第四章 几何画板与课件制作.doc

第四章几何画板与课件制作学习指导本章简介与具体内容几何画板与课件制作。结合若干实际问题进行课件的制作和创作。制作过程中，首先要写出课题的传统教案，然后利用几何画板的特点将其改造成为适合计算机表现的脚本，再进行分镜头的制作和修改，最后将其合成成为一个比较完整的数学课件。这一阶段是学习几何画板的成熟阶段。第一节几何画板的综合应用1椭圆作椭圆的方法很多，仅举4种方法。例1：利用椭圆的定义作椭圆。例2：利用椭圆的参数方程作椭圆。例3：利用椭圆的参数方程的几何意义作椭圆。例4：利用压缩圆的方法作椭圆。例5：作虚椭圆。例6：过椭圆外一点P作椭圆的切线。例7：作可以旋转的长方体。例8：作具有虚实线的可旋转的长方体。2度量转移在作图的过程中，有时需要将直线上的线段长度转移到圆上，使得弧长与线段长相等（如例9），有时需要将一个圆上的弧的长度转移到另一个圆上，使得弧长相等（如例10）。例9：作摆线。例10：作内外摆线（小圆在大圆内）。例11：周长相等3斜二测作图在作图的过程中，有时需要用斜二测的作图方法将几何图形投影到水平平面上。例12：用投影方法作正八面体。第二节几何画板的课件制作（1）课件制作的一般基础知识1修改度量值文本格式：2修改度量值数学格式：3中文的输入与显示4在绘图窗口中插入数学公式（利用Office中的公式编辑器）（2）课件制作例题例1：龟兔赛跑。例2：如图4.2.7所示的立体图的三视图。例3：已知过椭圆的左顶点（-a，0）的两条相互垂直的弦与椭圆分别相交于点P、Q，则直线PQ具有何特征？例4：如图4.2.9，求边长为a的正方形中红色区域的面积。例5：制作可上下移动的弹簧，如图4.2.11。例6：幂函数y=xn（n0）的图象与性质的教学过程。例7：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点E是AA1的中点，AA1 = 4，AB = 2，求平面B1ED1与平面BA1D所成的锐二面角的大小，如图4.2.14。重点与难点1.椭圆的各种作法思想与联系；2.度量转移的思想；3.斜二测作图的数学依据；4虚实线的可旋转的长方体的作法构思；5在绘图窗口中插入数学公式（用公式编辑器）。学习建议1依据书上步骤，完成典型应用例题：例1-例12；2合上书本，按照自己的理解，重新再现上述典型应用例题：例1-例12；3依据书上步骤，完成课件制作例题：例1-例7；4合上书本，按照自己的理解，重新再现上述课件制作例题：例1-例7；5系列按钮的构造是几何画板的最大特色，但也十分难于理解和实现，要反复练习，在制作前要先构思作法的次序和层次；6实际利用Office中的公式编辑器在绘图窗口中插入几个数学公式；7认真做后面的“思考题”。上一章分专题介绍了几何画板的基本功能，本章主要从实际应用的角度来介绍几何画板。先介绍几何画板的综合应用，然后介绍如何将几何画板用于课件制作。第一节几何画板的综合应用一、基础知识本节主要介绍几何画板的综合应用。所谓综合应用，实际上是综合利用工具框中的作图工具、编辑菜单、显示菜单、构造菜单、变换菜单、测算菜单、图面菜单、窗口菜单以及脚本工具等，通过直角坐标系或极坐标系来解决某个实际应用问题，这个实际问题可以是一个练习、一个教学实例、一个教学片段，也可以是一个数学专题等。几何画板4.0版自带的应用实例有49个，内容涉及到平面几何、解析几何、立体几何、天文学、物理学等若干课程，特别是关于平面几何、解析几何的实例非常丰富和具体，读者不妨浏览一下，对于发现问题、启发思路等都有一定的参考作用，在这里就不作介绍了。本节介绍的实例具有一定的趣味性和实用性，难度适中，与几何画板自带的实例并不重复。相信读者掌握了这些实例的制作后，能对几何画板有更深入的了解。二、典型例题1椭圆作椭圆的方法很多，在此仅举4种方法。例1：利用椭圆的定义作椭圆。简要步骤：（1）作点A、B，以及线段CD（定长）；（2）以点A为圆心，CD为半径作圆，并在圆A上任意取一点E；（3）连接AE、BE，并作BE的垂直平分线FG，交BE于点F，交AE于点G；（4）同时选中点G和点E，作轨迹，如图4.1.1。图4.1.1例2：利用椭圆的参数方程作椭圆。本例的作图原理就是先计算x=acost，y=bsint（-t），然后根据算得的x、y的值作出点（x，y），最后作出轨迹。简要步骤：（1）显示坐标轴，在x、y轴上分别取点C、D，测量并计算出点C的横坐标和点D的纵坐标，然后将标签分别改为a和b；（2）以任意点E为圆心，点F为圆上一点作圆，在圆上任取一点G，测量角FEG的值，并将标签改为t；（3）将角度设置为弧度制，计算acost和bsint的值，并依次选中，画出点H(acost，bsint)；（4）同时选中点H和点G，作轨迹，如图4.1.2。图4.1.2例3：利用椭圆的参数方程的几何意义作椭圆。简要步骤：（1）作水平线段AB，在线段AB上取一点C，以点A为圆心，分别以点B、C为圆上一点作两个同心圆，在大圆上任取一点D，连接AD，交小圆于点E；（2）过点D作线段AB的垂线，并过点E作垂线的垂线，两线交于点F；（3）同时选中点D和点F，作轨迹，如图4.1.3。图4.1.3例4：利用压缩圆的方法作椭圆。我们知道，将圆压缩就成了椭圆，因此，我们可以以椭圆的短轴与长轴之比作为压缩比，将圆压缩成椭圆。简要步骤：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心，以点B为圆上一点作圆，在圆上任取一点D；（2）过点D作线段AB的垂线，交线段AB于点E；（3）作线段FG、GH，依次选中线段FG、GH，并标识为比例；（4）以点E为缩放中心，将点D以标识的比例压缩，得点D；（5）同时选中点D和点D，作轨迹，如图4.1.4。图4.1.4这里仅介绍四种椭圆的作法，相信读者一定还会找到其它作法。例5：作虚椭圆。简要步骤：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心，以点B为圆上一点作圆，在圆上任取一点D，并隐藏圆C；（2）作线段EF，并在线段EF上取一点G，隐藏线段EF，连接EG、GF，依次选中线段EG、GF，并标识为比例；（3）利用计算器，计算得到一个任意的数值，例如20，并将其标识为旋转角度；（4）打开新脚本，按录制按钮，以点C为旋转中心，按标识的旋转角旋转点D，得点D；（5）计算数值20的二分之一，得20/2，并将其标识为旋转角度；（6）以点C为旋转中心，按标识的旋转角旋转点D，得点D；（7）依次选中点C、D、D，作出弧DD，在弧DD上任取一点H；（8）过点H作线段AB的垂线，交线段AB于点I；（9）以点I为缩放中心，将点H以标识的比例压缩，得点H；（10）同时选中点H和点H，作轨迹，得椭圆弧；（11）按照脚本给定的6个前提，依次选中点D、点C、计算值20、线段AB、线段EG、线段GF，按脚本中的“循环”按钮；（12）隐藏计算值20/2、弧DD、直线HI、点D、D、H、H、I，按脚本中的“停止”按钮，得到画虚椭圆的脚本，如图4.1.5。图4.1.5图4.1.6利用画虚椭圆的脚本，我们就可以轻松地画出如图4.1.6所示的球体。简要步骤：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心，以点B为圆上一点作圆，在圆上取一点D，测得角DCB的度数，不妨移动点D，使角DCB为13.33；（2）作线段EF，并在线段EF上取一点G，隐藏线段EF，连接EG、GF；（3）打开画虚椭圆的脚本，依次选中点D、点C、角度测算值、线段AB、线段EG、线段GF，按脚本中的“快放”按钮，在递归循环对话框中，将递归深度设置为13，然后确认，得到上半虚椭圆（14段椭圆弧）；（4）利用计算器，计算得到数值360；（5）依次选中点A、点C、计算值360、线段AB、线段EG、线段GF，按脚本中的“快放”按钮，在递归循环对话框中，将递归深度设置为0，然后确认，得到下半椭圆（1段椭圆弧）；（6）过点C作线段AB的垂线，交上半圆于点N，交下半圆于点M；（7）计算角DCB的度数的相反数，即得计算值-13.33，将它标识为旋转角度，以点C为旋转中心，按标识的旋转角旋转点M，得点M；（8）依次选中点M、点C、角DCB的测算值、直线CM、线段EG、线段GF，按脚本中的“快放”按钮，在递归循环对话框中，将递归深度设置为13，然后确认，得到右半虚椭圆（14段椭圆弧）；（9）依次选中点N、点C、计算值360、直线CM、线段EG、线段GF，按脚本中的“快放”按钮，在递归循环对话框中，将递归深度设置为0，然后确认，得到左半椭圆（1段椭圆弧）；（10）隐藏不需要的点和线，即得所作的球体，如图4.1.6。例6：过椭圆外一点P作椭圆的切线。假如我们用例1的方法作出椭圆，可以发现直线GF就是椭圆的切线，因此只要直线GF经过点P，也就是要找到圆上一点E的位置即可。简要步骤：（1）用例1的方法作出椭圆，并在椭圆外任作一点P；（2）以点P为圆心，点B为圆上一点作圆，交圆A于点H、I，连接BH、BI；（3）过点P作BH、BI的垂线，这两条垂线就是过椭圆外一点P所作的椭圆的切线，如图4.1.7。图4.1.7例7：作可以旋转的长方体。长方体旋转时，底面四边形的四个顶点应在一个椭圆上转动，因此可先作出底面四边形。简要步骤：（1）作水平线段AB，在线段AB上取一点C，以点A为圆心，分别以点B、C为圆上一点作两个同心圆，在大圆上任取一点D，选中点D和大圆作动画按钮；（2）连接AD，交小圆于点E，过点D作线段AB的垂线，并过点E作垂线的垂线，两线交于点F；（3）以点A为旋转中心，将点D、E旋转90，得点D、E；（4）过点D作线段AB的垂线，并过点E作垂线的垂线，两线交于点G；（5）以点A为旋转中心，将点F、G旋转180，得点F、G；（6）连接FG、GF、FG、GF；（7）作竖直线段HI，并在线段HI上任取两点J、K，隐藏线段HI及点H、I；（8）依次选中点J、K，并将其标识为向量；（9）选中线段FG、GF、FG、GF和点F、G、F、G，按标识的向量平移，得四边形F1G1F1G1；（10）连接FF1、GG1、FF1、GG1，隐藏不需要的点和线，得长方体FGFG-F1G1F1G1，如图4.1.8。图4.1.8双击动画按钮，可以看到旋转着的长方体。但这样作出来的长方体的缺点是不能区分虚实线。例8：作具有虚实线的可旋转的长方体。上例中，我们介绍了可旋转的长方体的作法。如果将其中的三条棱改为虚线，便可看到当主动点绕圆心每转过1/4圈后，虚实线的位置将发生一次改变。因此想到作四个具有虚实线的长方体，当主动点绕圆心转动时，让它们顺次出现，且每转过1/4圈仅出现一个。由于这四个长方体的作法一样，因此考虑利用脚本作图。简要步骤：（1）作水平的线段AB，以点A为圆心，点B为圆上一点作圆A；（2）在线段AB上取一点C，以点A为旋转中心，将点C旋转45，得点C；（3）在圆A上任取一点D，并作点D可在圆A上运动的动画按钮；（4）作竖直线段EF，并在线段EF上任取两点G、H，隐藏线段EF及点E、F，选中点G、H，将GH标识为向量。至此，使用脚本录制前的准备工作均已完成，以下是脚本的制作步骤：（1）打开新脚本，按“录制”按钮；（2）将点C绕点A旋转90，得点C，作弧CC；（3）连接AD，交弧CC于点I，过点D作线段AB的垂线，并过点I作垂线的垂线，两线交于点J；（4）以点A为旋转中心，将点D、I旋转90，得点D、I；（5）过点D作线段AB的垂线，并过点I作垂线的垂线，两线交于点K；（6）以点A为旋转中心，将点J、K旋转180，得点J、K；（7）连接JK、KJ、JK、KJ；（8）选中线段JK、KJ、JK、KJ和点J、K、J、K，按标识的向量平移，得四边形J1K1J1K1；（9）连接JJ1、KK1、JJ1、KK1，得长方体JKJK-J1K1J1K1，隐藏不需要的点和线，以及点的标签，如图4.1.9。（10）按脚本中的“停止”按钮。图4.1.9脚本制作成功，将线段JK、JK、JJ1改成虚线。利用脚本再生成三个长方体：（1）按逆时针方向拖动点D，使长方体消失，依次选中点C、A、D、线段AB、点G、H，按脚本中的“快放”按钮，生成新的长方体，将相应的3条线段改成虚线；（2）按逆时针方向拖动点D，使长方体消失，依次选中点C（点C绕点A旋转90后生成的点）、A、D、线段AB、点G、H，按脚本中的“快放”按钮，生成新的长方体，将相应的3条线段改成虚线；（3）按逆时针方向拖动点D，使长方体消失，依次选中点C（点C绕点A旋转90后生成的点）、A、D、线段AB、点G、H，按脚本中的“快放”按钮，生成新的长方体，将相应的3条线段改成虚线；（4）隐藏点A、C、C、C、C、线段AB和圆A，调整点B、C、G或H的位置，可以改变长方体的形状，调整好长方体的形状后，隐藏点B、C、G和H。具有虚实线的可旋转的长方体作好了。此时若双击动画按钮，我们就可看到具有虚实线的旋转着的长方体，如图4.1.10。图4.1.102度量转移在作图的过程中，有时需要将直线上的线段长度转移到圆上，使得弧长与线段长相等（如例9），有时需要将一个圆上的弧的长度转移到另一个圆上，使得弧长相等（如例10）。例9：作摆线。简要步骤：（1）作线段AB，在线段AB上任取一点C，作线段DE；（2）以点C为圆心，线段DE为半径作圆，与过点C的线段AB的垂线相交于点F（点F在线段AB的上方），隐藏圆C和垂线；（3）以点F为圆心，点C为圆上一点作圆；（4）测量点A、C之间的距离，将标签改为a，测量圆F的半径，将标签改为r；（5）将角度设置为弧度制，计算-a/r*1弧度的值，并标识为旋转角度；（6）以点F为旋转中心，按标识的旋转角旋转点C，得点C；（7）同时选中点C和点C，作轨迹，得摆线，如图4.1.11。图4.1.11例10：作内外摆线（小圆在大圆内）。简要步骤：（1）以点A为圆心过点B作大圆，并度量大圆A的半径，将度量标签改为R；（2）在大圆A上任取一点C，连接AC，作弧BC，并度量弧BC的长度，将度量标签改为a。点C为小圆与大圆的内切点。为了能够改变小圆的大小，且使大圆的半径为小圆半径的整数倍数，故需构造自然数n，不妨设3n18，再令小圆半径r=R/n即可。（3）作线段DE，以点D为缩放中心，将点E按1:3缩放，得点E，再将点E按1:6缩放，得点E，隐藏线段DE，连接EE，并在线段EE上任取一点F；（4）分别度量D、E和D、F的距离，记为d1和d2，计算round(d1/d2)的值，并将标签改为n，于是可知nN，且3n18；（5）计算半径R/n的值，得小圆的半径，将标签改为r，将数值r标识为距离；（6）将点C向右按标识的距离水平平移，得点C；（7）以点C为圆心，点C为圆上的点作圆，交线段AC于点G，隐藏圆C和点C，再以点G为圆心，点C为圆上的点作圆，得小圆G。现在只需将弧BC的长度转移到小圆G上。（8）将角度设置为弧度制，计算-a/r*1弧度的值，并标识为旋转角度；（9）以点G为旋转中心，按标识的旋转角旋转点C，得点H；（10）同时选中点C和点H，作轨迹，将轨迹改成蓝色，得内摆线；（11）作点H关于线段AC的对称点H，同时选中点C和点H，作轨迹，将轨迹改成红色，得外摆线，如图4.1.12。图4.1.12图4.1.13改变点F的位置，便可改变n的值，同时也就改变了小圆的大小，如图4.1.13。例11：周长相等简要步骤：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心作半圆弧AB，在线段AB上取一点D，以线段AD的中点E为圆心作半圆弧AD，以线段DB的中点F为圆心作半圆弧DB；（2）测量半圆弧AB的长度及半径，并将半圆弧AB的长度标识为距离；（3）作点G，将点G向右按标识的距离水平平移，得点G；（4）连接GG，在线段GG上任取一点H；（5）同例9，将G、H的距离转移到半圆弧AB上，即在半圆弧AB上作出点A，使弧AA的长度与G、H的距离相等；（6）测量半圆弧AD的长度及半径，并将半圆弧AD的长度标识为距离；（7）将点G和G向上竖直平移0.5cm，得点M和N，并将点M向右按标识的距离水平平移，得点M，连接MM、MN；（8）过点H作线段GG的垂线，交线段MM于点I，交线段MN于点J（必要时可移动点H的位置，点I、J不能同时出现，只能出现一个）；（9）同例9，将M、I的距离转移到半圆弧AD上，即在半圆弧AD上作出点A，使弧AA的长度与M、I的距离相等；（10）测量半圆弧DB的长度，并将半圆弧DB的长度标识为距离；（11）同例9，将M、J的距离转移到半圆弧DB上，即在半圆弧DB上作出点D，使弧DD的长度与M、J的距离相等，如图4.1.14；（12）选中点H和线段GG，作动画按钮，隐藏不需要的对象和点的标签。双击动画按钮，可以看到当点H从点G的位置运动到点G的位置时，大半圆上的点和小半圆上的点同时从点A的位置运动到点B的位置，如图4.1.15。由此可知小半圆的周长和等于大半圆的周长。图4.1.14图4.1.153斜二测作图在作图的过程中，有时需要用斜二测的作图方法将几何图形投影到水平平面上。例12：用投影方法作正八面体。简要步骤：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心，以点A为圆上一点作圆C，在圆C上任取一点D，以点C为旋转中心，将点D旋转90，得点E，将点E旋转90，得点F，将点F旋转90，得点G，选中点D和圆C，作动画按钮；（2）过点C作线段AB的垂线，与圆交于点M、N，过点D、E、F、G分别作线段AB的垂线，垂足分别为D、E、F、G；（3）以点D为旋转中心，将点D旋转-45，得点H，再以点D为缩放中心，将点H以1:2的比例缩放，得点H；（4）以点E为旋转中心，将点E旋转-45，得点I，再以点E为缩放中心，将点I以1:2的比例缩放，得点I；（5）以点F为旋转中心，将点F旋转-45，得点J，再以点F为缩放中心，将点J以1:2的比例缩放，得点J；（6）以点G为旋转中心，将点G旋转-45，得点K，再以点G为缩放中心，将点K以1:2的比例缩放，得点K；（7）连接HI、IJ、JK、KH、MH、MI、MJ、MK、NH、NI、NJ、NK。双击动画按钮，便可看到可旋转的正八面体，如图4.1.16。图4.1.16第二节几何画板的课件制作一、基础知识1修改度量值文本格式：（1）选取文本工具；（2）双击要修改的度量值；（3）选文本格式，修改标签；（4）按确定按钮。例如，按上述步骤，可将图4.2.1中两条线段的比值=1.235处理为k=1.235，过程见图4.2.2(a)、(b)。图4.2.1(a) (b)图4.2.22修改度量值数学格式：（1）画板中存在有度量值/标签的显示；（2）选取文本工具；（3）按NumLock键，并双击度量值/标签，编辑数学格式文本；（4）输入数学格式字符串命令（参见表8.2）；（5）按确定按钮。例如，按上述步骤，可将图4.2.3中两条线段的比值=1.302处理为=1.302，过程见图4.2.4(a)、(b)。3中文的输入与显示（1）输入文字(含汉字)：单击标签/注释工具；在画板中拖曳鼠标得到一个矩形的文字框，从左上角开始输入文字，输入汉字要选取适当的汉字输入法；（2）显示文字：单击选择工具，单击文字框，在显示菜单中选择：字型/字体/颜色，并作相应的处理即可；（3）调整文字：拖曳文字框，可改变文字框位置，拖曳文字框四角，可改变文字框的大小，从而进行半汉字的调整。图4.2.3(a) (b)图4.2.4表8.1数学格式字符串命令一览表数学格式命令含义范例效果u:texttext为上标英寸u:2英寸2l:texttext为下标Pl:1P1A:texttext上加弧线A:ABC在ABC上带弧线L:texttext上加直线L:ABR:texttext加射线R:ABS:texttext上加线段S:ABD:text1text2text1分子text2分母D:34(:text)text外加圆括号(:D:34) :texttext外加绝对值号:D:34V:texttext的平方根V:3!:C圆符号!:CABAB!:A角符号!:AABCABC!:*乘号3!:*434!: 符号!:3,4!:3,4!: 符号!:3,4!:3,4!:T希腊字母q!:Tq!:P希腊字母p!:Pp!:D希腊字母D!:DD注：以上命令可相互嵌套，例：V:!:Dxu:2+!:Dyu:2。4在绘图窗口中插入数学公式（利用Office中的公式编辑器）Office中的公式编辑器Microsoft Equation 3.0是Office家族中的一个通用的工具，利用它可在Word、PowerPoint等中插入数学公式。我们这里介绍的是在几何画板的绘图窗口中插入数学公式，实际上是利用Word文档插入数学公式。在“编辑”菜单中选择“O插入对象”菜单项，即出现下列图4.2.5。图4.2.5在图4.2.5拖动垂直滚动条，在“对象类型”中选择“Microsoft Word文档”，从而出现Word文档编辑窗口，利用Word文档编辑窗口的“插入”“对象”“Microsoft Equation 3.0”，可实现数学公式的插入。最后关闭Word文档编辑窗口，返回几何画板的绘图窗口，便达到在几何画板中插入数学公式的目的。二、典型例题例1：龟兔赛跑。不妨假设兔子前进速度为乌龟前进速度的两倍。整个龟兔赛跑分三个过程：（1）兔子行走了整个路程的一半，而乌龟行走了整个路程的四分之一；（2）兔子行走了整个路程的一半后睡起了大觉，乌龟按原来速度继续行走；（3）兔子睡醒后发现乌龟已经跑到前面，马上追赶，为时已晚。简要步骤：（1）作水平线段MN（假设点M为左端点），在线段MN上任取A点，测量线段MN的长度，计算线段MN/4的值，并标识为距离；（2）将点M、N竖直向上平移3cm，分别得点B、C，将点B按标识的距离水平平移，得点D，连接BD，与过点A所作的线段MN的垂线相交于点A，测量B、A两点之间的距离，计算B、A两点之间距离的2倍的值，并标识为距离；（3）将点M、N竖直向上平移1cm，分别得点B、C，连接BC，将点B按标识的距离水平平移，得点E；（4）连接DC，在线段DC上取一点F（移动该点，可以使兔子最终未能追上乌龟），隐藏线段DC，分别连接DF、FC；（5）移动点A，使过点A所作的线段MN的垂线与线段DF相交于点A，测量D、A两点之间的距离，计算D、A两点之间距离的0倍+线段MN长度的一半的值，并标识为距离，将点B按标识的距离水平平移，得点E；（6）移动点A，使过点A所作的线段MN的垂线与线段FC相交于点A，测量F、A两点之间的距离，计算F、A两点之间距离的2倍+线段MN长度的一半的值，并标识为距离，将点B按标识的距离水平平移，得点E；（7）任作三点G、H、I，标识向量GH（该向量用于控制插入的乌龟的图片的大小）、GI（该向量用于控制插入的兔子的图片的大小）；（8）按标识的向量GH平移点A，得点J，在word中插入乌龟的图片，并复制到剪贴板中，依次选中点A、J，按Ctrl+V，将乌龟的图片粘贴在以点A、J为左下、右上端点的矩形框中，调整点H的位置，使乌龟大小适中；（9）标识向量GI（该向量用于控制插入的兔子的图片的大小）；（10）按标识的向量GI平移点E，得点K，在word中插入兔子的图片，并复制到剪贴板中，依次选中点E、K，按Ctrl+V，将兔子的图片粘贴在以点E、K为左下、右上端点的矩形框中，调整点I的位置，使兔子大小适中；同样，按标识的向量GI平移点E，得点K，依次选中点E、K，按Ctrl+V，将兔子的图片粘贴在以点E、K为左下、右上端点的矩形框中；按标识的向量GI平移点E，得点K，依次选中点E、K，按Ctrl+V，将兔子的图片粘贴在以点E、K为左下、右上端点的矩形框中；（11）移动点F，使兔子最终未能追上乌龟，作点A的一次性动画。隐藏不需要的点、线和度量值，龟兔赛跑便制作成功了，如图4.2.6。图4.2.6例2：如图4.2.7所示的立体图的三视图。立体图主视图左视图俯视图图4.2.7简要步骤：（1）作水平线段MN，在线段MN上任取A、B两点，并隐藏线段MN和点M、N，连接AB，以点A为旋转中心，将线段AB及点B旋转90，得线段AC；（2）在线段AC上任取一点D，将线段AB及点B按向量AD平移得线段DE，在线段DE上任取一点F；以点D为旋转中心，将点E旋转-135，得点E，再以点D为缩放中心，将点E按1:2的比例缩放，得点G，连接DG；（3）在线段DE上接近点D处取一点F，构造点F到点F的运动按钮1；构造点F到点E的运动按钮2；（4）构造点D到点A的运动按钮3，在线段AC上接近点C处取一点D，构造点D到点D的运动按钮4；（5）任取一点H，在线段DG上接近点D处取一点H，构造点H到点H的运动按钮5，构造点H到点G的运动按钮6，构造点H到点E的运动按钮7，构造点H到点A的运动按钮8；（6）将点D水平平移5cm，得点I，标识向量DI，将点C、F、H按标识向量平移，得点I、J、L；（7）以线段IJ、IL、II分别为长方体的长、宽、高，作长方体IJKL-IJKL；（8）分别作线段LI、LK、LL的中点，并以这三个中点作三角形，其内部为红色；（9）依次选中运动按钮6、运动按钮3、运动按钮2，作序列按钮，并将标签改为“立体图”；（10）依次选中序列按钮“立体图”、运动按钮5，作序列按钮，并将标签改为“主视图”；依次选中序列按钮“立体图”、运动按钮1、运动按钮7，作序列按钮，并将标签改为“左视图”；依次选中序列按钮“立体图”、运动按钮4、运动按钮8，作序列按钮，并将标签改为“俯视图”；（11）隐藏除了立体图和四个序列按钮，如图4.2.7。按不同的序列按钮，便可得相应的视图。可以通过调整点D、F、H的位置，获得最佳的效果。例3：已知过椭圆的左顶点（-a，0）的两条相互垂直的弦与椭圆分别相交于点P、Q，则直线PQ具有何特征？简要步骤：（1）显示坐标轴，在x负半轴、y正半轴上分别取点C、D，分别以原点为圆心，点C、D为圆上的点作大圆和小圆，并由此作出椭圆（参见本章第一节例3）；（2）测量点C、D的坐标（-a，0）、（0，b），并算得a、b的值；（3）在椭圆上任取一点P，作点P的动画按钮；（4）连接CP，并过点C作CP的垂线l。由于几何画板无法直接作出直线与轨迹（椭圆）的交点，因此需要间接获得交点。我们可以算出交点的横坐标，然后在x轴上“划出测算值”，于是便可获得交点。本题中，由解得，其中a、b的值已算得，因此只需再测得垂线l的斜率k，便可算出垂线l与椭圆的交点的横坐标。（5）测量垂线l的斜率，将标签改为k；（6）计算的值，在x轴上“划出测算值”，并作出与l的交点Q；（7）作过点P、Q的直线，如图4.2.8；（8）双击动画按钮，观察该直线的特征。可以看到该直线过定点，可以证明该定点为。进一步探索：如果将题目条件改为“已知过椭圆上任意一点的两条相互垂直的弦与椭圆分别相交于点P、Q”，则直线PQ是否还具有同样的特征？图4.2.8例4：如图4.2.9，求边长为a的正方形中红色区域的面积。图4.2.9分析：本课件制作的一个难点是为形如“酒杯”的底部区域涂上红颜色。由于是轴对称图形，因此只需考虑右半部分（或左半部分）。一种涂色的方法：可在右半部分的圆弧上任取一点，并作正方形底边的平行线段，线段的另一个端点为平行线与对称轴的交点，然后将该线段变为红色，并作该线段的轨迹。另一种涂色的方法是用“以直代曲”的方法，在圆弧上取若干个点，然后以多边形代替曲边三角形。本课件制作中介绍的是后一种方法。本题可将“酒杯”底部的左、右半部分分别绕正方形的中心旋转-90、90，便可发现红色区域的面积为正方形面积的一半。也可将“酒杯”底部的左、右半部分分别平移，当然也可以将半圆的左、右半部分分别平移或绕正方形的中心旋转，同样也可发现红色区域的面积为正方形面积的一半。因此在本课件制作中，需要考虑如何使这4种不同解法互相独立，互不干扰。简要步骤：（1）作正方形ABCD及AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，连接EG、FH得交点I；（2）以点G为圆心，作弧IC，将扇形GIC及弧IC改为红色；（3）以点F为圆心，作弧IB，10等分弧IB，得等分点I1、I2、I9，依次选中点I1I2I3I4I5I6I7I8I9BEI，作多边形内部，并将此内部及弧IB改为红色，隐藏点I1、I2、I9；（4）以点I为圆心，作弧EF，在弧EF上任取一点J，标识角度EIJ，以点I为旋转中心，将多边形内部及弧IB按标识角度EIJ旋转，得图形，以EG为对称轴，得与图形对称的图形，选中图形和图形，作显示/隐藏按钮，记作显示1、隐藏1；（5）作点J到点F的慢速的运动按钮，以及作点J到点E的运动按钮，双击隐藏1按钮，隐藏点J和弧EF；（6）以点I为圆心，作弧HE，在弧HE上任取一点K，标识向量EK，将多边形内部及弧IB按标识向量平移，得图形，以EG为对称轴，得与图形对称的图形，选中图形和图形，作显示/隐藏按钮，记作显示2、隐藏2；（7）作点K到点H的慢速的运动按钮，以及作点K到点E的运动按钮，隐藏点K和弧HE；（8）以点I为圆心，作弧FG，在弧FG上任取一点L，标识角度GIL，以点I为旋转中心，将扇形GIC内部及弧IC按标识角度GIL旋转，得图形，以EG为对称轴，得与图形对称的图形，选中图形和图形，作显示/隐藏按钮，记作显示3、隐藏3；（9）作点L到点F的慢速的运动按钮，以及作点L到点G的运动按钮，双击隐藏3按钮，隐藏点L和弧FG；（10）以点I为圆心，作弧GH，在弧GH上任取一点M，标识向量GM，将扇形GIC内部及弧IC按标识向量平移，得图形，以EG为对称轴，得与图形对称的图形，选中图形和图形，作显示/隐藏按钮，记作显示4、隐藏4；（11）作点M到点H的慢速的运动按钮，以及作点M到点G的运动按钮，隐藏点M和弧GH；（12）选择帮助/对象信息工具，双击运动JF按钮，将序列延迟改为2秒，并用同样的方法将运动KH、运动LF、运动MH按钮均设定为延时2秒；（13）依次选择显示1、隐藏2、运动JF、运动JE按钮，作序列按钮；（14）依次选择显示2、隐藏1运动KH、运动KE按钮，作序列按钮；（15）依次选择显示3、隐藏4、运动LF、运动LG按钮，作序列按钮；（16）依次选择显示4、隐藏3、运动MH、运动MG按钮，作序列按钮，分别将这4个序列按钮改为解法一、解法二、解法三和解法四，如图4.2.10；（17）隐藏线段EG、FH和点A、B、C、D、E、F、G、H、I，隐藏所有的显示、隐藏按钮和运动按钮。图4.2.10例5：制作可上下移动的弹簧，如图4.2.11。图4.2.11分析：要制作可上下移动的弹簧，需要利用几何画板先画一个弹簧，然后将所画的弹簧复制到word中，设法变成一幅图片（如gif格式），再复制到几何画板中。简要步骤：（1）显示坐标轴，其中点A为原点，点B为单位点，在x轴上取两点C、D，连接CD，在线段CD上任取一点E，将点E绕着原点A旋转，得点E；（2）将单位点B绕着原点A分别旋转-150、-30、90，得点X、Y、Z，连接AX、AY、AZ，建立空间坐标系A-xyz；（3）度量点E的坐标，计算点E的横坐标，将标签改为t，并计算sin(5t)、cos(5t)的值；（4）选中sin(5t)的值，在x轴上“划出测算值”，并作出与x轴的交点F，将点F绕着原点A旋转-150，得点F，隐藏点F和过点F的测算值线（虚线）；（5）选中cos(5t)的值，在x轴上“划出测算值”，并作出与x轴的交点G，将点G绕着原点A旋转-30，得点G，隐藏点G和过点G的测算值线（虚线），将角度制改为弧度制；（6）作线段HI、IJ，选中线段HI、IJ，并标识比例，以原点A为缩放中心，将点F、G按标识比例进行缩放，得点F、G，隐藏点F、G；（7）依次选中点A、G，标识向量，按标识向量平移点F，得点K；依次选中点A、E，标识向量，按标识向量平移点K，得点K；（8）选中点K、E，作出轨迹，将轨迹改成粗线，如图4.2.12。（9）保留弹簧轨迹，其余的对象全部隐藏，弹簧制作成功了。图4.2.12（10）选中弹簧，复制到剪贴板中，然后粘贴到word中，另存为web格式，便可得到弹簧图片（gif文件），然后在word中，插入弹簧图片（gif文件），重新复制到剪贴板中，这样便可粘贴到几何画板中。有了弹簧图片后，就可制作能上下移动的弹簧了。（11）任取一点A，向右平移8cm得点B，将点B、A向上平移1cm得点C、D，连接AB、BC、CD、DA，作矩形ABCD内部，并改为红色；（12）作线段AB的中点E，过点E作AB的垂线l，将点E向下平移1cm（y方向平移-1cm）得点F，连接EF，过点F作AB的平行线，在所作的平行线上直线l的左侧任取一点G，测出点G、F的距离，标识该距离；（13）作圆H，在圆H上任取一点I，选中点I和圆H，分别作快速和慢速的动画按钮；作过点I作l的垂线，垂足为J，将点J向右按标识的距离平移，得点K；（14）选中点G、K，将剪贴板中的弹簧图片粘贴到以点G、K为相对的两个顶点的矩形中，调整点G和圆的位置，使得弹簧大小适中；（15）将点J向下平移1cm得点L，连接JL，将点L向右平移0.7cm得点M，将点M向下平移2cm得点N，以直线l为对称轴，得点M、N的对称点M、N，连接MN、NN、NM、MM，作矩形MNNM内部，并改为红色；（16）隐藏不需要的点和线，如图4.2.11。我们再举两个例子，说明如何利用几何画板制作辅助教学的课件。我们再举两个例子，说明如何利用几何画板制作辅助教学的课件。例6：幂函数y=xn（n0）的图象与性质的教学过程。根据教学过程的需要，教师希望所制作的几何画板的课件中有3个按钮（如图4.2.13）：n1时图象变化：双击此按钮，几何画板将动态地显示y=xn（n1）的图象的变化过程，学生将看到y=xn的图象随指数的变化而变化，从而得到：（1）y=xn（n=2k，kN*）的图象位于第一、二象限，y=xn（n=2k+1，kN*）的图象位于第一、三象限；（2）y=xn（n1）的图象在第一象限内的形状都类似于开口向上的抛物线；0n1时图象变化：双击此按钮，几何画板将动态地显示y=xn（0n1）的图象的变化过程，通过观察可以得到：（1）y=xn（n=，kN*）的图象位于第一象限，y=xn（n=，kN*）的图象位于第一、三象限；（2）y=xn（0n1）在第一象限中的图象的变化过程，通过观察可以得到：y=xn（n0）图象的性质：（1）y=xn（n0）的图象都通过点(0，0)、(1，1)；（2）在第一象限内，y=xn（n0）的函数值随x的增大而增大，指数越大图象越陡。图4.2.13按照上述要求，我们可按如下方法制作课件。简要步骤：（1）作线段AB，以点A为缩放中心，将点B按1:1.1缩放，得点B，再将点B按0.1:1.2缩放，得点B，隐藏线段AB，连接BB，并在线段BB上任取一点P，选中点P及线段BB，作出动画按钮；（2）分别测出点A、B和点A、P的距离，记为d1和d2，计算round(d1/d2)的值，将标签改为n，于是可知nN，且1n12，并分别计算2n、2n+1的值；（3）测出点P、B的距离，记为d3，计算10*d3/d1的值，并将标签改为d，可以知道0d8.258；（4）显示坐标轴，在x轴上任取一点C，测得其坐标为（xc，0），计算xc，xcn，xcd，xc1/(2n)，xc1/(2n+1)，-xc，-xcn，-xc1/(2n+1)的值；（5）（c1）以（xc，xcn）为坐标作点D，选中点D、C，作出y=xn（n1）的轨迹，将标签“n=”改为“y=x”，把所得式子移到轨迹旁，得轨迹方程如：y=x2.0；（6）（c2）以（xc，xc1/(2n)）为坐标作点E，选中点E、C，作出y=x1/(2n)的轨迹，将轨迹的颜色改为蓝色，并将标签“2n=”改为“y=x（1/”，右栏中添上“）”，把所得式子移到轨迹旁，得轨迹方程如：y=x（1/4.0）；（7）（c3）以（xc，xc1/(2n+1)）及（-xc，-xc1/(2n+1)）为坐标作点F、G，选中点F、C作轨迹，再选中点G、C作轨迹，得y=x1/(2n+1)的轨迹，将轨迹的颜色改为绿色，并将标签“2n+1=”改为“y=x（1/”，右栏中添上“）”，把所得式子移到轨迹旁，得轨迹方程如：y=x（1/5.0）；（8）(c4)以（xc，xcd）为坐标作点H，选中点H、C，作轨迹，将轨迹的颜色改为红色，并将标签“d=”改为“y=x”，把所得式子移到轨迹旁，得轨迹方程如：y=x2.434；（9）作直线y=x，改为虚线，并用文本工具写上“y=x”；（10）依次选中上述每一步中的轨迹及轨迹方程，作显示/隐藏按钮，分别对应上述c1-c4四个轨迹，设为C11、C12，C21、C22，C31、C32，C41、C42，其中Ci1表示显示按钮，Ci2表示隐藏按钮；（11）依次选中C11、C22、C32、C42，以及动画按钮，作序列按钮，并将标签改为：n1时图象变化；（12）依次选中C12、C21、C31、C42，以及动画按钮，作序列按钮，并将标签改为：0n1时图象变化；（13）依次选中C12、C22、C32、C41，以及动画按钮，作序列按钮，并将标签改为：第一象限图象变化；（14）绘制点（1，1），度量其坐标，将标签改为N，把N（1.0，1.0）移到所在点处，绘制点（0，1），过此点与N点、N点与（1，0）点作线段，并改为虚线。最后隐藏不必要的对象，课件便制作成功了。例7：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点E是AA1的中点，AA1= 4，AB= 2，求平面B1ED1与平面BA1D所成的锐二面角的大小，如图4.2.14。图4.2.14在立体几何异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的二面角的教学中，由于所画草图未必具有最佳的视觉效果，以至于不易看出线与线、线与面、面与面之间的关系，从而影响到学生的思维。利用几何画板的动态效果，往往可以找到最佳的观察角度，突破思维定势，获得解题途径。为了配合本例题的课堂教学，教师希望按下述要求设计课件。（1）双击动画按钮，使正四棱柱转动，从各个角度观察平面B1ED1与平面BA1D所成的二面角；（2）双击显示按钮，显示与平面B1ED1平行的平面BFD（点F为CC1的中点），于是问题就转化为求二面角F-BD-A1的大小。（3）再双击动画按钮，使正四棱柱转动，从各个角度观察二面角F-BD-A1的变化。（4）设计一个二面角F-BD-A1的最佳观察位置，将正四棱柱移动到该位置，并显示执行下一步骤所需的按钮。（5）有次序地、延时地显示解题所需的辅助线，并显示执行下一步骤所需的按钮。（6）闪动RtA1AO若干次，然后显示“在RtA1AO中，A1A= 4，AO=，所以A1O= 3”，并显示执行下一步骤所需的按钮。（7）闪动RtFCO若干次