考研数学公式定理背诵手册数学二线性代数.pdf

107 第二部分第二部分 线性代数线性代数 一 行一 行 列列 式式 1 行列式的重要定理及公式行列式的重要定理及公式 定理定理 对换改变n元排列的奇偶性 定理定理 任一n元排列与排列1 2 3 n 可以经过一系列对换互变 并且所作对换的次数 与这个n元排列有相同的奇偶性 2 行列式的基本性质 行列式的基本性质 性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等 性质性质 2 互换行列式的两行 列 行列式变号 推论推论 如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式等于零 性质性质 3 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式 推论推论 行列式中某一 列 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 性质性质 4 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式等于零 性质性质 5 若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 如第i列的元素都是两数之和 1 111211 2 212222 12 n ii n ii nn nnnini aaaaa aaaaa D aaaaa 则D等于下列两个行列式之和 1112111 11121 2122222 21222 12 12 inn i inn i nnninnnn nnni aaaaaaaa aaaaaaaa D aaaaaaaa 性质性质 6 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元 素上去 行列式不变 注注 1 设 A B均匀为n阶矩阵 一般地 ABBAAB 2 设 A B均匀为n阶矩阵 一般地 ABBA 但是 ABBAABBA 3 设A为n阶矩阵 则 n kAkA 切记 kAk A 3 行列式的重要公式与结论 行列式的重要公式与结论 1 上 下 三角行列式等于其主对角线上元素的乘积 即 108 1112111 2222122 11 12 12 n n nn nnnnnn aaaa aaaa a aa aaaa 2 1111 11 1 2 12212 1 2 12 11 1 11 1 nnn n n nnn nnn nn nnnn aaaa aaaa a aa aaaa 3 设A是m阶方阵 B是n阶方阵 则 AAO A B OBB 1 mn AOA A B BOB 4 设A是n阶方阵 T A为A的转置矩阵 用 A T A表示对应n阶方阵的行列 式 则有 T AA 5 设方阵A可逆 则 1 1 A A 6 n kAkA A为n阶方阵 7 设 A B为同阶方阵 则 ABA B 注意 ABAB 8 设A 为A的伴随矩阵 ij A为 ij a的代数余子式 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA 则 1 nAA 9 设 A B为n阶方阵 则 ABBAA B 但一般地ABBA 109 10 范德蒙行列式 12 222 12 1 111 12 111 n nij n n ij nnn n xxx Dxxxxx xxx 其中记号 表示全体同类因子的乘积 二 矩二 矩 阵阵 1 矩阵的运算规律 矩阵的运算规律 1 矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律 交换律ABBA 结合律 ABCABC k lAkl A 分配律 k ABkAkB kl AkAlA 以上 A B C均为mn 矩阵 k l为常数 2 矩阵乘法满足下列运算规律 结合律 AB CA BC 分配律 AB CACBC C ABCACB 数与乘积的结合律 kA BA kBk AB 3 方阵幂满足下列运算规律 klk l A AA klkl AA k m为正整数 4 矩阵的转置满足下列运算规律 AA ABAB AA ABB A 5 共轭矩阵满足下述运算规律 ABAB AA ABAB 以上 A B为复矩阵 为复数 且运算都是可行的 注注 1 不同型的零矩阵是没的 2 一般情况下ABBA ABO AO 或BO 2 AO AO 110 ABAC BC 但 是 A B为 方 阵 则 有 ABBAA B 0 0ABA 或 0B 2 逆矩阵的性质 逆矩阵的性质 1 若矩阵A是可逆的 则 1 A 是唯一的 2 若A可逆 则 1 A 亦可逆 且 11 AA 3 若A可逆 数0 则A 可逆 且 11 1 AA 4 若 A B为同阶矩阵且均可逆 则AB亦可逆 且 111 ABB A 5 若A可逆 则A 亦可逆 且 11 AA 注注 A可逆的充分必要条件是 0A 即可逆矩阵就是非奇异矩阵 3 重要公式与结论重要公式与结论 我们给出有关矩阵秩的重要公式与结论如下 1 r Ar A 1 r Ar A 2 如果AB 那么 r Ar B 3 min r ABr A r B r ABr Ar Bn n为A的列数 4 若AO 则 1r A 5 若A可逆 则 r ABr B 若B可逆 则 r ABr A 6 若 A B为两个阶数相同的矩阵 则 r ABr Ar B 7 1 1 0 1 nr An r Ar An r An 如果 如果 如果 n为n阶方阵 三 向三 向 量量 1 关于线性相关性的重要定理 关于线性相关性的重要定理 定理定理1 向量组 12 m a aa 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余的1m 个 向量线性表出 定理定理 2 若向量组 12 r a aa 线性无关 而向量组 12 r a aa 线性相关 则 可 111 由向量组 12 r a aa 线性表出 且表示法唯一 定理定理 3 若向量组 12 r a aa 线性相关 则向量组 12 r a aa 1r 也线性相关 定理定理 4 若向量组 12 r a aa 线性无关 则无论如何扩充向量组各向量的分量 所得 向量组仍线性无关 定理定理 5 向量组的个数大于向量组的维数 则此向量组线性相关 定理定理 6 n个n维向量组线性无关 由向量组所构成的矩阵对应的行列式0 2 等价向量组的重要结论 等价向量组的重要结论 注意 研究两个向量组是否等价 通常是通过研究它们的极大无关组是否等价入手 定理定理 7 向量组的任意两个极大无关组等价 定理定理 8 两个等价的线性无关组所含向量的个数相等 定理定理 9 如果向量组 12 s 线性无关 且它可由向量组 12 t 线性表示 则st 3 向量组与矩阵的秩的重要定理与公式重要定理与公式 定理定理 设 12 t 可由 12 s 线性表出 若 12 s rr 12 r t p 则pr 推论推论 如果向量组 I II 是两个等价的向量组 则 r Ir II 即两个等价的向 量组有相同的秩 定理定理 设A为矩阵 如果 r Ar 则A中有r个线性无关的列向量 而其他列向量 都是这r个线性无关列向量的线性组合 也就是 r AA 的列秩 一般地 r AA 的行秩A 的列秩 4 施密特正交化方法 施密特正交化方法 曲线性无关向量组 12 s 构造正交向量组 12 s 的施密特正交化方法施密特正交化方法为 21 11221 11 11 11 1111 3 4 iii iii ii is 且这样构造的向量组 12 s 与原向量组 12 s 等价 112 四 线性方程组四 线性方程组 1 线性方程组的重要定理线性方程组的重要定理 定理定理 如果 12 是非齐次线性方程组Axb 的解 则 12 是齐次线性方程组 0Ax 的解 定理定理 如果 是线性方程组Axb 的解 是非齐次线性方程组0Ax 的解 则 k 是线性方程组Axb 的解 定理定理 线性方程组的初等变换把线性方程组变成它的同解方程组 2 克莱姆法则 克莱姆法则 给定n个方程的方程组 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 如果系数行列式0D 则方程组有唯一解 12 12 n n DDD xxx DDD 其中 111 111 11 212 122 12 1 1 1 jjn jjn j nn jnn jnn aabaa aabaa D aabaa 即 j D是把D中第j列 j x的系数换成常数项所得到的行列式 3 初等行变换解线性方程组 初等行变换解线性方程组 给定n个未知数m个方程组 4 1 对它的增广矩阵A施行初等行变换 得到阶梯形 矩阵 1112111 12222 1 000 000 000 rn rn rrrnr r ccccd cccd ccd A d 初等行变换 如果 1 0 r dr AA 或 方程组 4 1 无解 如果 1 0 r dr Ar A 或 方程组 113 4 1 有解 而且当rn 时有唯一解 当rn 时有无穷多解 4 齐次线性方程组 齐次线性方程组0Ax 解的判别别解的判别别 齐次线性方程组一定有解 至少有零解 定理定理 齐次线性方程组0Ax 有非零解 r AnA 的列向量线性相关 推论推论 1 当mn 即方程的个数 未知数的个数 时 齐次线性方程组0Ax 必有非 零解 推论推论 2 当mn 时 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 11121 21222 12 0 n n mmmn aaa aaa A aaa 定理定理 设齐次线性方程组0Ax 的系数矩阵的秩 r Arn 增广矩阵的秩 r Ar Ab 则 当 r Ar An 时 方程组有唯一解 当 r Ar Arn 时 方程组有无穷多解 当 1 r Ar A 时 方程组无解 注注 定理中 1212 0 TT ijm nnm Aaxx xxbb bb 6 非齐次组 非齐次组Axb 与齐次组与齐次组0Ax 的解的关系的解的关系 Axb 有解 nAxb r Ar Ar nAxb 有唯一解 有无穷多解 Axb 有唯一解0Ax 只有零解 r An Axb 有无穷多解0Ax 只有非零解 r An 注注 非齐次方程组Axb 有唯一解 无穷多解 则0Ax 只有零解 有非零解 但 反过来不成立 即0Ax 有非零解 仅有零解 不能推导出Axb 有无穷多解 唯一解 甚至Axb 可能无解 因为由 r Ann 4 正定矩阵的性质 正定矩阵的性质 定理定理 设A为n阶正定矩阵 则 1 A可逆 因为0A 2 1 Tm AAAA kA 0k 为实数 都是正定矩阵