材料力学教学课件 弯曲应力学习课件.ppt

1 第四章弯曲应力 2 4 1对称弯曲的概念及梁的计算简图 关于弯曲的概念 受力特点 杆件在包含其轴线的纵向平面内 承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用 变形特点 直杆的轴线在变形后变为曲线 梁 以弯曲为主要变形的杆件称为梁 第四章弯曲应力 3 弯曲变形 第四章弯曲应力 4 工厂厂房的天车大梁 第四章弯曲应力 5 上海长江大桥第53号至54号桥墩间 架起 百米长梁 这一箱梁长105米 宽16米 高5米 重2300吨 为世界第一 百米长梁 超越东海大桥 梁式大桥 70米的跨度 实现了桥梁史上的一大突破 上海长江大桥跨江段长10公里 全桥长16 5公里 双向6车道 设计时速100公里 整个隧桥工程在2010年完工 上海长江大桥架起 世界第一梁 第四章弯曲应力 6 第四章弯曲应力 7 对称弯曲 外力作用于梁的纵向对称面内 因而变形后梁的轴线 挠曲线 是在该纵对称面内的平面曲线 第四章弯曲应力 m 弯曲后梁的轴线 挠曲线 梁的挠曲线与外力所在平面相重合 这种弯曲称为平面弯曲 8 本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力 第四章弯曲应力 非对称弯曲 梁不具有纵对称面 例如z形截面梁 因而挠曲线无与它对称的纵向平面 或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内 从而挠曲线不与梁的纵对称面一致 9 梁的计算简图 对于对称弯曲的直梁 外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系 故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁 这里加 通常 二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁 第四章弯曲应力 10 1 支座的基本形式 1 固定端 实例如图a 计算简图如图b c 第四章弯曲应力 11 2 固定铰支座 实例如图中左边的支座 计算简图如图b e 3 可动铰支座 实例如图a中右边的支座 计算简图如图c f 第四章弯曲应力 12 悬臂梁 2 梁的基本形式 简支梁 外伸梁 第四章弯曲应力 13 在竖直荷载作用下 图a b c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出 称为静定梁 3 静定梁和超静定梁 图d e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定 称为超静定梁 第四章弯曲应力 14 4 2梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 梁的剪力和弯矩 shearingforceandbendingmoment 截面法计算梁的内力 列方程求约束力 第四章弯曲应力 15 求内力 弯曲构件内力 剪力 弯矩 研究对象 m m截面的左段 第四章弯曲应力 16 第四章弯曲应力 故根据作用与反作用原理 m m左边的梁段对于右边梁段的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同 但指向和转向相反 这一点也可由m m右边分离体的平衡条件加以检验 17 第四章弯曲应力 1 横截面上的剪力在数值上等于截面一侧所有外力 横向力 的代数和 2 横截面上的弯矩在数值上等于截面一侧所有外力 外力偶 对该截面形心的力矩之代数和 18 为使无论取横截面左边或右边为分离体 求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同 剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定 如图 第四章弯曲应力 剪力和弯矩的正负规定 19 综上所述可知 1 横截面上的剪力在数值上等于截面一侧所有外力 横向力 的代数和 左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力 即左上右下剪为正 2 横截面上的弯矩在数值上等于截面一侧所有外力 外力偶 对该截面形心的力矩之代数和 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶矩引起正值的弯矩 截面右侧梁段上逆时针转向的外力偶矩引起正值的弯矩 即左顺右逆弯为正 第四章弯曲应力 20 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式 它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律 显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图 第四章弯曲应力 21 例题4 1图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用 试作梁的剪力图和弯矩图 第四章弯曲应力 a 22 距右端为x的任意横截面上的剪力fs x 和弯矩m x 根据截面右侧梁段上的荷载有 解 1 列剪力方程和弯矩方程 当求悬臂梁横截面上的内力 剪力和弯矩 时 若取包含自由端截面的一侧梁段来计算 则可不求出约束力 第四章弯曲应力 a 23 2 作剪力图和弯矩图 剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方 弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方 即弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧 第四章弯曲应力 b c a fs max ql 都在固定端右侧横截面上 24 例题4 2图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用 试作梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束力 第四章弯曲应力 a 25 2 列剪力方程和弯矩方程 第四章弯曲应力 26 由图可见 此梁横截面上的最大剪力 按绝对值 其值为 正值 负值 发生在两个支座各自的内侧横截面上 最大弯矩其值为发生在跨中横截面上 3 作剪力图和弯矩图 第四章弯曲应力 27 简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况 初学者对于此种情况下的剪力图 弯矩图和fs max mmax的计算公式应牢记在心 第四章弯曲应力 28 例题4 3图a所示简支梁受集中荷载f作用 试作梁的剪力图和弯矩图 第四章弯曲应力 解 1 求约束力 29 2 列剪力方程和弯矩方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成ac和cb两段 两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同 可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同 因此需分段列出 第四章弯曲应力 f ac段梁 30 cb段梁 第四章弯曲应力 f 31 3 作剪力图和弯矩图 如图b及图c 由图可见 在b a的情况下 ac段梁在0 x a的范围内任一横截面上的剪力值最大 集中荷载作用处 x a 横截面上的弯矩值最大 第四章弯曲应力 b c 32 4 讨论 由剪力图可见 在梁上的集中力 包括集中荷载和约束力 作用处剪力图有突变 这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度 x范围内的分布力加以简化所致 若将分布力看作在 x范围内是均匀的 图a 则剪力图在 x范围内是连续变化的斜直线 图b 从而也就可知 要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的 第四章弯曲应力 33 例题4 4图a所示简支梁在c点受矩为me的集中力偶作用 试作梁的剪力图和弯矩图 第四章弯曲应力 解 1 求约束力 34 ac段梁 第四章弯曲应力 x x cb段梁 2 列剪力方程和弯矩方程 35 3 作剪力图和弯矩图 第四章弯曲应力 此简支梁的两支座之间无集中荷载作用 故ac段梁和bc段梁的剪力方程相同 36 如图可见 两支座之间所有横截面上剪力相同 均为 弯矩图在集中力偶作用处有突变 也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化 第四章弯曲应力 37 思考1 一简支梁受移动荷载f作用 如图所示 试问 a 此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处 为什么 b 荷载f移动到什么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都要大 该最大弯矩又是多少 亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值 第四章弯曲应力 38 思考2 根据对称性与反对称性判断下列说法是否正确 a 结构对称 外力对称时 弯矩图为正对称 剪力图为反对称 b 结构对称 外力反对称时 弯矩图为反对称 剪力图为正对称 第四章弯曲应力 39 第四章弯曲应力 x 40 载荷与内力fs m的变化规律 归纳如下 载荷 水平直线 or or 斜直线 抛物线 抛物线 斜直线 剪力图无变化 m处有尖角 斜直线 集中力偶处 剪力图无变化 弯矩图有突变 突变高度 集中力偶的大小 集中力处 剪力图有突变 突变高度 集中力的大小 弯矩图有尖角 剪力图突变 m图突变 弯矩极值处 剪力为零的截面处弯矩图有极值 第四章弯曲应力 41 弯矩 剪力与荷载集度之间的关系及其应用 m x fs x 与q x 间微分关系的导出 从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内 取出长为dx的梁段 如图b所示 这里分布荷载的集度q x 以向上为正值 且略去荷载集度在微量dx范围内的变化 梁的微段其左 右横截面上的剪力和弯矩均为正值 第四章弯曲应力 42 从而得 由梁的微段的平衡方程 略去二阶无穷小项 即得 第四章弯曲应力 43 应用这些关系时需要注意 向上的分布荷载集度为正值 反之则为负值 由以上两个微分关系式又可得 第四章弯曲应力 44 利用弯矩 剪力与荷载集度之间的微分关系作图 第四章弯曲应力 45 利用微分关系绘制剪力图和弯矩图 而不必再建立剪力方程和弯矩方程 其步骤如下 1 求支座约束力 2 确定控制截面 计算控制截面内力 3 根据微分关系分段绘剪力图和弯矩图 4 确定 fs max和 m max 第四章弯曲应力 46 例简支梁受力如图a所示 试写出梁的剪力方程和弯矩方程 并作剪力图和弯矩图 解 1 求支座约束力 可利用平衡方程对所求约束力进行校核 第四章弯曲应力 47 2 求控制截面内力 绘fs m图 fs图 ac段内 剪力图为斜直线 故求出两个端截面的剪力值即可 cb段内剪力图为水平线 第四章弯曲应力 m图 ac段内弯矩图为二次曲线 需求出两个端截面的弯矩 cb段内弯矩图为斜直线 分别求出两个端点的弯矩 连成直线即可 48 第四章弯曲应力 49 例题4 5试画出梁剪力图和弯矩图 解 1 列平衡方程求约束力 2 确定控制面 计算控制截面内力值 控制面为a b d截面 第四章弯曲应力 50 确定控制截面内力值 从a截面左测开始画 ab bc 剪力图 3 利用微分关系分段绘制内力图 第四章弯曲应力 51 从a截面左测开始画 ab bc 弯矩图 第四章弯曲应力 52 已知 图中梁的约束力为 思考 试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误 正确答案 第四章弯曲应力 a 53 图中梁的约束力为 正确答案 第四章弯曲应力 b 54 图中梁的约束力为 正确答案 第四章弯曲应力 c 55 按叠加原理作弯矩图 第四章弯曲应力 56 1 在小变形情况下求梁的约束力 剪力和弯矩时 我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的 例如对于图a所示悬臂梁 其剪力方程和弯矩方程分别为 第四章弯曲应力 a 2 叠加原理当所求参数 约束力 内力 应力或位移 与梁上 或结构上 荷载成线性关系时 由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值 就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加 57 这就是说 在小变形情况下 此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载f和均布荷载q单独作用时 图b和图c 相应内力的代数和叠加 因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出 第四章弯曲应力 a 58 第四章弯曲应力 59 作剪力图时虽然 如上所示 也可应用叠加原理 但由于梁上通常无集度变化的分布荷载 而剪力图由直线段组成 作图比较简单 故往往只说按叠加原理作弯矩图 由图a可见 该梁横截面上的最大剪力为 负值 最大弯矩为 负值 而极值弯矩并非最大弯矩 第四章弯曲应力 60 例 按叠加原理作弯矩图 ab 2a 力f作用在梁ab的中点处 第四章弯曲应力 61 例4 7绘制下列图示梁的弯矩图 m1 2fa 第四章弯曲应力 62 载荷与内力fs m的变化规律 归纳如下 载荷 水平直线 or 斜直线 抛物线 抛物线 斜直线 剪力图无变化 m处有尖角 斜直线 集中力偶处 剪力图无变化 弯矩图有突变 突变高度 集中力偶的大小 集中力处 剪力图有突变 突变高度 集中力的大小 弯矩图有尖角 剪力图突变 m图突变 弯矩极值处 剪力为零的截面处弯矩图有极值 第四章弯曲应力 63 直接外力法计算内力 1 横截面上的剪力在数值上等于截面一侧所有横向外力的代数和 左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力 即左上右下剪为正 2 横截面上的弯矩在数值上等于截面一侧所有外力 外力偶 对该截面形心的力矩之代数和 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶矩引起正值的弯矩 截面右侧梁段上逆时针转向的外力偶矩引起正值的弯矩 即左顺右逆弯为正 第四章弯曲应力 小结 弯曲内力 64 第四章弯曲应力 利用弯矩 剪力与荷载集度之间的微分关系作图 65 例题4 6试画出梁剪力图和弯矩图 解 1 根据平衡条件求支座反力 第四章弯曲应力 66 a b 1m 1m 4m f 3kn c d 3kn 4 2kn 3 8kn e 2 确定控制面 计算控制截面内力值 控制截面为c a d b 确定控制截面内力值 从c截面左测开始画 ca ad db 剪力图 3 利用微分关系分段绘制内力图 第四章弯曲应力 67 a b 1m 1m 4m f 3kn c d 从c截面左测开始画 ca ad db 弯矩图 利用微分关系分段绘弯矩图 第四章弯曲应力 68 第四章弯曲应力 叠加法作弯矩图 69 第四章弯曲应力 70 第四章弯曲应力 1 根据平衡条件求支座反力 2 计算控制截面内力值 利用微分关系绘图 71 提高题 已知简支梁的剪力图 作梁的弯矩图和荷载图 梁上没有集中力偶作用 ab bc段无均布荷载 在b处有集中力 72 cd段有均布荷载q 2 弯矩图 73 解 1 支反力 2 画内力图 ac段 剪力图为一条水平线 bd段 剪力图为斜向下的斜直线 cd段 剪力图为零 a c b截面剪力图有突变 突变值的大小为其集中力的值 m x 2kn m 2kn m 弯矩图为一条斜直线 弯矩图为一条水平线 弯矩图为下凸的二次曲线 第四章弯曲应力 74 4 3平面刚架和曲杆的内力图 选讲 平面刚架 平面刚架 由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构 平面刚架杆件的内力 当荷载作用于刚架所在平面内时 杆件横截面上的内力除剪力和弯矩外 还会有轴力 第四章弯曲应力 75 作刚架内力图的方法和步骤与梁相同 但因刚架是由不同取向的杆件组成 习惯上按下列约定 弯矩图 画在各杆的受拉一侧 不注明正 负号 剪力图及轴力图 可画在刚架轴线的任一侧 通常正值画在刚架外侧 但须注明正负号 剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同 第四章弯曲应力 76 作图示刚架的内力图 ql ql 2 ql 2 第四章弯曲应力 77 例题试作图a所示刚架的内力图 即作出组成刚架的各杆的内力图 第四章弯曲应力 a 78 各杆的内力方程为 解 此刚架的c点为自由端 故求内力时如取包含自由端的那部分分离体作为研究对象 则可不求固定端a处的约束力 第四章弯曲应力 a 79 绘内力图时 轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧 但需注明正负号 图b及图c 弯矩图则画在杆件弯曲时受拉的一侧 图d 第四章弯曲应力 a 80 作为校核可取该刚架的结点b为分离体 标出结点处的外力及内力 考察结点是否满足平衡条件 第四章弯曲应力 a 81 思考 能根据概念绘出图示平面刚架 框架 的内力图吗 第四章弯曲应力 82 平面曲杆 平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面 亦即圆弧形曲杆的径向截面 当荷载作用于曲杆所在平面内时 其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力 第四章弯曲应力 83 图a所示a端固定的半圆环在b端受集中荷载f作用时 其任意横截面m m上的内力有 此即内力方程 根据内力方程将内力值在与q相应的径向线上绘出 即可得到内力图 如图b 图c及图d 第四章弯曲应力 84 第四章弯曲应力 85 4 4梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件 纯弯曲 purebending 梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩 横截面上只有与弯矩对应的正应力 第四章弯曲应力 86 横力弯曲 bendingbytransverseforce 梁的横截面上既有弯矩又有剪力 相应地 横截面既有正应力又有切应力 第四章弯曲应力 87 纯弯曲时梁横截面上的正应力 计算公式的推导 1 几何方面 藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律 表面变形情况在竖直平面内发生纯弯曲的梁 图a 第四章弯曲应力 a 88 第四章弯曲应力 弯曲变形 89 1 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb 图b 在梁弯曲后成为弧线 图a 靠近梁的顶面的线段aa缩短 而靠近梁的底面的线段bb则伸长 第四章弯曲应力 90 2 相邻横向线mm和nn 图b 在梁弯曲后仍为直线 图a 只是相对旋转了一个角度 且与弧线aa和bb保持正交 第四章弯曲应力 91 根据表面变形情况 并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线 可作出如下推论 假设 平面假设梁在纯弯曲时 其原来的横截面仍保持为平面 只是绕垂直于弯曲平面 纵向平面 的某一轴转动 转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实 第四章弯曲应力 92 横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短 凸出一侧的纵向线伸长 从而根据变形的连续性可知 中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 图f 而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中性轴 neutralaxis 第四章弯曲应力 f 单向受力假设小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压 只受轴向拉伸或压缩 即认为梁内各点均处于单轴应力状态 93 纵向线应变在横截面范围内的变化规律图c为由相距dx的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况 两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq 梁的横截面上距中性轴z为任意距离y处的纵向线应变由图c可知为 第四章弯曲应力 c 94 即梁在纯弯曲时 其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离y成正比 第四章弯曲应力 c 令中性层的曲率半径为r 如图c 则根据曲率的定义有 95 小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压 认为梁内各点均处于单轴应力状态 2 物理方面 藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律找出横截面上正应力的变化规律 梁的材料在线弹性范围内工作 且拉 压弹性模量相同时 有 这表明 直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化 如图 第四章弯曲应力 96 3 静力学方面 藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式 第四章弯曲应力 轴力为零 对y轴内力偶矩为零 对z轴内力偶矩即为弯矩 将代入上述三个静力学条件 有 97 由于式 a b 中的不可能等于零 因而该两式要求 1 横截面对于中性轴z的静矩等于零 显然这是要求中性轴z通过横截面的形心 2 横截面对于y轴和z轴的惯性积等于零 在对称弯曲情况下 y轴为横截面的对称轴 因而这一条件自动满足 a b c 第四章弯曲应力 98 由式 c 可知 直梁纯弯曲时中性层的曲率为 上式中的eiz称为梁的弯曲刚度 显然 由于纯弯曲时 梁的横截面上的弯矩m不随截面位置变化 故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧 c 第四章弯曲应力 99 实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力 在此情况下可以把式中的y看作求应力的点离中性轴z的距离 第四章弯曲应力 将上式代入得出的式子即得弯曲正应力计算公式 100 中性轴z为横截面对称轴的梁 图a b 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等 中性轴z不是横截面对称轴的梁 图c 其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等 第四章弯曲应力 101 中性轴z为横截面的对称轴时 横截面上最大拉 压应力的值smax为 式中 wz为截面的几何性质 称为弯曲截面系数 sectionmodulusinbending 其单位为m3 第四章弯曲应力 102 中性轴z不是横截面的对称轴时 参见图c 其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为 第四章弯曲应力 103 简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数 1 矩形截面 第四章弯曲应力 104 思考 一长边宽度为b 高为h的平行四边形 它对于形心轴z的惯性矩是否也是 第四章弯曲应力 105 2 圆截面 第四章弯曲应力 根据对称性可知 原截面对于形心轴z和y的惯性矩iz和iy是相等的 iz iy 于是得 而弯曲截面系数为 106 3 空心圆截面 式中 第四章弯曲应力 而空心圆截面的弯曲截面系数为 根据对称性可知 截面对于形心轴z和y的惯性矩iz和iy是相等的 iz iy 于是得 根据对称性可知 107 思考 空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩 但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差 为什么 第四章弯曲应力 108 型钢截面及其几何性质 参见型钢表 需要注意的是 型钢规格表中所示的x轴是我们所标示的z轴 第四章弯曲应力 109 纯弯曲理论的推广 工程中实际的梁大多发生横力弯曲 此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲 warping 此外 横向力还使各纵向线之间发生挤压 bearing 因此 对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立 但弹性力学的分析结果表明 受满布荷载的矩形截面简支梁 当其跨长与截面高度之比大于5时 梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1 故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况 即 第四章弯曲应力 110 例图a所示简支梁由56a号工字钢制成 其截面简化后的尺寸见图b 已知f 150kn 试求危险截面上的最大正应力smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处 图b 的正应力sa 第四章弯曲应力 111 解 在不考虑梁的自重 的情况下 该梁的弯矩图如图所示 截面c为危险截面 相应的最大弯矩值为 第四章弯曲应力 112 由型钢规格表查得56a号工字钢截面 于是有 危险截面上点a处的正应力为 第四章弯曲应力 113 该点处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律 利用已求得的该横截面上的smax 160mpa来计算 第四章弯曲应力 114 显然 梁的自重引起的最大正应力仅为 而危险截面上的最大正应力变为 远小于外加荷载f所引起的最大正应力 如果考虑梁的自重 q 1 041kn m 则危险截面未变 但相应的最大弯矩值变为 第四章弯曲应力 115 梁的正应力强度条件 等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处 而且在这些边缘处 即使是横力弯曲情况 由剪力引起的切应力也等于零或其值很小 详见下节 至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计 因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态 于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件 式中 s 为材料的许用弯曲正应力 第四章弯曲应力 116 对于中性轴为横截面对称轴的梁 上述强度条件可写作 由拉 压许用应力 st 和 sc 不相等的铸铁等脆性材料制成的梁 为充分发挥材料的强度 其横截面上的中性轴往往不是对称轴 以尽量使梁的最大工作拉应力st max和最大工作压应力sc max分别达到 或接近 材料的许用拉应力 st 和许用压应力 sc 第四章弯曲应力 117 弯曲正应力强度条件 118 例题4 7一简易吊车的示意图如图a所示 起重量p 30kn 跨长l 5m 吊车大梁由20a号工字钢制成 许用弯曲正应力 s 170mpa 许用切应力 t 100mpa 试校核梁的强度 第四章弯曲应力 p 119 解 吊车梁可简化为简支梁 图b 第四章弯曲应力 c 校核正应力强度荷载移至跨中处 图b 时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大 荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示 120 由型钢规格表查得20a号工字钢的弯曲截面系数为 荷载在对应于弯矩的最不利荷载位置时的最大弯曲正应力为 第四章弯曲应力 c s 170mpa 121 如果把吊车梁的自重考虑在内 则 第四章弯曲应力 而 即仍满足正应力强度条件 校核正应力强度 通常对于钢这类材料一般可忽略自重的影响 122 校核切应力强度 荷载移至紧靠支座a处 如图 时梁的横截面上的最大剪力比荷载在任何其它位置时都要大 此时的约束力fa p 相应的剪力图如图 第四章弯曲应力 p 对于20a号钢 由型钢规格表查得 123 于是有 其值小于许用切应力 t 100mpa 第四章弯曲应力 p 124 如果把吊车梁的自重考虑在内 则 以上强度校核中未计及荷载在跨中c处时 跨中偏左和偏右截面上同时存在最大弯矩和最大剪力而需对工字钢腹板与翼缘交界处进行的计算 从而tmax 25 5mpa 仍满足切应力强度条件 第四章弯曲应力 125 a b 例题4 8图a所示工字钢制成的梁 其计算简图可取为如图b所示的简支梁 钢的许用弯曲正应力 s 152mpa 试选择工字钢的号码 第四章弯曲应力 126 解 在不计梁的自重的情况下 弯矩图如图所示 第四章弯曲应力 127 强度条件要求 此值虽略小于要求的wz但相差不到1 故可以选用56b工字钢 由型钢规格表查得56b号工字钢的wz为 第四章弯曲应力 128 此时危险截面上的最大工作应力为 其值超过许用弯曲应力约4 6 工程实践中 如果最大工作应力超过许用应力不到5 则通常还是允许的 如果计入梁的自重 危险截面仍在跨中 相应的最大弯矩则为 第四章弯曲应力 129 解 1 求约束反力 例题4 9t字形截面的铸铁梁受力如图 铸铁的 t 30mpa c 60mpa 其截面形心位于c点 y1 52mm y2 88mm iz 763cm4 试校核此梁的强度 1 m 1 m 1 m a b c d 2 画弯矩图 定危险截面 3 计算应力 b截面 上拉下压 c截面 下拉上压 m 第四章弯曲应力 130 c截面 下拉上压 1 m 1 m 1 m a b c d f 2 4 kn f 1 9 kn 4 强度校核 46 2mpa 27 3mpa 28 2mpa m b截面 上拉下压 17 0mpa 131 c截面 下拉上压 1 m 1 m 1 m a b c d f 2 4 kn f 1 9 kn 46 2mpa 27 3mpa 28 2mpa b截面 上拉下压 最大拉 压应力不在同一截面上 结论 对z轴对称截面的弯曲梁 只计算一个截面 对z轴不对称截面的弯曲梁 必须计算两个截面 132 4 5梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件 梁横截面上的切应力 1 矩形截面梁 第四章弯曲应力 对于狭长矩形截面可以假设 1 横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等 2 横截面上各点处的切应力均平行剪力的方向 133 从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段 如图所示 第四章弯曲应力 由于m m和n n上的弯矩不相等 故两截面上对应点处的弯曲正应力s1和s2不相等 因此 从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面aa1b1b假想地截出的体积元素mb1 图a及图b 其两个端面mma1a上与正应力对应的法向内力f n1和f n1也不相等 134 它们分别为 第四章弯曲应力 式中 为面积a 图b 对中性轴z的静矩 a 为横截面上距中性轴z为y的横线aa1和bb1以外部分的面积 图b中的阴影线部分 135 即 由于 故纵截面aa1b1b上有切向内力df s 图b 第四章弯曲应力 136 于是根据切应力互等定理可知 距中性层为y的纵截面aa1b1b上在与横截面的交线aa1处各点的切应力t 均与横截面正交 且大小相等 至于t 在dx长度内可以认为没有变化 这也就是认为 纵截面aa1b1b上的切应力t 在该纵截面范围内是没有变化的 于是有 第四章弯曲应力 137 以上式代入前已得出的式子 得 根据切应力互等定理可知 梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t必与t 互等 从而亦有 第四章弯曲应力 138 矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式 式中 fs为横截面上的剪力 iz为整个横截面对于中性轴的惯性矩 b为矩形截面的宽度 与剪力fs垂直的截面尺寸 sz 为横截面上求切应力t的点处横线以下 或以上 部分面积对中性轴的静矩 第四章弯曲应力 上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式 139 横截面上切应力的变化规律 前已讲到 等直的矩形截面梁横力弯曲时 在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等 现在分析横截面上切应力t在与中性轴垂直方向的变化规律 上述切应力计算公式中 fs在一定的横截面上为一定的量 iz和b也是一定的 可见t沿截面高度 即随坐标y 的变化情况系由部分面积的静矩sz 与坐标y之间的关系确定 第四章弯曲应力 140 第四章弯曲应力 141 可见 1 t沿截面高度系按二次抛物线规律变化 2 同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处 y 0 第四章弯曲应力 142 2 工字形截面梁 1 腹板上的切应力 其中 第四章弯曲应力 143 可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次抛物线规律变化 第四章弯曲应力 144 2 在腹板与翼缘交界处 在中性轴处 对于轧制的工字钢 上式中的就是型钢表中给出的比值 此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内 第四章弯曲应力 145 3 翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行于剪力fs的切应力在其上 下边缘处为零 因为翼缘的上 下表面无切应力 可见翼缘横截面上其它各处平行于fs的切应力不可能大 故不予考虑 分析表明 工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力fs的90 以上 第四章弯曲应力 146 3 薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时 其横截面上切应力的特征如图a所示 1 由于d r0 故认为切应力t的大小和方向沿壁厚d无变化 2 由于梁的内 外壁上无切应力 故根据切应力互等定理知 横截面上切应力的方向与圆周相切 第四章弯曲应力 a 147 3 根据与y轴的对称关系可知 a 横截面上与y轴相交的各点处切应力为零 b y轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与y轴对称 第四章弯曲应力 薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力在中性轴z上 半个环形截面的面积a pr0d 148 整个环形截面对于中性轴z的惯性矩iz矩为 第四章弯曲应力 从而有 式中 a 2pr0d为整个环形截面的面积 薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力在中性轴z上 149 圆截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z处 其计算公式为 第四章弯曲应力 4 圆截面梁 150 圆截面梁在竖直平面内弯曲时 其横截面上切应力的特征如图a所示 认为离中性轴z为任意距离y的水平直线kk 上各点处的切应力均汇交于k点和k 点处切线的交点o 且这些切应力沿y方向的分量ty相等 第四章弯曲应力 a 因此可先利用公式求出kk 上各点的切应力竖向分量ty 然后求出各点处各自的切应力 151 例题对于由56a号工字钢制成的如图a所示简支梁 试求梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹板上a点处 图b 的切应力ta 梁的自重不计 第四章弯曲应力 152 图d为该梁的剪力图 最大剪力为fs max 存在于除两个端截面a b和集中荷载f的作用点处c以外的所有横截面上 d 第四章弯曲应力 解 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示 且根据型钢表有ix 65585 6cm4和 前者就是前面一些公式中iz 而后者就是我们以前在求tmax公式所以 153 第四章弯曲应力 d 154 其中 于是有 155 腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示 第四章弯曲应力 tmax 156 1 校核强度2 设计截面尺寸3 确定外荷载 第四章弯曲应力 梁的切应力强度条件 157 需要校核切应力强度的几种特殊情况 铆接或焊接的组合截面 其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时 要校核切应力强度 梁的跨度较短 m较小 而fs较大时 要校核切应力强度 各向异性材料 如木材 的抗剪能力较差 要校核切应力强度 第四章弯曲应力 一般情况下 细长梁 正应力起控制梁的主要作用 158 梁在荷载作用下 必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件 在选择梁的截面尺寸时 通常先按正应力强度条件定出截面尺寸 再按切应力强度条件校核 第四章弯曲应力 159 第四章弯曲应力 例题4 10图示梁为工字型截面 跨长2a 4m q 25kn m 材料许用应力 s 160mpa t 100mpa 试选择工字钢型号 解 1 画内力图 确定fsmax mmax 160 第四章弯曲应力 2 按正应力强度条件选型钢 查表选32a工字钢 3 校核切应力 161 4 6梁的合理设计 第四章弯曲应力 合理配置梁的荷载和支座 合理布置载荷 162 第四章弯曲应力 163 第四章弯曲应力 合理布置支座 164 第四章弯曲应力 165 1 尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处 以使弯曲截面系数wz增大 由四根100mm 80mm 10mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁 角钢的长肢均平放 故四种截面的高度均为160mm 他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩iz和弯曲截面系数wz如下 第四章弯曲应力 合理选取截面形状 166 图a所示截面 图b所示截面 图c所示截面 图d所示截面 第四章弯曲应力 167 2 对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料 例如建筑用钢 制成的梁 其横截面应以中性轴为对称轴 对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料 例如铸铁 制成的梁 宜采用t形等对中性轴不对称的截面 并将其翼缘置于受拉一侧 如下图 第四章弯曲应力 168 第四章弯曲应力 例4 18图 为充分发挥材料的强度 最合理的设计为 因 即 169 合理设计梁的外形 可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁 若使梁的各横截面上的最大正应力都相等 并均达到材料的许用应力 则这种变截面梁称为等强度梁 第四章弯曲应力 170 第四章完 第四章弯曲应力 171 复习要点 理解对称弯曲 平面弯曲 纯弯曲 横力弯曲 中性层 中性轴等基本概念 第四章弯曲应力 掌握横截面上剪力与弯矩 梁的剪力与弯矩方程的计算方法 直接外力法 以及剪力图和弯矩图的作法 熟练运用微分关系 绘制剪力 弯矩图 熟悉简单载荷下剪力 弯矩图的特征 并能正确地应用叠加原理绘制弯矩图 172 了解几种常用截面的弯曲切应力分布规律 能正确计算最大切应力 并校核切应力强度 第四章弯曲应力 理解弯曲正应力的分布规律及正应力的计算 能熟练地应用正应力强度条件进行强度计算 记住圆形 矩形截面的弯曲截面系数 173 图a所示受满布均布荷载的简支梁 其最大弯矩所在跨中截面上 下边缘上的c点和d点处于单轴应力状态 stateofuniaxialstress 图d及图e 故根据这些点对该梁进行强度计算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应力强度条件 第四章弯曲应力 小结 弯曲应力 梁的强度条件 174 第四章弯曲应力 该梁最大剪力所在两个支座截面的中性轴上e和f点 通常略去约束力产生的挤压应力而认为其处于纯剪切应力状态 shearingstateofstress 图f及图g 从而其切应力强度条件是按纯剪切应力状态建立的 即梁的切应力强度条件为 亦即 式中 t 为材料在横力弯曲时的许用切应力 175 图a所示梁 其既有剪力又有弯矩的横截面m m上任意点g和h处于如图h及图i所示的平面应力状态 stateofplanestress 第四章弯曲应力 这时不能分别