毕业论文_时滞项可微系统的时滞相关稳定性条件.doc

本科毕业论文 设计 题 目 时滞项可微系统的时滞相关稳定性条件时滞项可微系统的时滞相关稳定性条件 学 院 自动化工程学院 专 业 自动化 姓 名 xxx 指导教师 xxx 2013 年 6 月 1 日 青岛大学本科生毕业论文 设计 1 delay dependent stability criteria for systems with differentiable time delays 青岛大学本科生毕业论文 设计 2 摘 要 本文研究了带有可微时变时滞的连续系统的稳定性问题 通过使用时滞导数的信息 本文给出了时滞系统的改进的渐近稳定性 与以前的研究方法不同的是 本文考虑了时 滞导数上界 即使这种时滞导数的上界大于等于 1 可以证明取得的结果要比现有结论保 守性更低 同时 因为涉及较少的决策变量 本文所展示稳定判据的计算复杂程度大大 降低 用 matlab 证实了所得稳定条件的有效性和更低的保守性 关键字 时滞相关稳定条件 线性矩阵不等式 lmi 时滞系统 abstract this paper studies the problem of stability for continuous time systems with differentiable time varying delays by using the information of delay derivative improved asymptotic stability conditions for time delay systems are presented unlike the previous methods the upper bound of the delay derivative is taken into consideration even if this upper bound is larger than or equal to 1 it is proved that the obtained results are less conservative than the existing ones meanwhile the computational complexity of the presented stability criteria is reduced greatly since fewer decision variables are involved and we use matlab illustrate the eff ectiveness and less conservatism of the obtained stability conditions keywords delay dependent stability condition linear matrix inequality lmi time delay systems 青岛大学本科生毕业论文 设计 3 目 录 前 言 2 第 1 章 绪 论 4 1 1 时滞系统的相关介绍 4 1 2 时滞系统稳定性的分析基本方法 4 1 3 时滞系统稳定性问题与展望 5 1 4 schur 补的相关知识补充 5 1 4 1 schur 补的定义 5 1 4 2 schur 引理 5 1 5 本文的主要研究工作 5 1 6 文中的符号说明 6 1 7 小 结 6 第 2 章 lmi 工具箱介绍 7 2 1 线性矩阵不等式及相关术语 7 2 2 线性矩阵不等式的确定 9 2 3 线性矩阵不等式求解器 16 第 3 章 时滞项可微系统的时滞相关稳定性条件 21 3 1 主要结果 21 3 2 与现有结果的联系 27 3 3 数值算例 34 3 4 结论 35 结束语 36 谢 辞 37 参考文献 38 附录 仿真程序 40 青岛大学本科生毕业论文 设计 1 前 言 从系统理论的观点看 任何实际系统的过去状态不可避免地要对当前的状态产生影 响 即系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态 也依赖于过去某一时刻或若干时刻 的状态 这类系统称为时滞系统 时滞产生的原因有很多 如 系统变量的测量 复杂的 在线分析仪 长管道进料或皮带传输 缓慢的化学反应过程等都会产生时滞 时滞常见 于电路 光学 神经网络 生物环境及医学 建筑结构 机械等领域 由于应用背景广 泛 受到很多学者的关注 从理论分析的角度来看 在连续域中 时滞系统是一个无穷 维的系统 特征方程是超越方程 有无穷多个特征根 而在离散域中 时滞系统的维数 随时滞的增加按几何规律增长 这给系统的稳定性分析和控制器设计带来了很大的困难 因此 对于时滞系统的控制问题 无论在理论还是在工程实践方面都具有极大的挑战性 常见的时滞系统包括奇异时滞微分系统 脉冲时滞微分系统 lurie 时滞系统 中立 型时滞系统和随机时滞系统等 系统的稳定性和镇定问题是控制理论界的重要课题 若控制系统在任何足够小的初 始偏差的作用下 其过渡过程 输出 随着时间的推移 逐渐衰减并趋于零 具有恢复 平衡状态的能力 则称该系统为稳定 镇定问题源于稳定性问题 当受控系统通过状态 反馈 或者输出反馈 使的闭环系统渐近稳定 这样的问题称为镇定问题 早在 20 世纪 50 年代 就有很多学者开始研究时滞系统的镇定性问题和控制问题 其研究方法大致可分为频域方法和时域方法 在早期主要是频域方法 通过分析其特征 方程根的分布以及 lyapunov 矩阵函数的解 给出时滞系统的稳定性判据和控制器设计的 相应准则 频域方法在单输入输出的定常时滞系统方面已经取的了一些很好的结果 但 是 对于多输入输出的时滞系统和时变时滞系统 用频域方法就很难得到结论 因此 相应的时域方法就得到发展 主要有 lyapunov krasovskii 泛函方法和 razumikhin 函数 方法 这两种方法的基本思想都是构造 lyapunov krasovskii 泛函或 lyapunov 函数 然 后对其求导 使其导数小于零 得到稳定性判据和控制器设计基本准则 这是由 krasovskii 和 razumikhin 所分别创造的 现已成为分析时滞系统镇定性和控制器设计的主 要方法 尤其是在 20 世纪 90 年代 随着 riccati 方程和 matlab 中 lmi 线性矩阵不等 式 的发展 更使这两种方法得到了广泛的应用 这其中 有两类成果备受关注 一类是 时滞无关条件 一类是时滞相关条件 在 90 年代初及以前 用这两种方法所得到的条 件基本上都是时滞无关的 由于时滞无关条件不含时滞信息 对于小时滞系统 这类条 件具有较强的保守性 于是时滞相关条件得到发展 目前对于系统的时滞相关问题的研 究方法主要有 离散 lyapunov krasovskii 泛函方法 模型变换法 参数化模型方法 自 由权矩阵法 积分不等式法 青岛大学本科生毕业论文 设计 2 本文提出了消除时滞导数上界限制的新方法 同时给出了时滞系统的新的稳定条件 可以证明 新结果比现有结果具有更低的保守性 同时 得到的稳定判据有更少的决策 变量 所以在数学上更简便 并且计算上更有效 在结果保守性不变的条件下 本文也 给出了简化由加权矩阵和广义系统方法得到的时滞相关稳定条件的方法 青岛大学本科生毕业论文 设计 3 第 1 章 绪 论 1 1 时滞系统的相关介绍 从系统理论的观点看 任何实际系统的过去状态不可避免地要对当前的状态产生影 响 即系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态 也依赖于过去某一时刻或若干时刻 的状态 这类系统称为时滞系统 时滞产生的原因有很多 如 系统变量的测量 复杂的 在线分析仪 长管道进料或皮带传输 缓慢的化学反应过程等都会产生时滞 时滞常见 于电路 光学 神经网络 生物环境及医学 建筑结构 机械等领域 由于应用背景广 泛 受到很多学者的关注 从理论分析的角度来看 在连续域中 时滞系统是一个无穷 维的系统 特征方程是超越方程 有无穷多个特征根 而在离散域中 时滞系统的维数 随时滞的增加按几何规律增长 这给系统的稳定性分析和控制器设计带来了很大的困难 因此 对于时滞系统的控制问题 无论在理论还是在工程实践方面都具有极大的挑战性 常见的时滞系统包括奇异时滞微分系统 脉冲时滞微分系统 lurie时滞系统 中立 型时滞系统和随机时滞系统等 1 2 时滞系统稳定性的分析基本方法 纵观时滞系统的研究和发展 有两条主要研究途径 即时域方法和频域方法两大类 频域分析方法利用 smith 预估 变结构控制等方法设计控制器 并利用 nyquist 图等频域 分析手段判断系统参数在一定范围摄动条件下闭环系统稳定性 这一类设计只适用于定 常不确定系统或慢时变系统 时滞系统的时域分析方法越来越成为时滞系统尤其是不确 定时滞系统 包括系统矩阵的参数不确定性以及时滞本身的不确定性 稳定性分析以及 控制器综合的主要方法 时域分析方法克服了频域分析不能处理时变和参数摄动的不足 而且具有方法简单 易于计算等优点 使其在实际工程应用中更加具有优势 近年来有 关不确定时滞系统的结论基本上都是用时域的分析方法取得的 时域方法用得最多的是 lyapunov 直接设计方法 利用 lyapunov 第二方法对时滞系统的研究主要是通过构造适当 的 lyapunov 函数来求解时滞系统的无记忆反馈控制律 这是设计时变及不确定时滞系统 鲁棒控制器的有效途径 基于 lyapunov 方法的无记忆反馈控制器不但设计简便 在线计 算量少 因而近年来受到很多学者重视 利用 lyapunov 方法对时滞系统的研究结果可以 分为两大类 时滞无关结果和时滞相关结果 所谓时滞无关结果 是指所得结论都是独 青岛大学本科生毕业论文 设计 4 立于时滞大小的 即允许系统的滞后为无穷大 而对系统滞后的变化率一般都作了小于 1 的假设 相反地 时滞依赖结果跟系统滞后的大小有关 1 3 时滞系统稳定性问题与展望 1 目前有关时滞系统稳定性的分析结果很多 但是进行控制器设计时 只在个别情况 下才会得到线性矩阵不等式 lmi 多数情况下得到的是多项式矩阵不等式 pmi 或双线性 矩阵不等式 bmi 如何将多项式矩阵不等式转化为lmi 或者在无法转化成lmi时 如 何对其利用优化方法进行求解 是今后继续努力的方向 目前发展起来的多项式优化理 论有望为这一问题提供系统化方法 2 如何得到计算复杂性低 同时保守性较小的稳定性准则是未来的努力方向 其中 lyapunov krasovskii泛函的适当选取 尤其是参数依赖的lyapunov泛函的选取 将对结 果的保守性产生积极影响 这方面还有大量的工作有待进行 3 基于线性矩阵不等式的稳定性准则在保守性方面难于比较 至少看起来不直观 原 因是线性矩阵不等式在矩阵维数 变量及变量个数方面有所不同 如何进一步寻求系统 化方法进行相关分析 这方面的工作很有意义 4 近年有关时滞的讨论多数集中在线性系统 有关非线性时滞系统的讨论则较少 当 然也有例外 而实际系统往往是非线性的 这也是进一步努力的方向之一 5 近年来对网络控制系统 无线通讯网络 无线传感器网络的研究蓬勃兴起 因网络 中的信息必须通过通信网络分时传送 不可避免地在控制环路中引入了通讯延迟 时滞 消除时滞对网络系统的稳定性影响是备受关注的问题 是推动时滞系统进一步研究发展 的动力 1 4 schur 补的相关知识补充 1 4 1 schur 补的定义 分块矩阵 m 表示为 ab cd 如果 a 可逆 则 m 的 schur 补定义为 1 dcab 如果 d 可逆 则 m 的 schur 补定义为 1 abdc 1 4 2 schur 引理 分块矩阵 m 表示为 ab cd 青岛大学本科生毕业论文 设计 5 a 如果 a 可逆 则 m 0 等价为 a 0 且 m 的 schur 补为正定 b 如果 d 可逆 则 m 0 等价位 d 0 且 m 的 schur 补为正定 1 5 本文的主要研究工作 本文提出了消除时滞导数上界限制的新方法 同时给出了时滞系统的新的稳定条件 可以证明 新结果比现有结果具有更低的保守性 同时 得到的稳定判据有更少的决策 变量 所以在数学上更简便 并且计算上更有效 在结果保守性不变的条件下 本文也 给出了简化由加权矩阵和广义系统方法得到的时滞相关稳定条件的方法 1 6 文中的符号说明 维实向量空间 n rn 维实矩阵空间 n n r nn 矩阵的转置 t aa 矩阵的欧氏范数 即 aa 1 2 max t aa a 为正定对称矩阵 0p p 为半正定对称矩阵 0p p 具有适当维数的单位矩阵 i 矩阵中的对称部分 1 7 小 结 在实际的工业生产过程和自然科学过程中 时滞现象的存在是不可避免的 特别是 电力系统 机械传输系统 网络控制系统以及城市交通管理系统中 时滞现象的存在对 系统造成的影响是不可忽略的 所以在分析系统的稳定性及跟踪控制问题时 考虑时间 延迟对系统的影响是非常重要的 青岛大学本科生毕业论文 设计 6 第 2 章 lmi 工具箱介绍 线性矩阵不等式 lmi 工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包 由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式 使的各种线性矩阵不等式能够以自然块矩 阵的形式加以描述 一个线性矩阵不等式问题一旦确定 就可以通过调用适当的线性矩 阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解 lmi 工具箱提供了确定 处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具 它们主要用 于 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息 修改现有的线性矩阵不等式系统 求解三个一般的线性矩阵不等式问题 验证结果 本章将详细介绍 lmi 工具箱提供的用于解决以上各个问题的相关函数和命令 2 1 线性矩阵不等式及相关术语 一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式 2 1 0 110 nnl xlxlxl 其中 是给定的对称常数矩阵 是未知变量 称为决策变量 0 l 1 l n l n xx 1 是由决策变量构成的向量 称为决策向量 nt n rxxx 1 尽管表达式 1 是线性矩阵不等式的一个一般形式 但在大多数实际应用中 线性矩 阵不等式常常不是以一般表示式 1 的形式出现 而是具有以下形式 11nn xxrxxl 其中的和是矩阵变量的仿射函数 通过适当的代数运算 上式可以写 l r n xx 1 成线性矩阵不等式的一般表示式 1 的形式 例如 在系统稳定性问题中经常遇到的 lyapunov 矩阵不等式 2 2 0 xaxat 青岛大学本科生毕业论文 设计 7 也是一个线性矩阵不等式 其中的是一个矩阵变量 我们以一个二阶矩阵x 为例 将矩阵不等式 2 写成一般表示式 1 的形式 针对二阶矩阵不等式 2 20 21 a 对应的矩阵变量是一个二阶的对称矩阵 不等式 2 中的决策变量是矩x 32 21 xx xx x 阵中的独立元 根据对策性 矩阵变量可以写成x 321 xxxx 10 00 01 10 00 01 321 xxxx 将矩阵和上式代入矩阵不等式 2 经整理 可得a 2 3 0 40 00 43 30 02 22 321 xxx 这样就将矩阵不等式 2 写成了线性矩阵不等式的表示式 1 显然 与 lyapunov 矩阵 不等式 2 相比 表示式 3 缺少了许多控制中的直观意义 另外 3 式涉及到的矩阵也比 2 式中的多 如果矩阵是 n 阶的 则 3 式中的系数矩阵一般有 n n 1 2 个 因此 这a 样的表达式在计算机中将占用更多的存储空间 由于这样的一些原因 lmi 工具箱中的 函数采用线性矩阵不等式的结构表示 例如 lyapunov 矩阵不等式 2 就以矩阵变量的x 不等式来表示 而不是用其一般形式 3 来表示 一般的 一个线性矩阵不等式具有块矩阵的形式 其中每一个块都是矩阵变量的仿 射函数 以下通过一个例子来说明有关描述一个线性矩阵不等式的术语 考虑控制中的一个线性矩阵不等式 h 0 n idb dicx bxcxaxa n tt tt t 其中 是给定的矩阵 和是问题的变量 abcdn nmt rxx r 称为外因子 块矩阵n idb dicx bxcxaxa xl tt tt 称为内因子 外因子可以不是一个正方矩阵 它在许多问题中常常不出现 和是问题的矩阵变量 注意标量也可以看成是一个维的矩阵 x 11 青岛大学本科生毕业论文 设计 8 内因子是一个对称块矩阵 根据对称性 可以由对角线及其上方的 xl xl 块矩阵完全确定 中的每一块都是矩阵变量和的仿射函数 这一函数由常数项和变量项 xlx 这两类基本项组成 其中常数项就是常数矩阵或以一些常数矩阵组成的算术表达式 例 如中的 b 和 d 变量项是包含一个矩阵变量的项 例如等 xlixa 一个线性矩阵不等式不论多么复杂 都可以通过描述其中每一块的各项内容来确定 这个线性矩阵不等式 2 2 线性矩阵不等式的确定 lmi 工具可以处理具有以下一般形式的线性矩阵不等式 mxxrmnxxln k t k t 11 其中 是具有一定结构的矩阵变量 左 右外因子和是具有相同维数的给 k xx 1 nm 定矩阵 左 右内因子和是具有相同块结构的对称块矩阵 l r 注意在线性矩阵不等式的描述中 左边总是指不等式较小的一边 例如对线性矩阵 不等式 0 称为是不等式的右边 0 称为是不等式的左边 常表示成 0 xxx 要确定一个线性矩阵不等式系统 需要做以下两步 1 给出每个矩阵变量的维数和结构 k xx 1 2 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部表示 它以一个单一向量的形 式储存在计算机内 通常用一个名字 例如 lmisys 来表示 该内部表示 lmisys 可以在后 面处理这个线性矩阵不等式时调用 下面将通过 lmi 工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不等式系统的确定 运行 lmidem 可以看到这个例子的完整描述 例例 1 考虑一个具有 4 个输入 4 个输出和 6 个状态的稳定传递函数 2 4 basicsg 1 和一组具有以下块对角结构的输入 输出尺度矩阵 d 2 5 54 32 1 1 00 00 000 000 dd dd d d d 青岛大学本科生毕业论文 设计 9 则在具有时变不确定性系统的鲁棒稳定性分析中提出了以下问题 寻找一个具有结构 5 的尺度矩阵 使的 d1 sup 1 djdg 可以证明 这样一个问题可以转化成一个线性矩阵不等式系统的可行性问题 既寻 找两个对称矩阵和 使的 66 rx 44 rdds t 2 6 0 sxb xbsccxaxa t tt 2 7 0 x 2 8 is 用命令 lmivar 和 lmiterm 给出线性矩阵不等式系统 6 8 的内部描述如下 setlmis x lmivar 1 6 1 s lmivar 1 2 0 2 1 1st lmi lmiterm 1 1 1 x 1 a s lmiterm 1 1 1 s c c lmiterm 1 1 2 x 1 b lmiterm 1 2 2 s 1 1 2nd lmi lmiterm 2 1 1 x 1 1 3rd lmi lmiterm 3 1 1 s 1 1 lmiterm 3 1 1 0 1 lmisys getlmis 其中 函数 lmirar 定义了两个矩阵变量和 lmiterm 则描述了每一个线性矩阵不等式xs 中各项的内容 getlmis 回到了这个线性矩阵不等式系统的内部表示 lmisys lmisys 也称为 是储存在机器内部的线性矩阵不等式系统的名称 以下将详细介绍这几个函数的功能和 用法 青岛大学本科生毕业论文 设计 10 setlmis 和和 getlmis 一个线性矩阵不等式系统的描述以 setlmis 开始 以 getlmis 结束 当要确定一个新的 系统时 输入 setlmis 如果需要将一个线性矩阵不等式添加到一个名为 lmiso 的现有的线性矩阵不等式系统 中 则输入 setlmis lmiso 当线性矩阵不等式系统被完全确定好后 输入 lmisys getlmis 该命令返回这个线性矩阵不等式系统的内部表示 lmisys lmivar 函数 lmivar 用来描述出现在线性矩阵不等式系统中的矩阵变量 每一次只能描述一 个矩阵变量 矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构 该函数的一般表达式是 x lmivar type struct 这一函数定义了一个新的矩阵变量 是该矩阵变量的变量名 函数中的第一个xx 输入量 type 确定了矩阵变量的类型 第二个输入量 struct 进一步根据变量的类型给xx 出该变量的结构 变量的类型分成三类 type 1 对称块对角结构 这种结构对应于具有以下形式的矩阵变量 r d d d 00 00 00 2 1 其中对角线上的每一个矩阵块是方阵 它可以是零矩阵 对称矩阵或者数量矩阵 这 j d 种结构也包含了通常意义的对称矩阵和数量矩阵 分别相当于只有一块 此时 struct 是 一个维的矩阵 如果该矩阵的第 i 行是 m n 则其中的 m 表示对称矩阵块的阶2 r i d 数 而 n 只能取 1 0 或者 1 其中 n 1 表示是一个满的对称矩阵 或者无结构的对称 j d 矩阵 n 0 表示是一个数量矩阵 n 1 表示是一个零矩阵 i d i d type 2 长方形结构 这种结构对应于任意的长方矩阵 此时 srtuct m n 表示矩 阵的维数 青岛大学本科生毕业论文 设计 11 type 3 其他结构 这种结构用来描述更加复杂的矩阵 也可以用于描述矩阵变量 之间的一些关联 的每一个元或者是 0 或者是 其中是第 n 个据侧变量 相应x n x n x 的 struct 是一个和变量有相同维数的矩阵 其中的每一个元取值如下 x n n xjixn xjixn jix jistruct 0 0 如果 如果 如果 例例 2 考虑具有三个矩阵变量 和的线性矩阵不等式系统 其中 1 x 2 x 3 x 是一个 3 3 维的对称矩阵 1 x 是一个 2 4 维 的长方矩阵 2 x 其中是 5 5 维的对称矩阵 和是两个标量 22 13 00 00 00 i x a 1 2 表示 2 2 维的单位矩阵 2 i 可以应用 lmivar 来定义这些矩阵变量 setlmis x1 lmivar 1 3 1 x2 lmivar 2 2 4 x3 lmivar 1 5 1 1 0 2 0 lmiterm 在确定了矩阵变量之后 还需要确定每一个线性矩阵不等式中各项的内容 线性矩 阵不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块矩阵中的加项 这些项可以分成三类 1 常数项 2 变量项 即包含了矩阵变量的项 例如 3 式中的和 一般的变量项具xatscct 有形式 其中的是一个变量 和是给定的矩阵 分别称为该变量项的左系数pxqxpq 和右系数 3 外因子 青岛大学本科生毕业论文 设计 12 在描述一个具有多个块的线性矩阵不等式时 lmi 工具箱提供了这样的功能 即只 需要确定对角线上和对角线上方的项的内容 或者只描述对角线上和对角线下方的项的 内容 其他部分项的内容可以根据线性矩阵不等式的对称性得到 用命令 lmiterm 每次可以确定线性矩阵不等式的一个项的内容 例如 对称性矩阵不 等式 0 sxb xbsccxaxa t tt 可以用一下一组命令来描述 lmiterm 1 1 1 x 1 a s lmiterm 1 1 1 s c c lmiterm 1 1 2 x 1 b lmiterm 1 2 2 s 1 1 这些命令一次描述了项 和 在每一条命令中 第 1 项是xaxat scctxbs 一个四元向量 它刻画了所描述的项所在的位置和特征 第 1 个元表示所描述的项属于哪一个线性矩阵不等式 值 m 表示第 m 个 不等式的左边 m 表示第 m 个不等式的右边 第 2 和 3 个元表示所描述的项所在块的位置 例如 向量 1 1 2 1 表示所 描述的项位于第一个线性矩阵不等式左边内因子的块 1 2 中 第 2 和第 3 个元均取零表示所描述的项在外因子中 最后一个元表明了所描述的项是常数项还是变量项 如果是变量项 则 进一步说明涉及哪一个变量 0 表示常数项 k 表示所描述的项包含第 k 个矩阵变量 k 则表示包含矩阵变量的转置 在例 1 中 k x k x t k xx 是第 1 个变量 s 是第 2 个变量 它们按确定的先后顺序排列 lmiterm 的第 2 项和第 3 项包含了数据 常数项的值 外因子 变量项或者pxq 中的左 右系数 第 4 项是可选择的 且只能是 s qpx t 在描述项的内容里 有一些简化的方法 1 零块可以省略描述 2 可以通过在命令 lmiterm 中外加一个分量 s 使的可以只用一个命令 lmiterm 就能 描述一个变量项与该变量项的转置的和 例如 上面的第一个命令描述了 xaxat 3 可以用一个标量值来表示一个数量矩阵 即用表示数量矩阵 其中是一个 i 标量 如例 1 中的第 3 个不等式被描述成is 青岛大学本科生毕业论文 设计 13 lmiterm 3 1 1 s 1 1 lmiterm 3 1 1 0 1 为了便于阅读 也可以用线性矩阵不等式和矩阵变量的名称来表示对应的线性矩阵 不等式和矩阵变量 矩阵变量的变量名可以用命令 lmivar 来赋值 线性矩阵不等式的名 称则可以用函数 newlmi 来确定 这些标识符可以用在命令 lmiterm 中以表示相应的线性 矩阵不等式或者矩阵变量 对例 1 中的线性矩阵不等式系统 采用名称的相应描述如下 setlmis x lmivar 1 6 1 s lmivar 1 2 0 2 1 brl newlmi lmiterm brl 1 1 x 1 a s lmiterm brl 1 1 s c c lmiterm brl 1 2 x 1 b lmiterm brl 2 2 s 1 1 xpos newlmi lmiterm xpos 1 1 x 1 1 slmi newlmi lmiterm slmi 1 1 s 1 1 lmiterm slmi 1 1 0 1 lmisys getlmis 其中 x 和 s 分别表示变量和 而 brl xpos 和 slmi 则分别表示第 1 第 2 和第 3xs 个线性矩阵不等式 xpos 指的是第 2 个线性矩阵不等式的右边 x 表示变量的转置 x lmiedit 青岛大学本科生毕业论文 设计 14 线性矩阵不等式编辑器 lmiedit 是一个图形用户界面 它可以按符号方式直接确定线 性矩阵不等式系统 输入 lmiedit 出现一个具有一些可编辑文本区域和各种按钮的窗户 按以下步骤来确定一个线性矩阵 不等式系统 1 在文本区域的上半部分给出每一个矩阵变量的描述 名字和结构 其机构是通过 类型 s 表示对称块矩阵 r 表示无结构的长方矩阵 g 表示其他机构矩阵 和一个 附 加 的结构矩阵 类似于 lmivar 中的 struct 来刻画的 在文本编辑区 使用一行描述一 个变量 2 在文本区的下半部分 按 matlab 的表示方式给出要描述的线性矩阵不等式 例 如 线性矩阵不等式 0 ixb xbxaxa t t 可以通过输入 01 xbbxaxxa 来描述 其中 x 是文本区上半部分描述矩阵变量的变量名 一个线性矩阵不等式的描x 述可能需要几行 但一行中最多只能描述一个线性矩阵不等式 完成了线性矩阵不等式系统的描述后 可以通过按相应的按钮来完成以下的任务 显示用于描述线性矩阵不等式的 lmivar lmiterm 命令串 按钮 view commands 反 之 通过单击按钮 describe 可以将用一串 lmivar lmiterm 命令定义的线性矩阵不等式系统按 matlab 表示式显示 将线性矩阵不等式的符号描述存为一个 matlab 语句串 按钮 save 以后可以 通过按钮 load 重新显示这种描述 可以从一个文件读一串 lmivar lmiterm 命令 按钮 read 然后通过单击 describe the matrix variables 或者 describe the lmis 显示出由这些命令确定的线性矩阵不等式系 统的符号表示 写一串用于描述一个特殊线性矩阵不等式系统的 lmivar lmiterm 命令 按钮 write 通过按钮 creat 产生线性矩阵不等式系统的内部表示 结果用一个线性矩阵不等式 命名的 matlab 变量记录 如果线性矩阵不等式系统名字是 mylmi 则其内部表示用 matlab 变量 mylmi 记录 内部表示 mylmi 可以被线性矩阵不等式求解器或者任何其 他的线性矩阵不等式函数调用 如同命令 lmiterm 一样 可以应用简捷的方法来输入线性矩阵不等式的表示式 例如 零块可以简单地输入 0 而不必定义其维数 类似地 单位矩阵只需输入字符 1 等 青岛大学本科生毕业论文 设计 15 lmiedit 尽管很一般 但是它没有 lmiterm 灵活 以下是 lmiedit 的一些局限性 在矩阵变量的两边不能使用括号 例如当 x 是一个变量名时 a x b c c a c b 是不允许的 而 a b x x a b 则是可以的 不允许出现循环和条件语句 当把 lmiterm 命令转换成一个线性矩阵不等式的符号描述时 如果 lmiterm 的第 1 个分量不能确认就将出错 使用由 newlmi 和 lmivar 提供的线性矩阵不等式和变量标识符 可以避免这样的问题 图 2 1 给出了用 lmiedit 描述例 1 中的线性矩阵不等式系统的窗口 图 2 1 lmiedit 的图形界面 2 3 线性矩阵不等式求解器 lmi 工具箱提供了用于求解以下三个问题的线性矩阵不等式求解器 其中表示决策x 变量向量 即矩阵变量中的独立变元构成的向量 k1 xx 可行性问题 寻找一个 xrnn 或者等价的 具有给定结构的矩阵 使满足线性矩阵的不等 k1 xx 式系统 青岛大学本科生毕业论文 设计 16 xbxa 相应的求解器是 feasp 具有线性矩阵不等式约束的一个线性目标函数的最小化问题 xct x min s t xbxa 相应的求解器是 mincx 广义特征值的最小化问题 x min s t xdxc 0 xb xbxa 相应的求解器是 gevp 以下详细介绍 feasp 求解器的功能和使用方法 feasp 求解器 feasp 的一般表达式如下 tmin xfeas feasp lmisys options target 求解器 feasp 是通过求解如下的一个辅助凸优化问题 mint s t tixbxa 来求解该线性矩阵不等式系统 lmisys 的可行性问题 这个凸优化问题的全局最优值用 tmin 表示 作为求解器 feasp 输出的第一个分量 如 果 tmin 0 则系统 lmisys 是可行的 当系统 lmisys 为可行时 求解器 feasp 输出的第二 个分量 xfeas 给出了线性矩阵不等式系统决策变量的一个可行解 进而 应用 dec2mat 可 以得到系统 lmisys 矩阵变量的一个可行解 求解器 feasp 的输入变量 target 为 min 设置了目标值 使的只要 tmin0 表示限制决策变量在球体 2 1 2 rx n i i 中 或者说向量 xfeas 的欧式范数不超过 该参数的默认值是 r 9 10 r 可行域半径的设定可以避免产生具有很大数值的解 x 同时也可以加快计算过程 改 进数值稳定性 options 4 该参数用于加快迭代过程的结束 它提供了反映优化过程中迭代速度和 解的精度之间的一个折中指标 当该参数取值为一个正整数时 表示在最后的次迭代jj 中 如果每次迭代后 的减小幅度不超过 1 则优化迭代过程就停止 该参数的默认值t 是 10 options 5 options 5 1 表示不显示迭代过程中的数据 options 5 0 默认值 则相 反 将 options i 设置为零相当于将相应的控制参数设置为默认值 也可以通过忽略该输 入变量来接受默认值 例例 3 求满足的矩阵 使的ip p 2 9 0 11 papat 2 10 0 22 papat 2 11 0 33 papat 其中 31 21 1 a 7 23 1 5 18 0 2 a 0 27 0 9 04 1 3 a 为了调用 feasp 我们首先确定线性矩阵不等式系统 setlmis p lmivar 1 2 1 lmiterm 1 1 1 p 1 a1 s lmi 1 lmiterm 2 1 1 p 1 a2 s lmi 2 lmiterm 3 1 1 p 1 a3 s lmi 3 lmiterm 4 1 1p 1 1 lmi 4 p lmiterm 4 1 1 0 1 lmi 4 i 青岛大学本科生毕业论文 设计 18 lmis getlmis 然后调用 feasp 来求该现行矩阵不等式系统的一个可行决策变量 tmin xfeas feasp lmis 得到 tmin 3 1363 因此 线性矩阵不等式系统 lmis 是可行的 应用 dec2mat pp dec2mat lmis xfeas p 得到问题的可行矩阵变量值 1 155 4 126 4 126 8 270 p 在求解这个可行性问题的过程中 也可以附加一些约束 例如 要求矩阵的p frobenius 范数不超过 10 且 tmin 1 也可以通过调用 tmin xfeas feasp lmis 0 0 10 0 0 1 来达到这些附加要求 相应的结果是 tmin 1 1745 相应的矩阵 p 的最大特征值是 6912 9 max p 如何从决策变量到矩阵变量以及从矩阵变量到决策变量如何从决策变量到矩阵变量以及从矩阵变量到决策变量 当现行矩阵不等式由相应的矩阵变量描述时 线性矩阵不等式求解器涉及的是由这 些矩阵变量中的独立元所组成的决策向量 x 两个函数 mat2dec 和 dec2mat 可以实现这两 种变量之间的转换 考虑一个具有三个矩阵变量 的线性矩阵不等式系统 给定这些变量的 1 x 2 x 3 x 特定值 x1 x2 x3 那么由 mat2dec 可以得到相应的决策向量的值 xdec mat2dec lmisys x1 x2 x3 如果 lmisys 后分量的个数和线性矩阵不等式系统 lmisys 中的矩阵变量个数不符 则 系统会提示一个出错信息 这个函数在线性矩阵不等式求解器 mincx 或 gevp 的初始化中也是很有用的 例如 给定 的一个初始猜测值 mat2dec 就形成了相应决策向量的初始值 xinit 1 x 2 x 3 x 反之 给定决策向量的一个值 xdec 那么可以通过函数 dec2mat 给出相应的第 k 个 矩阵的取值 例如 一下的表示式可以给出第 2 个矩阵变量的取值 x2 dec2mat lmisys xdec 2 函数 dec2mat 中的最后一个分量表明了要求的是第 2 个矩阵变量 这里也可以用 lmivar 定义的相应矩阵变量的变量名 矩阵变量和决策变量的总数分别由 matnbr 和 decnbr 给出 另外 函数 decinfo 提供 了决策变量和矩阵变量之间关系的一些详细信息 青岛大学本科生毕业论文 设计 19 青岛大学本科生毕业论文 设计 20 第 3 章 时滞项可微系统的时滞相关稳定性条件 3 1 主要结果 在这一节 分析时变时滞连续系统的稳定性 并利用时滞导数相关李雅普诺夫函数 得到了一个充分条件 考虑下面线性系统 3 1 0 d x tax ta x td tt 3 2 0 x ttt 其中 n x tr 是状态变量 d aa和 是适当维数的常量矩阵 时滞项是时变连续函 d t 数并且满足 3 3 d t 和 d t 3 4 其中 0 和 是常数 初始条件 t 0 t 是连续的向量值函数 在之前的文章中 例如 3 和 6 时滞导数的上界 应该小于 1 虽然 7 8 中的结果 可以应用到 1 的情况 其稳定条件与时滞导数上界无关 对于 3 1 3 4 所描述的时滞系统 式 3 5 t t t d t xs qx s ds 其中 常被作为李雅普诺夫函数 例如 6 7 11 但是 如果 1 0 t qq 则这一项就是冗余的 因为 t t t d t xs qx s ds 1 1 t t t d t tt tt xs qx s ds xt qx td txtd t qx td t xt qx txtd t qx td t 其中 1 0 青岛大学本科生毕业论文 设计 21 这说明时滞项的导数没有考虑进去 这显然是不合理的 d t 实际上 时滞导数大于等于 1 的情况是很普遍的 例如 在网络化控制系统里 时 滞项表示 k ti 其中 1 2 k i k 是采样时刻 所以 这一类时滞几乎在 0t 时处处满 d t 足 1d t 对于 1 的情况下 如果选择了一个正数0 1 满足 1 则有 3 6 1d td t 且 3 7 1 t ttt t d t xs qx s dsxt qx txtd t qx td t 所以此时 项的导数考虑了进去 d t 在此事实基础上 可获得一下定理 定理定理 1 对于给定标量 0 01 和 满足 1 如果存在矩阵 t pp 使0 0 1 2 3 4 0 1 2 3 tt iijj qqizj 和z 3 8 1 123 111 323 4 5 6 00 000 0 00 0 t t d za u zzza u u 那么 3 1 3 4 所描述的系统是渐近稳定的 其中 青岛大学本科生毕业论文 设计 22 4 11 113 1 1 21 1111 33123 1 412 1 52 11 6433 3 1 123 1 1 1 t i i d i i paa pqzz paz qzzzz qz qz qzz zz uzzz 证明证明 构造一个李雅普诺夫函数 3 12 34 0 12 0 tt ttt t tt tt tt t d ttd t tt tt tt t t t v xxt px txs q s dsxs q s ds xs q s dsxs q s ds xs z x s dsdxs z x s dsd xs z x s dsd 9 其中 是需要确定的矩阵 0 0 1 2 3 4 0 1 2 3 ij pqizj 与 根据莱布尼茨 牛顿公式 以下等式对于任何维数合适的矩阵和 iii n s m y 1 2 i t i 都是成立的 5 3 10 2 0 t t t d t t n x tx td tx s ds 3 11 2 0 t d t t t t s x td tx tx s ds 3 12 2 0 t t t d t t m x tx td tx s ds 3 13 2 0 t t td t t y x tx td tx s ds 3 14 2 0 td t t t d t t t x td tx td tx s ds 其中 青岛大学本科生毕业论文 设计 23 125125125 tttttttttttt nnnnssssmmmm 125125 tttttttt tttttt yyyytttt txt xtd txtxtxtd t 且 或者 以下等式正确 3 15 111 ttt d t ttt tt d tt xs z x s dsxs z x s dsxs z x s ds 3 16 221 ttt d t ttt tt d tt xs z x s dsxs z x s dsxs z x s ds 3 17 33 33 tt tt ttd t td tt d t tt t d tt xs z x s dsxs z x s ds xs z x s dsxs z x s ds 对 取沿着 3 1 的轨迹的时间导数 可得 0t t v x 4 2 1 13 4 123 1 2 1 1 ttt ti i tt t t t t t v xxt px txtq x txt q x t xtq x td txtd t q x td t d txtd t q x td t xtzzzx t xs z x s ds 23 4 2 1 13 4 123 2 1 1 tt tt tt ttt i i tt t t xs z x s dsxs z x s ds xt px txtq x txt q x t xtq x txtd t q x td t xtd t q x td t xtzzzx 11232 33 2 2 tt d tt ttt t d ttt d t ttd t tt td tt d t t t t d t t xs z x s dsxs zzzx s dsxs z x s ds xs z x s dsxs z x s ds t n x tx td tx s ds 2 t d t t t t t t d t t s x td tx tx s ds t m x tx td tx s ds 青岛大学本科生毕业论文 设计 24 1111 122123 1 3 2 2 t t td t td t t t d t tttttt tt t y x tx td tx s ds t t x td tx td tx s ds tnz nsz smz myz y tz ya uat 3 18 其中 11 3 11 2 4 000 1 000 00 0 d pa q q q q 4 11 1 2 t i i d qpapa nysnmtmsty aaa 0 0 0 通过 schur 补可得 不等式 1 1111 221233 0 tttttt t nznsz smz myz ytz t a ua 与下式等价 3 19 1223 4 0 t 其中 11111 22222 3 33333 44444 55555 41233 0 0 0 t t d nsmyta u nsmyta u nsmyt nsmyt nsmyt diagzzzzzu 所以 如果成立 则对于所有 有成立 0 0t 0 t v x 记 3 7 11 8 t 20 青岛大学本科生毕业论文 设计 25 其中 2 1 3 2 3 0 11 0000 1111 00 1 00000 1 00000 11 0000 00000 00000 00000 00000 00000 i ii iiii i i ii i i i i i 7111131 727322223 7333233 474444 5555353 smyzt mzytz nsmzyt nmyt nsmyztz 7111 7221 732 744 81233 nz nz sz sz diagzzzzz 且是非奇异的 所以当时有 1 0 0 相反地 如果成立 则通过 20 可以看出也成立如果令0 0 11 31 111 1 32 1 1 2 1 1 1 3 3 000 0