四川省2019年中考数学试题研究几何图形综合题题库.docx

题型四 几何图形综合题类型一 动态探究型1.如图, BD是正方形ABCD的对角线, BC=2,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动,同时动点Q从点C出发,以相同的速度沿射线BC运动,当点P出发后,过点Q作QEBD,交直线BD于点E,连接AP、AE、PE、QE,设运动时间为t（秒）.（1）请直接写出动点P运动过程中,四边形APQD是什么四边形？（2）请判断AE, PE之间的数量关系和位置关系,并加以证明;（3）设EPB的面积为y,求y与t之间的函数关系式;（4）请求出EPQ的面积是EDQ面积的2倍时t的值.第1题图解：（1）四边形APQD是平行四边形;【解法提示】四边形ABCD是正方形,P、Q速度相同,ABE=EBQ=45,AD/BQ,AD=BC=2,BP=CQ,BC=AD=PQ,四边形APQD是平行四边形;（2）AE=PE, AEPE;证明如下：QEBD,PQE=90-45=45,ABE=EBQ=PQE=45,BE=QE,在AEB和PEQ中,AEBPEQ（SAS）,AE=PE,AEB=PEQ,AEP=BEQ=90,AEPE;（3）如解图,过点E作EFBC于点F,第1题解图BC=2,CQ=t,BQ=t+2,EFBC,且EBC=EQB=45,EF=BF=FQ,EF=BQ=,又BP=QC=t,y=EFBP=t,即y=t2+t;（4）当点P在BC的延长线上时,如解图,作PMQE于点M,第1题解图PQ=2,BQE=45,PM=PQ=,BE=QE=BQ=(t+2),DE=BE-BD=(t+2)-2=t-,EPQ的面积是EDQ面积的2倍,(t+2)=2(t-)(t+2),解得：t=3或t=-2（舍去）,t=3;当P在线段BC上时,解法同,此时DE=BD-BE=-t,EPQ的面积是EDQ面积的2倍,(t+2)=2(-t)(t+2),解得：t=1或t=-2（舍去）,t=1;综上所述,当t =1或t =3时,EPQ的面积是EDQ面积的2倍.2.如图,在矩形ABCD中,AB6 cm,BC8 cm,对角线AC,BD交于点O.点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为 1 cm/s；同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1 cm/s；当一个点停止运动时,另一个点也停止运动连接PO并延长交BC于点E,过点Q作QFAC交BD于点F.设运动时间为t(s)(0t6),解答下列问题：(1)当t为何值时,AP PO；(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式；(3)当t为何值时,OD平分COP？第2题图解：(1)在矩形ABCD中,AB6 cm,BC8 cm,ABC90,AC10 cm,AOAC5 cm,如解图,过点P作PMAO于点M,第2题解图当APPOt时,AMAO cm,PMAADC90,PAMCAD,APMACD,即,解得t,即t s时,APPO；(2)如解图,过点O作OHBC交BC于点H,则OHCDAB3 cm.由矩形的性质可知PDOEBO,DOBO,在DOP和BOE中,DOPBOE(ASA),BEPD(8t)cm,则SBOEBE OH(8t)312t.FQAC,第2题解图DFQDOC,相似比为,SDOCS矩形ABCD6812 cm2,SDFQ12,S五边形OECQFSDBCSBOESDFQ68(12t)t2t12,S与t的函数关系式为St2t12；(3)如解图,过点D作DMPE于点M,作DNAC于点N,易证ADNACD,即,DN,第2题解图PODCOD,DMDN,ONOM,SPODOP DMPD DC,OP DMPDDC,OP5t,PMOP- OMt,PD2PM2DM2,即(8t)2(t)2()2,解得t116(不合题意,舍去),t2,当t s时,OD平分COP.3.如图,已知ABC中,AB10 cm,AC8 cm,BC6 cm.如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动,它们的速度均为2 cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位：s)(0t4)第3题图(1)当t为何值时,PQBC；(2)设AQP的面积为S(单位：cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值；(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在,求出此时t的值；若不存在,请说明理由解：(1)由题意知BP2t,AP102t,AQ2t,PQBC,APQABC,即,解得t,即当t为 s时,PQBC；(2)AB10 cm,AC8 cm,BC6 cm,AB2AC2BC2,ABC为直角三角形,C90,如解图,过点P作PDAC于点D,第3题解图则PDBC,APDABC,PD(102t),SAQ PD2t(102t)t26t(t)27.5,0,抛物线开口向下,有最大值,且0t4,当t2.5 s时,S有最大值,最大值是7.5 cm2；(3)不存在理由如下：假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把ABC的面积平分,则SAQPSABC,即t26t86,整理得t25t100,b24ac(5)2410150,此方程无实数解,即不存在某时刻t,使线段PQ恰好把ABC的面积平分4.如图,在菱形ABCD中,BAD=120,边长AB=6,对角线AC、BD交于点 O,线段AD上有一动点P,过点P作PHBC于点H,交直线CD于点Q,连接OQ,OP,设线段PD=m (1)求线段PH的长度；(2)设DPQ的面积为S,求S与m之间的关系式；(3)当DPQ的面积与CQH的面积相等时,m的值是多少？第4题图解:(1)四边形ABCD是菱形, BCAD,AB=AD=CD=6, BAD=120, ADC=60, ACD是等边三角形, 如解图,过点C作CGAD于G, 在RtCDG中,CDG=60,CD=6, DG=3,CG=, BCAD, PHBC,CGAD, 四边形CHPG是矩形, PH=CG=, 第4题解图(2)在RtPDQ中,PDQ=60, DP=m, PQ=m, S=SPDQ=DPPQ=mm=m2（0m6）, (3)点Q在线段CD上,ADBC, CHQDPQ,当DPQ的面积与CQH的面积相等时,有CHQDPQ, CQ=DQ=CD=3, 在RtPQD中,PDQ=60, DQ=3,DP=, 即m=时,DPQ的面积与CQH的面积相等5.如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA12,OC8,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动,运动到点A停止,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,运动到点O停止,设运动时间为t秒（1）B点的坐标为 ,OQ ,AP；（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时,BCQ的面积不小于BAP的面积？（3）当t为何值时,OPQ的面积与BAP的面积的和为36？请求出t的值；连接AC,试探究此时线段PQ与AC之间的数量关系并说明理由 第5题图 备用图解：（1）（12,8）,8-t,12-1.5t；【解法提示】四边形OABC是矩形,且OA12,OC8,B（12,8）,由题意得：OP1.5t,CQt,AP12-1.5t,OQ8-t.（2）SBCQSBAP,CQBCAPAB,12t8（12-1.5t）,t4,点P在线段OA上沿OA方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动,运动到点A停止,点Q在线段CO上沿CO方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,运动到点O停止,121.58,818,0t8,当4t8时,BCQ的面积不小于BAP的面积；（3）由题意得：SOPQ+SBAP36,OPOQ+APAB36,1.5t（8-t）+36,t4或-4（舍）,当t4时,OPQ的面积与BAP的面积的和为36；此时AC2PQ,理由如下：如解图,第5题解图当t4时,OP1.5t6,CQ4,P和Q分别是OA和OC的中点,AC2PQ6.两个全等的三角形,ABC,DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内)其中,CDEF90,ABCF30,ACDE6 cm.现固定DEF,将ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动设ABC平移的距离为x(cm),两个三角形重叠部分的面积为y(cm2)(1)当点C落在边EF上时,x_ cm；(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在ABC平移过程中,点M与点N之间距离的最小值第6题图解：（1）15；【解法提示】如解图,作CGAB于点G,CHFE于点H,第6题解图在RtABC中,由AC6,ABC30,得BC6 cm.在RtBCG中,BGBCcos309 cm.四边形CGEH是矩形,CHGEBGBE9615 cm.当0x6时,如解图,第6题解图由GDB60,GBD30,DBx,得DGx,BGx,重叠部分的面积yDGBGxxx2；当6x12时,如解图,第6题解图BDx,DGx,BGx,BEx6,EH(x6),重叠部分的面积ySBDGSBEHDGBGBEEH,即yxx(x6)(x6),化简得yx22x6；当12x15时,如解图,第6题解图AC6,BC6,BDx,BEx6,EG(x6),重叠部分的面积ySABCSBEGACBCBEEG,即y66(x6)(x6),化简得yx22x12；综上所述,y如解图所示,作NGDE于点G,第6题解图点M在NG上时MN最短,NG是DEF的中位线,NGEF3,MBCB3,B30,MGMB,则MNminNGMG3.7. 如图,ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BDCF,BDCF成立(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转(090)时,如图,BDCF成立吗？若成立,请证明；若不成立,请说明理由；(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时,如图,延长BD交CF于点G.求证：BDCF；当AB4,AD时,求线段BG的长第7题图解：(1)BDCF成立；证明：ABC是等腰直角三角形,四边形 ADEF是正方形,ABAC, ADAF,BADCAF,在BAD和CAF中,BADCAF(SAS),BDCF；(2)证明：如解图,设BG交AC于点M,由(1)可知BADCAF,ABMGCM,BMACMG,BMACMG,BGCBAC90,即BDCF；解：如解图,过点F作FNAC于点N,第7题解图在正方形ADEF中,ADDE,AE2,ANFNAE1,在等腰ABC中,AB4,CNACAN3,BC4,在RtFCN中,tanFCN,tanABMtanFCN,AMAB,CMACAM4,BM,易证BMACMG,CG,在RtBGC中,BG.类型二类比探究型8.已知ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合）,以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列）,使DAF=60,连接CF.（1）如图,当点D在边BC上时,求证：BD=CF; AC =CF+CD;（2）如图,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立？若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;（3）如图,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.第8题图（1）证明：四边形AFED为菱形,AF=AD,ABC是等边三角形,AB=AC=BC,BAC=60=DAF,BAC-DAC=DAF-DAC,即BAD=CAF,在BAD和CAF中,BADCAF（SAS）,BD=CF,CF+CD=BD+CD=BC=AC;（2）解：不成立,AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF-CD.理由如下：由（1）知：AB=AC=BC,BAC=DAF=60,BAC+DAC=DAF+DAC,即BAD=CAF,在BAD和CAF中,BADCAF（SAS）,BD=CF,CF-CD=BD-CD=BC=AC,即AC=CF-CD；（3）解：补全图形如解图,AC=CD-CF.第8题解图【解法提示】BAC=DAF=60,DAB=CAF,在BAD和CAF中,BADCAF（SAS）,BD=CF,CD-CF=CD-BD=BC=AC,即AC=CD-CF.9.如图,已知AOB=120,在AOB的平分线OM上有一点C,将一个60角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E 第9题图（1）当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图）,请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由；（2）当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图的位置,（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,线段OD、OE与OC之间有怎样的数量关系？解：（1）OM是AOB的角平分线,AOC=BOC=AOB=60CDOA,ODC=90OCD=30OCE=DCE-OCD=30在RtOCD中,OD=OC,同理：OE=OCOD+OE=OC；（2）（1）中结论仍然成立,理由如下：如解图,过点C作CFOA于F,CGOB于G,第9题解图OFC=OGC=90AOB=120,FCG=60同（1）的方法得,OF=OC,OG=OCOF+OG=OCCFOA,CGOB,且点C是AOB的平分线OM上一点,CF=CGDCE=60,FCG=60,DCF=ECGCFDCGE（ASA）,DF=EGOF=OD-DF=OD-EG,OG=OE+EGOF+OG=OD-EG+OE+EG=OD+OEOD+OE=OC；（3）如解图,过点C作CFOA于F,CGOB于G,第9题解图OFC=OGC=90,AOB=120,FCG=60同（1）的方法得,OF=OC,OG=OC,OF+OG=OCCFOA,CGOB,且点C是AOB的平分线OM上一点,CF=CGDCE=60,FCG=60,DCF=ECGCFDCGE（ASA）DF=EGOF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EGOF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-ODOE-OD=OC10.ABC为等边三角形,点M是BC中点,点P在ABC所在平面内,连接PA,PB,PC,PM,直线PC与直线AB交于点D（1）若点P在ABC内,BPC=120如图,当点P在AM上时,求证：APD=BPM；如图,当点P不在AM上时,APD=BPM是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由（2）当点P在ABC外,且点P与点A在直线BC异侧时,若BPC=60,APD与BPM有怎样的数量关系？第10题图解:（1）证明：ABC是等边三角形,AB=AC,点M是BC中点,BM=CM,AMBC,在PMC和PMB中,PMCPMB（SAS）,MPC=MPB=BPC=60,MPC=APD,APD=BPM；APD=BPM仍然成立,如解图,延长PM至K,使MK=PM,连接BK,延长PD至T,使PT=PB,连接TB、TA,第10题解图由“倍长中线法”可证,MCPMBK（SAS）,CP=