信号与系统第三次作业.doc

信号与系统第三次作业 1. 试由s域求系统的系统函数，零状态响应，零输入响应及完全响应。（1）， 将式中两边求导后代入式，随即求得系统的数学模型为 将式进行拉氏变换，得 由于在零状态下， 故有 令 则得 Y(s)=H(s)X(s) 可见，在系统初始不储能的零状态下，系统输出的拉氏变换等于输入的拉氏变换乘以H(s)，即 从式、可见，H(s)取决于系统的构成和有关参数（系数），而与输入信号无关，它反映了输入信号通过系统以后所产生的变化，如系统的输入 x(t)=u(t) ，是有 （2），当系统的输入是单位冲激信号，即 ，则从式求得 Y(s)=H(s), y(t)=h(t) 上式表明系统在单位冲激激励下，其输出就等于系统的单位冲激响应 ，如图所示，它恰好等于系统函数的拉氏反变换。所以系统函数又可定义为单位冲激响应的拉氏变换，即 LTI连续系统的单位冲激响应一旦测得系统的冲激响应，随即求得系统函数。同理，已知系统函数，随即求得相应的冲激响应。 系统函数 H(s) 在s域表征连续系统的传输特性，而单位冲激响应 h(t) 是在时域描述连续系统的时间特性，因此它是时域分析最基本和最重要的特性参数。2. 求离散时间LTI系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。（1），通过以上分析，若已知一个连续系统在 作用下的零状态响应 h(t) ，则利用LTI系统的叠加性和非时变性，不难求得在任一信号作用下系统的零状态响应，从第三章式(3.1)得知，一个非周期信号可以分解为一系列冲激信号的线性组合。按非时变性质，系统在 作用下零状态响应为 ，故对 的响应应为 。利用线性系统叠加性质，求得系统对激励信号 的零状态响应为 上式说明，LTI系统的零状态响应 等于激励信号x(t) 与系统单位冲激响应h(t) 的卷积积分，简称卷积如图所示。该式反映了系统输入与输出之间的关系，所以也是LTI系统的一种数学模型。在积分式中 是积分变量，t是参变量，所以卷积结构是t的函数。当信号有不连续点或为有限长时限信号时，定义式的积分上下限要发生变化。如果信号 x(t) 在t=0 时接入，在t0时等于零，则式中的积分下限取零。此外，对于物理可实现的因果系统，由于在t0时h(t)=0 ,所以在 即 时，式中的 ，于是该式中的积分上限应改写为t，即 (a) s域表示； (b) 时域表示 LTI系统的方块图 利用卷积法求系统的零状态响应，无论对系统的分析还是综合都要重要意义。因为在实际中对系统设计，初始状态均为零，不存在零输入响应，即使对系统分析，通过4.3节讨论将会知道，零输入响应也可以转化为零状态响应来求解。（2）， 交换律 表明卷积积分的次序可以任意交换。 分配律 表明LTI系统对n个输入相加信号的零状态响应于每人输入信号零状态响应的叠加。 结合律 表明冲激响应分别为 与 的两个LTI系统相级联，等效于冲激响应 的一个LTI系统。 利用这些性质可以简化卷积运算。如图所示系统，由于y(t)=x(t)*h1 (t)+x(t)*h2(t)=x(t)*h1(t)+h2(t) 所以把两个卷积运算简化为一个卷积运算。同时表明，并联系统的冲激响应等于各并联子