材料力学教学课件PPT弯曲应力.ppt

第六章弯曲应力 6 1引言 梁弯曲时 横截面上存在何种应力 内力 应力 p p pa cd段 纯弯曲 只有弯矩 无剪力 ac db两段 横力弯曲 既有弯矩 又有剪力 等截面直梁 如图所示 引例 梁纯弯曲时 横截面上只有正应力而无切应力 梁作横力弯曲时 横截面上既有正应力又有切应力 6 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 从三方面考虑 变形几何关系 物理关系 静力学关系 一 变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验 1 实验现象 2 各横向线仍保持为直线 并在相对旋转了一个角度后 各纵向线与横向线间仍保持正交 1 纵向线变为彼此平行的弧线 梁上部的纵线缩短 下部的纵线伸长 同一层 高度 的纵向线变形相同 即曲率相同 3 矩形横截面上宽下窄 2 两个假设 1 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面 并仍垂直于变形后的轴线 只是横截面绕某轴旋转了一个角度 这就是梁在纯弯曲时的平面假设 2 单向受力假设 认为纵向纤维之间无挤压作用 于是各纵向纤维均处在单向受拉或单向受压的状态 3 推论 梁在弯曲变形时 靠近凹边的纵向纤维缩短 靠近凸边的纤维伸长 根据变形的连续性 其中必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短 即保持原来的长度 这一纵向纤维层称为中性层 中性层与横截面的交线称为中性轴 4 几何分析 变形后中性层的曲率半径 4 几何分析 求距中性层为y处的纤维 bb 的变形 变形后 变形前 即 由实验观察 横截面变形后仍保持为平面 且仍与轴线垂直 0 变形后中性层的曲率半径 二 物理关系 由假设 2 知 各纵向纤维为单向拉压 所以在弹性范围内有 说明 到这一步 我们可推知正应力 随y的变化规律 但还不能确定其值 y在梁的纵向对称面内 为横截面的对称轴 z为横截面的中性轴 三 静力学关系 垂直于截面的正应力只可能合成为截面上三个内力 轴力fn 对y轴的力偶矩my 对z轴的力偶矩mz 由于梁纯弯曲时横截面上仅存在弯矩mz 而无其他内力分量 所以 由fn 0 得 中性轴过形心 由my 0 得 由于y轴是截面的对称轴 故惯性积iyz 0 上式自然满足 由mz m 得 纯弯曲梁的正应力公式 一 变形几何关系 二 物理关系 三 静力学关系 总结 说明 2 适用于直梁或小曲率曲梁 1 适用于材料处于线弹性的情形 3 用该公式计算正应力时 应考虑m和y的正负号 4 公式不仅适用于矩形截面 而且适用于其它一些截面 如 t字形梁 工字形梁 圆截面梁等 5 纯弯曲梁横截面上正应力分布 m 0 m 0 6 最大正应力取值 压应力 中性轴为截面的对称轴时 最大应力发生在上下边缘处 当中性轴不是截面的对称轴时 最大正应力计算 惯性矩iz和抗弯截面模量wz的计算 6 3横力弯曲时横截面上的正应力 一 横力弯曲时的正应力 1 平面假设不成立 2 纵向纤维间存在互相挤压现象 与纯弯曲比较 精确的研究表明 当梁的跨度 l 与梁的高度 h 相比足够大 l 5h 时 由于截面上剪力的存在引起的误差略去不计 5 横力弯曲时正应力近似为 横力弯曲时最大正应力为 wz 为抗弯截面模量 二 梁的正应力强度条件 说明 对抗拉和抗压许用应力相等的材料 如低碳钢等 只需让绝对值最大的应力不超过许用应力即可 对抗拉和抗压许用应力不等的材料 如铸铁 则需分别校核最大拉应力和最大压应力 三 梁强度计算的三类问题 a 强度校核 b 梁的截面设计 c 梁的许用载荷计算 例 图示钢制矩形截面简支梁 已知 p 6kn 截面宽度b 30mm 高度h 60mm 试求梁竖放和横放时梁内最大正应力 并分别画出应力沿截面高度的分布图 解 求支承反力 作弯矩图 竖放时 横放时 比较两者可见 竖放比横放受力合理 例 图示悬臂梁 自由端承受载荷f 15kn作用 试计算截面b b的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力 解 1 确定截面形心位置 选参考坐标系 2 计算截面对中性轴的惯性矩 3 计算最大弯曲正应力 截面b b的弯矩大小为 在截面b的上下边缘处 分别作用有最大拉应力与最大压应力 例 已知l 1 2m 170mpa 18号工字钢 不计自重 求 p的最大许可值 解 作弯矩图 由图可得 则 故 查表 由 故b截面为危险截面 例 图示铸铁梁 其截面为t形 截面尺寸如图 铸铁的许用拉应力 t 30mpa 许用压应力 c 160mpa 试校核该梁的强度 解 1 计算支反力 画弯矩图 2 确定截面形心位置 计算对中性轴的惯性矩iz 以z1轴为参考轴 上下边缘距中性轴的距离为 计算截面对于中性轴的惯性矩 3 判断危险截面与危险点 校核梁的强度 可能的危险截面 c b截面 对b截面 对c截面 对b截面 对c截面 小结 1 对抗拉和抗压强度不等的材料 需同时校核最大拉应力和最大压应力 2 对抗拉和抗压强度不等的材料的梁 危险截面不一定在mmax的截面 综上 梁的强度不足 例 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍 宽度减小一半时 从正应力强度条件考虑 该梁的承载能力将是原来的多少倍 解 由公式 可以看出 该梁的承载能力将是原来的2倍 例 图示梁的截面为t形 材料的许用拉应力和许用压应力分别为 t 和 c 则y1和y2的最佳比值为多少 为截面形心 cl8tu9 解 例 图示三种截面梁 材质 截面内 max max全相同 求三梁的重量比 并指出哪种截面最经济 解 由题意可知 即 例 简支梁ab 在 截面下边缘贴一应变片 测得其应变 6 10 4 材料的弹性模量e 200gpa 求载荷p的大小 cl8tu13 解 c点的应力 c截面的弯矩 由 得 一 弯曲时截面上的切应力 对横力弯曲 截面上内力 弯矩 剪力 截面上正应力 的合成结果 截面上切应力 的合成结果 梁的强度一般由其弯曲正应力控制 但有些情况需考虑梁的剪切强度 如 短粗梁 腹板很薄的工字梁 1 矩形截面梁 切应力分布假设 1 截面上任点的切应力 与剪力fs平行 2 切应力 沿宽度b方向均匀分布 6 4弯曲切应力 由切应力互等定理 顶面pr上有与侧面相等的剪应力 其合力为 由微段的平衡 梁中dx微段的受力 应力分布 再用平行于中性层且距离为y的平面pr在微段中截出一部分prnn1 由微段的平衡 应力分布 而 故 注意的计算 可以推导出 由切应力互等定理 为横截面距中性轴为y的横线以下部分的面积对中性轴的静矩 其中 1 fs 横截面上的剪力 2 iz 整个截面对中性轴的惯性矩 3 b 横截面在所求点处的宽度 4 横截面任一点切应力计算公式 矩形截面上任一点的切应力公式 当l h时 最大剪应力比最大正应力小得多 且当l 10h时 max 5 max 最大正应力与最大剪应力的比较 如右图 所以有 2 工字形截面梁 腹板部分的切应力 其中 腹板部分的切应力关于截面高度成抛物线分布 由于b比b小得多 所以 即认为腹板部分的切应力近似均匀分布 3 圆截面梁 2 同一层 在y方向上的分量 y为常数 1 与fs的方向不一致 如外边缘上的方向与切线一致 假设 1 同一层上各点 的作用线都通过同一点p 其中 fs横截面上的剪力 iz圆截面对中性轴的惯性矩 d剪应力所在的弦长 sz 剪应力所在弦的上方或下方面积对中性轴的静矩 max 2 公式 由上面的假设 对 y而言 就与对矩形截面所作的假设完全相同 于是 圆截面梁的剪应力公式可表示为 max一定在中性轴 y 0 上 其方向和剪力一致 且 误差 5 说明 或 梁的横截面上任一点的正应力 梁的横截面上任一点的切应力 例 梁截面如图所示 剪力fs 15kn 并位于梁的x y平面 试计算该截面的最大弯曲切应力 以及腹板与翼缘交接处的弯曲切应力 截面的惯性矩iz 8 8410 6m4 解 1 最大弯曲切应力 最大弯曲切应力发生在中性轴上 中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为 故最大弯曲切应力 2 腹板与翼缘交接处的弯曲切应力 腹板与翼缘交接线一侧的部分截面对中性轴的静矩为 腹板与翼缘交接线处的弯曲切应力 二 弯曲切应力强度校核 说明 对于细长梁的截面设计 由正应力强度条件确定的截面尺寸一般都能满足剪应力强度条件 短粗梁 或集中力作用与支座附近时 木材顺纹方向的剪切强度低 须校核剪应力 薄壁截面梁 如 工字形截面梁 梁由几部分经焊接 胶合等而成 其焊缝 胶合面处剪切强度 但对于下列情况需用梁的剪切强度校核计算 例 试求图示 t 字形截面梁的最大切应力 解 1 由剪力图确定危险截面 2 求iz 3 求 max 例 已知p 50kn a 0 15m l 1m 160mpa 100mpa 梁由工字钢制成 试选择工字钢型号 解 1 由剪力图和弯矩图确定危险截面 2 由正应力强度条件选择截面 查附表 选用10号工字钢 3 校核切应力强度 查附表 对10号工字钢 故 4 重新选择截面 查附表 改选用12 6号工字钢 则 满足切应力强度条件 最后选用12 6号工字钢 控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力 提高梁强度的两个途径 减小mmax 增大w 一 合理安排梁的受力情况 1 合理布置梁的支座 6 5提高弯曲强度的措施 2 合理设置载荷作用位置 3 加副梁 二 选择合理的截面形状 所谓 合理 是指用最少的材料获得最大的wz 即截面积a较小 而抗弯截面模量wz较大 可用来衡量截面的合理性 越大越好 几种