第4章无穷级数4-7(幂级数性质 和函数 习题课).pdf

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 高等数学高等数学A A 4.4.3 3.3 .3 幂级数的运算性质幂级数的运算性质 4.4.3 3.4 .4 幂级数幂级数和和函数的性质函数的性质 4.3 4.3 幂级数幂级数 第第4 4章章 无穷级数无穷级数 4.4.3 3 幂级数幂级数 4.3.3 幂级数的运算性质幂级数的运算性质 习例习例1-4 4.3.4 幂级数幂级数的和的和函数的性质函数的性质 加减法加减法 乘法乘法 除法除法 连续性连续性 可导性可导性 可积性可积性 内容小结内容小结 幂 级 数 及 和 函 数 的 运 算 幂 级 数 及 和 函 数 的 运 算 习题课习题课 内容小结内容小结 常见题型常见题型 典型习典型习例例 一、幂级数的运算性质一、幂级数的运算性质 21, minRRR , 21 00 RRxbxa n n n n n n 和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 加 减 法 加 减 法 00n n n n n n xbxa.)( 0 n n nn xba RRx, 乘 法 乘 法 )()( 00 n n n n n n xbxa. 0 n n n xc RRx, (其中其中 ) 0110 bababac nnnn 除 法 除 法 0 0 n n n n n n xb xa . 0 n n n xc)0( 0 n n nx b收敛域内收敛域内 (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多) 连 续 性 连 续 性 幂级数幂级数 0n n n xa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内连续内连续. 二、幂级数的和函数的性质二、幂级数的和函数的性质 且幂级数在区间端点收敛时，和函数在该区间端点且幂级数在区间端点收敛时，和函数在该区间端点 连续连续. 即幂级数的收敛区间为闭区间时，和函数的连续区即幂级数的收敛区间为闭区间时，和函数的连续区 间也是该闭区间间也是该闭区间. 可 导 性 可 导 性 幂级数幂级数 0n n n xa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次. 0 )()( n n n xaxs即即 0 )( n n n xa. 1 1 n n nx na (收敛半径不变收敛半径不变) 可 积 性 可 积 性 幂级数幂级数 0n n n xa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内可积内可积,且对且对 ),(RRx 可逐项积分可逐项积分. x n n n x dxxadxxs 0 0 0 )()(即即 0 0 n x n n dxxa. 1 1 0 n n n x n a (收敛半径不变收敛半径不变) 幂级数的和函数习例幂级数的和函数习例 例例1. 33332 31 3 3 2 2 的和函数的和函数求求 n n n xxxx 例例2 . 2 , 1 1 1 1 n n n n n nx并求并求的收敛域与和函数的收敛域与和函数求求 例例3 . 2 12 , 2 12 21 22 n n n n n n x n 并求并求的收敛域与和函数的收敛域与和函数求求 例例 4 求求 1 2 )1( n n nn 的和的和. 方法方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数数化为可求和的级数(等比级数等比级数). 例例 1. 33332 31 3 3 2 2 的和函数的和函数求求 n n n xxxx 解解, 3 1 3)1( 3 limlim 1 1 n n n n n n n n a a . 3 R ;, 1 ,3 1 发散发散原幂级数成为原幂级数成为时时当当 n n x ., )1( ,3 1 收敛收敛原幂级数成为原幂级数成为时时当当 n n n x ).3 , 3 收敛域为收敛域为 , 3 )( 1 n n n n x xs设设. 0)0( s且且 1 1 3 )( n n n x xs则则 1 1 ) 3 ( 3 1 n n x . 3 1 3 1 1 3 1 x x xx dx x dxxs 00 3 1 )( )0()(sxs3ln)3ln( x , 3ln)3ln()( xxs).3 , 3 x 3,3).x 例例 2 . 2 , 1 1 1 1 n n n n n nx并求并求的收敛域与和函数的收敛域与和函数求求 解解, 1 1 limlim)1( 1 n n a a n n n n . 1 R ;,1 1 发散发散原幂级数成为原幂级数成为时时当当 n nx .,)1(,1 1 发散发散原幂级数成为原幂级数成为时时当当 n n nx ).1 , 1( 收敛域为收敛域为 ,)()2( 1 1 n n nxxs设设. 1)0( s且且 x n n x dxnxdxxs 0 1 1 0 )()(则则 1n n x x x 1 . )1( 1 ) 1 ()( 2 xx x xs 1 1 1 1 ) 2 1 ( 2 )3( n n n n n n ) 2 1 ( s . 4 ) 2 1 1( 1 2 例例 3 . 2 12 , 2 12 21 22 n n n n n n x n 并求并求的收敛域与和函数的收敛域与和函数求求 解解, 2 1 )12( 2 2 )12( limlim)1( 2 221 2 1 x xn xn u u n n n n n n n n ;,21 2 2 原级数绝对收敛原级数绝对收敛时时即即当当 x x ;,21 2 2 原级数发散原级数发散时时即即当当 x x ., 2 12 ,21 2 1 2 发散发散原级数为原级数为时时即即当当 n n x x ).2, 2( 收敛域为收敛域为 , 2 12 )()2( 1 22 n n n x n xs设设 1 12 0 2 )( n n n xx dxxs 2 1 2 2 ) 2 ( 1 x xx x n n 22 2 2 )2( 2 ) 2 ()( x x x x xs 2 1 2 12 2 12 )3( 12 n n n n nn . 2 5 2 1 3 2 1 )1( s 例例 4 求求 1 2 )1( n n nn 的和的和. 解解1,)1( 1 n n xnn 考虑级数考虑级数 收敛区间收敛区间(-1,1), 1 )1()( n n xnnxs则则 1 1 )1( n n xnnx 1 1 )1()( n n xnnxg设设 x n n x dxxnndxxg 0 1 1 0 )1()( 1 )1( n n xn 1 )1()( n n xnxh设设 x n n x dxxndxxh 0 1 0 )1()( 1 1 n n x x x 1 2 ) 1 ()( 2 x x xh 2 2 )1( 2 x xx )()(xhxg )1( 2 2 2 x xx 3 )1( 2 x )()(xxgxs 3 )1( 2 x x 1 2 )1( n n nn 故故) 2 1 ( s . 8 解解2,)1( 1 n n xnn 考虑级数考虑级数收敛区间收敛区间(-1,1), 1 )1()( n n xnnxs则则 1 1 )( n n xx)( 1 1 n n xx ) 1 ( 2 x x x )1( 2 2 2 x xx x, )1( 2 3 x x 1 2 )1( n n nn 故故 ) 2 1 ( s . 8 内容小结内容小结 幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算. 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续; 3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分. 思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那 么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？ 内容小结内容小结 1. 数项级数数项级数 正项级数正项级数 交错级数交错级数 任意项级数任意项级数 2. 幂级数幂级数 幂级数的收敛半径与收敛域幂级数的收敛半径与收敛域 幂级数的和函数与数项级数的和幂级数的和函数与数项级数的和 常见题型常见题型 1. 判别数项级数的敛散性判别数项级数的敛散性 2. 求幂级数的收敛半径与收敛域求幂级数的收敛半径与收敛域 3. 求幂级数的和函数求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和求数项级数的和 ; ) 1 ( : 1 1 1 n n n n n n n 判断级数敛散性判断级数敛散性例例 1 ).0( ) 1 ( )2ln( : 2 n n a n a n 判断级数敛散性判断级数敛散性例例 敛？敛？是条件收敛还是绝对收是条件收敛还是绝对收 敛？如果收敛，敛？如果收敛，是否收是否收判断级数判断级数例例 ln )1( 3 1 n n nn . . 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 4 收敛还是绝对收敛收敛还是绝对收敛如果收敛，说明是条件如果收敛，说明是条件 的敛散性的敛散性讨论级数讨论级数例例 .)1)(1( 5 0 敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数例例 n n xn ; ) 1 ( : 1 1 1 n n n n n n n 判断级数敛散性判断级数敛散性例例 解解 n n n n n n n n nn u ) 1 ( limlim 1 n n n n n ) 1 1( lim 2 1 n n n n n n 1 2 ) 1 1( lim 2 0 1 e , 01 根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散 1 ).0( ) 1 ( )2ln( : 2 n n a n a n 判断级数敛散性判断级数敛散性例例 解解 n a n u n n n n n 1 )2ln( limlim , )2ln(lim 1 n n n a ,2,2 n enn 时时又又 ,)2ln(1 n n nn 从而有从而有, 1)2ln(lim n n n则则 . 1 lim a u n n n 1 101,a a 当即时原级数收敛；原级数收敛； ,1 1 10时时即即当当 a a原级数发散；原级数发散； ,1时时当当 a, ) 1 1( )2ln( 1 n n n n 原级数为原级数为 , ) 1 1( )2ln( lim n n n n 所以原级数也发散所以原级数也发散 敛？敛？是条件收敛还是绝对收是条件收敛还是绝对收 敛？如果收敛，敛？如果收敛，是否收是否收判断级数判断级数例例 ln )1( 3 1 n n nn 解解, 1 ln 1 nnn , 1 1 发散发散而而 n n , ln 1 ln )1( 11 发散发散 nn n nnnn 即原级数不是绝对收敛的即原级数不是绝对收敛的 , ln )1( 1 级数级数是交错是交错 n n nn 由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理： , 0 ln 1 1 lim ln 1 lim n n n nnnn ),0(ln)( xxxxf ),1(0 1 1)( x x xf ( )ln(1,),f xxx在上单增 , ln 1 单减单减即即 xx ,1 ln 1 时单减时单减当当故故 n nn ),1( )1ln()1( 1 ln 1 1 nu nnnn u nn 所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛 . . 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 4 收敛还是绝对收敛收敛还是绝对收敛如果收敛，说明是条件如果收敛，说明是条件 的敛散性的敛散性讨论级数讨论级数例例 解解 ., 1 )1(,1)1( 1 它为条件收敛它为条件收敛原级数为原级数为时时当当 n n n , )2( 1 , 1 ,1)2( 11 收敛收敛收敛收敛时时当当 nn nn , 12 1 1 发散发散而而 n n .故原级数发散故原级数发散 :,1)3(考察加括号的级数考察加括号的级数时时当当 12 1 )2( 1 ) 5 1 4 1 () 3 1 2 1 (1 nn 且且除第一项外均为负项除第一项外均为负项 , 2 1 2)12( )2()12( lim 1 12 1 )2( 1 lim n nn n nn nn , 1 ,1 1 为发散级数为发散级