北师大版初中数学《直角三角形边角关系》讲义（初稿） .doc

直角三角形边角关系讲义 直角三角形边角关系讲义(初稿)一、 概念部分1、基本概念正弦：在rtabc（如图），锐角a的对边与斜边的比叫做的正弦，记为，。余弦：在rtabc（如图），锐角a的邻边与斜边的比叫做的余弦，记为，。正切：在rtabc（如图），锐角a的对边与邻边的比叫做的正切，记为，。余切：在rtabc（如图），锐角a的邻边与对边的比叫做的余切，记为，。2、巧记概念：按正弦、余弦、正切、余切的顺序记八个字：对斜邻斜对邻邻对。3、根据正弦、余弦、正切、余切的定义，在rtabc中，有sina=cosb，sinb=cosa ，tana=cotb，tanb=cota。4、正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系：sina的值越大，梯子越陡；cosa的值越小，梯子越陡；tana的值越大，梯子越陡。5、在rtabc中，a、b、c分别是、的对边，那么， ， ， 可以变形为，或，等等，在解题中可以根据条件正确选用。6、注意：、在初中，正弦、余弦、正切、余切的定义都是在直角三角形中给出的，不能在任意三角形中套用定义。、sina、cosa、tana、cota分别表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin与a、cos与a、tan与a、cot与a的乘积。sina、cosa、tana、cota是一个完整的符号，它表示的正弦、余弦、正切、余切，记号里习惯省去角的符号“”，但当角用三个大写字母或数字表示时，角的符号“”不能省略。例如：tana，tanabc，tan1 都是正确的。、正弦、余弦、正切、余切在直角三角形中它们分别表示对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，所以它是没有单位的，当锐角a确定后，这些比值都是固定值。、求某个角的正弦、余弦、正切、余切函数值时，需把该角放入适当的直角三角形中，在某些非直角三角形的问题，通过作垂线转化为直角三角形来解决。、已知直角三角形一锐角的某三角函数值就知道了某两边的比值，设未知数可把3条边都可用一个未知数表示出来，这样就可以求出任何两条边的比值。例1：在abc中，ac=12，bc=5，（1）求ab的长；（2）求sina、cosa、tana、cota的值；（3）求的值；（4）比较sina与cosb的大小，tana与cotb的大小。 变式练习：1、在rtabc中，a=,b=2,则sina= 。2、在rtabc中，如果bc=10，sinb=0.6，那么ac= 。例2、如图，在abc中，ac=cb，ab=bd，求tand的值。变式练习：1、已知abc中，bd为ac边上中线，求的值。例3、 如图，在中，ad是bc边上的高，。（1）求证：acbd（2）若，求ad的长。分析：由于ad是bc边上的高，则有和，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。解：（1）在中，有中，有（2）由可设 由勾股定理求得 即例4、如图，已知中，求的面积（用的三角函数及m表示）分析：要求的面积，由图只需求出bc。解：由练习题：一、填空题：1、在abc中，a=4,b=3,则：sina= cosa= tana= cota= sinb= cosb= tanb= cotb= 。2、在rtabc中，已知a=4,c=5则sinb= sina= tana= 3、在abc中，若tanb=2，a=1,则b= 。4、abc中，cosa=0.8746，则sinb= 。5、rtabc中，tana=，则sinb= 。6、在abc中，ac边上中线bd=5，ab+bc=14，则abc的面积为 .7、 rtabc中， tana=，ab=，则ac= ，bc= 。8、abc中，ab=ac，abbc=21，则sin、= sinb= 。9、等腰三角形的腰长为10cm，底边为16cm，则它底角的正弦值是 .10、已知，如图，在abc中，tanb=bc=，则ab的长为 。二、选择题1、在abc中，c=3,b=2，则cosa的值为（ ）a、 b、 c、 d、2、在abc中，ab=13，sina=，则bc=（ ）a、1 b、12 c、5 d、以上都不对3、在abc中，a、b、c分别是、的对边，则（ ）a、 b、 c、 d、4、在abc中，且cosa=，则sinb=（ ）a、 b、 c、 d、5、在abc中，若c=3b ，则cosa等于（）a、 b、 c、 d、6、在rtabc中，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角a的四个三角函数值（ ）。a、没有变化 b、都缩小2倍 c、都扩大2倍 d、不能确定如何变化三、解答题：1、已知： ，为锐角，求的其它三角函数。2、已知一个三角形的三边的比为7：24：25，求最小角的正弦、正切值。3、已知：如图431，在矩形abcd中，beac于e，ab=3，bc=4，cbe=，求的四个三角函数值.4、已知：如图432，在rtabc中，d是bc中点，deab于e，tanb=，ae=7，求de、bc的长.二、特殊角的三角函数值1、 初中阶段说的特殊角指的是五个特殊角度。2、 规定，。，没有意义（或说不存在）。3、三角函数011001不存在不存在104、从上表中明确sin、cos、tan、cot随角的变化而变化的规律：当角逐渐增大时，sin、tan逐渐增大， cos、cot逐渐减小。练习题：一、 选择题1、的值等于（ ）a、 b、 c、 d、2、abc中，若，则c的度数是（ ）a、 b、 c、 d、3、abc中，设，则此三角形为（ ）a、锐角三角形 b、直角三角形 c、钝角三角形 d、锐角三角形或钝角三角形4、abc中，设，则abc为（ ）a、等腰三角形 b、直角三角形 c、等边三角形 d、等腰直角三角形5、等腰abc中，ab=ac，高ad=3，则ab+bc+ac等于（ ）a、18 b、 c、 d、6、已知，则锐角a为（ ）a、 b、 c、或 d、或二、填空：1、已知，且为锐角，则（ ）。2、若，则锐角的补角是（ ）。3、在abc中，若，则=（ ）。4、在abc中，若，则面积=（ ）。5、在abc中，若，则=（ ）。三、计算：1、(2cos600-)2、 2+ 2sin60 3、4、5、6、7、已知，求锐角。8、求适合等式的锐角。9、在abc中，设均为锐角，且，试判断abc的形状。三、规律与公式：1、 三角函数定义：正弦：， 余弦：， 正切：，余切：。2、 由锐角的三角函数定义可知：、 0 1 ， 0 1 。、；、， ，。、，。利用上面的结论计算：（1）、（ ），（ ）。（2）、若，求的值。（3）、若，求的值。（4）、已知：，则的值。（5）、= 。（6）、已知，且为锐角，则=（ ）。、诱导公式：； 例、 已知为锐角，下列结论：；如果，那么； 如果，那么；正确的有（ ）a. 1个b. 2个c. 3个d. 4个分析：利用三角函数的增减性和有界性即可求解。解：由于为锐角知不成立；当时，有，即正确当时，即成立； 又，即正确。即成立，故应选c。练习题：1、如果tan=, 那么cossin的值是（）(a) (b) (c) (d) 2、已知sincos=m, 则sincos=( )(a) m21 (b) (c) (d) 3、设，则（ ）a、 b、 c、 d、4、已知为锐角，且，那么（ ）a、 b、 c、 d、5、已知，则 。6、已知+=，若，则 。7、若，则= 。8、已知是锐角，则=_ 度。9、不查表，比较大小，若，则, 若，则。10、 在中，且和的值是方程的两个根，则_11、 在中， ，= .12、 中，则 。13、 已知=_.14、已知：sincos=，求下列各三角函数式的值：、；、；、；四、三角函数的应用概念：四角一度1、 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。2、 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。3、 方向角：目标方向线与指南或指北的方向所成的锐角城为方向角。4、 坡角：坡面与水平方向所成的锐角，称为坡角。5、 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）。即为坡角的正切。三角函数应用题解题主要步骤：1、 审题标角2、 酌情擦图3、 小心分角4、 仔细标注5、 巧列方程6、 破解方程7、 检验作答例1、 如图，沿ac方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从ac上的一点b，取米，。要使a、c、e成一直线，那么开挖点e离点d的距离是（ ）a. 米b. 米c. 米d. 米分析：在中可用三角函数求得de长。解：a、c、e成一直线 在中， 米，米，故应选b。例2、 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置o点的正北方向10海里处的a点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点b为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到）（如图）参考数据：分析：（1）由图可知是直角三角形，于是由勾股定理可求。（2）利用三角函数的概念即求。解：设需要t小时才能追上，则（1）在中，则（负值舍去）故需要1小时才能追上。（2）在中 即巡逻艇沿北偏东方向追赶。例3、 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物abcd，且建筑物周围没有平整地带，该建筑物顶端宽度ad和高度dc都可直接测得，从a、d、c三点可看到塔顶端h，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度hg的方案，具体要求如下：测量数据尽可能少；在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测a、d间距离，用m表示；如果测d、c间距离，用n表示；如果测角，用等表示，测倾器高度不计）。（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度hg（用字母表示）。分析：本题实际是一道图形设计和数据的测量计算，依题意可有几种方案。如测三个数据、测四个数据、测五个数据等。但又要使测得的数据尽可能少，于是以三个数据为例。解：如图所标（1）测三个数据。（2）设 在中，在中，即课堂练习：1、（2004贵阳）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32时.（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：sin32，cos32，tan32）2、（2004海口）雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的c处 c与塔底b在同一水平线上），用高1.4米的测角仪cd测得塔顶a的仰角=43（如图），求这座“千年塔”的高度ab（结果精确到0.1米）.（参考数据：tan430.9325，cot431.0724）3、（2004重庆）如图，点a是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有b、c两个村庄，现要在b、c两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得abc=45，acb=30，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明. 30练习题：1（2004深圳）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30夹角，这棵大树在折断前的高度为abcde(图1)a10米 b15米 c25米 d30米2（2005徐州）(a类)如图1，在与旗杆ab相距20米的c处，用高1.20米的测角仪测得旗杆顶端b的仰角=30.求旗杆ab的高(精确到0.1米).(b类)如图2，在c处用高1.20米的测角仪测得塔ab顶端b的仰角=30，向塔的方向前进20米到e处，又测得塔顶端b的仰角=45.求塔ab的高(精确到0.1米).abcdefg(图2)我选做_类题，解答如下：图13、（2007浙江杭州）如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（ ）aa.82米 b.163米 c.52米 d.70米abcd跨度中柱4、（2004大连）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，d是ab的中点，中柱cd=1米，a=27，求跨度ab的长(精确到0.01米)。dacb5、（2005深圳）大楼ad的高为10米，远处有一塔bc，某人在楼底a处测得踏顶b处的仰角为60，爬到楼顶d点测得塔顶b点的仰角为30，求塔bc的高度。0.5m3m6、（2005连云港）如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：0.8,0.6)7、（2007山东青岛）一艘轮船自西向东航行，在a处测得东偏北21.3方向有一座小岛c，继续向东航行60海里到达b处，测得小岛c此时在轮船的东偏北63.5方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛c最近？（参考数据：sin21.3，tan21.3， sin63.5，tan63.52）36abd4530c(第20题图)8、(2007年昆明市)如图，ab和cd是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼ab的楼顶a点测得楼cd的楼顶c的仰角为45，楼底d的俯角为30求楼cd的高(结果保留根号)9、（2007年云南省）已知：如图，在abc中，b = 45，c = 60，ab = 6求bc的长(结果保留根号).10、（2005盐城）我边防战士在海拔高度（即cd的长）为50米的小岛顶部d处执行任务，上午8时发现在海面上的a处有一艘船，此时测得该船的俯角为30，该船沿着ac方向航行一段时间后到达b处，又测得该船的俯角为45，求该船在这一段时间内的航程（计算结果保留根号）11、（2005海淀区）如图，电线杆ab的中点c处有一标志