通信原理第8章.ppt

第八章导行电磁波 8 1沿均匀导波装置传输电磁波的一般分析 8 2矩形波导8 3圆柱形波导8 4波导中的能量传输与损耗 8 5同轴线8 6谐振腔 8 1沿均匀导波装置传输电磁波的一般分析 8 1 1在导波装置中电磁场纵向场分量与横向场分量间的关系 在无耗的媒质中电磁波沿 z方向传输 则对于角频率 的正弦电磁波 它满足无源区域的麦克斯韦方程 采用广义坐标系 u1 u2 z 其中u1和u2为导波装置横截面上的坐标 z为纵向坐标 场强的纵向分量用Ez u1 u2 z 和Hz u1 u2 z 来表示 场强的横向分量用Et u1 u2 z 和Ht u1 u2 z 表示 则场强矢量可表示为 式中为电磁波在无限媒质中的波数 由分离变量法可知 式 8 4b 中的Ez和Hz的解 可表示为f u1 u e z的形式 其中称为导行电磁波的转输常数 这样横向场分量与纵向场分量间的关系可表示成 将广义柱坐标系中的 t算子代入 可得横向场分量的表达式为 8 1 2导行波波型的分类 1 横电磁波 TEM波 此传输模式没有电磁场的纵向场量 即Ez Hz 0 由式 8 6 可知 要使Et和Ht不为零 必须有kc 0 即 2 横电波 TE波 或磁波 H波 此波型的特征是Ex 0 Hz 0 所有的场分量可由纵向磁场分量Hz求出 3 横磁波 TM波 或电波 E波 此波型的特征是Hz 0 Ez 0 所有的场分量可由纵向电场分量Ez求出 8 1 3导行波的传输特性 1 截止波长与传输条件 导行波的场量都有因子e z 沿 z轴方向传输 j 为传播常数 由前面的推导可知 对于理想导波系统 为实数 而kc是由导波系统横截面的边界条件决定的 也是实数 这样随着工作频率的不同 2可能有下述三种情况 1 2 0 即 j 此时导行波的场为 2 2 0 即 此时导行波的场为 显然这不是传输波 而是沿z轴以指数规律衰减的 称其为截止状态 3 0 这是介于传输与截止之间的一种状态 称其为临界状态 它是决定电磁波能否在导波系统中传输的分水岭 这时由所决定的频率 fc 和波长 c 分别称为截止频率和截止波长 并且 其中为无限介质中电磁波的相速 而kc称为截止波数 并有 这样导波系统传输TE波和TM波的条件为 截止条件为 对于TEM波 由于kc 0 即fc 0 c 因此在任何频率下 TEM都能满足f fc 0的传输条件 均是传输状态 也就是说TEM波不存在截止频率 2 波导波长 在传输状态下 j jkz 将kc 2 c k 2 2 0代入上式得 所以可得 对于TEM波 c 3 相速 群速和色散 1 相速 对于TEM波 c 有 8 11a 2 群速 群速是指一群具有相近的 和kz的波群在传输过程中的 共同 速度 或者说是已调波包络的速度 从物理概念上来看 这种速度就是能量的传播速度 其一般公式为 8 11d 可见 群速vg v 并且 对于TEM波 c 有 3 色散 由式 8 11a 和 8 11d 可知 TE波和TM波的相速和群速都随波长 即频率 而变化 称此现象为 色散 因此TE波和TM波 即非TEM波 称为 色散 波 而TEM波的相速和群速相等 且与频率无关 称为 非色散 波 4 波阻抗 对于TEM波 有 5 传输功率 导波沿无耗规则导行系统 z方向传输的平均功率为 式中Z ZTE 或ZTM或ZTEM 8 1 4模式电压与模式电流 1 TM波 式中 上式左边仅是横向坐标 u1 u2 的函数 右边仅是纵向坐标z的函数 要使等式成立 两边必须等于同一常数 k2c 即 式中 ZTM 2 TE波 TE波型电场的纵向分量Ez 0 代入式 8 2a 得 t Ht 0 令 3 TEM波 横电磁波的纵向电磁场分量都为零 即Ez 0 Hz 0 故E Et H Ht 显然 如果TM波的Ez 或TM波的Hz 等于零 它就变成了TEM波 但由式 8 6 可知 此时必有kc 0 j jkz 这样Et 和Ht仍可由式 8 15a 计算 即 式中 8 1 5边界条件 图8 1导波系统横截面 对于TM波 其边界条件为 由于kc 0 所以有 对于TE波 其边界条件为 用横向分布函数表示时有 对于TEM波 其边界条件为 或者是用横向分布函数表示为 8 2矩形波导 8 2 1矩形波导中的TM波 图8 2矩形波导 上式两边除以XY 得 这里的x和y是互不相关的独立变量 欲使上式对任意x和y值都成立 只有等式左边的两项分别等于常数 因此 可令 且 于是Ez的通解是 1 当x 0时 Ez 0 理想导体表面切向场为零 欲使上式对所有y值都成立 则c 应等于零 2 当y 0时 Ez 0 欲使上式对所有x值都成立 则c3应为零 此时c2不能为零 因为若c2等于零 则Ez在非边界处也恒为零 这与TM波的情况不符 因此只能取c3等于零 8 38 3 当x a时 Ez 0 式 8 38 变为 欲使上式对所有y值都成立 kx必须满足下面关系 这里m不能等于零 否则kx 0 则Ez恒等于零 这不符合TM波的定义 4 当y b时 Ez 0 欲使上式对所有x值都成立 ky必须满足下面关系 这样Ez的表示式为 式中 在矩形波导中TM波的传输常数为 当传输常数 0所对应的频率为载止频率fc 且截止频率为 当工作频率高于截止频率时 即f fc 为纯虚数 j jkz 电磁波才可能在波导中沿 z方向传输 这种z方向传输常数为 或写成 当工作频率低于截止频率时 即f fc 为实数 此时e z表示衰减 电磁波衰减很快 不可能在波导中传输 式中为无限介质中的电磁波的波度 电磁波在矩形波导中的速度vp 为 在矩形波导中的波导波长 g为 图8 3矩形波导中几种波型的场结构 磁力线 电力线 8 2 2矩形波导中的TE波 其中 截止波数kc为 截止频率为 截止波长为 TE波在波导中的相速vp为 TE波在波导中的波导波长 g为 图8 4矩形波导中截止波长分布图 以BJ 100为例 8 2 3矩形波导中的TE10波 将m 1 n 0 kx kc a代入式 8 49 便可得到TE10模的场分量表示式为 式中传输常数 TE10模电磁场各分量的瞬时表示式为 图8 5TE10模的电场 磁场结构 图8 6TE10模电磁场结构立体图 当波导中有电磁能量传输时 波导内壁处有感应的高频传导电流 由于波导内壁是导电率极高的良导体 在微波波段 其趋肤深度在微米数量级 因此波导内壁上的电流可看成表面电流 其面电流密度由下式确定 式中n为波导内壁上的单位法向矢量 它由波导管壁指向波导管内 Ht是波导管内壁处的切向磁场 TE10模在波导管内壁上的感应面电流密度为 图8 7TE10模的壁电流分布 在矩形波导中传输TE10模时 其截止波长为 波导波长为 波阻抗为 图8 8圆柱形波导 8 3圆柱形波导 8 3 1圆波导中的模式 图8 9贝塞尔函数及其导数的变化曲线 表8 1Jm x 的根xmn 表8 2Jm x 的根xmn 式 8 60 简化为 8 60 8 61 1 圆波导中的TE模 对于TE模 Ez 0而Hz 0 由边界条件可知 圆波导中TE模应满足的边界条件为 将式 8 61 代入该式 得 表8 3圆波导中TE模的截止波长值 r 1 r 1 圆波导中TE模的各分量分别为 2 圆波导中的TM模 对于TM模 Ez 0而Hz 0 在波导壁处 电场切向分量应为零 所以必有 将式 8 61a 代入该式 得Jm kca 0 kca xmn 于是 圆波导中TE模的各分量分别为 圆波导中的导行波存在着极化简并和E H简并 极化简并 由式 8 64 和 8 67 可知 圆波导中的TE模和TM模中 都含有因子cos m 0 和sin m 0 其中 0决定了场的极化方向 由于圆波导结构具有轴对称性 故 0具有不定性 由 可知 0的不定性实际上表示了在圆周 方向上含有因子cos m 和sinm 两个线性无关的互相正交的独立成分 但这两个独立成分却有相同的截止波长 传输特性和完全相同的场结构 这两个独立成分是互相简并的 我们称这种简并为极化简并 考虑到圆波导中的导行波有极化简并 在式 8 64 和 8 67 中 cos m 0 可写成 sin m 0 可写成 显然只有模序数m 0的模才存在极化简并 E H简并 由于贝塞尔函数 J1 x J0 0 所以x0n x1n 因TE0n模与TM1n模有相同的截止波长 故TE0n模与TM1n模简并 我们称这种简并为E H简并 8 3 2圆波导中的三个常用模式 1 圆波导中的TE11模 在圆波导中 TE11模的 c 3 413a 截止波长最长 所以它是圆波导中的主模 将m n 1 x11 1 841代入式 8 64 则传输型TE11模的电磁场为 图8 10圆波导中TE11模的电磁场分布 图8 11矩形波导至圆波导过渡段 2 圆波导中的TE01模 在圆波导中 TE01模是高次模 其截止波长 将m 0 n 1 x01 3 832代入式 8 64 则圆波导中传输型TE01模的各场分量分别为 图8 12圆波导中TE10模的电磁场分布 图8 13圆波导中TE01模的壁电流 3 圆波导中的TM01模 图8 14圆波导中TM01模的电磁场分布 8 4波导中的能量传输与损耗 在矩形波导中传输功率为 在圆柱形波导中其传输功率为 8 72 8 4 1波导的击穿功率与功率容量 对于矩形波导中的TE10模 其横向电场只有Ey分量 其表示式为 8 74 式中E0 aH0 将式 8 74 代入式 8 72 则在行波状态下TE10模的传输功率为 式中为无限介质中的波阻抗 设Ebr为波导中填充介质的击穿电场强度 即介质所能承受的最大电场强度 将式 8 75 中的E0用Ebr代替 则在行波状态下TE10模传输的极限功率Pbr为 图8 15矩形波导功率容量与波长的关系 在实际应用中 由于传输线终端难以完全匹配 传输线处于行驻波工作状态 而有部分反射波存在 此时驻波系数 1 这时击穿功率可减小到 事实上 波导的击穿功率还与其它因素有关 如波导内表面不干净 有毛刺或出现不均匀性等等 都会使波导的击穿功率进一步降低 为使波导能安全地工作 通常把传输线允许通过的功率Pt规定为 8 4 2波导的损耗和衰减 在考虑损耗的波导中 电磁波的传输常数是复数 即 j jkz 此时电磁波的场矢量 式中E u1 u2 e z和H u1 u2 e z是场矢量的振幅 显然电磁波每传输一个单位距离 场矢量的振幅是原来值的e z倍 而电磁波所携带的功率则是原来值的e 2 倍 设在z处通过波导横截面的功率为P 则传输一个单位距离所损耗的功率PL为 8 80 在一般情况下 波导中任意横截面处的传输功率P总是远大于该处单位长度波导中损耗的功率PL 即P PL 这说明衰减常数 1 在此种情况下 将e 2 展成幂级数 并取前两项作近似 则式 8 80 可简化为 由此可得衰减常数的近似表示式为 8 81 1 波导内壁导体损耗引起的衰减常数 c 若要计算 c 必须先计算传输功率P和损耗功率PL 由电磁场理论可知 这两部分功率分别为 式中 Z为传输模的波阻抗 RS为金属材料的表面电阻 将式 8 84 和式 8 85 代入式 8 81 可得 8 84 8 85 图8 16矩形波导中TE10模的 c特性曲线 2 波导中填充介质的损耗引起的衰减常数 d 当波导中填充非理想介质时 介质中将损耗部分功率 使得电磁波在传输过程中衰减 波导中非理想介质引起的损耗包括两部分 一部分是由介质电导率不等于零 即 0而引起的 另一部分是由介质极化阻尼而引起的 介质电导率不为零引起的衰减常数 dc由传输常数 的表示式可以导出 其 dc为 介质极化阻尼损耗引起的衰减常数 de为 式中tan e 称为介质损耗角正切 以上的分析表明 对于空气填充的波导 其损耗是由波导壁有限电导率引起的 衰减系数 c 对于非理想介质填充的波导 不仅有波导壁引起的损耗 而且还有介质引起的损耗 其衰减常数 c dc de 8 5同轴线 图8 17同轴线的结构与坐标 8 5 1同轴线主模TEM波的性质 1 同轴线中的场方程 该方程的一般解为 将 以及式 8 22d 代入式 8 22a 可得到同轴线中TEM波的横向场分量为 式中E0是电场的振幅 是TEM波的波阻抗 2 传输参数 设同轴线内 外导体之间的电压为U z 内导体上的轴向电流为I z 则 由特性阻抗的定义可知其特性阻抗Z0为 其相移常数 和相速vp分别为 v0 光速 其波导波长 相波长 为 3 传输功率与衰减 设z 0时 内 外导体之间的电压为U0 同轴线传输TEM波的平均功率 同轴线的功率容量Pbr可按下式计算 Ubr与Ebr的关系 故功率容量的计算公式可写成 8 5 2同轴线中的高次模 对于同轴线内的TE或TM高阶模来说 其截止波数kc所满足的方程都是超越方程 严格求解是很困难的 一般采用近似的方法得到其截止波长的近似表达式 对于TM波 最低波型为TM01 其截止波长 c E01 2 b a 当m 0 n 1时 对于TE波 其截止波长为 最低波型为H11 其截止波长为 在m 0时 TE01模的截止波长为 8 5 3同轴线尺寸的选择 1 保证同轴线中单模 TEM 传输 为了保证在同轴线中只传输TEM波 其工作波长与同轴线尺寸的关系应满足 2 保证传输电磁波能量时导体损耗最小 为了保证获得最小的导体损耗 将 c表达式 8 100a 中b保持不变 对a求导并令 可求得 c取最小值时b a的比值为 此尺寸相应空气同轴线的特性阻抗约为77 3 保证同轴线具有最大的功率容量 为了保证获得最大的功率容量 可将Pbr的表达式 8 99 中b保持不变 对a求导并令 可求得Pbr取最大值时b a的比值为 此尺寸相应空气同轴线的特性阻抗约为33 8 6谐振腔 8 6 1空腔谐振器的一般概念 图8 18集总参数LC电路向空腔谐振器过渡 1 谐振波长 0 空腔谐振器的谐振波长 0是指在空腔谐振器中工作模式的电磁场发生谐振时的波长 这时谐振器内的电场能量的时间平均值与磁场能量的时间平均值相等 谐振波长 0取决于谐振器的结构形式 尺寸大小和工作模式 f0 v 0 空气填充时 v为自由空间的光速 称为谐振频率 2 固有品质因数Q0 品质因数Q是空腔谐振器的另一个重要参数 它表征了空腔谐振器的频率选择性和谐振器能量损耗 其定义为 一个与外界没有耦合的孤立空腔谐振器的品质因数称为固有品质因数 以Q0表示 对孤立的空腔谐振器 式 8 101 中系统中每秒的能量损耗仅包括空腔谐振器本身的损耗 如导体损耗和介质损耗等 8 101 当场量用瞬时值定义时 总储能的时间平均值为 式中 1为谐振器内部介质的介电常数 1为介质的磁导率 V为谐振器的体积 对于孤立的金属空腔谐振器 其损耗主要来自导体壁的损耗 所以PL为 由于 所以式 8 104 也可以写成 8 104 8 6 2矩形空腔谐振器 图8 19矩形波导谐振腔 1 谐振频率 矩形波导谐振腔内的场分量可由入射波和反射波叠加来求得 式中 E0 x y 为该模式横向电场的横向坐标函数 A A 分别为正向和反向行波的任意振幅系数 TEmn和TMmn的传输常数为 式中 和 是腔体内填充介质的磁导率和介电常数 将z 0处的边界条件Et 0代入式 8 106 得到A A 再将z l处的边界条件Et 0代入式 8 106 可得E x y l E0 x y 2jA sin kzl 0 由此可得 这表明 谐振腔的长度必须为半波导波长的整数倍 由此得矩形波导谐振腔的谐振波数为 这样与矩形波导的模式相对应 矩形谐振腔可以存在无限多个TEmnp模和TMmnp模 下标m n p分别表示沿a b l分布的半驻波数 TEmnp模和TMmnp模的谐振频率为 式中c为真空中的光速 最低的谐振频率或最长的谐振波长为谐振腔的主模 矩形波导谐振腔的主模是TE10p模 其谐振频率为 2 TE10p模的固有品质因数Q0 矩形波导腔TE10p模的电磁场分量为 图8 20TE101模的场结构 TE10p模的电场储能为 一般情况下 矩形波导谐振腔的填充介质为干噪的空气 介质损耗不计 若填充的介质为有耗介质 其有耗介质引起的Q值为Qd 其值为 式中 tan 为介质损耗角正切 由腔体导体壁引起的Q值为Qc 则总的固有品质因数Q0为 例8 1用BJ 48铜波导做成矩形波导谐振腔 a 4 775cm b 2 215cm 腔内填充聚乙烯介质 r 2 25 tan 4 10 4 其