（精密仪器及机械专业论文）光学微腔谐振模式控制原理研究.pdf

摘萤 摘要 本文使用时域有限差分法对祸合状态下的光学微腔进行了数值建模。对于棱镜 耦合方式下的入射场设置，利用解析丌拓理论首次给出了脉冲入射场的显示解析表 达，从而有效地减少了计算量。通过数值模拟和分析，系统地研究了微腔中不同阶 径向模的各方面性能的差异。本文还研究了数种非单一均匀介质微腔的性能改 变，指出了折射率改变量和折射率的梯度丽者的作用。在此基础上讨论了通过改变 耦合参数和改变折射率分布来选择性增强特定模式和改善微腔性能的途径。 关键词：光学微腔，谐振模式，时域有限差分法 中固科学技术人学坝l 论殳摘爱( 英殳 a b s t r a c t an u m e r i c a lm o d e lf o rc o u p l e do p t i c a lm i c f o c a v i t yis s e t u pu s i n g t h e “n i ( e d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ( f d t d ) a na n a l y t i c a le x p r e s s i o n o f t r a n s i e n ti n c i d e n tw a v ei sf l o u n dt or e d u c et h ea m o u n to fc a l c u l a t i o nw h e n t h em i c r o c a v i t yisc o u p e dw i t hp r i s m s d i f f e r e n c eo fd i f f e r e n tr a d i a lo r d e r m o d e si s f u l l ys t u d i e d f i v et y p e s o fm i c r o c a v i t i e so fd i f f e r e n ti n d e x d i s t r i b u t i o n sa r ea l s os t u d i e d b a s e do nt h e s ea n a l y s isw ed i s c u s s e dw a y s o fe n h a n c i n gc e r t a i nm o d e sa n dw a y so fi m p r o v i n gm i c r o c a v i t yp e r f o r m a n c e k e y w o r d s ：o p t i c a lm i c r e c a v i t y ，r e s o n a n c em o d e ，f d t d l l 中周科学技术人学坝l 论殳 第一章结论 第一章绪论 1 1 光学微腔谐振器 光学微腔是指线度约在5 朋至5 0 0 p m 之问的光学介电谐振器。通常使用的介 电材料是二氧化硅等光学玻璃。微腔形式有微型多边棱镜，微型圆柱，微型圆盘， 微型圆环微球等多种。近年来，光学微腔由于其高品质因数( 9 n 1 0 州1 一) 和低 模式体积而受到同益广泛的研究和应用。它在要求极细线宽，极高能量密度和亮度 或极细微探测能力的场合具有很好的应用前景，例如非线性光学，腔体量子电动力 学( c a v i t yq u a n t u me l e c t r o d y n a m i c s ，简称c q e d ) ，以及窄带光学滤波，高灵敏 度运动传感器和极低闽值激光器。光学微腔的这些特性来源于其独特的回音壁模式 ( w h i s p e r i n g6 a 1 1 e r ym o d e ，简称w g m ) ：光波在微腔内表面上不断进行全反射， 从而被约束在腔内并沿腔的周边绕行。 对介电微腔中的回音壁模式的理论分析在很早就丌始了。早在1 9 3 9 年 r i c h t m y e r 就已经首次观测到球形物体中维持的高品质因数谐振模式“ 。随后的研 究者对其模式原理进行了解释。但是其应用却因为缺乏实用且高耦合效率的耦合方 式与器件而停滞。八十年代，随着近场耦合理论及技术的发展，微腔研究与应用得 到较大发展，随即产生了各种耦合器件。其中以一定倾角磨平的光纤o ”和条状基底 抗谐振反射光波导“ ( t h es t r i p l i n ep e d e s t a la n t i r e s o n a n tr e f l e c t i n go p t i c a l w a v e g u i d e ，简称s p a r r o w ) 两种耦合器件被认为是近年来发展出的较好的。在此基 础上，光学微腔在许多领域得到应用。特别是在窄带光学滤波，腔体量子电动力学 以及极低阈值激光器中得到了较多应用。国内也开展了对微腔的研究，近年来的研 究主要集中于微球腔o _ 6 】。例如l uy i n g 等讨论了锥形光纤与微球腔耦合的优化条 件，并且对使用了非线性介质的该耦合系统的光学双稳态和差分放大现象进行了研 究。上海光机所的王育竹等利用固体微球腔量子电动力学效应，获得了新的激光谱 线。目前总体上，回音壁模式的光学微腔，其应用主要是在二维的圆柱，圆盘，圆 环类型的微腔方面，而三维的微球腔应用j 下处于起步阶段。 1 2 时域有限差分法( f d t d ) 光学微腔分析的属于高频电磁场问题。对于该类问题解决的最终要求是，求得 中困科学技术人学倾：论文 第一章绪论 满足实际条件的m a x w e l l 方程的精确解答，获得封闭形式的解析解并给予币确的物 理解释一向是研究者希望的解决问题的最佳结果。但是只有很少数典型几何形状和 结构与介质分布简单的问题4 有可能求得严格解折解。对于绝大部分问题，能够发 挥作用的唯有各种数值方法。这些数值方法主要有属于频域技术的有限元法，矩量 法和单矩法等：属于时域技术的时域有限差分法，传输线矩阵法和时域积分方程法 等：此外还有属于高频技术的几何衍射理论和衍射物理理论等。其中，时域有限差 分法( t h ef i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ，简称f d t d ) 由于其突出的优 点在近年来得到了广泛发展和应用m 书 。 1 9 6 6 年，k a n es y e e 首先提出用y e e 氏网格的空间离散方式，把带时间变量 的m a x w e l 1 旋度方程转化为差分格式，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体的作用 的时域响应，从而诞生了f d t d 。当时由于算法本身的不完善和处理器速度的限制， 该算法的应用范围较小。8 0 年代后期以来，随着算法的完善和改进，以及处理器能 力的提高，f d t d 迅速扩大了它的应用范围。 作为一种电磁场的数值计算方法，f d t d 具有如下一些突出优点： 直接的时域计算。f d t d 能直接模拟出电磁波的传播及其与物体的相互作用 过程，给出非常丰富的电磁场问题的时域信息。若需要频域信息，只需对时域响应 进行陕速傅立叶变换( f f t ) 即可。 二广泛的适用性。由于f d t d 的直接出发点是概括电磁场普遍规律的m a x w e ll 方程，因此具有最广泛的适用性。 三节约存储空间和计算时间。f d t d 算法所需要的存储空间与网格数成正比， 主要计算时间也与网格数成正比，优于其它数值算法。 四适合并行计算。f d t d 算法特点是，每一网格点上的电磁场只与其本身上一 时间步的场值以及周围相邻网格点处的电磁场有关，因而特别适合并行计算。 五计算程序的通用性。由于f d t d 的差分方程直接出发于m a x w e l l 方程，因而 对于广泛的问题是不变的，很多问题中只需给网格赋予不同的参数来模拟不同的计 算对象，大部分的程序可以通用。 六简单，直观，容易掌握。 目f i i ，f d t d 已经被应用到电磁场工程的各个方面，例如目标电磁散射特性研究， 电磁兼容问题，天线辐射特性的计算，微波电路和光路时域分析，生物电磁剂量学 研究以及瞬态电磁场研究。 中闺 学技术人学坝i 论史 第一章绻论 1 3 光学微腔模式研究进展 目前，回音壁模式的光学微腔，特别是二维的圆柱，圆盘，圆环类型的微腔， 已经获得了许多应用，三维的微球腔也获得了初步应用。但以上都是结构与介质分 籼最简单的微腔，因为其理论上易得到精确的解析解，分析较清楚，制造上也较容 易。但这些微腔也存在一些问题。 例如，微腔中存在着径向的多阶回音壁模式，其中的最低阶模式具有最高的品 质因数和最小的模式体积，而通过近场耦合激发出的回音壁模式同时含有低高阶模 式，因此与单纯的最低阶模式相比，激发效率降低，能量分命变得分散，对于波分 复用器( w a v e e n g t hd i v i s i o nm u l t i p l e x e r ，简称w d m ) 而占，意味着增加了信道 间的串扰。为了提高微腔的性能，需要对不同阶模式的特性之间的差异进行更详细 的分析，并且探索抑制高阶模式，增强低阶模式的途径，使微腔的性能得到进步 提高。在这方面，目前仅有h a g n e s s 等对圆环作了一些初步的抑制高阶模式的数值 计算! ，他们讨论了两种方法：一改变圆环的宽度：二改变用于耦合的光波导的 宽度。但是他们仅从数值上作了初步计算，缺乏进一步更详细的分析和解释。 另外，当适当改变微腔的介质分行，使之不再是单一均匀介质的微腔，将会对 微腔的性能产生哪些影响，是否有利于微腔性能的改善，这些影响对不同阶模式的 作用大小有何差别，是否有利于抑制高阶模式，增强低阶模式。在这方面目前尚无 相关的研究报道。 1 4 本文的研究目标 本文将以棱镜耦合状态下的圆柱型微腔为代表进行研究。因为各种二维和三维 的微腔的形式虽然不同，但其原理都是回音壁模式，所以研究所得的结果并不只限 于二维的圆柱，而是可以推广到各种形式的微腔。基于上述讨论，本文将以下三方 面的问题作为论文的主要研究目标： 一针对棱镜耦合状态下的圆柱型微腔，使用f d t d 方法进行数值建模。 二数值模拟和分析单一均匀介质微腔中不同阶模式的各方面的差异，研究选 择性增强特定阶模式的途径。 三数值模拟和分析五种非单一均匀介质微腔相对于原来的单一均匀介质微腔 性能的改变，探讨选择性增强特定阶模式和进一步改善微腔性能的途径。 ! 旦型! 塑查盔兰堡! ：堡兰 苎三主堂堂燮堕! ! 堡堂 第二章光学微腔谐振器 本章介绍光学微腔谐振器的谐振原理，特点，祸合方式，耦合器件和应用。 各种光学微腔虽然形式不同，但其谐振原理是相同的，均为回音壁模式。因此 我们将结合三维的微球腔来说明回音壁模式的光学微腔谐振原理。 2 1 光学微腔的谐振原理 以微球腔中的横电( t e ) 型波为例说明回音壁模式的谐振原理。如图2 - 1 ，设 折射率为h ，半径为r 的介电微球位于真空中。以微球中心作为坐标原点，在球坐 标( r ，0 引0 ，石】，妒 0 , 2 ，r 】) 下，回音壁模式的电磁波场可由d e b y e 势函数 v ( r ，0 ，p ) 表示为一3 ： 传播 图2 - 1 球坐标系统定义及基本回音壁模式传播方向 豆= r d r ( 尹缈) ，( 2 1 ) y = a e - , o “e , m w 州c 。s 盼j ( ( k n j r ) ) , w ) 妒( 蛾： ( 2 2 ) 其中b ”( c o s o ) 为连带勒让德函数，( _ b l ，r ) 与研”( 鼢) 为球贝塞尔函数，a 为 系数，k 为真空中光波的波数。 以上由d e b y e 势函数表示的场分布较复杂。l i t t l e 等讨论了场的偏振方向相对 于球坐标轴为常数的情况，在赤道附近( 1 1 0 一厅2 i ) 场的分布经过简化可近似 表述如下【l “： e = 岛0 = 一。0 ( 2 3 ) 中周科学技术人学钡i j 论文 第一二章光学微腔谐振器 甲。( r ，臼，妒) = n e x p j m 6 p e x p 一m ( 0 一要) 2 h 。，( 4 - 磊m ( o 一- 2 4 ) 2 ) ，qn f j ，( k n 、，) ， r r “ il ( 女 r ) e x p 一a 。( r 只) ) ，r r 其中l m i l n 为归一化系数，h 。，( - u m m 0 ，) 为哈密特多项式，系数 a 、= ，( f + 1 ) 尺2 一k 2 。 回音壁模式下的光波传播可理解为：光波在微球的内表面上不断进行全反射， 从而被约束在球内并沿球的大圆绕行，同时为了使绕行中光波不断叠加得到增强， 光波绕行一周后应满足一定的相位匹配条件。公式( 2 2 ) 与( 2 4 ) 中除时间指数项 外，其余可分为两部分：含纯虚指数的项e x p j m p ) 和其它实数项。纯虚指数项 e x p 加妒) 反映了光波的绕行特点，而其它项则反映了场振幅的分布。在球外的光 场则是局限于球表面附近的倏逝波( e v a n e s c e n tw a v e ) ，公式( 2 4 ) 中系数口f 是描 述了在球外场的振幅在矢径( r ) 方向是指数下降的。光场的绝大部分能量处于球 内，球外的能量则很微弱，并且由于球外是非传播波，因此从球内透出球外的平均 能流为0 。这就使回音壁模式下的微球具有极高的品质因数和极小的模式体积。 公式( 2 1 ) 至( 2 4 ) 表示的模式场的分布可由如下三个一组的参量描述：，聊， q 。给定一组参量则可由自然边界条件和介质边界条件决定对应的谐振频率。其中 ，为模式数，直接与谐振波长相关，约等于微球大圆周上能容纳的波长数 ( f 2 斌 ，旯) 。9 为球贝塞尔函数，( 加，r ) 在球内的极值数目，即光波的振幅在 径向的波腹数目，反映了球内光波场在径向的分布，不同的g 对应于径向的不同阶模 式，口= l 为最低的一阶模式。小等于赤道平面上的场的极大值数目 ( m = 一，0 ，+ f ) ，描述了光波在球内绕行的方向。相同的，q 下不同的m 所代 表的模式实际上对应于沿不同倾角的大圆而绕行的光波。这些光波的绕行平面与赤 道面的夹角各不相同，而其它方面完全相同。脚的大小反映了光波绕行矢量在口方 向上投影分量的大小。而朋代表了绕行方向完全相反的一对光波。因此，对于一 个完美的介电微球，谐振频率仅与，q 有关，相同的，g 下不同的m 所代表的模 式在频率上是可以简并的。 在所有回音壁模式中，t e 川，。( ，= i 聊i ，q = 1 ) 具有最集中的场分布。由连带勒让德 函数的性质可知，一川+ 1 对应于极距角( 0 ) 方向的场的极大值数目，而q 为光波 的振幅在径向的波腹数目，因此碣 。( ，= l m i ，q = 1 ) 在径向和极距角方向都仅有一个 中圆科学投术人学顺 j 论文 第二章光学微腔靖振器 极大值，并且具有最小的衍射能量损失，从而具有最高的品质因数和最小的模式体 积，可称之为基本回音壁模式。在基本回音壁模式下，光波由于受到径向介质界面 的全反射以及极距角方向的圆周曲率的约束而在赤道面( 0 = 丌2 ) 上沿紧贴球面 的大圆绕行。 以上讨论的是三维的微球腔中的回音壁模式。对于圆盘，圆环和圆柱型的微脏， 由于仅有一个大圆周，因此光波的绕行方向是固定的，即相当于m = - + l 。在光波的 绕行平面中，与q 依然可以描述光波场的分布特点。而在与光波绕行平面的垂直 的方向，可分为两类情况：第一类是圆盘型，存在上下底面约束光波场。第二类是 长圆柱体型，这类在该方向上无任何约束，因而该类问题可化成二维问题。 可以看出，光学微腔的回音壁模式和导体壳构成的谐振腔的谐振模式是相似 的。但两者约束原理不同，前者是基于全反射，后者基于导体对电磁波的强反射作 用，并伴有焦耳热损耗。 2 2 光学微腔的特点 由于回音壁模式对光波的强烈约束作用，使光学微腔具有很高的品质因数和很 小的模式体积。 品质因数的定义为“： q = 每 ( 25 ) 其中兀为谐振频率，v 为能量频谱中谐振峰的半高宽。 光学微腔的品质因数q o ( 非耦合状态- f ) 由如下一些因素决定“： q 0 1 = q ；d + 绞：+ 豌， ( 2 6 ) 其中q 。为本征品质因数，指由微腔表面曲率导致的本征辐射损失，也称为回 音壁模式损失。q f ，指散射损失，包括由介质的不均匀性和污物引起的损失以及微 腔表面附近空气中的水汽导致的损失，可基于瑞利散射模型估算。绒。指材料吸收 导致的损失。 本征辐射损失随微腔直径上升而指数下降，对于微球腔，当d a 1 5 时( d 为微球腔直径) ，g 。 1 0 “，这时q o 主要由散射损失和材料吸收损失决定。而对 于小尺寸微球( d 2s 1 0 ) ，q o 主要由本征辐射损失决定。实验上，一个7 5 0 , u m 中冈科学技术人学坝i j 论史 第一章光学微腔谐振器 的熔融二氧化硅制成的微球腔，置于空气中，在光波长为6 3 3 n m 时，( ；o r o d e t s k y 等 ：13 观测到的品质因数值为9 0 = ( 0 8 0 1 ) 1 0 ”。 回音壁模式下的光学微腔同时具有很小的模式体积。 模式体积的定义为”“： 肾聪 ( 2 7 ) 即微腔中的总能量等于在能量密度为微腔中最高值的体积为的空间中分布 的能量。由于微腔本身的体积小，而在基本回音壁模式下，微球腔中光波的能量在 径向和极距角方向都仅有一个极大值，能量集中在赤道面上紧贴球面的大圆坏这一 狭小区域。 2 。3 回音壁模式的耦合 处于回音壁模式下的微腔虽然具有很高的品质因数，但模式所对应于球外的光 场分布却是一倏逝波，而不象f a b r y p e r o t 谐振器那样对应的为传播波。因此，当 用平面波直接照射微腔时，由于很大部分光穿过微腔而没有耦合到回音壁模式中， 因而耦合效率很低。具有较高效率的耦合方式是通过其它电介质物体产生的倏逝波 耦合，即近场耦合。这样可以直接在微腔内激发起回音壁模式。 目前使用的耦合器件分为多模和单模两类，前者有棱镜耦合器，全反射显微镜。 后者有光纤耦合器，微细加工成的半导体光波导等【l ”。光纤耦舍器中又有锥形光纤， 一侧磨平的折弯光纤以及以一定倾角磨平的光纤等类型。 振幅沿 方向指 下降 平面波全反射 图2 - 2 棱镜与微腔的耦合原理图 图2 - 2 为棱镜耦合方式。平面波在棱镜与真空的表面产生全反射，在棱镜表面 附近的真空中产生的倏逝波耦合到介电微腔内重颓成为传播波，该传播波再次入射 中国科学技术大学硕 ：论文第二章光学微腔谐振器 到微腔内表面时被全反射，从而激发出回音壁模式。 棱镜耦合使用灵活，但是体积过大，而且与光纤一起使用时需要光学校准器件。 光纤耦合器件中，锥形光纤仍具有较大体积，而且易碎，一侧磨平的弯曲光纤由于 相位匹配不好而耦合效率较低。一定倾角磨平的光纤则有效地提高了耦合效率而且 体积紧凑。另外，一种新型的微细加工成的光波导器件：条状基底抗谐振反射光波 导s p a r r o w 也克服了前两类光纤与棱镜耦合器的不足。此前的光波导必须覆盖一层 低折射率介质防止光波泄漏到底层中，而在化学气相淀积类型的光波导加工技术中 要找到比二氧化硅的折射率低很多的材料并不容易。s p a r r o w 通过交替的高，低的 折射率层组成的介质堆将微球腔，波导与底层隔离开来。在第一个分界面上的反射 率超过9 9 9 6 。 在耦合状态下，微腔的外场由于受到耦合器件的影响而改变，使其谐振频率有 极微小偏移，而且品质因数也有所下降： 9 = 鳊+ 绞1 ( 2 8 ) 其中q 。为耦合方式决定的品质因数。以棱镜耦合的微球腔为例，g o r o d e t s k y 等得出“： ”鸳掣( r ) 3 , 2 e x p 2 7 d z 七历， ( 2 。， 其中n ，为棱镜折射率，d 为微球与棱镜表面的最近距离。从中可以看出，品质 因数不光与微球腔本身有关，而且与棱镜折射率，间距有关，特别是与间距成指数 关系。因此，这是一个可大幅调节品质因数的谐振器。相比之下，f a b r y p e r o t 谐 振器的品质因数主要由超高反射膜的反射率决定，不易作大幅调整，因而光学微球 腔比f a b r y p e r o t 谐振器应用更灵活。 2 4 光学微腔的应用 由于其高品质因数，低模式体积以及易制备和易操纵性，光学微腔已经在窄带 光学和微波滤波，高灵敏度运动传感器和极低阈值激光器，以及非线性光学，腔体 量子电动力学等许多领域得到了应用。这里限于篇幅，只选两例作简单介绍。 中国科学技术人学顺卜| 人业 第二章光学微腔谐振器 2 4 1 腔体量子电动力学中的应用及极低阈值激光器 在腔体量子电动力学中，需要高品质因数和低模式体积的谐振腔以获得极高的 能量密度，从而观测各种量子光学效应，或者实现低阈值的激光发射。以前的多层 半导体激光器激发闽值低，但工作于低品质因数的方式下。而高品质因数的f a b r y p e r o t 微谐振腔又需要特殊的超高反射膜以及极精确的加工和定位装置，技术上实 现较难。相比之下，回音壁模式下的光学微球腔既具有高品质因素，又易于制备和 操纵，因而是更理想的谐振腔。n o r r is 等使用微球腔成功实现了对球腔表面单分子 的激发，揭示了单分子腔体量子电动力学现象( 1 “。 在低阈值的激光发射方面，含有不同掺杂物的极低闽值的微球腔激光器已由多 人实现。例如，1 9 9 6 年s a n d o g h d a r 与其合作者实现了吸收泵浦功率为2 0 0 n w 的激 光器n 。图2 3 是其激光器原理图。该激光器使用了掺钕离子的二氧化硅介电微球， 直径在5 0 船n 至8 0 b a n 之间，品质因数为1 0 8 数量级。两个二极管激光器l d l 和l d 2 发出的8 0 7 n m 和1 0 8 0 n m 光束在介电微球内激发出回音壁模式。光电二极管p d i 检 测被吸收的功率，p d 2 检测出钕离子能级跃迁时产生的1 0 6 0 1 0 9 0 n m 的激光。 图2 - 3 极低阈值的激光器实验装置图“ l d l ，l d 2 ：二极管激光器；p d l ，p d 2 ：光电二极管 实验中通过逐步增加入射功率来探测该激光器的闽值。当入射到棱镜面上的泵 浦功率为l m w ，而p d l 检测到的吸收泵浦功率为2 0 0 n w 时，p d 2 检测到了激光输 出。由于激光从微球耦合到棱镜的效率仅有5 ，并且探测路径上的能量损失为9 0 ， 因此在吸收泵浦功率为2 0 0 n w 至8 0 0 n w 时p d 2 检测到激光输出功率为1 0 p w 至 1 5 0 p w 。理论计算表明，该实验参数下，单个回音壁模式下激发出激光时的吸收 泵浦功率可以降为2 ”矽，而实验中由于同时激发出6 0 至8 0 个模式，因而实测阈值 中因科学技术人学颂f ，论史 第二章光学微腔谐振 | 为2 0 0 n w 。该阈值比传统的钕离子光纤激光器的阈值低三个数量级。而且近一步 计算表明，若将实验温度从室温降低到液氦温度，由于线宽的进一步减小，可以制 成无闽值的激光器。在该激光器中，激光激发仅需要一个钕离子和很少量的几个光 子。 2 4 2 极高灵敏度的运动传感器 基于光学微腔的运动传感器对运动的测量主要通过检测运动对谐振特征参量的 改变，例如谐振的频率，线宽和振幅。运动对谐振参量的影响途径有两种：一种是 通过微腔尺度和折射率的改变另一种是耦合参数( 例如棱镜与微腔的耦合间距) 的改变。由于微腔的高品质因数，通过检测谐振参数能够极灵敏地探测到上述两类 改变。 l a i n e 与其合作者利用光学微球腔实现了高灵敏度加速度探测器“。他们采用 了新型的光波导s p a r r o w 与微球耦合，其原理如图2 - 4 。微球通过光纤柄悬于波导 上方。装雹的运动将使微球相对于波导的位置发生改变，导致耦合参数改变。他们 通过检测谐振振幅和线宽的改变，成功地从1 0 0 j g 的背景噪声中实现了l m g 的高灵 敏度的加速度探测。 图2 - 4 加速度传感器原理图“9 s p 灿u 的w 0 中固科学技术人学硕j ：论丈 第三章时域有限差分法 第三章时域有限差分法 f d t d 的算法研究目前已经发展得极为庞大，而且其应用领域也在不断扩大。限 于篇幅，本章仅对本文中数值算法中涉及的方面作简要介绍，更详细的分析可参见 有关著作7 h 。 3 i 时域有限差分算法原理 3 1 1y e e 氏算法 x y 1 璺| 3 - i 一个y e e 氏网格单元及电磁场各分量在网格空间离散点的相互关系 y e e 氏算法采用被称为y e e 氏网格的空间离散方式，把带时间变量的m a x w e ll 旋度方程转化为差分格式。在直角坐标系中的y e e 氏网格如图3 - i 所示。其特点是， 电场和磁场的各分量在空间的取值点被交叉地放置，使得在每个坐标平面上每个电 场分量的四周由磁场分量环绕，同时每个磁场分量的四周由电场分量环绕。这样的 电磁场空间配置符合电磁场的基本规律- - f a r a d a y 电磁感应定律和a m p e r e 环流定 律，亦即m a x w e l l 方程的基本要求，因而也符合电磁波在空间传播的规律。由于电 磁场的计算与计算空间媒质的电磁性质相关，在网格空间中除了规定电磁场的离散 取值点外，还必须同时给出各离散点相应媒质的电磁参量，即介电常数占，电导率 o - 。和磁导率p ，等效磁阻率仃m 。 为说明原理，我们假定所研究的电磁场问题只涉及各向同性，线性且与时间无 关的媒质，但可以存在电磁损耗。于是在无源区域，m a x w e l l 旋度方程可表示为： 中因科学技术人学顺l j 论文 第三章时域有限差分法 可xl = 一“百a h 一。? 两 可x 日= “百0 e + d ? e 其中雷为电场强度疗为磁场强度， 于使方程具有对称性。在电磁场问题中， ( 3 1 a ) ( 3 1 b ) t 为时间。引进等效磁阻率的目的主要在 某些三维问题可简化为二维问题。在散射 】口j 是! ! l 甲，右八射圾利散射1 本明彤状与结构均与z 尢夭，则散射场也将与z 尢夭，十 是三维电磁场问题可在二维上获得解决。方程( 3 1 ) 可以分解为互相独立的横电 ( t e ) 型波和横磁( t m ) 型波，其中横电型电磁波的方程为： 警= 吉c 等一誓q ， z a ， 豢：! ( 冬一吒e d ( 32 5 ) o t删 鲁= 圭c 警坦刚 慨z c ， 而e ：，h ，和h 。均为零。 为简便起见，讨论均匀立方体网格。设空间离散步长为缸= a y = a z = a s ，时 间离散步长为f 。我们用f “( j ，j ，女) 表示在时间为疗f ，空间坐标为( 沁，- ，厶， 血) 处的场值。则在时间和空i n 上均采用具有二阶精度的中心差商近似，可将 m a x w e l l 旋度方程转化为差分方程： e n + l ( “圭，m ) = c a ( f + 丢囊蚋e ( f + 圭，m ) + c b ( f + 圭，m ) ：+ ；( f + 丢，+ 兰，t ) 一日；+ ；( f + 吉，- ，一三，七) ( 3 3 a ) + 日：+ ( f + 圭，j ，一j 1 ) 一日；+ ；( f + 圭，+ 吉) 】 中围科学技术人学硕i 论文 第二三章时域自限差分法 + 三n 扣伽+ i 1n 争h 气+ 圭，t + 争 一小争。， e ：( f + 圭，七+ 1 ) 一e ：( f i ，+ 圭，七) + e ：( f ，七+ 圭) 一e ：7 ( f ，+ 1 ，七+ ；) 其中的系数为； 1 一生堕韭塑 翻( f = i 丽2 g ( i , j , k ) l + 二竺生= 2 c ( i ，j ，k ) ( f 删2 丽a 面t 。歪砸1 2 s ( f ，k ) l 一c r = ( i , j , k ) a t 别( f 删= 忑而2 p ( i , 丽j , k ) 1 + 二生! 芏= 2 , u ( i ，k ) 脚( f 。而a 面t 。歪巫1 巫 2 t ( i ，j ，k ) ( 3 4 a ) ( 3 4 b ) ( 3 4 c ) ( 3 4 d ) 其它的电场和磁场分量可以类似得到。由此可以看出，该算法的大特点是， 每一网格点上的电场分量只与其上一时间步的场值，以及四周环绕它的磁场分量及 有关：同样。每一网格点上的磁场分量只与其上时间步的场值，以及四周环绕它 的电场分量及有关。算法执行时，按时间步推进交替计算电场和磁场的值，从而模 拟电磁场的变化。 3 1 2 数值稳定性 由m a x w e l l 旋度方程按y e e 氏网格所导出的差分方程是一种显式差分格式，它 的执行是通过按时间步推进计算电磁场在计算空间的变化规律。这种差分格式存在 稳定性问题，即时间变量f 与空间变量步长缸，缈和止之间必须满足一定的条 件，否则将出现数值不稳定。这种数值不稳定表现为，随着计算步数的增加，被计 中国科学技术人学顺t 论文 第二三章时域有限差分沾 算的场量的数值无限制地增大，其原因是电磁波传播的因果关系被破坏而造成的。 t a f l o v e 等于1 9 7 5 年对y e e 氏差分格式的稳定性进行了讨论，导出了稳定性条件： r f i = = = = = = = = i = 一 ( 3 5 ) v j c 去，- c 古，2 + c 圭，2 对于均匀r 维立方体网格，稳定性条件简化为： ，牟( 3 6 ) v v 在维情况下就成为： ，s 竺 ( 3 7 ) 也就是说，稳定性条件是要求时间步长不能大于电磁波传播一个空间步长所需 要的时间，否则就破坏了因果关系。 3 1 3 数值色散问题 在非色散媒质中，电磁波的传播速度应该与频率无关。如果f d t d 算法是精确 的，则用f d t d 差分方程在计算中模拟的平面波的相速度应该与频率无关。但是， 由于f d t d 差分方程只是原m a x w e l l 方程的一个近似。在模拟时，在非色散媒质中 也出现色散现象，且电磁波的相速度随波长，传播方向及变量离散化情况而变化， 称之为数值色散。数值色散会导致脉冲波形的破坏，出现人为的各向异性以及虚假 的折射等现象，并且会使某些频率的波的相速度下降到零，即电磁波已不能在这种 网格空间中传播。 研究表明，通过不断减小离散化时取的空间和时间步长可无限地减小数值色 散，但是这意味着存储空间和计算时间的大量增加。因此在实际计算中应根据问题 的性质选取时间和空间步长，使数值色散减小到不影响结果的准确性的程度。一般 要求电磁波的波长大于十个空间步长。 3 2 吸收边界条件 f d t d 算法的一个重要特点是，在需要计算电磁场的全部区域建立y e e 氏网格计 算空间。于是，对于像辐射，散射等这类开放问题，所需要的网格空间成为无限大， 因而不可能实现。在实际计算中总是在某处将网格空间截断，使之成为有限的。这 中固科学技术人学硕1 ：论文第三章时域有限差分法 样的结果是，在网格的截断处就会出现非物理的电磁波反射，严重影响计算精度， 必须设法消除这种反射现象。因此需要一种截断边界网格点处场的特殊计算方法， 它不仅能保证边界场计算的必要精度，而且还能大大消除非物理因素引起的入射到 截断边界的波的反射，使得用有限的网格空间就能模拟电磁波在无界空间中的传 播。加于边界场的适合上述要求的算法称为吸收边界条件( a b s o r b i n gb o u n d a r y c o n d i t i o n s ，简称a b c ) 或辐射边界条件( r a d i a t i o nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，简称 r b c ) 。 在9 0 年代中期之前，曾用过多类吸收边界条件。对吸收边界条件比较系统和 深入的研究主要是沿着两个方向进行：一是利用模零化微分算子来建立辐射边界条 件；二是通过波动方程的因子分解而获得单行波方程，并由此建立吸收边界条件。 但这些的吸收效果都不理想，而且有各自的应用范围，缺乏能被广泛应用的高效吸 收边界条件。1 9 9 4 年，b e r e n g e r 首先提出使用完美匹配层( p e r f e c t i ym a t c h e d l a y e r ，简称p m l ) 的吸收边界条件。它能高效地吸收任意入射角度，任意极化方向 和任意频率的平面波。随后以此为基础的各种完美匹配层的吸收边界条件发展起 来，并得到了广泛应用。下面介绍本文采用的共轴完美匹配层( u n i a x i a lp m l ，简 称u p m l ) 的吸收边界条件。 透入波 图3 - 2 平面波从介质1 入射到p i v i l 中 如图3 2 ，左半空间为各向同性介质( 介质1 ) ，右半空间为共轴各向异性介质 ( 介质2 ) 。介质1 中的平面波疗“s 骨。e x p 一妒：工一，y 入射到介质2 中，分界 面x = 0 。在介质1 和2 中的电磁场均为平面波并且满足m a x w e l l 方程： 口。e 一= c o , 一万h 一 ( 3 8 a ) 口。h = o ) g e( 3 b b ) 1 5 形 中困科学技术人学硕i + 论文第三章时域有限差分法 其中声= 筇，+ 夕卢。为波矢量，上标对旨介质1 中的入射波，a z * 示a 指吸收介质 1 0 0 b j r co o l 万= ，10 d 0 i ( 3 9 h ) l 00d i 。2c一卢；乏6一p一；flc孑；?b，-fl；k?b k 2d：b一。：一。?，：曼。一。?，：口一，善；=00 db i 一( 成) 2 1 o 1 ih i = l 0女2 一( 口? ) 2 一( 口? ) z 口“0 h i 其中女2 = 2 毛“。令其行列式为零可以得到四个波矢量，分别对应于前后向 p ；= t2 6 d 一( ；) 2 口“6 ( 3 1 3 a ) p ；= p ： ( 3 1 3 b ) 此处仅列出磁场，电场可根据平面波性质得到。其中r 和f 分别为反射和透入 系数，可以通过场的边界连续性条件得到： r ：垡二筮芝 口i + p ：b i ，： 型 + k b “ ( 3 1 4 a ) ( 3 1 4 b ) 因此，若雕= f l ，b ，则对于所有入射角度有r = 0 。由公式( 3 1 3 ) ，因此只要 d = b 且口= b 便可满足。 6 中国科学技术人学硕1 娩史 第三章时域有限差分法 对于横磁型波也可类似得n d = b 且c = d 。因此，对于任意的平面波，只要 介质2 满足： 手= 毛s( 3 1 5 a ) 万= ，s( 3 1 5 b ) ；：00 ： 阪， l oo s ：j 则平面波将完全透入介质2 而没有任何反射。这种无反射性能与平面波的角度， 极化方向，频率均无关。但是透入介质2 的平面波若不损耗，传播到最外的网格边 界上将依然引起反射，因此s ，的选择应使介质2 为损耗介质，例如选择 s 。= 1 + 口，j 6 0 s o ，贝4 有 h 2 = o r e x p 一，x j f l ；y i e x p - 仃，7 l s ，lc o s 0 x ) ( 3 1 6 ) 其中0 。为相对于x 轴的入射角，7 = l 6 1 ，占。= 毛s 。 由此，透入介质2 的平面波将由于介质的损耗而逐渐消逝，到达最外网格时虽 然依然有反射，但由于能量极其微弱，产生的反射不再影响在吸收层以内主计算空 l 、日j 的电磁场。以上是对传播波而言，对于倏逝波，为了更好地吸收，可设 s ，；r ，+ 仃，伽_ 0 ，其中r ，1 。这便是u p m l 的原理。 在f d t d 计算中，还要考虑到离散化带来的影响，为了减小离散化引起的反射， 应逐步增加介质2 的损耗常数盯，。具体的数值计算公式此处不再列出。 3 3 总场，散射场与入射平面波场的划分 很多电磁场问题是研究平面电磁波与物体的相互作用，如目标的散射，吸收和 透入特性的研究等。在这种问题中场源是具有特定传播和极化方向的平面电磁波， 它的源头应设在无穷远处。但网格空间是有限的，所以在计算网格空间中，平面波 源以及其它远离散射体的波源的设置不同于其它类型的辐射波的设置，必须特殊考 虑。 入射平面电磁波与散射体作用产生散射波，散射波与入射波之和满足媒质不连 续面上切向分量连续的边界条件。若用脚标i 表示入射场，s 表示散射场，t 表示总 场。则有： 中圊科学技术人学硕t 论盘 第三章时域有限差分法 e ，= e ，+ e ， ( 3 1 7 a ) h ，= h ，+ h 、( 3 1 7 b ) m a x w e l1 方程是线性的，因而总场，散射场和入射场都分别满足m a x w e 1 方程， 于是前面导出的f d t d 差分格式可以用来计算总场，散射场和入射场。 作为散射物体区域的f d t d 算法，可以有两种计算形式：其一是直接计算总场， 然后从总场中减去入射场得到散射场；其二是直接计算散射场，然后加上入射场得 到总场。而两者都需要知道入射场的场值，才可能进行f d t d 的时域模拟计算。下 面以第一种形式为例说明入射场的计算和激励。 为了加入入射波的激励，该种计算方式将计算网格空间分成两个区域，即总场 区和散射场区，如图3 3 。 圈3 - 3 网格空间的场i 蔓划分 总场区位于计算网格空间的内部，散射体设置在其中，在总场区内既存在入射 波也存在散射波，f d t d 差分格式用于计算总场。该区域外是散射场区，因而总场区 不与吸收边界相连。 散射场区位于总场区外，在其中只允许散射场存在，没有入射波。f d t d 差分格 式用于计算散射场。其外边界就是计算网格空间的吸收边界，即只有散射场到达吸 收边界。 由于f d t d 差分格式在执行中需要知道相邻网格点的场值，因此在计算总场区 和散射场区交界面上的点的场时，就需要利用公式( 3 1 7 ) 进行总场值和散射场值之 间的转化，其具体的离散化的转化公式称为连接条件，限于篇幅，在此不再列出。 入射波就是这样在总场区和散射场区的连接边界加入，达到对散射体的激励的目的 中国科学技术人学硕士论史 第三章时域有限差分法 的。为了完成连接条件，最关键的是给出入射平面波在网格空间中的表示和计算方 法。 一个平面波的主要参量是其波矢量和极化方向以及随时问的变化规律。对于单 向传播的平面波，出于其传播中脉冲波形不变，而且出于处于同一等相面上的各点 的场是相同的，故只要知道某一网格点的坐标，就很容易求得浚点入射波的场值， 因为它就等于原点的平面波沿着入射方向传播的距离的场值。这样的入射平面波可 按一维问题来进行计算，从而有效减少计算量。由于本文计算的情况稍复杂，不能 用一维模拟，将在下一章f d t d 建模中详细讨论。 把由以上方法求得的入射波参与连接条件的计算，既保证了总场区与散射场区 的划分，又按照需要的入射和极化方向及波形设置的平面波注入到总场区中，使之 在总场区中按给定的规律传播，并与设置在总场区的散射体发生作用。 3 4 小结 本章介绍了f d t d 算法的基本原理，包括y e e 氏网格离散方式，迭代算法，数 值稳定性条件和数值色散的处理。本章还介绍了吸收边界条件，场区划分和入射波 的设置。这些介绍主要是围绕本文使用的具体算法进行的。而f d t d 算法在近年来 得到了极大的发展和应用。在算法本身研究上，迭代格式方面，从具有二阶精度的 中心差分格式发展出各种高阶的精度更高的差分格式，网格形式方面，不再局限于 直角规则网格，产生了曲线坐标系下的网格，环路法，亚网格技术，不规则的八面 体网格等，色散媒质的模拟也产生了各种差分格式。f d t d 算法的应用也在不断扩展。 限于篇幅，不作详细讨论，可参见有关著作。 中冈科学技术人学硕i 论史 第凹章光学微腔的时域有限差分法数值建模 第四章光学微腔的时域有限差分法数值建模 本章采用时域有限差分法对棱镜耦合状态下的圆柱型光学微腔进行数值建模。 如前图2 2 ，入射的平面波在棱镜的内表面被全反射，在棱镜外表面附近产生 的倏逝波祸合到微型圆柱内激发起回音壁模式。 4 1 模拟参数的选择 由谐振原理分析可知，模式的谐振频率仅由圆柱半径，以及圆柱内外的折射率 决定，与其它因数例如棱镜折射率，间距，入射波角度无关。特别是，对于圆柱中 谐振波长，仅由圆柱半径，以及圆柱内外的折射率之比决定，而与各自折射率的值 无关。当圆柱内外的折射率之比保持不变，谐振频率与圆柱的折射率成正比。谐振 的能量分布形式，由圆柱半径，以及圆柱内外的折射率之比，以及特定的波长决定。 这些均为微腔模式的固有特点，与是否耦合，耦合方式以及耦合强弱无关。 棱镜耦合状态下，谐振峰的品质因数由以上因素，还有耦合间距决定，其中通 过调整耦合间距可以大幅改变品质因数。 入射波的角度影响耦合效率，亦即微腔内激发出的模式能量与微腔所处倏逝波 场的能量之比。入射波的角度通过影响耦合效率而影响谐振峰的高度，但不能影响 谐振峰的品质因数。 各个参数对模式性能的影响不同，决定了本文在某一典型参数下计算得到的结 果的可推广性不同。在所有参数中，耦合间距极大地影响了品质因数的数量级。如 前所述，对于非耦合状态的微腔，理论上与实验上都得到品质因数可达1 0 9 ( 微球 腔) ，对于耦合状态的微腔，通过调整耦合间距可以在很宽的数量级范围内 ( 1 0 2 1 0 ) 改变品质因数。很高的品质因数对应于极慢的能量衰减速度，为了通 过快速傅立叶变换( f f t ) 得到精确的频谱，f d t d 的数值模拟需要持续到能量衰减 到足够弱，1 0 7 数量级品质因数所要求的模拟时间是无法忍受的。目前，国内外已 有一些对高品质因数数值算法的研究，