自动控制原理二阶系统的动态性能(上).ppt

3 3二阶系统的动态性能 凡是由二阶微分方程描述的系统 称为二阶系统 在控制工程中的许多系统都是二阶系统 如电学系统 力学系统等 即使是高阶系统 在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二阶系统 因此 二阶系统的性能分析在自动控制系统分析中有非常重要的地位 或 为二阶系统的阻尼系数 阻尼比 称为二阶系统的无阻尼自然振荡频率 或 图3 3 1标准化的二阶系统 1 数学模型的标准式 通常都把二阶系统的方程化成标准的微分方程形式 二阶系统的传递函数为 3 3 1二阶系统的数学模型 2 学习过的二阶系统的数学模型 设初始条件为零 当输入量为单位阶跃函数时 输出量的拉普拉斯变换式为 闭环特征方程 其特征根即为闭环传递函数的极点为 闭环极点的性质决定了二阶系统在单位阶跃信号下响应的不同性质 3 3 2二阶系统的单位阶跃响应 1 无阻尼 0 状态时 特征根 闭环特征方程 图3 12 0时特征根 其输出量的拉普拉斯变换 上式取拉氏反变换 得 响应曲线为等幅振荡曲线 称为无阻尼状态 系统有一对共轭纯虚根 见图3 12 图3 13 0时二阶系统的单位阶跃响应曲线 2 欠阻尼 0 1 状态 特征根 闭环特征方程 系统有一对共轭复根 见图3 14 阻尼自然振荡频率 图3 140 1时特征根 其输出量的拉普拉斯变换 上式取拉氏反变换 得 令 1 衰减的正弦振荡曲线 振幅按指数衰减 振荡频率为 称为阻尼自然振荡频率 2 越小 振荡越强 3 阻尼角只与阻尼系数有关 图3 140 1时特征根 3 临界阻尼 1 状态 闭环特征方程 特征根 系统特征根为一对相等的负实根 见图3 16 图3 16 1时特征根 其输出量的拉普拉斯变换 上式取拉氏反变换 得出输出的表达式 1 响应具有非周期性 没有振荡和超调 其响应曲线如图所示 图3 17 1时二阶系统的单位阶跃响应曲线 3 动态性能指标为 4 稳态误差为0 说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时 无稳态误差 系统为无静差系统 2 该响应曲线不同于典型一阶系统的单位阶跃响应 4 过阻尼 1 状态 闭环特征方程 特征根 令 系统特征根为一对不等的负实根 见图3 18 图3 18 1时特征根 其输出量的拉普拉斯变换 上式取拉氏反变换 得 图3 19 1时二阶系统的单位阶跃响应曲线 1 响应具有非周期性 没有振荡和超调 该响应曲线不同于典型一阶系统的单位阶跃响应 2 动态性能指标为 3 稳态误差为0 说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时 无稳态误差 系统为无静差系统 4 需要说明的是 对于临界阻尼和过阻尼的二阶系统 其单位阶跃响应都没有振荡和超调 系统的调节时间随 的增加而变大 在所有无超调的二阶系统中 临界阻尼时 响应速度最快 图3 20二阶系统在单位阶跃作用下的响应曲线 3 3 3典型二阶系统的动态性能指标 1 欠阻尼二阶系统的动态性能指标 当0 1时 二阶系统的单位阶跃响应为 1 上升时间tr 根据上升时间的定义 当t tr时 y tr 1 上升时间tr是y t 第一次达到稳态时间 弧度制计算 2 峰值时间tp tp处有极值 故该处导数值为0 峰值对应振荡第一个周期内极大值 3 超调量 当t tp时 y t 有最大值 上式表明 超调量 仅是阻尼比 的函数 与自然频率 n无关 图3 21 和 的关系 4 调节时间ts 可见 写出调节时间的表达式是困难的 由右图可知响应曲线总在一对包络线之内 包络线为 当t t s时 有 由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快 因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间 即认为响应曲线的包络线进入误差带时 调整过程结束 当z较小时 近似取 且 所以 5 振荡次数n 由此可见振荡次数n仅与阻尼系数 有关 阻尼系数z是二阶系统的一个重要参数 用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质 在z 1的情况下瞬态特性为单调变化曲线 无超调和振荡 但ts长 当z 0时 输出量作等幅振荡或发散振荡 系统不能稳定工作 总结 在欠阻尼情况下工作时 若过小 则超调量大 振荡次数多 调节时间长 瞬态控制品质差 注意到只与有关 所以一般根据来选择 越大 当一定时 为了限制超调量 并使较小 一般取0 4 0 8 则超调量在25 1 5 之间 最佳阻尼比0 707 此时超调量为4 3 2 过阻尼二阶系统的动态性能指标 阶跃响应是从0到1的单调上升过程 超调量为0 用ts即可描述系统的动态性能 需要说明的是 在所有非振荡过程中 临界阻尼系统的调节时间最小 通常 都希望控制系统有较快的时间响应 即希望系统的阻尼系数在0 7左右 而不希望处于过阻尼情况 调节时间过长 但对于一些特殊的不希望出现超调系统 如液位控制 和大惯性系统 如加热装置 舰船靠岸 则可采用 1的过阻尼系统 例3 2 设控制系统方框图如图所示 当有一单位阶跃信号作用于系统时 试求系统的暂态性能指标tr tp ts n和 解 闭环传递函数为 因此有 振荡次数 性能指标 例3 3 一位置随动系统 k 4 求 该系统的阻尼比 自然振荡角频率和单位阶跃响应 系统的峰值时间 调节时间和超调量 若要求阻尼比等于0 707 应怎样改变系统放大系数k值 解 1 系统的闭环传递函数为 则单位阶跃响应为 2 峰值时间为 调节时间为 超调量为 从上可以看出 降低开环放大系数k值能使阻尼比增大 超调量下降 可改善系统动态性能 但在以后的系统稳态误差分析中可知 降低开环放大系数将使系统的稳态误差增大 3 要求 0 707时 例3 4 设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示 试确定系统的传递函数 解 根据题意 33 典型二阶系统响应特性的小结 1 极点位置与阶跃响应形式的关系 34 阻尼系数 阻尼角与最大超调量的关系 极点位置与特征参数z wn及性能指标的关系 36 wn是极点到原点的直线距离 距离越大振荡频率越高 36 极点距虚轴的距离与系统的调节时间成反比 0 z 0 8 对于临界阻尼和过阻尼时 此规律也存在 ts 4 ts 2 ts 1 例3 5 求如下随动系统的特征参数 分析与性能指标的关系 若假设电枢电感la 0 则ta 0 方程为 当只考虑ua时 电动机的微分方程方程为 电动机传递函数为 电压放大器和功放的传递函数分别为k1和k2 可得方框图 因所以 设 则闭环传递函数为 40