河北省中考数学复习三角形第23讲等腰三角形试题（含解析）.docx

第23讲等腰三角形1. (2011，河北)如图，等边三角形ABD，等边三角形CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得到图，则阴影部分的周长为 2 .第1题图【解析】 如答图等边三角形ABD，等边三角形CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，AMANMN，MODMDO，ODDEOE，EGECGC，BGRGRB，RBRNBN.OMMNNRGREGOEABCD112.第1题答图2. (2013，河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70方向的M处，它以每小时40 n mile的速度向正北方向航行，2 h后到达位于灯塔P的北偏东40方向的N处，则N处与灯塔P间的距离为(D) 第2题图A. 40 n mile B. 60 n mile C. 70 n mile D. 80 n mile【解析】 根据题意，得MN24080(n mile)M70，N40，NPM180MN180704070.NPMM.NPMN80 n mile.3. (2014，河北)如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则的值为(C)第3题图A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【解析】 如答图因为六边形是正六边形，所以OAC是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形的面积等于SOAC，即5.第3题答图4. (2016，河北)如图，AOB120，OP平分AOB，且OP2.若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有(D)第4题图A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上【解析】 只需要满足MPN60即可如答图，过点P作PCOB于点C，PDOA于点D，则PCPD，DPC36090212060.DPCDPMMPC60，MPNMPCCPN60，DPMCPN.在DPM和CPN中，DPMCPN.PMPN.PMNPNM.MPN60，PMN为等边三角形，而满足MPN60的PMN有无数个第4题答图等腰三角形的性质例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50，则这个等腰三角形的底角为(C)A. 70 B. 20 C. 20或70 D. 40或140【解析】 本题分两种情况如答图，当该等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高与另一腰的夹角是50，底角(9050)20.如答图，当该等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高与另一腰的夹角是50，底角180(9050)70.综上所述，这个等腰三角形的底角为20或70.例1答图针对训练1 (2018，无锡模拟)若等腰三角形的顶角为80，则它的一个底角的度数为(B)A. 20 B. 50 C. 80 D. 100【解析】 等腰三角形的顶角为80，它的一个底角为(18080)250.针对训练2 (2018，钦州二模)若一个等腰三角形的三边长分别为x，3，2x1，则这个等腰三角形的周长为_11或8_【解析】 当x3时，2x15.335，能组成三角形此时三角形的周长为33511.当x2x1时，x1.113，不能组成三角形当2x13时，x2.323，能组成三角形此时三角形的周长为3328.综上所述，这个等腰三角形的周长为11或8.等腰三角形的判定例2 (2018，桂林)如图，在ABC中，A36，ABAC，BD平分ABC，则图中等腰三角形的个数是 3 .例2题图【解析】 ABAC，A36，ABC是等腰三角形，ABCC72.BD平分ABC，ABDDBC36.在ABD中，AABD36，ABD是等腰三角形ABDA36，BDC72.在BDC中，CBDC72，BDC是等腰三角形所以共有3个等腰三角形.针对训练3 (导学号5892921)如图，在ABC中，BC4，BD平分ABC，过点A作ADBD于点D，过点D作DECB，分别交AB，AC于点E，F.若EF2DF，则AB的长为(B)训练3题图A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【解析】 如答图，延长AD，BC交于点G.BD平分ABC，ADBD，BADG.ABBG.D是AG的中点DEBG，E是AB的中点，F是AC的中点DE是ABG的中位线，EF是ABC的中位线EFBC2.EF2DF，DF1.DE3.BG2DE6.AB6.训练3答图等边三角形的性质与判定例3 (导学号5892921)如图，在ABC中，ABAC，D，E是ABC内的两点，AD平分BAC，EBCE60.若BE6 cm，DE2 cm，则BC的长为(C)例3题图A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 12 cm【解析】 如答图，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N.ABAC，AD平分BAC，ANBC，BNCN.EBCE60，EMB60.BEM为等边三角形，NDM30.BEBMEM.BE6 cm，DE2 cm，DM4 cm.NM2 cm.BN4 cm.BC2BN8(cm).例3答图针对训练4 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(0，)，B(1，0)，平行于AB的直线l交y轴于点C.若直线l上存在点P，使得PAB是等边三角形，则点C的坐标为(C)训练4题图A. (1，0)或(，0) B. (0，1)或(0，)C. (0，)或(0，3) D. (，0)或(，)【解析】 如答图A(0，)，B(1，0)，OA，OB1.tanABO.ABO60.AB2OB2.在x轴的正半轴上取一点P(1，0)，连接PA，则APB是等边三角形易得直线AB的解析式为yx，直线PC的解析式为yx.C(0，)作点P关于直线AB的对称点P(2，)，过点P平行于AB的直线的解析式为yx3，可得C(0，3)综上所述，满足条件的点C的坐标为(0，)或(0，3)训练4答图一、 选择题1. (2018，宿迁)若实数m，n满足等式|m2|0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两边长，则ABC的周长是(B)A. 12 B. 10 C. 8 D. 6【解析】 |m2|0，m20，n40.解得m2，n4.当m2为腰长时，三边长为2，2，4，不符合三边关系当n4为腰长时，三边长为2，4，4，符合三边关系，所以周长为24410.2. 如图，ABCD，ADCD，17030，则2的度数是(D)第2题图A. 4030 B. 3930 C. 40 D. 39【解析】 ABCD，ACD17030.ADCD，CADACD7030.2180ACDCAD1807030703039.3. (2018，石家庄模拟)如图，等腰三角形ABC的底边BC与底边上的高AD相等，高AD在数轴上，其中点A，D分别表示数轴上的实数2，2，则AC的长为(C)第3题图A. 2 B. 4 C. 2 D. 4【解析】 点A，D分别表示实数2，2，AD4.等腰三角形ABC的底边BC与底边上的高AD相等，BC4.CD2.在RtACD中，AC2.4. (2018，连云港东海县二模)已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，在下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是(C) A B C D【解析】 由题意，得2xy10.y2x10.由三角形的三边关系，得解得2.5x5.所以正确反映y与x之间函数关系的图象是选项C.5. (2018，保定模拟)如图，在ABC中，ABAC6，由作图痕迹可得DE的长为(B)第5题图A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【解析】 由作图，可知ADBD3，AE平分BAC.ABAC，AEB90.DEADBD3.6. (2018，湖州)如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若ABAC，CAD20，则ACE的度数是(B)第6题图A. 20 B. 35 C. 40 D. 70【解析】 AD是ABC的中线，ABAC，CAD20，CAB2CAD40，BACB(180CAB)70.CE是ABC的角平分线，ACEACB35.7. (2018，福建A)如图，在等边三角形ABC中，ADBC，垂足为D，点E在线段AD上，EBC45，则ACE等于(A)第7题图A. 15 B. 30 C. 45 D. 60【解析】 ABC是等边三角形，ADBC，ACB60，BDCD，即AD是BC的垂直平分线点E在AD上，BECE.EBCECB.EBC45，ECB45.ACEACBECB15.8. (2018，兰州模拟，导学号5892921)如图，在O内有折线OABC，其中OA10，AB16，AB60，则O的半径为(B)第8题图A. 13 B. 14 C. 16 D. 18【解析】 如答图，延长AO交BC于点D，作OEBC于点E，连接OB.AABC60，ADB60.ADB为等边三角形BDADAB16.OD6.ADB60，DEOD3，OE3.BE13.OB2OE2BE227169196.OB14.第8题答图二、 填空题9. (2018，长春)如图，在ABC中，ABAC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若A32，则CDB的度数为 37 .第9题图【解析】 ABAC，A32，ABCACB74.BCDC，CDBCBDACB37.10. (2018，乐山)如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AEAC，连接CE，则BCE的度数是22.5.第10题图【解析】 四边形ABCD是正方形，CABACB45.ACAE，ACEAEC(180CAE)67.5.BCEACEACB22.5.11. (2018，吉林)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k.若k，则该等腰三角形的顶角的度数为36.【解析】 如答图在ABC中，ABAC，BC.k，AB12，即5A180.A36.第11题答图12. (2018，娄底)如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，DEAB于点E，BFAC于点F，DE3 cm，则BF 6 cm.第12题图【解析】 在RtADB和RtADC中，RtADBRtADC.SABC2SABD2ABDEABDE3AB.SABCACBF，ACAB，BF3.BF6.13. (2018，遵义)如图，在ABC中，点D在BC边上，BDADAC，E为CD的中点若CAE16，则B为 37 .第13题图【解析】 ADAC，E是CD的中点，ADCC，AECD.AEC90.ADCC90CAE74.ADBD，BBAD.2BADC74.B37.三、 解答题14. (2018，唐山路南区三模)证明等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等已知：如图，在ABC中，BC，求证：ABAC.第14题图【思路分析】 根据等腰三角形的判定方法可知：已知缺少的条件为BC，要证的结论为ABAC.过点A作AD平分BAC，交BC于点D，由BADCAD，BC及ADAD可证出ABDACD，再利用全等三角形的性质可证出ABAC.解：CAC证明：如答图，过点A作AD平分BAC，交BC于点D.在ABD和ACD中，ABDACD(AAS)ABAC.第14题答图15. 如图，在ABC中，ABAC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BECF，BDCE.(1)求证：DEF是等腰三角形；(2)当A40时，求DEF的度数第15题图【思路分析】 (1)由ABAC，得BC.利用SAS证明DBEECF，然后即可证明DEF是等腰三角形(2)根据A40可求出BC70.根据DBEECF，利用三角形内角和定理和平角定义即可求出DEF的度数(1)证明：ABAC，BC.在DBE和ECF中，DBEECF.DEEF.DEF是等腰三角形(2)解：如答图DBEECF，13，24.A40，ABC180，ABAC，BC(18040)70.12110.32110.DEF70.第15题答图1. (2018，连云港模拟，导学号5892921)如图，在ABC中，A60，BC为定长，以BC为直径的O分别交AB，AC于点D，E，连接DE，DEEC.下列结论：BC2DE；BDCE2DE.其中一定正确的有(A)第1题图A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 无法判断【解析】 如答图，连接CD，OD，则ADC90.A60，ACD30.DOE2DCE60.ODOE，DOE是等边三角形DEOD，即BC2DE，正确DEEC，COEDOE60.BOD60.BDDECE.BDCE2DE，正确第1题答图2. (2018，玉林)如图，AOB60，OAOB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(A)第2题图A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 平行、相交或垂直【解析】 AOB60，OAOB，OAB是等边三角形OAAB，OABABO60.当点C在线段OB上时，如答图.ACD是等边三角形，ACAD，CAD60.OACBAD.在AOC和ABD中，AOCABD.ABDAOC60.DBE180ABOABD60AOB.BDOA.当点C在OB的延长线上时，如答图.同的方法得出OABD.第2题答图3. 如图，在ABC中，ABAC，点D在边AC上，且BDDABC.(1)如图，A 36，C 72；(2)如图，若M为线段AC上的点，过点M作直线MHBD于点H，分别交直线AB，BC于点N，E.求证：BNE是等腰三角形；试写出线段AN，CE，CD之间的数量关系，并加以证明第3题图【思路分析】 (1