（应用数学专业论文）一类四阶抛物型方程组的解的渐近行为.pdf

摘要 最近，四阶抛物方程因其在现代应用科学中的广泛应用越来越受到 人们的关注，如用于研究相变的c a h n h i l l i a r d 方程，描述固体表面微滴的 扩散过程的薄膜t h i nf i l m 方程，模拟半导体电荷运输的量子流体力学， q u a n t u mh y d r o d y n a m i c s 方程( 参见文献【2 , 6 ，8 1 ) ，及量子l a n g e v i n 方程，即 h e i s e n b e r g 参见文献4 】等 本文主要考虑一维空间中四阶抛物方程组柯西问题整体解的存在性 和大时间行为方程组如下： 矶- p ( p ) z z - fe 2 ( p ( 垮) 。) z + ( p 九) z = 0 ， m - q ( n ) 2 z + 2 ( n ( 厶孑净) $ ) z 一( n 啦) z = 0 ， 纰= p 一死一c + ， ( p ，n ) ( z ，0 ) = ( p o ，n o ) ( z ) ， ，2 其中e = ( p n c + ) 武，c 。 0 为一常数 ，一 我们证明了以下主要结果： 定理1 假设p ，u ，e 满足 p o 0 ，n o 0 ，p o ，扎o h a ( r ) ，e o l 2 ( r ) 且冈( 士。) = 卢，礼o ( 士。o ) = 元，p - n - c = o ，p ( + 。) = p ( ) ，n ( + ) = 札( 一o 。) ， ( p ) 0 ，口7 ( 几) 0 ，歹( 卢) = q 7 ( 元) ，以及i i 伽一声i i h a ( r ) ，i l n o 一卢| | 曰。( 只) ，f l 岛f | l 。( r ) 充分小，则对v t 0 ，初值问题( o 1 ) 有唯一的整体强解( p ，n ) 满足 p 一芦l o o ( o ，+ o o ；h 3 ( r ) ) nl 2 ( o ，+ 。；日5 ( r ) ) ， 扎一元l o o ( o ，+ o 。；h 3 ( 冗) ) nl 2 ( o ，+ 。；h 5 ( r ) ) ( o 2 ) ( 0 3 ) l0 ，i m m 执 曰 亡 z 此外，整体解( p ，犯) 在时间充分大时，渐近趋向状态p ， l i r ( p 矽) i 1 2 c ( i + t ) 一 ( 1 + 蠹) ，t ，。o ，七= 0 ，1 ，2 ，3 ， j j 磷( 扎一元) f f 2 c ( 1 + ) 一( 1 + 引，亡_ 。，k = 0 ，1 ，2 ，3 ， 1 1 0 j e l l ；c e 一耐，亡一o 。，j = 0 ，1 ，2 ， 注1 ：本文采用的分析方法可以推广到高维空间的情形 ( 0 4 ) ( 0 5 ) ( 0 6 ) 注2 ：本文假设( 力= 9 7 ( f i ) ，下一步的工作是研究更一般的情况 g ( p ) 垡( 死) ，芦一露一c = 0 或，( 芦) 9 7 ( 死) 关键词：四阶抛物方程组，大时间行为，整体解的存在性 a b s t r a c t r e c e n t l y ，t h ep a r a b o l i ce q u a t i o no ff o u r t ho r d e rh a sb e e nc a u s e dr e s e a r c h i n t e r e s td u et oi t ss i g n i f i c a n ta p p l i c a t i o ni nt h es t u d yo fp h y s i c a lp h e n o m e n ai n m o d e r na p p l i e ds c i e n c e ，f o ri n s t a n c e ，p h a s et r a n s i t i o n s ( c a h n h i l l i a n r de q u a t i o n ) ， t h ed i f f u s i o np r o c e s so f ( h o p l e to nt h es o l i ds u r f a c e ( t h i nf i l me q u a t i o n ) ，e l e c t r i c c h a r g et r a n s p o r t a t i o no fs e m i c o n d u c t o r ( q h d ) ，( s e e 2 ，6 ，s j ) ，h e i s e n b e r g ( q u a n t u ml a n g e v i ne q u a t i o n ) ，( s e e 4 1 ) ，a n ds oo i l i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yc o n s i d e r t h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n sa n dl a r g et i m eb e h a v i o r 矶- p ( p ) + 2 ( j d ( 雩乒) z ) z + ( p c z ) z = 0 ， 磁- - q ( n ) + e 2 ( 终( 譬) ) z 一( n c a = 0 ， 咖茗茁= p n c + ， ( p ，n ) ( z ，0 ) = ( p 0 ，讫o ) ( z ) ， r 鬻 l e t e = ( p n c + ) ( f ，一 h e r ea r eo u rm a i nr e s u l t s ： t h e o r e m ( 1 ) s u p p o s e 办2 ，es a t i s f y 冈 o ，佗o 0 ，( p o ，n o ) 日3 ( r ) ， t 0 ， t 0 ， t 0 ， z r ( 0 1 ) p o ( + o o ) = 卢，钆o ( 士。o ) = 元，p 一一元c = o ，p ( + o 。) = p ( 一) ，孔( + o 。) = 佗( 一o o ) ， f i ( p ) 0 ，口，( n ) 0 ，歹( 力= 9 7c a ) ，a n dl l 伽一芦l l h s ( r ) ，l l 伽一芦l l h s ( r ) ，1 i e 0 l l l z ( r ) a r es u f f i c i e n t l ys m a l l t h e nt h eg l o b a ls o l u t i o n s ( p ，扎) o ft h e ；v p ( o 1 ) e x i s t sa n d s a t i s f i e sf o rv t 0 ，w eh a v e ； p 一卢l o o ( o ，+ 。0 ；日3 ( r ) ) nl 2 ( o ，+ ；h 5 ( r ) ) ， 死一元厶( o ，+ o o ；日3 ( r ) ) n 2 ( o ，+ 。；h 5 ( r ) ) ， ( 0 2 ) ( 0 3 ) a l s o ，w ec a np r o v et h el a r g et i m eb e h a v i o ro fg l o b a ls o l u t i o n si nl 2 ，i s d e s c r i b e db y p ， 磷( p 一卢) | 1 2 c ( 1 + t ) 一( 1 + ，t _ 0 ( 3 ，k = 0 ，1 ，2 ，3 ， 0 磷( n 一死) 1 1 2 冬c ( 1 + t ) 一 ( 1 + 酗，t _ 0 ( 3 ，k = 0 ，1 ，2 ，3 ， 理e 旧c e 呻。，t _ o o ，j = 0 ，1 ，2 ， ( o 4 ) ( 0 5 ) ( 0 6 ) r e m a r k l ：t h em e t h o du s e dh e r ec a nb ea p p l i e dt od e a lw i t ht h eh i g h d i m e n s i o n a lc a s e r e m a r k 2 ：i nt h ep a p e r ，w ea s s u m ep ，( 卢) = 矿( 元) t h en e x tw o r ki st h a t s t u d y i n g ( 声) q l ( 元) ，芦一元一c = 0o rp l ( 卢) q ，( 元) k e yw o r d s ：f o u r t ho r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，g l o b a le x i s t e n c e ，l a r g et i m e b e h a v i o r 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容 外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品 成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担 学位论文作者签名： 砌 日期：沙褂月矽日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名： 功勇 日期：力衅j 月刀日 第一章引言 1 1背景知识( 模型的物理推导) 本文主要研究一维空间中的四阶抛物方程组 仇- p ( p ) z z + 2 ( j 口( q 字) z ) z + ( j d 丸b = 0 ，t 0 ， - q ( 礼) z z + 2 ( 礼( 譬) 正) 。一( 钆纰= o ，t o ， ( 1 1 ) 九七= p n c ，t 0 ， ( p ，n ) ( z ，0 ) = ( p o ，礼o ) ( z ) ， z r 在假设稳定状态下的速度是无旋的，并且速度在无穷远充分小，初 值充分接近稳态的条件下，下面的量子流体动力学方程的整体解接近稳 态( 参见文献【1 】) p t + v ( f m ) = 0 ，( 1 2 ) 岫m 伽+ v p = p e + 譬删筹) 一等， ( 1 3 ) 入2 v e = p c ，v xe = 0 ，z 舻，t 0 ( 1 4 ) 初值条件 p ( z ，0 ) = p l ( z ) ，u ( z ，0 ) = u 1 ( z ) ，z r 3 其中p 表示电子密度，u 表示速度，e 表示电场p = p ( p ) 表示压力函数 定义新变量 z _ z ，_ 李，( 办，让r ，日) ( z ，t ) ：( j d ，昙u ，e ) ( z ，季)7 7 -7 代入( 1 2 ) 一( 1 4 ) 得 a 丹+ v ( 陆珏r ) = 0 ， r o t ( p r u 卅丁2 v ( p r t t r 。u r m 晰h 日+ 萼删等h 曲， a 2 v 毋= 陆一c ，vxe = 0 ，z 常，t 0 2 硕士毕业生毕业论文 让7 - _ 0 ，我们得到量子漂流扩散方程： 讲v 似e - v h + 譬v ( 筹) ) 】= o ， 入2 v e = p c ，x r 3 ，t 0 ， 其中p 7 ( p ) = p 7 ( p ) ， ( 1 ) = 0 ，见【1 ，7 ，9 】 2 0 0 8 钽 第一章引言 1 2 定理与结论 我们研究方程( 1 1 ) 在一维空间中的大时间渐近行为为简单起见， 我们研究一维的初值问题，即 3 肪一p ( p ) 孔+ e 2 ( j d ( 譬妒) z l + ( j 9 九l = 0 ，t 0 ， 旷q ( n ) z za - 6 2 ( n ( 譬) 。) z 一( n 纰= 。，亡 。， ( 1 5 ) 苡弼= p 一孙一g ，t 0 ， ( p ，礼) ( z ，0 ) = ( p o ，n o ) ( z ) ， z r f zr z 令p2 万+ 卢，礼2 卢+ 元， e 2 上( p 一礼一c + ) 必。上o o ( 声一而一c + ) 嫩， 则有九= e ，九z = 坟， 卜$ + 知垮州( m 盼 0 卜“吼+ 知訾2 - ( ( 帅盼 0 ( 1 6 ) i 耻p 一， 诊o ， l p ，挖) ( 。，0 ) = ( p o ，嘞) ( z ) ，z r ， 我们将简要介绍本文得到的主要结果； 定理1 1 若p o 0 ，n 0 0 ，p o ，n o h 3 ( r ) ，e o 己2 ( 冗) ，伽( 士) = 卢， n o ( + c x ) ) = 元，卢一元一c 。= o , p ( + o o ) = j 9 ( 一) ，n ( + o o ) = 死( 一。o ) ，且l i 舶一 p i i h a ( n ) ，f i n 0 一硎h a ( 固，| e o i i l z ( r ) ，充分小，则初值问题( o 1 ) 有唯一的整 体强解( p ，n ) ，且对v t 0 ，有 声= p 一万l o o ( o ，r ；h 3 ( r ) ) nl 2 ( o ，? ；驴( 尺) ) ，( 1 7 ) 元= n 一元l o o ( o ，t ；日3 ( r ) ) nl 2 ( o ，t ；日5 ( r ) ) ( 1 8 ) 关于整体解的大时间行为，我们有以下结果： 定理1 2 在定理2 1 的假设条件下，整体解( p ，n ) 在时间充分大时， 渐近趋向状态卢， i t 磷( p 一力；f 2sc ( i + t ) - c 1 + 妫，舌一o 。，k = 0 ，1 ，2 ，3 ，( 1 9 ) 4 硕士毕业生毕业论文 2 0 0 8 矩 l f 磷( n 一元) 1 1 2 c ( 1 + t ) 一( 1 + 肭，t o o ，k = 0 ，1 ，2 ，3 ( 1 1 0 ) 为了证明定理1 1 ，本文第二章先由e 的先验估计证明方程整体解 p ，佗的存在性，在第三章中由能量估计，我们计算整体解p ，n 的大时间 行为，得到定理2 的证明 注1 1 ：本论文中出现的范数f i1 1 2 均表示”0 弘 1 3准备知识 ( 1 ) 口( q ) 空间：设( q ，p ) 是一个测度空间，牡( z ) 是q 上的可测函 数，而且i 钆( z ) i p 在q 上是可积的，1 p + 这种函数u ( z ) 的全体记 作妒( q ，p ) ，叫做( q ，弘) 上的p 次可积函数空间汐( q ，肛) 按通常的加法和 数乘规定运算，并且把几乎处处相等的两个函数看成是同一个向量，经 过这样处理的空间仍是一个线性空间，并且定义范数： ， 1 l l 姐i l 己p ( q ) = ( l 他( z ) l p 矗| ) 刍，o oa 当p = 2 时，汐( q ，p ) 的范数简记为”| i ( 2 ) l ( q ) 空间：( q ，肛) 是一个测度空间，u ( z ) 是q 上的可测函数 如果让( z ) 与q 上的有界函数几乎处处相等，则称钆( z ) 是q 上的一个本 性有界可测函数q 上的一切本性有界可测函数的全体记作三( q ，p ) ， 在其上规定范数： 1 u l t l o oc m = e s ss u pi 珏( z ) 1 z s z ( 3 ) w k , p ( f 2 ) 空间：设q 是舻中的一个有界连通开区间，k 是一个 非负整数，1 p + 。，对于q 中的任意u ，定义范数： 删舭p ( z ) = ( f 矿仳( z ) l p，o d z ) i i o i 詹 詹，p ( 2 ) 三 u q ：i 如 0 ，对于可测函数u ， 1 p 0 0 ，1 尼 0 0 ，1 q ( 3 0 ，定义范数； f f 铭l | 。，r ；”旷t ，p 。q ，= ：( o tf l z t ( 。) f f 知。，。n ，d t ) 1 7 q o ， ( 2 j ) l ( p ，n ) ( z ，。) ：( 伽，死。) ( z ) ，z 二 。假设p 。卢+ 声，佗= 元+ 元，e2 - - n , - - 矿) 张= 。反一壳) 必， 则有屯= e ，虹= 忍，下面推导新变量声，元，e 满足的西济抛物型方程 组 尻一( 榭z + 知垮u 州( 声+ 稠z 扎， 洲吼+ 瓤訾瑚2 _ ( ( 州砚= 0 ，圳，( 2 2 ) ( p ，佗) ( z ，o ) = ( p o ，绚) ( z ) ， 茁r 注2 l ：在上述计算中，我们运用了恒等关系式 p ( 垮) 霉= j 1 一三( 规 由( 2 2 ) 式可以推出e 满足的方程为 岛一o ( 曲) & z + b 。+ ( 2 卢+ 磊+ 芦) 曰= 等厶 ( 2 3 ) 其中 堡f 垒型一垡 p n p ! ! 蕉二塑壁垒二型 n p ( 2 4 ) = 醴肌 一 堡肌 i | 醒i 一 屋一p = ， 第二章整体解的存在性 在这里，我们先给出局部解的存在性定理 7 定理2 1 若 i p oc x ) 一酬曩s 0 ，则存在t 0 ，使得方程( 2 2 ) 的解( ，) ，n ，e ) 在t ( o ，t + ) 存在，并且对任意的0 t t ， i i p ( ，t ) 一卢l | h s ( r ) 0 ，n o 0 ，歹( 卢) = g ( 元) ， p a ，n o 日3 ( r ) ，e o l 2 ( r ) ，并且有南= l i p o l l 3 ( r ) + 1 1 7 均1 1 日。( 聊+ | i e d l i l 。( 动 充分小，则对( 2 3 ) 的局部解e ( x ，t ) 有 i l e 艟+ 厶( i i e i i ；+ i l b 嵯+ l i b z l 2 = ) d s o ( a o ) ( 2 6 ) 引理2 2 在先验假设( 2 5 ) 成立的条件下，则( 2 3 ) 的解( 芦，元) 满足 l l 碰训p 1 1 磋硎刘理“反惦o ( 6 t ) j = 0 ，1 ，2 ( 2 7 ) l l 磋训p i i 理训刘趣“噍幅o ( 曲) j = 0 ，1 ，2 ( 2 8 ) 证明可以参考文献【1 0 】 引理2 3 在先验假设( 2 5 ) 成立的条件下，则，满足下面的式子 f = o ( 曲) 岛z + d ( 矗) 瓦， ( 2 9 ) 8 硕士毕业生毕业论文 2 0 0 8 拉 硬，= d ( 矗) 理+ 2 e + o ( 而) 理+ 1 e + d ( 曲) 理e + o ( 曲) 龟一e ， ( 2 1 0 ) 歹= 1 ，2 ，3 证明可以由( 2 4 ) 式可直接得证 下面我们由假设( 2 5 ) 以及引理2 2 ，引理2 3 来证明引理2 1 引理2 1 证明：在( 2 2 ) 的两边同乘以e ，并对其关于z 在( 一。o ，+ o o ) 积分并由引理2 2 ，左边得 r 十o of 岛一o ( 而) b z + b z + ( 2 卢+ 卢+ 元) j z e d x j 一 = 主丢归l i ；+ d ( 西) l l b l 睦+ 萼i l b 洲；+ e ( 2 万+ j ；+ 元) e 2 如 三副d 圳2 2 + d ( 驯b i j ；十- ，互- i i e z 叶卢参 右边得 名j 二二，。e 如= 一鼍j ! 二，e ；妇 ：一呈厂佃( 垫一垦堂塑) b 出 2 一百上l i 磊一一厂j 乜z 口z 等厂+ 。【d ( 昂) 磅一d ( 曲) b z b ) 】如 等o ( 西) 2 i | 忍畦+ 等o ( 西) 2 i i e i i ；+ q ，i i b z 幢 其中q ， 。是一参数，选取q 。充分小，使得萼- a l 0 , 则我们有 三剖de 叶( 1 - e 2 ) o ( 6 ) i i e i i ；+ ( 虿6 2 一q 。) i i e z z j i ；+ 郴嵫。 由曲1 ，从而有( 1 一e 2 ) o ( 曲) 0 ，我们有 丢副d 圳2 2 + i i e i i ；+ l l 也茁1 1 2 2 + p l i e i i ；o ( 2 1 1 ) 上式对时1 9t 在( 0 ，t ) 上积分，得 i i e i i ；+ o ( i i e i i ；+ i i e , i i ；+ i i 既z i i ；) d s o ( 晶) 这样引理2 1 得证袢 第二章整体解的存在性 引理2 4 在引理2 3 的条件下对( 2 3 ) 的局部解e ，我们有 e l l ；e - 2 卢t 证明：由( 2 1 2 ) 得三磊dj i e | | ；+ 卢i i e 眩o ，定理直接直接得证 9 ( 2 1 2 ) 引理2 5 在先验假设( 2 5 ) 成立的条件下，对局部解e ( x ，t ) ，当 0 t t 时有 l l e i j 备。( r ) + z i i e i i ；, t ( r ) d s d ( 1 ) 裾 ( 2 1 3 ) 证明：对方程( 2 3 ) 关于z 求j 阶导数，与趣e 相乘，然后关于z 在 ( 一o o ，+ ) 上积分得 把( 2 1 4 ) 式左右两边每项积分记作j 1 ，2 ，_ f 3 ，厶，5 ，f 面分别估计j 1 _ f 5 厶= e 磋忍罐e d x - 三爰ef 碰刀 2 如= 虿l 面di l 睫毗 f t t 1 2 = 一 o ( 西) 理忍o q ! ed x = 厂o ( 曲) l 磋+ 1 e 1 2d x ，= d ( 曲) l l 理+ 1 e 幢， ：厂+ 0 0 或忍z $ 互睨e d x ：等厂十0 0el3 - 5 d x 1 罐+ 2 e 2d z ：等l l 馥+ 2 e 幢 = 上。醒忍z $ 互睨2 上 2 z 2 l l 醒+ 2 e 幢 ，十o 。，十o o 1 4 = |照& 或e 如= | j 砑1 a 驴2 e d x o ( 曲) ，-( 晓“e + 霹e + e + 以e ) 馥+ 2 e d x q 20 馥+ 2 e 旧+ d ( 西) ( | | 镀“e 肥+ i i 镀e 幢+ l l 谚e 暇+ | l 允e i i ；) ， 4m 如 、l ， e 磋 豇 ， 一 印 b 础 ，百肛 + 扫 1厂l 椭 z 一 u r 如 怖 醒 醒 lj曲 一 ，l j 归 气 理 e 厶 驰 弧 豇磅阳 ，l h 一佃o 簟 广l | i 1 0 硬士毕业生毕业论文 2 0 0 8 定 5 = 一壤【( 2 声+ 芦+ 磊) e l 罐e d x ：一厂+ o o ( 2 f i + f 5 + f i ) ( 理e ) 2d x 一厂+ o oc ；( 理一1 e ) ( 砖( 卢+ 元) ) 趣e 如 ，一 j 一 ，十0 0 一一 ( e ( 醒( 声+ 元) ) ) 晓e d x j 一 ，十o 。 一 一。( 2 乒+ 声+ 元) ( 趣e ) 2 d x + o ( 曲) ( 1 i 理e l | ；+ i l 鸹一1 e l i ；) + d ( 西) ( f f 理e 幄+ i i e i i ；) 将以上各式相加并由引理2 1 和引理2 2 得 三爰| i 键e | l ；+ d ( 曲) l i 键+ 1 e i | ；+ ( 萼一q 2 ) i l 磋+ 2 e l 睦+ ( 2 卢+ 声+ 元) l i 馥e l i ；d ( 如) 2 ，_ 2 由曲1 ，并且选q 2 充分小，使得寻一口2 0 ，则有 丢爰l l 磋e 畦+ l i 磋+ 1 e 悒+ l l 醒+ 2 e 悒+ 声i l 磋e 鸭o ( 南) ，j = o ，1 ，2 ( 2 1 5 ) 取j = 0 ，1 ，2 ，并将三式相加得 丢面di l e l l 备。( r ) + i i e i i 备t ( r ) s o 上式关于时闻s 在( 0 , t ) 上积分得 i i e i i ；, 。( r ) + z i i e l l ；, 。( 固d s o ( 6 。) 2 引理得证轷 注2 3 ：由( 2 1 5 ) 我们有主夏di f 凸1 1 2 2 + 卢l l 磋e | l ；o 从而推出 i l 晓e l l ；c e 一2 p t ，j = 1 ，2 注2 4 ：由e 的定义，可得 b = p n c + = 卢一元一c + ，0 b l l 2 = 0 声一元一c 4 1 1 2 c ( | i 卢1 1 2 + 1 1 元1 1 2 + 1 ) 在1 1 卢1 1 2 ，1 1 f i l l 2 充分小的情况下，我们有l i e 。1 1 2 充分小，在下面证明整体解 的存在性和大时间行为都会用到 第二章整体解的存在性 2 3 芦，元的先验估计和高阶估计 有了e 的先验估计以后，我们来看一下厄磊的先验估计，我们有下面 的引理： 引理2 6 在引理2 1 和先验假设( 2 5 ) 的条件下，对( 2 2 ) 的局部解芦， 磊，当0 t t 时有 础+ 俐；+ 尉例备。+ 删备。) d s o ( 1 ) 磅 ( 2 1 6 ) 证明；在( 2 2 ) 的第一式两边点乘芦，并对其关于z 在( 一o 。，+ o o ) 上积 分等式左边得 f ：慨一歹( 声) 珏+ 虿e 2 盈一+ ( ( 声+ 刃e ) 。】痧如 = 互l 五d ；+ p k 驯- 2 + 虿e 2 阮l i ；一e ( 芦+ p ) e 忍如 等式右边得 e 【譬( 譬k + ( 咖) 瑚剐砒1 刮z o ( 如) i l 以幢+ a 3 i j 忍。嵯一o ( 曲) l l 磊幢 净觥+ 缸l i ；一e 黟触( 2 1 7 ) 厂+ 0 。乃e f i 王d x + 0 ( 5 0 ) - 2 一+ n 3 i 卢。z 幢一d ( 而) l l ，露幢 。 对扎的方程，我们有相似的结果 撩训；+ l l 训+ 知一i ；+ e 砂训z ，十o o一 一磊e 魂d x + p ( ) l i 壳。i i ；+ a t | | 磊z z 眶一d ( 西) i i 厩幄 j 一 1 2 硕士毕业生毕业论文 2 0 0 8 年 将( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 两式相加得 三爰( 俐；+ ；) + ( 恻l ；+ 俐i ! ) + 和训l + o l l ；) 堋- 陬1 1 2 2 ，十o 。一 。 ( 乃e 忍d x h e 元z ) d x + d ( 6 0 ) ( 1 i 声l i ；+ l l 而；1 1 ) ( 2 1 9 ) + q 3 1 1 忍。艟+ 口4 i i 亢。旧一o ( s t ) ( i i p = i i ；+ i i 元z 旧) ， 其中 ，十，十o 。 ( 卢e 磊d x 一而e 元z ) d x = ( 卢佤一元磊z ) ed x j o oj 0 0 = 三e 未( 弘确ed x = 一互1e 玩( 卢刊( 声+ h ) d x ( 2 2 0 ) = 一三e ( 芦删磋如7 1 1 2 2 将( 2 2 0 ) 带入( 2 1 9 ) ，选取a 3 ，a 4 足够小，使得一口3 0 ，三- 2 一q 4 0 ， 并且5 t 1 ，有 丢训d 础+ 俐；) + ( ；+ 蚓f ；) + 训e 2 训；+ 国+ 翱驯；o 将上式在( o , t ) 积分得 l i 声幢+ i l 训巨+ z 。( | i 硎备：+ l i 刮l 备。) d s d ( 晶) 2 引理得证券 注2 5 ；在以上的证明过程中我们用到了 r zr 嚣 e = ( p 一佗一c ) d x = ( 卢一元) d x ， ，一，一o 。 可以得到l l 忍肥一恫瞪- - t - 恻巨 为了验证先验假设( 2 5 ) ，我们需要对卢，元进行更高阶的估计 我们有下面的引理： 引理2 7 在引理2 1 和先验假设( 2 5 ) 的条件下，对( 2 2 1 的局部解 第二章整体解的存在性 1 3 ( p ，礼) ，当0 t ? 时有 | i 卢l i 备s + i l 佩i i 备s 十o ( i i p l i 备s + l l 宄l l 备s ) d s o ( 1 ) 碚 ( 2 2 1 ) 证明：对方程( 2 2 ) 第一式关于z 求j 阶导数，并乘以理卢，然后关于 z 在( 一o 。，+ ) 上积分有 ，十0 0f 仰五一p j 。r 石1 伊正z + 醒触三z z + 醒( p e ) z 】醒声如 ：- - o e 0l v x v 缸i 1 知k t 。 v x 嚏芦二+ e 删删锄如 2 2 把( 2 2 2 ) 中各项积分分别记为厶，厶，厶，厶，如，厶，下面分别计算 厶= e 键融勘如= 挣d 吲- 旧2 毛：一厂+ o op 7 ( 力罐忍王磋卢：厂+ p 7 ( 卢) ( 磋+ 卢) 2d x ：。( 曲) i l 磋十- 刖；，毛= 一 ( 力僻忍王罐卢= p ( 卢) ( 僻+ 1 卢) 2= o ( 曲) i l 磋“刖；， 厶= 雩厂+ 0 。磋尾砧z o s 物。d x ：譬j i 理+ 2 硎；， 厶2 上。僻尾砧z 2 j i 醒+ 2 硎；， r r 厶= 磋( p e ) z 磋卢如= 一，_谚( p e ) 理“芦如， 毛= e 磋( 秘嘞如= e 磋( 争妒础 ，十o o = o ( s r ) | ( 罐卢+ 磋+ 1 声) 磋+ 2 卢如 j 一 d ( 西) ( 1 l 馥硎；+ i i 馥+ 1 硎；+ | l 馥+ 2 到；) ， ，十 厶= 磋【( p ) 一夕( 卢) ) 磊k 键声如= 一o ( 5 t ) l l 理“刎； 整理得 三面do 磋卢l 巨+ ( 1 + o ( 西) ) i l 罐+ 1 卢o ；+ 譬l l 磋+ 2 卢i i ；一f ：织( p e ) v + 1 卢如 d ( 曲) ( | i 理硎；+ i i 馥“硎；+ j l 理+ 2 硎；) 对磊的方程我们有相同的结果 三爰| i 醒元崦+ ( 1 + d ( 西) ) i l 理+ 1 元o ；+ 萼i i 磋+ 2 元i 层+ f ：髭( 几e ) v + 1 壳d z o ( 6 0 ( 1 1 碰壳| f ；+ i | 理+ 1 元| l ；+ | i 镀+ 2 矗| | ；) 1 4 将以上两式相加得 硕士毕业生毕业论文2 0 0 8 年 丢磊d ( | | 磋硎l + | l 磋训1 1 ) + ( 1 + d ( 西) ) ( | l 磋+ 1 硎；+ l f 磋+ 1 刮i ；) + 卢l | 磋+ 1 e 幢 + 铷秽2 p 肛l l 理十2 训；) 一e ( 髭( p e ) 理+ 1 声一罐( 元e ) 矽1 吣c o o t ) ( 1 l 晓f f l l ；+ i i 罐元幢+ i i 诬+ 1 声瞻+ l l 磋+ 1 元嵯+ ( 1 l 磋+ 2 声幢+ i i 髭+ 2 元幢) ， 其中 ，十o o 一_ ( 锑( 卢e ) 磋“声一磋( 元e ) 壤“元) d x ：一厂+ o o i g o r + c 一t 芦以e + 趔e 】壤+ t 卢= 一_ 1 芦以e + 觥e 】醒+ 1 卢 + 【理元e + 四馥。f i o ：e + 元理e 】理+ 1 壳d x o ( 曲) ( | i 理+ 1 硎；+ l i 谚硎；+ 忪旧 + d ( 曲) ( 0 晓+ 1 硎；十i i 晓训鹰+ i i g l l ；) 整理得 丢磊d ( 1 i 磋声嵯+ o 虎悒) + ( 1 l 馥+ 1 芦幢+ i i 馥+ 1 元悒) + ( i | 磋+ 2 卢瞻+ i i 馥+ 2 训l ；) + 三卢i l 理+ 1 e 幢d ( 西) l i 磋e 悖 在( 0 ，t ) 上积分，选取j = 0 ，1 ，2 ，3 并将四式相加得 ，十 i l 卢l | 备。+ 0 元i l 备s + 。 i i 声| l 备s + l i 训i 备s + i i e i i ；, t d t d ( 品) 引理2 6 得证桦 注2 6 ：由引理2 2 ，在以上的证明过程中，我们用到了 磋( 譬) = 。( 曲) ( 磋“卢+ 髭办 注2 7 ：根据引理2 6 。我们可以令0 ( 5 0 ) 充分小，使得 5 t = 黝( 1 1 卢f 1 日3 ( r ) + f i 元l l h 3 ( r ) ) o ( 南) 1 从而先验假设( 2 5 ) 得证 第二章整体解的存在性 2 4整体解的存在性 1 5 引理2 6 和引理2 1 说明了在初始扰动足够小的情况下( 曲l ，南 1 ) ，在短时间内局部解是一致有界的根据连续性方法，我们可以将局 部解延拓为整体解，并且对于任意的t ，引理2 6 也是成立的再由e 的 先验估计，我们得到了定理2 1 的整体解的存在性 第三章整体解的大时间行为 为得到柯西问题( 2 2 ) 的整体解( 声，磊) 的大时间衰减速率，我们首先 假设 s u p ( 1 + t ) k + 1 l i 磋硎2 = m o 1 ，k = 0 ，l ，2 ，3 ， o 曼。s 丁 f 3 1 ) s u p ( 1 + ) 七+ 1j i 磷训1 2 = n o i ，k = 0 ，i ，2 ，3 o s t 一 7 由上式和s o b o l e v 不等式的嵌入定理，可得 f 声l 坷2 ( 1 + 亡) 一3 4 ，i 忍i 磁7 2 ( 1 + 亡) 一5 4 ，l 忍。l m j 2 ( 1 + ) 一7 4 ， 例 埘7 2 ( 1 + ) 一3 4 ，i 。，我们有 ( 1 + t ) ( 1 l p l l ；+ 恻；) 十上( 1 + s ) ( ；+ 蚓l ； + z 。( 1 + s ) ( 1 i p 。洲；+ o 元z i i ；) d s + 乒r ( 1 + s ) l i b e l l ed s d ( 曲+ 如) 引理3 1 得i i e 鞋 注3 1 ：证明过程中的d ( 西) 并不相同，但都是非常小的数 足埋3 1 假设( 3 1 ) 成立，则对t p ，2 j 和j = l ，2 ，3 ，桐西i 司题( 2 3 ) 的 解( 芦，元) 满足 ( 1 + t ) + 1 ( 1 l 晓p l l 2 + 1 1 勘1 1 2 ) + o ( 1 + s ) j + 1 ( o 磋+ 1 声1 1 2 + l l 磋+ 1 训1 2 ) d s + z 。( 1 + s ) + 1 ( ij 罐+ 2 硎2 + j j 馥+ 2 刮1 2 ) d s + 乒z 。( 1 + s ) 升1 | j 磋+ 1 e l l ；d s ( 3 6 ) 0 ( 5 t + 如) 证明：下面证明j = 1 时的情况对方程( 2 3 ) 的第一二式两边关 于z 求一阶导数并分别乘以( 1 + s ) 2 压，( 1 + s ) 2 玩，并对其关于( z ，8 ) 在 ( 一o 。，+ o 。) ( 0 ，t ) 上积分，两式相加得 吉( 1 + ) 2 ( 1 | 磊幢+ o 元。嵯) + ( 1 + s ) 2 p 7 ( 卢) ( 1 i 磋卢崦+ l l 锈训层) d s 二 ，0 + 上( 1 + s ) 2 ( 1 i 键硎；+ l f 磋训i ；) 如 = z 。( 1 + s ) ( 1 i p 茁眨+ l i 玩嘘) d s o ( 曲) z 。( 1 i 菇霉嬷+ l i 惦。( 1 + s ) 2 如 ( 3 7 ) 十虿e 2z 2e ( 1 + s ) 2 【压馥( 譬) + 魂磋( 譬) 】如 一厶 ( 1 + s ) 2 【磊礞( p e ) 一也磋( n e ) 】d s ，uj 第三章整体解的大时间行为 1 9 卜圆截1 f j 盯万桂石迈弟二呗棚弟四坝近仃佰计，兵余让明万妆与引埋3 1 完全类似把第三项记为j 1 ，第四项记为如 厶= 萼z e ( + s ) 2 【磊馥( 譬) + 魂磋( 萼) 】如d s = 一萼z i t ( 1 + 妒阮。磋( 譬) + 屯。礞( 等) 】如幽 ：d ( 曲) tc ( 1 + s ) 2 忍z ( 压茁+ 磊+ 庶) + 元。z ( 元。第+ z 茁+ 元：) 】如d s 一 o ( 曲) 正 ( 1 + s ) 2 ( i l 压茁i i ；+ l i 忍$ z 悒+ i i 元茹z i i ；+ 0 元z z z 旧) d x d s j uj 一 + d 临) z t 一- 一0 。( 1 + s ) 2 阪z 庶+ 元l 如如 ( 3 8 ) 根据f 3 1 1 和f 3 2 1 我们有 z 2 1 + s ) 2 胁如- 4 + 磋d s 严f + o o 7 。( 西) z 上。( 1 + s ) 一主( 忍z 玩+ 元z z ) 如如 d ( 曲) z ( 1 + s ) 2 ( i i 玩z 眩+ i i 而砧1 1 ；) d s + o ( a t ) f o ( 1 + s ) 【i l 磊佗+ i i 幄) d s 代入( 3 8 ) 有 d 而z l + s 2 ”磊z f 巨+ f f 磊z z i 臣+ l l 元z ? l 睦+ f f 元2 z z f 慝) 如幽 ( 3 9 ) + o ( 而) 厶t t ( 1 + s ) ( 1 l 磊l l ；+ 0 磊。幢) d s 毛= 一z 。e ( 1 + s ) 2 睡霹( ，层) 咆箧( n e ) j d x d s = o 。e ( 1 + s ) 2 ( 棚茁吨勘耽陋如 = z 。e ( 1 + s ) 2 【- 互1 b b z ( 忍+ 玩) + p e t e z z + 元b b + 压z e ： d x d s = 趸1e 匕：q + 衅e 。( 醵+ ) d z d s 一| 三q + 妒暖。( 西一衲a z d s tiu + 奸啪；x n x s + 奠仨q + 蜉e 2 。- 一溅 2 0 其中( 3 1 0 ) 右边的项记为厶， 硕士毕业生毕业论文2 0 0 8 焦 厶m a x 蚜1 ，州* o 。f ：( 1 + s ) 2 ( 1 + s ) 一；e x e = z 如d s 一五1 夺i 芒u + 8 p 2 姚+ 球，幔二q + 妒心+ 曲一；e 2 x d x d s m a x 墙1 ，乎) z 2 上+ 。o o 。e 。2 z ( 1 + s ) 2 + 霹( 1 + s ) d x d s 专z 。2 ( 1 + s ) 2 霹删s + 詹z 。e ( 1 + s ) e 2 d x d s 把上式带入( 3 1 0 ) 有 将( 3 9 ) 和( 3 1 1 ) 代入( 3 7 ) 并由( 3 3 ) 我们得到( 3 6 ) 的j = 1 的情况用相 同的方法，我们有歹= 2 ，3 的情况 由引理3 1 和定理3 1 ，我们得到卢，元的衰减速率： ( 1 + t ) 七+ 1 i i z 声l i 2 d ( 西+ 晶) ，k = 0 ，1 ，2 ，3 ， ( 1 - i - t ) 七+ 1 i l 磷元1 1 2sd ( 占十丁而) ，k = 0 ，1 ，2 ，3 即 i o = s ，u p ，( 1 + ) 七十1 l i 磷声1 1 2 d ( 西+ 5 0