竽k s 。删 ( 3 1 7 ) 对于内边值问题，有 2 舾( 尥) ：p ( 即竺掣，+ y ( 鸭) s 删s ( 3 1 8 ) 对于外边值问题，有 2 舾( 鸠) ：一p ( 一竺掣p + ( 鸭) s 删s ( 3 1 9 ) 本文中讨论的问题属于第二类问题。 3 1 5线性代数方程组 线性代数方程组的解法，主要有消元法和迭代法。这两种方法都有标准的程 序可以应用，在编制相关的程序时直接调用就可以了。但是，从计算流体力学的 角度看，主要是线性代数组的线性矩阵的形成，它是大量的耗费计算时间，以及 对于大型的工程问题需要有足够大的计算机容量能够放下这样的大型数值矩阵。 显然，随着矩阵阶数的增大，求解大型线性代数方程组所需要的时间也是非常巨 大的。 1 7 - 第3 章船舶下沉量计算的数学模型 3 2 理想流体运动的势流理论 势流指的是理想流体的无旋运动。 3 2 1 速度势 在场论中已经证明了，一个空间的标量场吣、y 、z 、r ) 梯度的旋度必然为0 。 在式中定义的标量场o ( x 、y 、z 、f ) 称为速度势。在场吣、y 、z 、f ) 中， 之间的积分只是空间点位置的函数，与积分的路径无关。 g r a d o 胡= 三) ( u x d x + u y d y + u ：d z ) = 吣舭f ) _ o ( x o 执v ) g r a d o ：譬i + 票j + 孚k ：蚝i 坞y 地z odvo z 。 胡= d x i + 砌+ d z k ( 3 2 0 ) 任意两点 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 为了表达简便起见，用符号v 表示 v = 昙i + 昙j + 昙k 则 g m 西= 肌 ( 3 2 4 ) 融洲化 7 显然，如果积分是沿着一条封闭的曲线c 进行的，则上述积分的结果为0 。 即 面聊细d l = 由v d l = 0 ( 3 2 5 ) 为了理解速度势，可以看一下熟悉的位势，也就是重力势能。势能是重力沿 位移的积分，势能仅于物体的高度有关，而与物体实际运动的路径无关。速度是 矢量，速度沿着位移的积分就是我们称为得速度势。 速度势的一个重要性质就是在等势面= c ( 常数) 上与流线处处垂直。因 为在等势面上有速度势的微分为0 ，表示为 d o ：票出+ 票砂+ 譬出：0 即 u a l = 0 ( 3 2 6 ) 0xv必 船舶浅水区域航行时下沉量的数值计算研究 3 2 2 势流的基本方程和边界条件 1 质量守恒定律( 连续性方程) 连续性方程是流体力学中质量守恒定律的具体形式。参看船舶动力学基础” 教材中的相关内容，对于不可压缩的理想流体，通过一个封闭表面的流体的体积 流量的总量为0 ，即流入的流体的体积等于流出的流体的体积。即，一个流体流 动的速度场的散度为0 ， 亟+ 堕+ 丝：o 苏砂 如 ( 3 2 7 ) 将流体流动的速度用速度势表示，并代入上面的方程 粤+ 娑+ 娑：o a a v 28 2 2 f 3 2 8 ) 这就是我们讲过的拉普拉斯方程。因此，拉普拉斯方程就是质量守恒定律在 不可压缩理想流体运动中的具体形式。 2 理想流体运动微分方程( 欧拉微分方程) 在参考资料【2 】( 船舶动力学基础) 中，给出了理想流体运动微分方程，现以矢 量形式写为 a ：f 一三跏 p ( 3 2 9 ) 式中，加速度矢量 a = g i + a y j + a = k ，作用在流体单位质量上的力矢 f = a i + j + z k 。 ( 3 3 0 ) 欧拉微分方程可以在两个条件下得到它的积分形式，一个就是在定常、沿流 线积分，得到柏努利方程，另一个就是在无旋流动的条件下积分得到的拉格朗日 方程。 柏努利方程： z + 里+ 芝：c ，( 流线常数) ，适用于定常，有旋或无旋流动； 拉格朗日方程： z + 旦+ 兰+ 三譬：c ( f ) ( 时间常数) ，适用于非定场，无 72 9g 或 1 皿 第3 章船舶下沉量计算的数学模型 旋流动。 3 边界条件 定常不可压缩流体的运动学方程是拉普拉斯方程，动力学方程是柏努利方程， 求解定常不可让压缩势流为题的关键是求解拉普拉斯方程。 第一类边值为题( 狄利克莱问题) ：在边界上给定的值； 第二类边值问题( 诺伊曼问题) ：在边界上给定的锄锄值； 第三类边值问题( 混合问题) 在一部分边界上给定的值，在另一部分边 界上给定的油锄值。 计算流体力学中遇到的问题大多数属于第二类边值问题。在远方的边界条件 是等速直线流动u 。，在船体表面上法向速度为o ，即抛锄= 0 。 3 3 三维无升力体的势流计算( h e s s - s m i t h 方法) 图3 1 三维物体的绕流 f i 9 3 1w a t e rm o t i o na r o u n d3 - d i m e t i o n a ls u b s t a n c e 1 9 6 2 年h e s s 和s m i t h 两人联合发表在道格拉斯飞机公司研究成果任意三维 物体的无升力势流计算”后，h e s s s m i t h 方法从原先为解决亚音速飞机的空气动力 学问题提出的计算方法，扩展到船舶、海洋工程等各个工程领域，成为计算流体 力学发展史上具有代表性的数值计算方法。h e s s s m i t h 方法在数学上称为有点 法”，也即面元法”。 船舶浅水区域航行时。f 沉量的数值计算研冗 在h e s s s m i t h 方法中，一个任意形状的三维物体的表面，被许多四边形的平 面单元所替代，在每个单元的表面分布等强度的三维源或汇，根据控制点上的物 体表面边界条件，确定各个单元上源或汇的强度，从而求得物体表面的速度、压 力分布。 3 3 1问题的数学描述 理想流体对一个任意形状的三维物体的绕流，假设物体表面s 可以表示为 f ( x , y ，z ) = 0 ，理想流体以恒定的速度乩流过物体，参见图3 1 ，流速v 之的大 小用其三个轴流动速度表示为圪= 吃+ 嚆+ 眨。 对于绕一个三维物体的势流流动，存在一个速度势，它须满足 在整个流场内 胡 在物体表面s 锄锄i s = n g r o 刃o f ：。= 0 在无穷远处，+ y 2 + z 2 专j 一( x + g y + 吃z ) 上式中，n 物体表面单位法线矢量，指向流体。 通常将速度势，表示为 = 纯+ 缈 其中，纯称为远场速度势，纯= 一( 吃x + y + 吃z ) ；妒称为扰动速度势，它是 由于物体的存在而引起的。显然，它应该满足： 在整个流场内 a t p = 0 在物体表面s & p o n s = n g r a d d f ：。= o 在无穷远处x 2 + y 2 + z 2j o 。 缈= 0 一个强度为o ，位于g ( 孝，r ，f ) 的空间点源，对流场中一点p ( x ，y ，z ) 处所产生 的速度势表示为 2 1 第3 章船舶下沉量计算的数学模型 仃1仃1 矽一一4 ，r r ( p , q ) 一一4 t o 丽雨萨丽 ( 3 3 1 ) 这个点源对p 点产生的扰动速度，分别为 v ：型：旦堕，：型：旦塑v ：型：旦堕 v = 二= 一二= o = 一二二v = 二= 一巳 。o x4 万r 3 v y o y 4 万，3“o z4 n ，3 f 3 3 2 ) 现在可以明白为什么空间点源的速度势前面要有一个负号。当。为正时，点 源对空间p 点的诱导合速度为 再丽2 云号 限3 3 ， 空间点源在，= 0 处，出现奇性，在数学上称为奇点”。空间点源的速度势矽满 足拉普拉斯方程，而且满足在无穷远处的边界条件。 如果在整个物体的表面都布置源，则在流场中一点p 处的速度势可以用积分 表示为， 妒( p ) = 以z ，y ，z ) 2 呵一意 限3 4 ， 显然，这个速度势缈( x ，y ，z ) 必然满足拉普拉斯方程和流场无穷远处的边界条 件。为了确定源强仃( g ) ，需要利用物体表面边界条件。 甜t o r ( p ) 一嘣去扣搬 嘲 上式右端中的第一项是第二项积分当流场中的p 点沿着物体表面的法线方向 接近物体表面上口点的极限值。将物体表面边界条件代入上述积分，得到 掣一嘣南弘一吣h 限3 6 ， 这个方程称为第二类弗雷德姆积分方程，求解这个方程可以得到我们所需要 的源强分布。h e s s 和s m i t h 提出了任意形状三维物体表面得离散方法，如图3 2 所示，并且进一步提出计算单元诱导速度全部计算公式。 船舶浅水区域航行时下沉量的数值计算研究 图3 2 三维物体表面的离散 f i 够2s p r e a do f 3 一d i m e n t i o a ls u b s t a n c es u r f a c e 3 3 2 三维物体表面的离散 将物体表面离散是用计算机求解上述积分方程的重要的第一步。如图3 3 所 示，在物体表面用纵横割线将物体表面进行分割，按一定的规则形成平面四边形， 用这些四边形的组合来近似表示实际物体的形状。在这样的离散过程中应注意两 点：第一在物体表面曲率比较大的地方，四边形要取得密一些，在流速变化估计 比较大的地方，四边形也要取得密一点；第二四边形的数量应尽可能为最小，一 般数量在2 0 0 1 0 0 0 左右，随形状的复杂程度数量随着增加。 图3 3 平面四边形 f i 9 3 3p l a n eq u a d r a n g l e 2 3 - 第3 章船舶。f 沉量计算的数学模型 四个角点( 它们是物体表面的准确点) 为一组，每组形成一个平面四边形， 用它们来近似地代替原来的物体表面。事实上，相邻的两个平面单元虽然有相同 的输入点，但是在形成平面四边形后，相邻的两个四边形并不共有同一条边，即 不能吻合，它们之间有间隙，有人通过计算证明由此而造成的误差对于一般的工 程计算来讲是可以忽略不计的。 用( 坼，职，乙) 表示四个角点a k 的坐标( 七= 1 , 2 ，3 ，4 ) ，如图3 3 所示，a l a 3 组 成矢量t l ，a 2 组成矢量t 2 ，引入矢量n ，定义n = 王t 2 。n 的单位矢量作 为平面四边形单元的单位法向量力，即 n x = n l n b 2 n , n 其中= 何巧可( 3 3 7 ) n z = nz n 有了单位法向量n ，只要规定平面上的一个点就可以完全确定一个平面兀在 空间的位置。这个点我们取四个角点的平均坐标点， 一一x l + x 2 + x 3 + x 4 x = ：。= 一 4 可：丝兰2 丝三：三! 三! 圣多 。 4 4 ( 3 3 8 ) 将原来四个角点( 它们是物体表面的准确点) 向这个平面兀中投影，得到4 个投影角点彳七，然后由这四个角点组成平面四边形。由此，可以清楚相邻的两个 平面四边形在形成后，它们不会有共同的边界，这就是间隙为什么产生的原因。 3 3 3 一个四边形单元对场点诱导速度的计算 - 哩 ( 与- ! 八 文毛 “。哩o 嘲萌t 弓 n 哩。 佴，” 图3 4 单元坐标系 f i 9 3 4e l e m e n tc o o r