（基础数学专业论文）利用有限域上伪幂等矩阵的标准型构造cartesian认证码.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文利用有限域上伪幂等矩阵的相似标准型构造一个c a r t e s i a n 认证码，并在假定编 码规则按照统一的概率分布选取的条件下，计算了成功模仿攻击概率和成功替换攻击概 率 关键词：有限域；认证码；伪幂等距阵 利用有限域上伪幂等距阵的标准型构造c a r t e s i a n 认证码 u s i n g t h en o r m a lf o r mo fp s e u d o i d e m p o t e n tm a t r i c e so v e rf i n i t ef i e l d s t oc o n s t r u c tc a r t e s i a na u t h e n t i c a t i o nc o d e s a b s t r a c t t h i sp a p e rp r e s e n t sac o n s t r u c t i o no fc a r t e s i a na u t h e n t i c a t i o nc o d e sf r o ms i m i l a rn o r m a l f o r mo f p s e u d o i d e m p o t e n tm a t r i c e so v e rf i n i t ef i e l d s m o r e o v e r , w ea s s u m et h a tt h ee n c o d i n g r u l e sa r ec h o s e na c c o r d i n gt oau n i f o r mp r o b a b i l i t yd i s t d b u t i o r t , a n dt h e p l a n d p s ，w h i c h d e n o t et h el a r g e s tp r o b a b i l i t i e so fas u c c e s s f u li m p e r s o n a t i o na t t a c ka n do fas u c c e s s f u l s u b s t i t u t i o na t t a c kr e s p e c t i v e l y ，o ft h e s ec o d e sa r ea l s oc o m p u t e d k e yw o r d s ： f i n i t ef i e t d s ；a u t h e n t i c a t j o nc o d e s ；p s e u d o - i d e m p o t e n tm a t r i c e s i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 作者签名： 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目 作者签名 导师签名 ：豹! 翌堑趔皇鱼至堕咝兰丛互丝煎堇丝叠渤略 些噬l 晕日期：豳也月卫日 牵叁港日期：4 年上月韭日 大连理工大学硕士学位论文 己i吉 丁i目 在信息的传输和存储中，安全是至关重要的一般来说，信息系统的安全是指保证 信息在系统中的保密性，完整性和认证性保密性，即使非授权人不能提取系统中的信 息，通常用密码方法来解决这一问题；完整性，即表示在有干扰的条件下，系统保证能 使所接收到信息和原来发送的信息一致，这常常借助于纠错码来实现：认证性，即接收 者能够识别和确认信息的真伪，防止信息被敌方篡改，删除和伪造等，认证是防止敌方 进行主动攻击的重要技术，而认证码是解决信息认证问题的一种方法，这种方法是由 g j s i m m o n s 首先提出 定义l 设s ，e 和m 是三个非空的有限集合，厂：s e _ m 是一个映射，如果以下 条件被满足，则称四元组( s ，e ，m ；厂) 是一个认证码： 1 ) 厂：s e _ m 是满射， 2 ) 对任意的m m ，e e 如果存在一个j s 满足厂( s ，p 净m ，则这样的j 是被m 和 e 所唯一确定的 在一个认证码( s ，e ，m ；f ) 中，s ，e ，m 分别称为信源集，编码规则集和信息集，厂称 为编码映射，基m l s j ，i 捌，l m j 称为这个码的参数，对s s ，p e 和m m ，如果 厂( s ，p ) = m ，则称信源j 在编码规则e 之下被编码成信息m ，简称信息m 包含编码规则e 认证码用于解决信息传输中的认证问题假设在一个通信系统模式中，除了信息的 发方和接收方外，还存在一个敌方，而且敌方掌握某种技术可以截收系统中的信息，也 可以向系统注入信息通常敌方对系统进行两种形式的攻击：模仿攻击和替换攻击所谓 模仿攻击，是指敌方在未观测到信道中发方给收方的信息条件下，通过信道发送一个伪 造的信息给收方；替换攻击，是敌方截收到发方给收方的一个信息后，进行分析并且发 另个信息给收方的攻击 下面我们假设发方和收方相互信任，且共同对付敌方为阻止敌方的这两种攻击， 发方和收方可以选用公开的认证码( s ，e ，m ；n ，但在通信前约定一个固定的编码规则 e e ，这个选定的编码规则是保密的，并不被敌方所知如发方想把信源s s 发送给 收方，首先他用选定的编码规则p 将s 加密为信息m = 厂( s ，e ) ，然后把m 通过信道发送给 收方当收方接收到信息m 后，首先他要判定m 7 是否合法，即选定的p 是否包含在m 中， 如果e m ，则收方以为m 是合法的，然后在e 下解密得到信源5 ，使得m = f ( s r , e ) ， 由认证码的定义，我们知道s 是被m 7 和e 所唯一确定如果e 叠m 7 ，则收方以为m 是非 法的敌方虽然知道发方和收方所采取的认证码，但不知道发方和收方所具体采取的编 利用有限域上伪幂等距阵的标准型构造c a r t e s i a n 认证码 码规则，他便选取信息发送给收方，如果他发送的信息可以用发方和收方事先约定的编 码规则解密，则收方认为信息是正确的，即敌方的攻击成功；如果敌方伪造的信息恰与 发方发给收方的某个信息相同，我们认为敌方的攻击成功下面我们分别用只和只表示 敌方采用模仿攻击和替换攻击成功的概率的最大值，并分别称为成功的模仿攻击概率和 成功的替换攻击概率 一般的，只和足尽可能小并且编码，译码都容易实现的认证码是好的、实用的认 证码计算只和足时，采用的公式为 。 | p e i g m ) | _ 1 黔一一同一 。l p 剧p m ，p m7 i 铲舢m s x 驯 l 瓦i e 雨面厂 朋，埘t e 肘。m # 肘。也l p ，”日 其中p e 表示编码规则f 包含在信息加中，既存在信源s s 使得“s ，e ) = m 定义2 设( s ，e 膨；厂) 是一个认证码，如果对任意的m m ，总存在唯一的信源 s s ，使得对任意包含在m 中的编码规则p 都有儿，e ) - - m ，则称这样的认证码为 c a r t e s i a n 认证码 大连理工大学硕士学位论文 1 预备知识 1 1 群在集合上的作用 定义1 设g 是群，s 是一个非空集合，如果存在一个映射厂， f ：g s s( 厂：( g ，s ) _ g s s ) 使得对每一个x s 和g j ，9 2 g ，有 e x = x ，( g 1 9 2 ) x = g i ( 9 2 z ) ， 则称厂为群g 在集韶上的作用 定理1 假设厂是群g 在集合s 上的一个作用，则有如下结果： ( t ) 如果规定： x x g x = x ( 对于某个g g ) ，其中x , x s ， 则”为s 上的一个等价关系 ( 2 ) 对于x s ，令g x = k g i = x j ，则g x 为群g 的一个子群 证明( 1 ) 由的定义知，麟= x ，所以x x 若x x ，则，= g x 幢g ) ，而 g 一1 x = g 一1 ( g x ) = ( g 一1 9 ) x = e x = x ，所以x z 若x x r , x x ，贝0 x = g l x ，x 。= 9 2 x ( 岛，9 2 g ) ，于是，矿= 9 2 ( g l x ) = ( 9 2 9 l 虹( 9 2 9 l g ) ，所以x ， 综上所述，”为s 上的一个等价关系 ( 2 ) 因为e x = x ，所以e g x 咖对l ，9 2 q ，若有g l x 之x ，9 2 x = x ，则 ( g 1 9 2 1 ) x = g l ( 9 2 - i x ) = g l ( 9 2 - ! ( 9 2 x ”= g l ( ( 9 2 9 2 ) x ) = g l ( 麟) = g l x = x ， 所以g 1 9 2 一g 工，即q 为g 的子群 定义2 令i x = l x t x ， ，m 叫做g 在s 上的轨道，q 叫做z 的固定子群 定理2 如果群g 作用于集合s 上，则对任意x s 的轨道m 的势l m 等于指数【g ：g j 】 证明对v g g ，规定 9 ：g x 哼碱( g x b d ( i ) 对g l ，9 2 g ，若g l x = 9 2 x ，则( 9 2 9 1 ) x = x ，于是9 2 g l g ，jg l q = 9 2 g x ， 即9 为m 到 驴，k g 的一个映射且为满射 ( i i ) 若g 。q = 9 2 q ，则9 2 - t g 。g xj ( 9 2 - 1 9 1 = xjg l x = 9 2 x ，e pq , 为b 】到 利用有限域上伪幂等距阵的标准型构造c a r t e s i a n 认证码 如，i g g 的单射 综上可知，f i x = 【g ：q 】 1 2 有限域上线性群的计数定理 令y 为域f 上的船维向量空问，h o r n f ( 矿，y ) 表示向量空间矿的全体线性变换( 自同 态) 构成的集合易知，在选定y 的任意一组基底y 。，y 2 ，y 。之后，存在h o m f ( y ，v ) 到 m 。( 一( 域f 上所有疗阶方阵构成的集合) 的同构映射厂 f ：f ( h o r n f ( y ，矿) ) 一么( 鸠( f ) ) 其中a = k ，l 打，口 ，由下面的变换所确定： r ，- - a l y l + 口2 j y 2 + ：+ 口彬y 一 0 = l ，2 ，刀) 不难看出，集合且溯f 缈，y ) 的所有可逆线性变换可构成一个群，称这个群为一般线 性变换群，记作g 砩( 矿) ，这个群又同构于鸠( f ) 的所有可逆阵构成的群，记后者为 皿。扩) ，称为一般线性群易证，行列式为1 的所有矩阵构成皿。( 一的子群，记为 瓯扩) = 口，】阮】= 1 j 下面考查一般线性群的计数问题。 设f 是含有q = p 3 个元素的有限域，其中p 是素数，因此就是f 的特征数易知 i 鸩( ，) | = 2 圹，并且有 疗f 开一1 )h 定理3 j g l 例= 9 下兀( g 。- o = ( q 一1 ) i s & 证明对w = k l ，j l l 。打eg l 。护) ，可令 k l 。= 其中口f = g na f 2 xi = 1 , 2 ，z ，a l , o t 2 ，a 。线性无关 下面考虑4 = ( 嘞l 呱( f ) 时，a l , a ：，a 。的取法 在f 上一个i 1 维向量有g gx xq = 9 ”种构造方法，由于口l 0 ，所以a l 有9 ”一1 大连理工大学硕士学位论文 种取法若卢与口，线性相关，则卢= k a 。， f ) ，于是有g 个向量与口。线性相关，因此， 口l 确定之后，a 2 的取法有g ”一q 种若，与a l ，口2 线性相关，则y = k l a l + 七2 口2 ， g 。，k 2 f ) ，于是有9 2 个向量与口。，a 2 线性相关，因此，口。，a 2 确定之后，口3 的取法有 g ”- q 2 种这样依次类推，口l ，a 2 ，口川确定之后，a 。的取法有g ”- q ”1 种故 阮( f i ：( g 一一l b 一一施一一办q - - q - ) ：留划2 立0 ，一1 ) 令 d e t ：g l 。扩) 专f = f - o ( 1 e t a = ( 口l ，) - * l a f f 不难看出，d o t 是瓯扩) 到，的同态满射，1 5 tk e r ( d e t ) = 脱。( ，) ，因此， i 吼n ( ( d e t ) f = 州= q - 1 令i 鸭俐= 白一1 ) i 瓯 综上可知， 州n - ij n ， l g l ( f 】= g _ 兀b - o = ( q - l l s , 。( f ) i 利用有限域匕伪幂等距阵的标准型构造c a r t e s i a n 认证码 2c a r t e s i a n 认证码的构造 设表示有g 个元素的有限域，g 2 ，g l 。忆) 表示有限域上的力阶一般线 性群f q 上的- + n 阶方阵称为幂等的，如果4 2 = a 满足条件4 3 = a 矩阵称为伪幂等 s = 考一昙一。勇，= 2 ，3 ，刀一；七= ，2 ，一， 占= 纠尸呱k ) ) 膨= 1 4 l 彳3 = 彳，a o ，么，j p卅么p=l0一z以。00 0 0 ，r 。，= ，； p 卅么p = f 一以 i ，r ( 彳) = ，； 【j 阱0 0 0； i o 一，越 o i ij f ：s xe 专m ( 厂：( s ，p ) _ 即一1 ) 其中p g 乙眈) ， 易知，厂满足c a r t e s i a n 认证码定义中的所有要求，因此，心，e ，m ，力为认证码 引理1 i s l ：_ ( - 1 x - 2 ) ，i e i = l 瓯。k 】：g 掣卉( g ，一1 ) 证明 i s l ：垒掣是显然的，i e l = q 山= “n ( q ，一1 ) 由定理3 可得 大连理工大学硕士学位论文 引理2 i m i = 茎善瓦i 瓦琢复犏 fl o 0 1 证明用d 表示所有与s = 10 一i t - 1 0 l 相似的矩阵做成的集合，对每一个 l0 0 0 j a d ，存在尸g l k ) ，使 尸彳尸- 1 = 耄一昙一。，三 = s ，j f ：g l 。kj d d ( 厂：( 尸，彳) 专p a p 。1 ) ， 不难看出，如果4 d ，p 瓯( ) ，贝1 p a p 一1 d ，就有如下性质： ( 1 ) 厂为一般线性群g 毛) 在d 上的作用 ( 2 ) d 为g l 眩) 关于s ，乒d 的轨道 ( 3 ) 关于s ，j d 的固定子群q 。= 1 1 p a p l = s ，乒j 因此，由定理2 知道 令 所以 阱背 下面计算i g i ，即满足如下关系的可逆矩阵尸的个数： 可童_ 三一。习尸= 考一；七三 其中尸g 三。c ， p = 墨! 龛磊 ，则由尸 耄_ 昙_ 三 = 耄一昙以三 尸， 隧瓣睾封 一7 一 有 利用有限域上伪幂等距阵的标准型构造c a r t e s i a n 认证码 一oo 、1 肚lo 马：ol ， l0 0 弓3 其中互。皿。皈j l 最：g l hk 工b ，皿眩) ，于是 l g s , 。j - i g l k k i i g l 心k 】| 呱，k 】。 因此， 阱阿丧镍调， 引理3 设聊m ，厂= 瑚后似) ，n n 于n , g m 的编码规则的个数为 l g l 。k l f 吼h 眈】i 瓯一，k 】 证明设m 是个信息，即m m ，= r a n k ( m ) , 则与朋对应的信源为4 = ( 考 0 一i _ 。 o ； ，编码规则的个数就是满足条件 鲫9 一= m ( 1 ) 的解q 瓯k ) 的个数我们知道至少有一个绕吼。) ，使 由( 1 ) ( 2 ) 知 令 或a q o 一= m ( 2 ) 鲥q 一= 蜴么绕q j q 0 卅幽q 一1 编= a 等p a p = 彳，c p = q o 叫q ) 彳。= 捌g g 乙k l 幽q 一= m ， 定义彳+ 与召之间的映射 一8 一 b = 纠尸g l ，( ：；i p a p _ = 么j ， 瓦 一 吖瓦k 丙丝瓦 瓦 一树州m = m 大连理工大学硕士学位论文 9 ：彳一b ( 9 ：q p = 轨叫q ) 其中或是满足方程( 2 ) 的固定解则不难看出缈为a 与b 之间的一一映射所以，属于信息 所的编码规则个数等于j 矧，因此，我们只需计算出满足矩阵方程剐尸= a 的尸的个数 就可以了( 其中p g l 。忆) ) 事实上，这等价于计算满足刚= a p 韵解p 的个数，从而 由引理2 的证明可知属于m 的编码规则个数为 川= j 纠号l 皿。k 】j 瓯，4 k 】i 鸭，k 】 引理4 设m 。和m ：是两个不同的信息，且有共同的编码规贝i j 属于m ，和m 2 ，则属于 和臃：的编码规则的个数为： ( 1 ) i g l 。：纯i i g l , 以：k 翊皿m k 】l 吼k 】i 吼m 亿】，化 最 吃 二) ， ( 2 ) l g l 毛k l l 吼k 】恤州：k 】l 吼吒一k 】| 吼州k 】，( 岛 如 吒 n ) ， ( 3 ) l 倪也k 】| 吃以：纯】j 吒一吃k 】| 咱k 】i 瓯一吒k 】，化 吃 白 刀) ， ( 4 ) l 吒皖】i g k 吨k 】i 砚衲k 】i 皿州k 】， g ： 忌。 吃= 由， ( 5 ) i 吒k 】j 皿吃也k 】i 吼似k 】| 吼一吩k 】， ( 后： ，2 - k i _ 刀) ， ( 6 ) l 吼：k 】f 吼吃吨k 】| g 乞一丘k 】f 吼州k 】， q ：= 毛 乃 由， 其中r a n k ( m 1 ) = 1 ，r a n k ( m 2 ) = ，2 ，1 ，2 证明 设册l 和m 2 是两个不同的信息，r a n k ( m 1 ) = 1 ，r a n k ( m 2 ) = 厂2 ，l ，2 ，令 h 0 0 1 毛 a l = 10 一呐01 1 一k l l0 0 0 j 珂一，l f 气00 1 如 a 2 = l0 一l 一如0l 吃一心 l0 0 0 j 玎一r 2 是分别与和册：对应的信源，则所求的属于胧。和的编码规则的个数即为满足矩阵方 程组 jp a l p = m i 【p a 2 尸一= ，1 2 的尸的个数，其中peg l 。) 不妨设 2 或k i k 2 鼯则所l = m 2 ，矛盾) ，由引理3 的证明，我们只需考虑如下 的矩阵方程组 利用有限域e 伪幂等距阵的标准型构造c a r t e s i a n 认证码 其中所：= q m ：q - i , qeg l k ) 我们设 其中e 。倪hk 土只2 吼1 一岛 下面分情况讨论： ( 1 ) 当岛 k i ，2 o ，即， 旦笋时，有可2 h 以+ 一 1 ，又由2 r - 州l - 后+ l o 得, r - k + l n - r q - t + l - 1 q - - 1 篱圯 利用有限域上伪幂等距阵的标准型构造c a r t e s i a n 认证码 甜q2r-n-k+ls(r k 磐q 1 儿 ，)”7 一一 即当掣 r n - l 时，函数竹，尼) 对，而言是单调递增 ( 2 ) 当2 r - n - 七+ l o ，即， 旦笔立时，类似于( 1 ) 的讨论得， 蜊= q 2 r - n - k + l q r - l t + i - - 1 k + ljq - k - i _ 1 q k + l _ 1j 舄扎 所以 星! 生! ) 一 g ( k ) 一 即当1 后 孚时，g 依) 单调递减 1 通过类似的讨论知，当刀一2 露一2 o ，即孚 后玎一2 时， g 酝) 单调递增 一1 2 一 大连理工大学硕士学位论文 为： 有： 综上可知，= n - i ，七= l 或后= 力一2 时，础) = 八刀一1 ，七) 取得最大值，其最大直 g 掣( g 1 ) 2i 柚- i g ，一1 ) ：肋) g 2 ( g 1 ) 2b 一1 ) = “2 ，1 ) 假定编码规则按照均匀概率分布选取，则我们由引理3 和关于函数s ( r ，七) 的讨论 只= 一 醴一， = n 塌x m a x f ( r , k ) 一厂( 2 ，1 ) j 瓯k 】一j 瓯瓦】 由引理4 有 ( 1 ) 当1 屯 毛 吃 刀时， b ：一! 丝! 生翌竺生鲤理丝垒! 姿望丝塑堡塑丝望鲤| ! 、 ，v ，k 1 i ) 若厂“，七。) 厂( ，2 ，七2 ) ，贝i j b ：一垃生垒蚴也：垒蚴坠蚴 6 厂【，k 1 ) 一1 3 一 ，i 一 厂岬一一=、豇一叫 兰黔 罨 利用有限域上伪幂等距阵的标准型构造c a r t e s i a n 认证码 a ( g ，一t = m a x ! = ! 皇!，三! q k ：( k j - h 越l x 铲神n g 。 一l 精g ，- - 1 )一1 ) n b ) j 墨l 当七：如一七：) + ( ，2 一岛地一，2 ) = 2 时，b取最大值即 一1 ) 当乞( j | l 一如) = 1 ；也一岛地一眨) = 1jk 2 = 1 , k 。一k 2 = l ；吃一k i = l ，一，2 = 1 k 2 = 1 ，k l = 2 ，厂2 = 3 ，i = 4 时， 当瓴 b 取最大值，其最大值为 i i ) 若“，h ) ( ，2 ，k ：) ，则 足= q 2 ( g + 1 ) 2 b ：一丝垒照塑丝苎! 蚴二蚓睦二剑啦蔓 j 厂( r 2 ，k ：) i g l ”也k 】f 倪纠。k 】f 倪k 湘倪州k 】 前g ，一，艚( g t t 艚g ，一，菥0 ，一t ) g 如喝地咄m 吩一五勋一t ) r n 2 - k z k ，一l 旃g ，一1 ) 一后：妣一毛) + “一，2 勋一) = 2 时， i - ij = l b 取最大值即 当瓴一也) ( 如一k 1 ) = 1 ；( r i 一，2 勋一) = 1jk l 一屯= l ，r 2 一k l = l ；f i r 2 = 1 ，刀一= 1 j r 2 一k 2 = 2 ；n - r 2 = 2 时，b 取最大值，其最大值为 ( 2 ) 当1sk l k 2 ，2 1 玎时 b = q 2 ( g + 1 ) 2 枷戕唑熟刿麓字幽 i ) 若几，k ，) 厂亿，屯) ，则 1 4 - l w斌 一 l w 膊纠 一 b = m a x 当任：一k i 炽一k 2 ) + ： 大连理工大学硕士学位论文 l g l k ；k 】j ：呐k 】i 皿吃吨k 】j 吼”k 】| 吼州( v q 】 “，k 1 ) i g l k ：咄k 】j 吼：k 】j 吼帕k 】j 吼k 】 前( g ，一艚精g - 一1 )兀( g 。一1 ) 兀b 。一1 ) n b 一) m a x 芝!兰!苎! 留( t ：i 毛x ，2 一如h 如咱x ，i 一，2 h 吃一i 。x ，l 一，2 ) r 兀l - k lb t ，一1 ) i = l 一毛h 一厂2 ) + 也一七：地一吃) = 3 时，b 取最大值即 当化一七；) ( 厂2 一k ) = 1 ；( k 2 一k ，h 一吃) = 1 ；( r 2 一后：地一，2 ) = 1 k 2 一七l = 1 ；r 2 - k 2 = 1 ；- r 2 = 1 ；一向= 3 时，b 取最大值，其最大值为 i i ) 若几，向) 胞，奶) ，则 b = m a x = m a x b = j g l , , k i i g l k , 一向k i i o l 呐k 】| 吼k 】j 呱一。k 】 以，如) g l k 。k 】i ：呐忙】| 一吒眩】| 呱一气k 】 g ，一艏b ，一t 艚，) i = i 0 ，一) g 讹制胁 ) 向g - 一l 埔( g ，一1 ) f ；lj = l 当 ：一k 1 ) + “一吃勋一厂1 ) = 2 时，b 取最大值即 当k i 2 一k , ) - - 1 ；( r l 一厂2x b 一1 ) = 1 k l = 1 ，k 2 = 2 ；1 一厂2 = l ，刀一吒= l ，刀一厂2 = 2 时，b 取最 大值，其最大值为 一1 5 一 利用有限域上伪幂等距阵的标准型构造c a r t e s i a n 认证码 因为 所以，可以取 b = 上q 2 ( q + 1 ) 2 1 g2 0 + 1 ) 2 通过类此与( 1 ) ，( 2 ) 的计算得： ( 3 ) 当1 k 2 ，2 k l ，l 时， ( 4 ) 当1 k 2 屯 r 2 = , 时， ( 5 ) 当1 k 2 厂2 = 毛 纷时， ( 6 ) 当1 k 2 = k l r 2 | 1 即时， 综合上面的讨论得： b 2 而斋 b = 而1 面 b = 而1 面 b = 南1 定理4 利用伪幂等矩阵可构造c a r t e s i a n 认证码且相应参数分别为： i s l = ( n - l x 2 n - 2 ) ；蚓= l 吼。k 】= g 掣冉g 7 一) ； | m i = 委n _ , 白, _ 1 瓦i 万孺芴i g ：= = ：l n 巧眩习i 厍云巧订； 只( 模仿攻击概率) = 一1 6 大连理工大学硕士学位论文 b ( 替换攻击概韵= q 2 ( g + 1 ) 2 1 g + 1 ) 1 q ( q + 1 ) g 白+ 1 ) 一1 7 一 当l k 2 k l 厂2 刀时， 兰刍1 k l 屯 厂2 _ 疗时， 当l 乞 吃 k l 刀时， 当k 2 k l r 2 = r t 聍时， 兰豇k 2 r 2 = k l 1 疗时， 当口k 2 = k l r 2 _ 以时 r ：v 一+ 一g 一十 ， 一2 2 1 【- 旧妒现 + 一+ 0 0 g g 利用有限域上伪幂等距阵的标准型构造c a r t e s i a n 认证码 结论 众所周知，利用有限域上矩阵的标准型构造c a r t e s i a n 码在近些年已经有很丰富的发 展。本文的主旨在于进一步丰富这方面的理论。在本文里，我们利用有限域上伪幂等矩 阵的相似标准型构造一个c a r t e s i a n 认证码，并在假定编码规则按照统一的概率分布选取 的条件下，计算了成功模仿攻击概率和成功替换攻击概率。 大连理工大学硕士学位论文 1 r 2 3 4 5 e 6 3 e 7 1 8 9 1 0 i i 参考文献 zxw a n g e o m e t r yo f c l a s s i c a lg r o u p so v e rf i n i t ef i e l d s m ，b e i j i n g ：s c i e n c e p r e s s ，2 0 0 6 ：1 3 0 秦德生利用有限域上幂等阵的标准型构造c a r t e s i a n 认证码 d ：( 硕士学位论文) 长春： 东北师范大学2 0 0 2 ：1 1 3 。 y o uh n a nj z u s i n gn o r m a lf o r mo fm a t r i c e so v e rf i n i t e f i e l d st oc o n s t r u c tc a r t e s i a n a u t h e n t i e a t i o nc o d e s j m a t hr e s e a r c ha n de x p o s i t i o n , 1 9 9 8 ，3 ( 1 8 ) ：3 4 1 3 4 6 华罗庚，万哲先典型群 m 上海：上海科学技术出版社，1 9 6 3 ：1 1 2 1 万哲先有限几何与不完全区组设计的一些研究 m 北京：科学出版社，1 9 6 6 ：11 2 1 5 3 。 游宏，南基洙利用口，7 环上的矩阵构作多个结合类的结合方案与设计 j 应用数学学 ，pl 报，1 9 9 6 ，3 ( 1 9 ) ：4 1 8 - 4 2 3 南基洙利用有限局部环。，上的2 阶矩阵构作多个结合类的结合